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Funktionen allgemein

Aufgaben
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Aufgabe 1

Kreuze an, welche Aussage auf eine Funktion zutrifft.
Jedem $x$-Wert wird genau ein $y$-Wert zugeordnet.
Jedem $y$-Wert wird genau ein $x$-Wert zugeordnet.
Bei einer Nullstelle gilt $x=0$.
Die Definitionsmenge $\mathbb{D}$ gibt die Zahlen an, die in die Funktionsgleichung eingesetzt werden dürfen.

Aufgabe 2

Begründe, ob es sich um eine Funktion handelt.
a)
x12345
y23456
b)
x12344
y0,511,522,5
c)
x12345
y02420
d)
e)
f)

Aufgabe 3

In der Abbildung siehst du den Graph der Funktion $f$ mit der Definitionsmenge $\mathbb{D}=\mathbb{Z}$.
a)
Welche der folgenden Funktionsgleichungen beschreibt den Graphen der Funktion?
  1. $y=x+1$
  2. $y=-0,5x+1$
  3. $y-0,5x=1$
  4. $y+x=1$
b)
Liegen die beiden Punkte $A\,(-1\mid0,5)$ und $B\,(7\mid5)$ auf dem Graphen der Funktion?
c)
Gib die Nullstelle der Funktion an.

Aufgabe 4

Gib eine Funktionsgleichung an, die die Bedingung erfüllt.
a)
Die Funktion besitzt genau eine Nullstelle.
b)
Die Funktion besitzt unendlich viele Nullstellen.
c)
Die Funktion besitzt eine Nullstelle bei $x=1$.
d)
Die Funktion besitzt eine Nullstelle bei $x=5$.

Aufgabe 5

Bestimme die Nullstellen der Funktion.
a)
$y=x$
b)
$y=2x$
c)
$y=2x-1$
d)
$y-x=3$
e)
$y+2x=1$
f)
$y+3x=x$
g)
$y=(x+1)\cdot(x-1)$
h)
$y=3\cdot(x-1)$
i)
$\frac{y}{4}=(x+2)$

Aufgabe 6

Prüfe rechnerisch, ob die folgenden Punkte auf dem Graphen der Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung $y=2x^2+2$ liegen.
a)
$A\,(1\mid1)$
b)
$B\,(-1\mid4)$
c)
$C\,(0\mid2)$
d)
$D\,(3\mid18)$
e)
$E\,(2\mid10)$
f)
$F\,(0,5\mid2,5)$

Aufgabe 7

Zeichne den Graphen der Funktion im Bereich $-1\leq x\leq5$ in einem geeigneten Koordinatensystem.
a)
$y=\mid x\mid$
b)
$y=x+1$
c)
$y=x^2$
d)
$y=-x-8$

Aufgabe 8

8.
Marius lässt sich Wasser in die Badewanne ein. Das Wasser fließt gleichmäßig in die Wanne. Nach etwa $20\,\text{min}$ ist die Badewanne komplett voll. Marius weiß, dass die Badewanne bis zu $120\,\text{l}$ Wasser fassen kann.
a)
Berechne, wie viele Liter Wasser in einer Minute in die Badewanne fließen.
b)
Stelle eine Funktionsgleichung auf, die den aktuellen Füllstand der Badewanne in Abhängigkeit von der Zeit angibt.
c)
Gib die Definitionsmenge $\mathbb{D}$ und die Wertemenge $\mathbb{W}$ der Funktion an.
d)
Nach welcher Zeit ist die Badewanne zu $\frac{3}{4}$ gefüllt?

