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Funktionsgleichungen

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

a)
Gegeben ist eine Gerade $g$ mit $\mathbb{G}= \mathbb{Q} \times \mathbb{Q}$. Die Steigung von $g$ ist $m=2$ und der Punkt $P(1\mid 0)$ liegt auf $g$. Bestimme die Gleichung von $g$ in der Normalform und der allgemeinen Form.
b)
Du sollst eine Gleichung der Gerade $g$ aufstellen und hast sowohl die Steigung $m=-1$ als auch die Koordinaten eines Punkts $P(3\mid 1)$ auf der Geraden gegeben. Welche Form würdest du dafür wählen und warum? Stelle die Geradengleichung auf.
c)
Dir ist folgende Geradengleichung gegeben:
$g:\quad y = -2\cdot (x+3) + 1 $
Um welche Form einer Geradengleichung handelt es sich? Bringe die Gleichung in die anderen beiden Formen.
d)
Gib die Steigung $m$ und den $y$-Achsenabschnitt $t$ der Gerade an:
$g: \quad y=-(x+3,25)-13$

Aufgabe 1

Bestimme die Koordinaten eines Punktes, der auf der Geraden mit der folgenden Gleichung liegt:
  • $y=1,5x+1$
  • $0=-2y+3x+2$
  • $y=1,5(x-2)+4$
Welche Form einer Funktionsgleichung würdest du verwenden, um die Koordinaten eines Punktes, der auf dem Graphen der Funktion liegt, zu bestimmen? Begründe deine Antwort.

Aufgabe 2

Überprüfe, ob die gegebenen Gleichungen dieselbe Gerade beschreiben.
a)
$y= -(x-2,5)-1$ und $y = -x +1,5$
b)
$ 2x-3y+0,75=0 $ und $y = \frac{2}{3}\cdot \left(x-\frac{3}{4} \right) + \frac{3}{4}$
c)
$y = 18x+ 9$ und $2x+\frac{1}{9}y -1 = 0$
d)
$x = 5$ und $x-5 = 0$
e)
$y = 3\cdot (x+0,9)$ und $y = 3x +0,9 $
f)
$ 0,348x + 33y - 80 = 0 $ und $y = 3x+40 $

Aufgabe 3

Bestimme die Gleichungen der abgebildeten Geraden in der allgemeinen Form.

Aufgabe 4

Überprüfe jeweils, ob der Punkt $P$ auf der Gerade $g$ liegt.
b)
$P\,(0\mid -2)$; $g:y=2(x-2,5)+3$
d)
$P\,(\frac{3}{2}\mid 1)$; $g:0=3y-2x+1$
f)
$P\,(0,5\mid 3,25)$; $g:y=1,5x+2,75$

Aufgabe 5

Gegeben ist die Gerade mit der Gleichung $y = ax+b$. Wähle die Parameter $a$ und $b$ so, dass die Gerade durch die Punkte $P(1\mid 4)$ und $Q(3\mid 1)$ verläuft.

Aufgabe 6

Gib für die folgenden Funktionsgleichungen an, in welcher Form sie angegeben sind. Formuliere auch die beiden nicht angegebenen Formen.
a)
$y=2x+1$
b)
$0=\frac{1}{7}y+\frac{3}{7}x+7$
c)
$y=-3(x+2)-5$

Aufgabe 7

a)
Stelle eine Funktionsgleichung auf, mit der die Gesamtkosten für eine Bestellung, die nur aus Bandshirts besteht, berechnet werden kann und gib sie in ihrer allgemeinen Form an.
b)
Gib für die Funktion einen geeigneten Definitions- und Wertebereich an. Wie musst du die Funktionsgleichung verändern, damit du die Kosten für eine Bestellung berechnen kannst, die über $75\,€$ Bestellwert hat? Gib die neue Funktionsgleichung in ihrer Punkt-Steigungs-Form an.
c)
Jasmin bestellt zusammen mit einer Freundin. Sie selbst bestellt sich $3$ Bandshirts, während ihre Freundin $2$ Bandshirts möchte. Müssen die beiden die Versandkosten von $3,95\,€$ zahlen?
Bildnachweise [nach oben]
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Einführungsaufgabe

