Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BY, Realschule
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 9
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Lernbereich
Digitales Schulbuch M II
Digitales Schulbuch M I
Realschulabschluss M II
Realschulabschluss M I
VERA 8
Realschulabsc...
Prüfung
wechseln
Realschulabschluss M II
Realschulabschluss M I
VERA 8
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!

Umkehrfunktionen

Aufgaben
Download als Dokument:PDF

Aufgabe 1

Nimm Stellung zu den folgenden Aussagen.
a)
„Es gibt eine Funktion, deren Umkehrfunktion identisch zur ursprünglichen Funktion ist.“
b)
„Kehrst du eine Funktion um, dann erhältst du immer eine Funktion.“

Aufgabe 2

Zeichne zu den dargestellten Funktionen die Umkehrfunktionen.
a)
b)
c)
d)

Aufgabe 3

Gib die zu den folgenden Funktionen die Gleichung der Umkehrfunktion an.
a)
$f:y=x+2$
b)
$g:y=2x-1$
c)
$h:y=\frac{2}{x}$
d)
$i:y=x^2$

Aufgabe 4

In den folgenden Tabellen sind die Zuordnungen einer Funktion und ihrer Umkehrung angegeben. Vervollständige die Tabellen.
Umkehrung
xy
$4$$2$
$6$
$8$
$10$

Aufgabe 5

Neben den Sehenswürdigkeiten erkundigen sie sich auch nach dem Wechselstand zwischen Euro und Pfund. Aktuell ist ein Euro umgerechnet $0,87$ britische Pfund wert.
a)
Gib eine Funktion an, mit der du einen Betrag von Euro in Pfund umrechnen kannst. Bilde von dieser Funktion die dazugehörige Umkehrfunktion.
Michelle tauscht insgesamt $100\,€$ gegen Pfund ein. Sie gibt $70\,£$ über die Woche verteilt aus. Die restlichen Pfund tauscht sie wieder in Euro um.
b)
Mit wie viel Euro kommt Michelle aus dem Urlaub wieder?

Aufgabe 6

Ihr Vater erklärt ihr, dass die USA eine andere Temperaturskala verwenden. In den USA wird die Temperatur in Grad Fahrenheit und nicht in Grad Celsius angegeben.
Daniel Gabriel Fahrenheit hat damals zum Festlegen seiner Skala eine Mischung aus Wasser, Eiswürfeln, Salmiak und Salz verwendet. Diese sehr kalte Mischung ($-17,8°C$) bildete den unteren Rand seiner Skala mit $0°F$. Die Temperatur von normalem Wasser beim Gefrierpunkt von $0°C$ entspricht auf Fahrenheits Skala $32°F$.
a)
Gib eine Funktionsgleichung an, mit der du die Temperatur von Grad Fahrenheit in Grad Celsius umrechnen kannst. Der $x$-Wert soll dabei die Temperatur in Grad Fahrenheit sein. Rechne die Angabe des Thermometers in Grad Celsius um.
b)
Gib zu deiner in Aufgabenteil a) bestimmten Funktionsgleichung die passende Umkehrfunktion an.
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2016 – SchulLV.
[2]
© 2016 – SchulLV.
[3]
© 2016 – SchulLV.
[4]
© 2016 – SchulLV.
[5]
Public Domain.
[6]
Public Domain.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF

Aufgabe 1

a)
Überlege dir eine Funktion, für die diese Aussage gilt. Wenn du denkst, dass diese Aussage falsch ist, dann versuche zu erklären, wieso es keine Funktion geben kann, die eine identische Umkehrfunktion hat.
Vielleicht hilft es dir, wenn du dir noch einmal anschaust, wie du aus einer gegebenen Funktionsgleichung die dazugehörige Umkehrfunktion bestimmst.
Die Funktion mit der Gleichung $y=x$ hat eine Umkehrfunktion, die zur ursprünglichen Funktion identisch ist. Wenn du aus der Gleichung einer Funktion die Umkehrfunktion bilden willst, dann vertauschst du $y$ und $x$ und löst die Gleichung so auf, dass $y$ wieder alleine steht. Bei dieser Funktion ist die Funktionsgleichung vor und nach dem Tauschen der Variablen identisch.
b)
Überlege dir eine Funktion, bei der die Umkehrfunktion keine Funktion ist. Wenn du denkst, dass die Aussage stimmt, dann versuche zu erklären, wieso die Umkehrung einer Funktion immer eine Funktion sein muss. Eventuell hilft es dir, wenn du dir überlegst, wie eine Funktion definiert ist.
Die Aussage ist falsch. Jede Funktion, die kein $x$ enthält, wie z.B. $y=1$, ist eine horizontale Linie. Ihre Umkehrung, also die Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden, wäre eine senkrechte Linie.
Bei dieser Linie würden einem $x$-Wert sehr viele $y$-Werte zugeordnet werden. Das widerspricht der Definition einer Funktion.