Aufgabe 9

Lineare Funktionen: Funktionen allgemein
Abb. 5: Stuttgarter Flughafen
Lineare Funktionen: Funktionen allgemein
Abb. 5: Stuttgarter Flughafen
a)
Zeichne die Höhe in Abhängigkeit von der horizontalen Strecke, die das Flugzeug zurücklegt, für die ersten $7\,\text{km}$ in ein geeignetes Koordinatensystem ein.
b)
Gib eine Funktionsgleichung an, mit der du den Steigflug des Flugzeuges beschreiben kannst.
Lineare Funktionen: Funktionen allgemein
Abb. 6: Ein Airbus A380.
Lineare Funktionen: Funktionen allgemein
Abb. 6: Ein Airbus A380.
c)
$\text{ft.}$ ist ein englisches Längenmaß. Ein Fuß entspricht ca. $30,5\,\text{cm}$. Rechne die maximale Flughöhe des Airbus A380 in Meter um.
d)
Nach welcher horizontalen Strecke erreicht der Airbus A380 seine maximale Flughöhe?
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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Aufgabe 1

Überlege dir, welche Eigenschaften eine Funktion im allgemeinen besitzen muss, damit sie als eine Funktion gilt und überprüfe, ob die Aussagen zutreffen.
Eine Funktion zeichnet sich dadurch aus, dass sie jedem $x$-Wert genau einen $y$-Wert zuordnet. Ein $y$-Wert kann mehrere $x$-Werte haben. Die Nullstellen einer Funktion liegen bei dem $x$-Wert, bei dem $y=0$ gilt. Die Definitionsmenge $\mathbb{D}$ gibt die Menge an Zahlen an, die für $x$ in die Funktionsgleichung eingesetzt werden dürfen. Alle dadurch erhaltenen Werte für $y$ entsprechen der Wertemenge $\mathbb{W}$.
Die korrekt angekreuzten Aussagen siehst du hier:
Jedem $x$-Wert wird genau ein $y$-Wert zugeordnet.
Jedem $y$-Wert wird genau ein $x$-Wert zugeordnet.
Bei einer Nullstelle gilt $x=0$.
Die Definitionsmenge $\mathbb{D}$ gibt die Zahlen an, die in die Funktionsgleichung eingesetzt werden dürfen.

Aufgabe 2

In den ersten Teilaufgaben werden dir Wertetabellen gegeben. Überprüfe, ob die Bedingungen für eine Funktion erfüllt sind. Eine Wertetabelle gehört z.B. nicht zu einer Funktion, wenn einem $x$-Wert mehrere $y$-Werte zugeordnet werden.
a)
Jedem $x$-Wert wird genau ein $y$-Wert zugeordnet. Demnach handelt es sich um eine Funktion.
b)
Dem $x$-Wert $4$ werden hier zwei unterschiedliche $y$-Werte zugeordnet. Es handelt sich demnach nicht um eine Funktion.
c)
Jedem $x$-Wert wird genau ein $y$-Wert zugeordnet. Demnach handelt es sich um eine Funktion. Es ist kein Problem, dass einem $y$-Wert mehrere $x$-Werte zugeordnet werden.
Wie bei den Wertetabellen sollst du überprüfen, ob der Graph eine Funktion beschreibt oder nicht. Er würde z.B. dann keine Funktion beschreiben, wenn einem $x$-Wert mehrere $y$-Werte zugeordnet werden würden.
d)
Der Graph der Funktion verläuft so, dass jedem $x$-Wert genau ein $y$-Wert zugeordnet wird. Es handelt sich hierbei um eine Funktion.
e)
Der Graph der Funktion verläuft so, dass jedem $x$-Wert genau ein $y$-Wert zugeordnet wird. Es handelt sich hierbei um eine Funktion. Es ist kein Problem, dass einem $y$-Wert mehrere $x$-Werte zugeordnet werden.
f)
Der Graph der Funktion verläuft so, dass im $x$-Bereich zwischen $2$ und $3$ jedem $x$-Wert mehrere $y$-Werte zugeordnet werden. Es handelt sich hierbei also nicht um eine Funktion.