a)
Du hast die Steigung und die Koordinaten eines Punkts auf der Geraden gegeben. Überlege dir, welche Formen einer Geradengleichung es gibt und welche du davon am einfachsten mit den gegebenen Größen bestimmen kannst.
Am einfachsten bestimmst du mit den Informationen die Punkt-Steigungs-Form der Geraden. Sie lautet:
$y=m(x-x_P)+y_P$
$y=m(x-x_P)+y_P$
Dabei ist $m$ die Steigung und $x_P$ und $y_P$ die Koordinaten eines Punkts auf der Geraden. Setze die gegebenen Größen ein und bestimme die Geradengleichung.
Die Geradengleichung lautet $y=2(x-1)$. Forme die Gleichung um, sodass du die Normalform erhältst. Die Normalform hat die Form:
$y=mx+a$
$y=mx+a$
Forme die Gleichung um, sodass du die Normalform erhältst.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&2(x-1) &\quad \scriptsize \mid\; \text{ausklammern}\\[5pt] y&=&2x-2\\[5pt] \end{array}$
Die Normalform der Geradengleichung lautet $y=2x-2$. Forme die Gleichung weiter um, sodass du die allgemeine Form der Gleichung erhältst. Sie lautet:
$0=a\cdot y+b\cdot x+c$
$0=a\cdot y+b\cdot x+c$
Forme die Geradengleichung um, sodass du die allgemeine Form erhältst.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&2x-2 &\quad \scriptsize \mid\; -y\\[5pt] 0&=&2x-2-y\\[5pt] \end{array}$
Die allgemeine Form der Gleichung lautet $0=2x-2-y$.
b)
Überlege dir, welche Formen eine Geradengleichung annehmen kann, was du benötigst um sie jeweils aufzustellen und welche Informationen du gegeben hast.
Mit den gegebenen Informationen ist es am einfachsten die Punkt-Steigungs-Form der Geradengleichung anzugeben, da du alles notwendige schon gegeben hast. Setze die dir bekannten Größen in die Formel für die Punkt-Steigungs-Form ein.
DIe Geradengleichung lautet $y=-(x-3)+1$.
c)
Überlege dir, welche Formen eine Geradengleichung annehmen kann und welcher Form die angegebene Geradengleichung ähnelt. Forme sie anschließend so um, dass sie die anderen beiden Formen annimmt.
Die angegebene Geradengleichung ist in der Punkt-Steigungs-Form. Durch Ausklammern und Zusammenfassen kannst du die Gleichung in die Normalform bringen.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&-2(x+3)+1 &\quad \scriptsize \mid\; \text{ausklammern}\\[5pt] y&=&-2x-6+1 \\[5pt] y&=&-2x-5 \\[5pt] \end{array}$
Die Normalform der Geradengleichung lautet $y=-2x-5$. Forme die Gleichung weiter so um, dass sie lautet $0=…$. Somit erhältst du die allgemeine Form.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&-2x-5 &\quad \scriptsize \mid\; -y\\[5pt] 0&=&-2x-5-y \\[5pt] \end{array}$
Die allgemeine Form der Geradengleichung lautet $0=-2x-5-y$.
d)
Überlege dir, in welcher Form die angegebene Geradengleichung ist. Kannst du die Steigung bzw. den $y$-Achsenabschnitt eventuell schon aus der Form ablesen? Wenn nicht, dann mache dir klar, wie du vorgehen musst, um die Steigung bzw. den $y$-Achsenabschnitt zu bestimmen.
Die Geradengleichung ist in der Punkt-Steigungs-Form. Die Steigung der Geraden entspricht dem Vorfaktor vor der Klammer. Somit weißt du, dass die Steigung $m=-1$ ist.
Der $y$-Achsenabschnitt ist der $y$-Wert, den du für $x=0$ erhältst. Setze diesen Wert in die Geradengleichung ein und bestimme den $y$-Achsenabschnitt.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&-(x+3,25)-13 &\quad \scriptsize \mid\; x=0\\[5pt] y&=&-(0+3,25)-13 \\[5pt] y&=&-3,25-13 \\[5pt] y&=&-16,25 \\[5pt] \end{array}$
Der $y$-Achsenabschnitt liegt bei $t=-16,25$.