Aufgabe 2

Du erhältst die Umkehrung einer Funktion, wenn du den Graphen der Funktion an der ersten Winkelhalbierenden, also einer Gerade mit der Gleichung $y=x$, spiegelst. Spiegle die dargestellten Funktion und zeichne sie in das selbe Schaubild wie die ursprüngliche Funktion. Denk daran die Graphen zu beschriften.
a)
b)
c)
d)

Aufgabe 3

Wenn du die Umkehrfunktion zu einer Funktion bestimmen willst, dann vertausche zuerst die Variablen $x$ und $y$. Löse die Gleichung anschließend so auf, dass $y$ wieder alleine steht.
a)
$\begin{array}[t]{rll} y&=&x+2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Variablen vertauschen}\\[5pt] x&=&y+2 &\quad \scriptsize \mid\; -2\\[5pt] x-2&=&y \\[5pt] \end{array}$
$y=x-2$
Die Gleichung der Umkehrfunktion $f^{-1}$ lautet $y=x-2$.
b)
$\begin{array}[t]{rll} y&=&2x-1 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Variablen vertauschen}\\[5pt] x&=&2y-1 &\quad \scriptsize \mid\; +1\\[5pt] x+1&=&2y &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] \frac{1}{2}x+\frac{1}{2}&=&y \\[5pt] \end{array}$
$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$
Die Gleichung der Umkehrfunktion $g^{-1}$ lautet $y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$.
c)
$\begin{array}[t]{rll} y&=&\frac{2}{x} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Variablen vertauschen}\\[5pt] x&=&\frac{2}{y} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot y;\,:x\\[5pt] y&=&\frac{2}{x}\\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung der Umkehrfunktion $h^{-1}$ lautet $y=\frac{2}{x}$.
d)
$\begin{array}[t]{rll} y&=&x^2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Variablen vertauschen}\\[5pt] x&=&y^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}\\[5pt] \sqrt{x}&=&y \\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung der Umkehrfunktion $i^{-1}$ lautet $y=\sqrt{x}$.

Aufgabe 4

Wenn eine Funktion umgekehrt wird, dann tauschen $x$- und $y$-Wert den Platz. Der $x$-Wert der Funktion entspricht demnach dem $y$-Wert der Umkehrfunktion und anders herum. So kannst du von einem angegebenen Wert auf den entsprechenden anderen Wert in der Tabelle schließen.
In der Tabelle der Umkehrung fehlt die oberste Zeile. Du siehst in der anderen Tabelle, dass der Funktion hier beim $x$-Wert $1$ der $y$-Wert $2$ zugeordnet wird. Demnach muss der $y$-Wert der Umkehrung $1$ sein und der $x$-Wert $2$.
Vervollständige nach diesem Muster die Tabelle. Die vollständigen Tabellen sehen so aus:
Umkehrung
xy
$2$$1$
$4$$2$
$6$$3$
$8$$4$
$10$$5$