Aufgabe 3

a)
Um zu überprüfen, ob eine Funktionsgleichung zu dem Graphen passt, kannst du z.B. die Koordinaten der Punkte aus dem Graphen ablesen und sie in die Funktionsgleichung einsetzen. Wenn für jeden Punkt, die Funktionsgleichung erfüllt ist, dann kann die Funktionsgleichung dem Graphen der Funktion $f$ zugeordnet werden.
Alternativ kannst du für jede Funktionsgleichung einen passenden Graphen mit der selben Definitionsmenge $\mathbb{D}$ wie $f$ zeichnen und überprüfen, welche Graphen identisch sind.
Die Koordinaten der eingezeichneten Punkte lauten $P_1\,(0\mid1)$; $P_2\,(1\mid1,5)$; $P_3\,(2\mid2)$; $P_4\,(3\mid2,5)$; $P_5\,(4\mid3)$; $P_6\,(5\mid3,5)$; $P_7\,(6\mid4)$.
Wenn du die Punkte in die Funktionsgleichungen einsetzt, dann findest du heraus, dass die $3.$ Gleichung $y-0,5x=1$ den Graphen der Funktion $f$ beschreibt. Du kannst die Gleichung alternativ schreiben als $y=0,5x+1$.
b)
Überprüfe, ob die beiden Punkte auf dem Graphen der Funktion liegen, indem du ihre Koordinaten in die Funktionsgleichung, die du in Aufgabenteil a) bestimmt hast, einsetzt und schaust, ob die Gleichung erfüllt ist.
Die Funktionsgleichung lautet $y=0,5x+1$. Setze die Koordinaten von Punkt $A$ ein.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&0,5x+1 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] 0,5&=&0,5\cdot(-1)+1\\[5pt] 0,5&=&-0,5+1\\[5pt] 0,5&=&0,5\\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung ist erfüllt. Demnach liegt der Punkt $A$ auf dem Graphen der Funktion $f$. Setze die Koordinaten von Punkt $B$ ein.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&0,5x+1 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] 5&=&0,5\cdot7+1\\[5pt] 5&=&3,5+1\\[5pt] 5&=&4,5\\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung ist nicht erfüllt. Demnach liegt der Punkt $B$ nicht auf dem Graphen der Funktion $f$.
c)
Berechne die Nullstelle der Funktion, indem du $y=0$ einsetzt und die Gleichung, die du in Aufgabenteil a) bestimmt hast, anschließend nach $x$ umstellst. Die Funktionsgleichung lautet $y=0,5x+1$.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&0,5x+1 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] 0&=&0,5x+1 &\quad \scriptsize \mid\; -1\\[5pt] -1&=&0,5x &\quad \scriptsize \mid\; :0,5\\[5pt] -2&=&x \\[5pt] \end{array}$
Die Nullstelle der Funktion $f$ liegt bei $x=-2$.

Aufgabe 4

Überlege dir eine Funktionsgleichung, die die genannten Bedingungen erfüllen. Überlege dir, wie der Graph der Funktionsgleichung, die du dir ausgedacht hast aussieht und schau, ob die Bedingungen erfüllt sind.
a)
Die Funktion muss genau eine Nullstelle besitzen. Sie muss also durchgehend steigen oder fallen. Der Graph der Funktion darf keine horizontale Linie sein.
Eine mögliche Funktionsgleichung lautet: $y=x$.
b)
Die Funktion muss unendlich viele Nullstellen besitzen. Überlege dir, wie das Schaubild einer Funktion aussehen muss, die unendlich viele Nullstellen erfüllt.
Das Schaubild der Funktion müsste eine horizontale Linie sein, die auf der $x$-Achse liegt. Überlege dir, wie die Funktionsgleichung einer Funktion aussieht, deren Schaubild eine horizontale Linie ist.
Eine Funktion, deren Schaubild nur eine horizontale Linie ist, darf keine Variable in der Funktionsgleichung haben. Die Gleichung enthält also kein $x$, sondern lautet nur $y=a$, wobei $a$ eine Zahl ist.
Die Funktionsgleichung lautet: $y=0$.
c)
Die Funktion muss eine Nullstelle bei $x=1$ besitzen. Eine Funktion hat eine Nullstelle an der Stelle, an der $y=0$ gilt. Denke dir eine Form für deine Funktionsgleichung aus und setze die dir bekannten Bedingungen $x=1$ und $y=0$ ein. Alle anderen Zahlenwerte lässt du allgemein.
Du denkst dir z.B. die Funktionsgleichung $y=x+a$ aus, wobei $a$ eine Zahl ist. Dann setzt du die Werte ein und kommst auf $0=1+a$. Jetzt kannst du dir überlegen, welche Zahl du für $a$ einsetzen musst, damit die Gleichung erfüllt ist. In diesem Fall wäre $a=-1$.
Eine mögliche Funktionsgleichung lautet: $y=x-1$.
d)
Die Funktion muss eine Nullstelle bei $x=5$ besitzen. Gehe bei dieser Aufgabe genauso vor, wie bei Aufgabenteil c).
Eine mögliche Funktionsgleichung lautet: $y=x-5$.