Aufgabe 1

Wenn du die Koordinaten eines Punkts bestimmen willst, dann lege $x$ oder $y$ fest, setze den festgelegten Wert in die Geradengleichung ein und bestimme den jeweils anderen Wert. Gibt es bei einer der Formen vielleicht eine einfachere Vorgehensweise?
Für die erste Gleichung wird $x=2$ gesetzt. du erhältst $y=1,5\cdot 2+1=4$. Der Punkt hat die Koordinaten $P\,(2\mid4)$.
Für die zweite Gleichung wird ebenfalls $x=2$ gesezte.
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&-2y+3x+2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] 0&=&-2y+3\cdot 2+2\\[5pt] 0&=&-2y+6+2\\[5pt] 0&=&-2y+8 &\quad \scriptsize \mid\; -8\\[5pt] -8&=&-2y &\quad \scriptsize \mid\; :-2\\[5pt] 4&=&y \\[5pt] \end{array}$
Der Punkt ebenfalls die Koordinaten $P\,(2\mid4)$.
Bei der Punkt-Steigungs-Form weißt du, dass der Wert in der Klammer $-x_P$ entspricht und der Wert hinter der Klammer $y_P$ entspricht. Somit kannst du die Koordinaten des Punkts $P\,(2\mid4)$ ablesen.
Überlege dir nun, welche Form der Funktion du bevorzugen würdest, wenn du die Koordinaten eines Punkts bestimmen musst. Dabei gibt es keine richtige Antwort. Du sollst angeben, welche Form du persönlich am liebsten benutzt und wieso das so ist.
Du kannst z.B argumentieren, dass die Punkt-Steigungs-Form den Vorteil bietet, dass du die Koordinaten eines Punkts einfach ablesen kannst. Die Normalform hat eventuell den Vorteil, dass du im Vergleich zu den anderen Formen weniger rechnen musst.

Aufgabe 2

Versuche durch Umformung aus der einen Geradengleichung die Gleichung der anderen Gerade zu erhalten. Wenn das möglich ist, dann beschreiben die beiden Gleichungen die selbe Gerade.
a)
$\begin{array}[t]{rll} y&=&-(x-2,5)-1 &\quad \scriptsize \mid\;\text{ausklammern} \\[5pt] y&=&-x+2,5-1 \\[5pt] y&=&-x+1,5 \\[5pt] \end{array}$
$ y=-x+1,5$
Die eine Gleichung kann durch umformen in die andere Gleichung überführt werden. Beide beschreiben die selbe Gerade.
b)
$\begin{array}[t]{rll} y&=&\frac{2}{3}(x-\frac{3}{4})+\frac{3}{4} &\quad \scriptsize \mid\;\text{ausklammern} \\[5pt] y&=&\frac{2}{3}x-\frac{6}{12}+\frac{3}{4} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 12 \\[5pt] 12y&=&8x-6+9 &\quad \scriptsize \mid\; -12y \\[5pt] 0&=&8x+3-12y &\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] 0&=&2x+0,75-3y \\[5pt] \end{array}$
$0=2x+0,75-3y$
Die eine Gleichung kann durch umformen in die andere Gleichung überführt werden. Beide beschreiben die selbe Gerade.
c)
$\begin{array}[t]{rll} y&=&18x+9 &\quad \scriptsize \mid\;-y \\[5pt] 0&=&18x-y+9 &\quad \scriptsize \mid\;:9 \\[5pt] 0&=&2x-\frac{1}{9}y+1 \\[5pt] \end{array}$
Die eine Gleichung kann nicht durch umformen in die andere Gleichung überführt werden. Beide beschreiben nicht die selbe Gerade.
d)
$\begin{array}[t]{rll} x&=&5 &\quad \scriptsize \mid\;-5 \\[5pt] x-5&=&0 \\[5pt] \end{array}$
Die eine Gleichung kann durch umformen in die andere Gleichung überführt werden. Beide beschreiben die selbe Gerade.
e)
$\begin{array}[t]{rll} y&=&3(x+0,9) &\quad \scriptsize \mid\;\text{ausklammern} \\[5pt] y&=&3x+2,7 \\[5pt] \end{array}$
Die eine Gleichung kann nicht durch umformen in die andere Gleichung überführt werden. Beide beschreiben nicht die selbe Gerade.
f)
$\begin{array}[t]{rll} y&=&3x+40 &\quad \scriptsize \mid\;-y \\[5pt] 0&=&3x+40-y &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 33 \\[5pt] 0&=&99x+132-33y \\[5pt] \end{array}$
Die eine Gleichung kann nicht durch umformen in die andere Gleichung überführt werden. Beide beschreiben nicht die selbe Gerade.