Aufgabe 5

a)
Überlege dir zuerst, welche Bedeutung der $x$- und der $y$-Wert in der Funktion hätte. Wenn du dir darüber im Klaren bist, dann kannst du die Funktion einfacher aufstellen.
Der $x$-Wert gibt einen Betrag in Euro an. Das Ergebnis, der $y$-Wert, entspricht dem Betrag in Pfund. Ein Euro entspricht $0,87$ Pfund. Dieser Faktor muss mit dem $x$-Wert multipliziert werden.
Die Funktion lautet $y=0,87\cdot x$. Bilde die Umkehrfunktion, indem du die Variablen vertauschst und anschließend nach $y$ auflöst.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&0,87x &\quad \scriptsize \mid\; \text{Variablen vertauschen}\\[5pt] x&=&0,87y &\quad \scriptsize \mid\; :0,87\\[5pt] 1,15x&=&y \\[5pt] \end{array}$
$y=1,15x$
Die Umkehrfunktion lautet $y=1,15x$.
b)
Rechne die Angaben im Text in eine Währungseinheit um. Benutze dazu die Funktionen, die du im vorherigen Aufgabenteil aufgestellt hast. Berechne anschließend, wie viel Geld Michelle nach dem Urlaub noch übrig hat und gib diesen Betrag in Euro an.
Michelle hat $70\,£$ ausgegeben. Das entspricht $1,15\cdot70=80,5€$. Wenn du die Differenz aus dem Geld, das sie mitgenommen hat, und dem Geld, das sie ausgegeben hat, bildest, dann kommst du darauf, dass sie nach dem Urlaub noch $100€-80,5€=19,5€$ übrig hat.

Aufgabe 6

a)
Stelle mit den Angaben aus dem Text eine Funktionsgleichung auf, mit der du die Temperatur von Grad Fahrenheit in Grad Celsius umrechnen kannst. Überlege dir, welche Angaben du hast und wie du daraus eine Funktionsgleichung bestimmen kannst.
Du hast die Informationen über zwei Punkte, die Teil der Funktion sind. Du weißt, dass bei $0°F$ die Temperatur bei $-17,8°C$ liegt und dass bei $32°F$ die Temperatur $0°C$ beträgt.
Setze diese Werte in die Zweipunktformel ein und bestimme die Gleichung der Funktion. Die Zweipunktformel lautet:
$\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\dfrac{y-y_2}{x-x_2}$
$\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\dfrac{y-y_2}{x-x_2}$
Dabei sind $x_1$, $x_2$, $y_1$ und $y_2$ die Koordinaten der Punkte. Setze die dir bekannten Werte ein und lasse $x$ und $y$ allgemein. Forme anschließen so um, dass du eine Funktionsgleichung erhältst.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}&=&\dfrac{y-y_2}{x-x_2} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] \dfrac{0-(-17,8)}{32-0}&=&\dfrac{y-(-17,8)}{x-0} \\[5pt] \dfrac{17,8}{32}&=&\dfrac{y+17,8}{x} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot x\\[5pt] 0,56 x&=&y+17,8 &\quad \scriptsize \mid\;-17,8\\[5pt] 0,56 x-17,8&=&y\\[5pt] \end{array}$
$y=0,56x-17,8$
Die Funktionsgleichung einer Funktion, mit der du eine Temperaturangabe von Grad Fahrenheit in Grad Celsius umrechnen kannst, lautet $y=0,56x-17,8$. Setze in die Funktionslgeichung den gemessenen Wert von $105,8°F$ ein und berechne die Temperatur in Celsius.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&0,56x-17,8 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] y&=&0,56\cdot105,8-17,8 \\[5pt] y&=&59,3-17,8 \\[5pt] y&=&41,5 \\[5pt] \end{array}$
$y=41,5$
Die Temperatur im Grand Canyon beträgt $41,5°C$.
b)
Bilde die Umkehrfunktion, indem du die Variablen vertauschst und anschließend nach $y$ umformst.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&0,56x-17,8 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Variablen vertauschen}\\[5pt] x&=&0,56y-17,8 &\quad \scriptsize \mid\;+17,8\\[5pt] x+17,8&=&0,56x &\quad \scriptsize \mid\;:0,56\\[5pt] 1,79x+31,8&=&x \\[5pt] \end{array}$
$y=1,79x+31,8$
Die Gleichung der Umkehrfunktion, mit der du eine Temperaturangabe von Grad Celsius in Grad Fahrenheit umrechnen kannst, lautet $y=1,79x+31,8$.
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2016 – SchulLV.
[2]
© 2016 – SchulLV.
[3]
© 2016 – SchulLV.
[4]
© 2016 – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App