Aufgabe 5

In dieser Aufgabe sollst du Nullstellen der angegebenen Funktionen bestimmen. Dazu musst du dir zuerst die Bedingung für eine Nullstelle überlegen.
Eine Funktion hat eine Nullstelle, wenn $y=0$ gilt. Du kannst diesen Wert für $y$ also in die Funktion einsetzen und die Gleichung anschließend nach $x$ umstellen. So erhältst du deine Nullstelle. Manchmal ist es hilfreich, wenn du die Gleichung vorher durch Umformung oder Ausklammern vereinfachst.
a)
$\begin{array}[t]{rll} y&=&x &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen} \\[5pt] 0&=&x \\[5pt] \end{array}$
Die Funktion hat eine Nullstelle bei $x=0$.
b)
$\begin{array}[t]{rll} y&=&2x &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen} \\[5pt] 0&=&2x &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] 0&=&x \\[5pt] \end{array}$
Die Funktion hat eine Nullstelle bei $x=0$.
c)
$\begin{array}[t]{rll} y&=&2x-1 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen} \\[5pt] 0&=&2x-1 &\quad \scriptsize \mid\; +1\\[5pt] 1&=&2x &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] 0,5&=&x \\[5pt] \end{array}$
Die Funktion hat eine Nullstelle bei $x=0,5$.
d)
$\begin{array}[t]{rll} y-x&=&3 &\quad \scriptsize \mid\; +x \\[5pt] y&=&x+3 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] 0&=&x+3 &\quad \scriptsize \mid\; -3\\[5pt] -3&=&x \\[5pt] \end{array}$
Die Funktion hat eine Nullstelle bei $x=-3$.
e)
$\begin{array}[t]{rll} y+2x&=&1 &\quad \scriptsize \mid\; -2x \\[5pt] y&=&-2x+1 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] 0&=&-2x+1 &\quad \scriptsize \mid\; -1\\[5pt] -1&=&-2x &\quad \scriptsize \mid\; :-2\\[5pt] 0,5&=&x \\[5pt] \end{array}$
Die Funktion hat eine Nullstelle bei $x=0,5$.
f)
$\begin{array}[t]{rll} y+3x&=&x &\quad \scriptsize \mid\; -3x \\[5pt] y&=&-2x &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] 0&=&-2x &\quad \scriptsize \mid\; :-2\\[5pt] 0&=&x \\[5pt] \end{array}$
Die Funktion hat eine Nullstelle bei $x=0$.
g)
$\begin{array}[t]{rll} y&=&(x+1)\cdot(x-1) &\quad \scriptsize \mid\; \text{ausklammern} \\[5pt] y&=&x^2-x+x-1\\[5pt] y&=&x^2-1 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] 0&=&x^2-1 &\quad \scriptsize \mid\; +1\\[5pt] 1&=&x^2 \\[5pt] \end{array}$
$1=x^2$
Die Funktion hat zwei Nullstelle bei $x=1$ und $x=-1$.
h)
$\begin{array}[t]{rll} y&=&3\cdot(x-1) &\quad \scriptsize \mid\; \text{ausklammern} \\[5pt] y&=&3x-3&\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] 0&=&3x-3 &\quad \scriptsize \mid\; +3\\[5pt] 3&=&3x &\quad \scriptsize \mid\; :3\\[5pt] 1&=&x \\[5pt] \end{array}$
Die Funktion hat eine Nullstelle bei $x=1$.
i)
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{y}{4}&=&x+2 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot4 \\[5pt] y&=&4\cdot(x+2)&\quad \scriptsize \mid\; \text{ausklammern}\\[5pt] y&=&4x+8 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] 0&=&4x+8 &\quad \scriptsize \mid\; -8\\[5pt] -8&=&4x &\quad \scriptsize \mid\; :4\\[5pt] -2&=&x &\quad \scriptsize \mid\; :4\\[5pt] \end{array}$
$-2=x$
Die Funktion hat eine Nullstelle bei $x=-2$.