Aufgabe 3

Bestimme die Gleichungen der Geraden, indem du die Koordinaten von zwei Punkten auf der Geraden bestimmst und diese in die Zweipunktformel einsetzt. Sie lautet:
$\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\dfrac{y-y_2}{x-x_2}$
$\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\dfrac{y-y_2}{x-x_2}$
Dabei sind $x_1$, $x_2$, $y_1$ und $y_2$ die Koordinaten der beiden Punkte. Lasse $y$ und $x$ allgemein und Forme die Gleichung so um, dass die gewünschte Form entsteht. Hier die allgemeine Form. Die allgemeine Form enthält den Ausdruck $0=…$.
Eine waagerechte Linie kannst du mit der Gleichung $y=a$ angeben, wobei $a$ die Höhe der Linie ist. Eine senkrechte Linie hat die Gleichung $x=a$, wobei $a$ der $x$-Wert ist, durch den die Linie verläuft.
a)
Gerade $a_1$
Diese Gerade verläuft durch die Punkte $P_1\,(0\mid-1,5)$ und $P_2\,(1\mid0,5)$.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}&=&\dfrac{y-y_2}{x-x_2} &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] \dfrac{0,5-(-1,5)}{1-0}&=&\dfrac{y-(-1,5)}{x-0} \\[5pt] \dfrac{2}{1}&=&\dfrac{y+2}{x} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot x\\[5pt] 2x&=&y+2&\quad \scriptsize \mid\;-2;\,-y\\[5pt] 2x-y-2&=&0\\[5pt] \end{array}$
$2x-y-2=0$
Die allgemeine Form der Geraden lautet $0=2x-y-2$.
Gerade $a_2$
Diese Gerade verläuft durch die Punkte $P_3\,(-2\mid0)$ und $P_4\,(0\mid2)$.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}&=&\dfrac{y-y_2}{x-x_2} &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] \dfrac{0-2}{-2-0}&=&\dfrac{y-2}{x-0} \\[5pt] \dfrac{-2}{-2}&=&\dfrac{y-2}{x} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot x\\[5pt] -x&=&y-2&\quad \scriptsize \mid\;+2;\,-y\\[5pt] -x-y+2&=&0\\[5pt] \end{array}$
$-x-y+2=0$
Die allgemeine Form der Geraden lautet $0=-x-y+2$.
Gerade $a_3$
Diese Gerade verläuft horizontal auf der Höhe $-1$. Ihre Gleichung lautet $y=-1$ bzw. $y+1=0$.
Die allgemeine Form der Geraden lautet $0=y+1$.
Gerade $a_4$
Diese Gerade verläuft durch die Punkte $P_5\,(-2\mid2,25)$ und $P_6\,(0\mid1,25)$.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}&=&\dfrac{y-y_2}{x-x_2} &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] \dfrac{2,25-1,25}{-2-0}&=&\dfrac{y-1,25}{x-0} \\[5pt] \dfrac{1}{-2}&=&\dfrac{y-1,25}{x} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot x\\[5pt] -\frac{1}{2}x&=&y-1,25&\quad \scriptsize \mid\;+1,25;\,-y\\[5pt] -\frac{1}{2}x-y+1,25&=&0\\[5pt] \end{array}$
$-0,5x-y+1,25=0$
Die allgemeine Form der Geraden lautet $0=-\frac{1}{2}x-y+1,25$.
b)
Gerade $b_1$
Diese Gerade verläuft durch die Punkte $P_1\,(-1,5\mid1)$ und $P_2\,(1\mid3)$.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}&=&\dfrac{y-y_2}{x-x_2} &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] \dfrac{3-1}{1-(-1,5)}&=&\dfrac{y-1}{x-(-1,5)} \\[5pt] \dfrac{2}{1+1,5}&=&\dfrac{y-1}{x+1,5} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (x+1,5)\\[5pt] \frac{4}{5}(x+1,5)&=&y-1\\[5pt] 0,8x+1,2&=&y-1&\quad \scriptsize \mid\;+1;\,-y\\[5pt] 0,8x-y+2,2&=&0\\[5pt] \end{array}$
$0,8x-y+2,2=0$
Die allgemeine Form der Geraden lautet $0=0,8x-y+2,2$.
Gerade $b_2$
Diese Gerade verläuft durch die Punkte $P_3\,(-2\mid1,75)$ und $P_4\,(1\mid-0,5)$.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}&=&\dfrac{y-y_2}{x-x_2} &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] \dfrac{1,75-(-0,5)}{-2-1}&=&\dfrac{y-(-0,5)}{x-1} \\[5pt] \dfrac{1,75+0,5}{-3}&=&\dfrac{y+0,5}{x-1} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (x-1)\\[5pt] -0,75(x-1)&=&y+0,5\\[5pt] -0,75x+0,75&=&y+0,5&\quad \scriptsize \mid\;-0,5;\,-y\\[5pt] -0,75x-y+0,25&=&0\\[5pt] \end{array}$
$-0,75x-y+0,25$
Die allgemeine Form der Geraden lautet $0=-0,75x-y+0,25$.
Gerade $b_3$
Diese Gerade verläuft durch die Punkte $P_5\,(0\mid-1,75)$ und $P_6\,(1,25\mid0)$.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}&=&\dfrac{y-y_2}{x-x_2} &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] \dfrac{0-(-1,75)}{1,25-0}&=&\dfrac{y-(-1,75)}{x-0} \\[5pt] \dfrac{1,75}{1,25}&=&\dfrac{y+1,75}{x} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot x\\[5pt] 1,4x&=&y+1,75 &\quad \scriptsize \mid\;-1,75;\,-y\\[5pt] 1,4x-y-1,75&=&0\\[5pt] \end{array}$
$1,4x-y-1,75$
Die allgemeine Form der Geraden lautet $0=1,4x-y-1,75$.
Gerade $b_4$
Diese Gerade verläuft senkrecht durch den $x$-Wert $-1,25$. Demnach lautet ihre Gleichung $x=-1,25$ bzw. $x+1,25=0$.
Die allgemeine Form der Geraden lautet $0=x+1,25$.

Aufgabe 4

Wenn der Punkt auf der Geraden liegt, dann muss die Geradengleichung erfüllt sein, wenn du die Koordinaten des Punkts in die Gleichung einsetzt.
a)
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&-2y+4x+2 &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] 0&=&-2\cdot3+4\cdot1+2 \\[5pt] 0&=&-6+4+2 \\[5pt] 0&=&0 \\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung ist erfüllt. Der Punkt liegt auf der Geraden.
b)
$\begin{array}[t]{rll} y&=&2(x-2,5)+3 &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] -2&=&2(0-2,5)+3 \\[5pt] -2&=&2\cdot (-2,5)+3 \\[5pt] -2&=&-5+3 \\[5pt] -2&=&-2 \\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung ist erfüllt. Der Punkt liegt auf der Geraden.
c)
$\begin{array}[t]{rll} y&=&9x+9 &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] 99&=&9\cdot9+9 \\[5pt] 99&=&81+9 \\[5pt] 99&=&90 \\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung ist nicht erfüllt. Der Punkt liegt nicht auf der Geraden.
d)
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&3y-2x+1 &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] 0&=&3\cdot1-2\cdot\frac{3}{2}+1 \\[5pt] 0&=&3-3+1 \\[5pt] 0&=&1 \\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung ist nicht erfüllt. Der Punkt liegt nicht auf der Geraden.
e)
$\begin{array}[t]{rll} y&=&-\frac{1}{4}(x-16)-4 &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] -2&=&-\frac{1}{4}(8-16)-4 \\[5pt] -2&=&-\frac{1}{4}\cdot(-8)-4 \\[5pt] -2&=&2-4 \\[5pt] -2&=&-2 \\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung ist erfüllt. Der Punkt liegt auf der Geraden.
f)
$\begin{array}[t]{rll} y&=&1,5x+2,75 &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] 3,25&=&1,5\cdot0,5+2,75 \\[5pt] 3,25&=&0,75+2,75 \\[5pt] 3,25&=&3,5 \\[5pt] \end{array}$
$3,25=3,5$
Die Gleichung ist nicht erfüllt. Der Punkt liegt nicht auf der Geraden.