Aufgabe 6

Wenn du überprüfen willst, ob ein Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt, dann setze die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung ein. Wenn die Gleichung erfüllt ist, dann liegt der Punkt auf dem Graphen der Funktion. Die Funktionsgleichung lautet: $y=2x^2+2$.
a)
Überprüfe ob der Punkt $A\,(1\mid1)$ auf dem Graphen der Funktion liegt.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&2x^2+2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen} \\[5pt] 1&=&2\cdot1^2+2 \\[5pt] 1&=&2\cdot1+2 \\[5pt] 1&=&2+2 \\[5pt] 1&=&4 \\[5pt] \end{array}$
Der Punkt $A$ liegt nicht auf dem Graphen der Funktion.
b)
Überprüfe ob der Punkt $B\,(-1\mid4)$ auf dem Graphen der Funktion liegt.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&2x^2+2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen} \\[5pt] 4&=&2\cdot(-1)^2+2 \\[5pt] 4&=&2\cdot1+2 \\[5pt] 4&=&2+2 \\[5pt] 4&=&4 \\[5pt] \end{array}$
Der Punkt $B$ liegt auf dem Graphen der Funktion.
c)
Überprüfe ob der Punkt $C\,(0\mid2)$ auf dem Graphen der Funktion liegt.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&2x^2+2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen} \\[5pt] 2&=&2\cdot0^2+2 \\[5pt] 2&=&2\cdot0+2 \\[5pt] 2&=&2 \\[5pt] \end{array}$
Der Punkt $C$ liegt auf dem Graphen der Funktion.
d)
Überprüfe ob der Punkt $D\,(3\mid18)$ auf dem Graphen der Funktion liegt.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&2x^2+2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen} \\[5pt] 18&=&2\cdot3^2+2 \\[5pt] 18&=&2\cdot9+2 \\[5pt] 18&=&18+2 \\[5pt] 18&=&20 \\[5pt] \end{array}$
Der Punkt $D$ liegt nicht auf dem Graphen der Funktion.
e)
Überprüfe ob der Punkt $E\,(2\mid10)$ auf dem Graphen der Funktion liegt.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&2x^2+2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen} \\[5pt] 10&=&2\cdot2^2+2 \\[5pt] 10&=&2\cdot4+2 \\[5pt] 10&=&8+2 \\[5pt] 10&=&10 \\[5pt] \end{array}$
Der Punkt $E$ liegt nicht dem Graphen der Funktion.
f)
Überprüfe ob der Punkt $F\,(0,5\mid2,5)$ auf dem Graphen der Funktion liegt.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&2x^2+2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen} \\[5pt] 2,5&=&2\cdot0,5^2+2 \\[5pt] 2,5&=&2\cdot0,25+2 \\[5pt] 2,5&=&0,5+2 \\[5pt] 2,5&=&2,5 \\[5pt] \end{array}$
Der Punkt $F$ liegt auf dem Graphen der Funktion.