Aufgabe 5

Du hast die allgemeine Form der Geradebgleichung als $y=ax+b$ gegeben und die Koordinaten von zwei Punkten, die auf der Geraden liegen. Bestimme die Parameter $a$ und $b$ über die Zweipunktformel. Sie lautet:
$\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\dfrac{y-y_2}{x-x_2}$
$\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\dfrac{y-y_2}{x-x_2}$
Dabei sind $x_1$, $x_2$, $y_1$ und $y_2$ die Koordinaten der beiden Punkte. Lasse $x$ und $y$ allgemein und forme so um, dass $y$ alleine steht.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}&=&\dfrac{y-y_2}{x-x_2} &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] \dfrac{1-4}{3-1}&=&\dfrac{y-4}{x-1} \\[5pt] \dfrac{-3}{2}&=&\dfrac{y-4}{x-1} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (x-1) \\[5pt] -1,5(x-1)&=&y-4\\[5pt] -1,5x+1,5&=&y-4&\quad \scriptsize \mid\;+4\\[5pt] -1,5x+5,5&=&y\\[5pt] \end{array}$
$y=-1,5x+5,5$
Die Gleichung der Geraden lautet $y=-1,5+5,5$. Dabei gilt $a=-1,5$ und $b=5,5$.

Aufgabe 6

Überlege dir, auf welche Arten du eine Geradengleichung darstellen kannst und wie diese aussehen. Versuche daraus zu schließen, in welcher Form sich die angegebenen Geradengleichungen befinden.
Forme die Geradengleichung anschließend so um, dass du die anderen beiden Formen erhältst.
Eine Form der Geradengleichung ist die Normalform. Sie lautet:
$y=mx+a$
$y=mx+a$
Dabei ist $m$ die Steigung und $a$ ein Parameter. Wenn du mithilfe der Normalform die Koordinaten eines Punkts bestimmst, dann kannst du sie in die Punkt-Steigungs-Form bringen. Sie lautet:
$y=m(x-x_P)+y_P$
$y=m(x-x_P)+y_P$
Dabei ist $m$ die Steigung und $x_P$ und $y_P$ die Koordinaten eines Punkts auf der Geraden. Durch Ausklammern und Umformen erhältst du die allgemeine Form. Sie lautet:
$0=a\cdot y+b\cdot x+c$
$0=a\cdot y+b\cdot x+c$
Dabei sind $a$, $b$ und $c$ Parameter. Das $a$ in dieser Formel ist nicht identisch mit dem $a$ aus der Normalform.
a)
Die Gerade ist in der Normalform angegeben. Wenn $x=1$ gesetzt wird, ergibt sich $y=2\cdot1+1=3$. Damit hast du die Koordinaten für einen Punkt. Stelle die Punkt-Steigungs-Form auf.
Die Punkt-Steigungs-Form lautet $y=2(x-1)+3$. Forme die Gleichung um zur allgemeinen Form.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&2(x-1)+3 &\quad \scriptsize \mid\;\text{ausklammern} \\[5pt] y&=&2x-2+3 \\[5pt] y&=&2x-1 &\quad \scriptsize \mid\;-y\\[5pt] 0&=&-y+2x-1 \\[5pt] \end{array}$
Die allgemeine Form der Geradengleichung lautet $0=-y+2x-1$.
b)
Die Gerade ist in der allgemeinen Form angegeben. Forme so um, dass $y$ alleine steht, um auf die Normalform zu kommen.
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&\frac{1}{7}y+\frac{3}{7}x+7 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 7 \\[5pt] 0&=&y+3x+49 &\quad \scriptsize \mid\;-3x;\,-49 \\[5pt] y&=&-3x-49 \\[5pt] \end{array}$
Die Normalform der Geradengleichung lautet $y=-3x-49$. Wenn du $x=1$ setzt, dann ergibt sich $y=-3\cdot1-49=-52$. Damit hast du die Koordinaten für einen Punkt. Stelle die Punkt-Steigungs-Form auf.
Die Punkt-Steigungs-Form lautet $y=-3(x-1)-52$.
c)
Die Gerade ist in der Punkt-Steigungs-Form angegeben. Klammere aus und fasse zusammen, um auf die Normalform zu kommen.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&-3(x+2)-5 &\quad \scriptsize \mid\;\text{ausklammern} \\[5pt] y&=&-3x-6-5 \\[5pt] y&=&-3x-11 \\[5pt] \end{array}$
Die Normalform der Geradengleichung lautet $y=-3x-11$. Forme weiter so um, dass die Gleichung lautet $0=…$ um auf die allgemeine Form zu kommen.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&-3x-11 &\quad \scriptsize \mid\;-y \\[5pt] 0&=&-y-3x-11 \\[5pt] \end{array}$
Die allgemeine Form lautet $0=-y-3x-11$.

Aufgabe 7

a)
Stelle mithilfe der Informationen aus dem Text eine Funktionsgleichung auf. Mache dir klar, wofür $x$ und $y$ stehen. Forme die Gleichung anschließend so um, dass du auf die allgemeine Form der Gleichung kommst.
$x$ gibt die Anzahl der Bandshirts an, während $y$ den Gesamtpreis für die Bestellung inklusive Versandkosten angibt. Pro Bandshirt zahlt Jasmin $12,50\,€$. Außerdem fallen noch $3,95\,€$ Versandkosten an.
Die Gleichung lautet $y=12,5x+3,95$. Das ist die Normalform der Gleichung. Um auf die allgemeine Form zu kommen, musst du die Gleichung so umformen, dass sie $0=…$ lautet.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&12,5x+3,95 &\quad \scriptsize \mid\;-y \\[5pt] 0&=&12,5x-y+3,95\\[5pt] \end{array}$
Die allgemeine Form der Funktion lautet $0=12,5x-y+3,95$.
b)
Überlege dir, welche Werte für $x$ bzw. $y$ sinnvoll wären und gib danach den Definitions- und Wertebereich an.
Die untere Grenze des Definitionsbereichs ist erreicht, wenn ein Bandshirt bestellt wird. Es wird sicher keine Bestellung geben, wenn kein Bandshirt bestellt wird. Die obere Grenze ist bei der Anzahl an Bandshirts erreicht, wenn die Summe den Bestellwert von $75\,€$ erreicht. Bestimme die Anzahl an Shirts, die zusammen $75\,€$ kosten. Runde dabei auf die nächste ganze Zahl ab.
$\begin{array}[t]{rll} 75&=&12,5\cdot x &\quad \scriptsize \mid\;:12,5 \\[5pt] 6&=&x\\[5pt] \end{array}$
Ab einer Anzahl von $6$ Bandshirts fällt der Versand weg, weshalb der Definitionsbereich der Funktion bis zu einem Bandshirt vorher (also $5$) geht. Wichtig für den Definitionsbereich ist noch die Zahlenmenge. Es dürfen nur ganze Zahlen eingesetzt werden, da es nicht sinnvoll erscheint $3,7$ Bandshirts zu bestellen. Der Definitionsbereich lautet demnach $\mathbb{D}=[1;5]_\mathbb{Z}$.
Jetzt musst du noch berechnen, welcher Preis jeweils für $1$ bzw. $5$ Bandshirts inklusive Versand anfallen würde. Diese Werte geben deine Wertemenge an.
$1$ Bandshirt: $y=12,5\cdot 1+3,95=16,45$
$5$ Bandshirts: $y=12,5\cdot 5+3,95=66,45$
Demnach lautet der Wertebereich $\mathbb{W}=[16,45;66,45]$.
Wenn du die Kosten für eine Bestellung mit einem Bestellwert von mehr als $75\,€$ berechnen willst, dann musst du die $3,95\,€$ Versandkosten aus der Gleichung entfernen. In der Normalform würde sie lauten $y=12,5x$. Bestimme die Koordinaten eines Punktes auf der Geraden und gib damit die Punkt-Steigungs-Form an.
Es wird $x=6$ gesetzt. Daraus ergibt sich $y=6\cdot12,5=75$. Demnach lautet die Punkt-Steigungs-Form der Geraden $y=12,5(x-6)+75$.
c)
Im vorherigen Aufgabenteil hast du die Anzahl an Bandshirts berechnet, die noch im Bereich des Bestellwerts liegen, für den Versandkosten anfallen. Dieser bereich liegt bei $1$ bis $5$ Bandshirts. Jasmin und ihre Freundin bestellen gemeinsam $3+2=5$ Bandshirts. Das fällt noch in diesen Bereich. Die beiden müssen die Versandkosten zahlen.
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