Aufgabe 7

Zeichne den Graphen der Funktion im angegebenen $x$-Bereich. Du kannst dir das Zeichnen vereinfachen, indem du ein paar Punkte des Graphens der Funktion ausrechnest und diese in ein Koordinatensystem zeichnest. Anhand der Punkte kannst du auch erkennen, in welchem $y$-Bereich du dich bewegst, sodass du das Koordinatensystem entsprechend anpassen kannst.
a)
Die Gleichung der Funktion lautet $y=\mid x\mid$. Die beiden Striche um das $x$ sind Betragsstriche. Sie sagen aus, dass wenn der Wert zwischen den Betragsstrichen negativ ist, er positiv wird.
b)
Die Gleichung der Funktion lautet $y=x+1$.
c)
Die Gleichung der Funktion lautet $y=x^2$.
d)
Die Gleichung der Funktion lautet $y=-x-8$.

Aufgabe 8

a)
Nach $20\,\text{min}$ ist die Badewanne voll mit $120\,\text{l}$ Wasser. Wenn du berechnen willst, wie viele Liter pro Minute in die Wanne fließen, dann musst du die Menge an Wasser durch die Zeit teilen.
$\dfrac{120\,\text{l}}{20\,\text{min}}=6\,\frac{\text{l}}{\text{min}}$
Es fließen $6\,\frac{\text{l}}{\text{min}}$ in die Badewanne.
b)
Überlege dir eine Funktionsgleichung, mit der du den geforderten Zusammenhang darstellen kannst. Wenn du den Füllstand der Badewanne in Abhängigkeit von der Zeit darstellen sollst, dann ist dein $y$-Wert die Menge an Wasser in der Badewanne und $x$ die Zeit in Minuten.
In einer Minute fließen $6\,\text{l}$ Wasser in die Badewanne. Pro Minute muss also die $6$-fache Menge des $x$-Werts an Wasser einfließen. Die Badewanne war zu beginn leer.
Die Funktionsgleichung lautet: $y=6\cdot x$
c)
Überlege dir für die Definitions- und Wertemenge, in welchem Bereich die Werte liegen dürfen, damit das Ergebnis der Funktionsgleichung im Sachzusammenhang realistisch bleibt.
Der Definitionsbereich muss bei der $0$ anfangen. Für negative Werte von $x$ würde die Badewanne eine negative Menge Wasser beinhalten, was logisch nicht möglich ist. Außerdem stopt Marius den Wasserfluss nach $20\,\text{min}$. Demnach darf der $x$-Wert auch nicht größer als $20$ werden.
Gib deine Überlegungen als Definitionsmenge $\mathbb{D}$ an: $\mathbb{D}=\{x\mid 0\leq x\leq20\}$
Ausgehenden von deinen Überlegungen zur Definitionsmenge kannst du dir nun überlegen, welche Werte für $y$ du zu erwarten hast.
Der niedrigste Wert liegt bei $y=0$ und der höchste Wert bei $y=120$. Gib die Wertemenge $\mathbb{W}$ an: $\mathbb{W}=\{x\mid0\leq x\leq120\}$
d)
Wenn du wissen willst, nach welcher Zeit die Badewanne zu $\frac{3}{4}$ gefüllt ist, musst du zuerst ausrechnen, welchem $y$-Wert das entsprechen würde. Anschließend kannst du diesen Wert für $y$ in die Funktionsgleichung, die du in Aufgabenteil b) bestimmt hast, einsetzen und nach $x$ umlösen.
Wenn die Badewanne zu $\frac{3}{4}$ gefüllt ist, dann entspricht diesem Wert mal dem maximalen Füllstand von $120\,\text{l}$.
$\frac{3}{4}\cdot120\,\text{l}=90\,\text{l}$
Setze den berechneten Wert in die Funktionsgleichung ein und löse nach $x$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&6\cdot x &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen} \\[5pt] 90&=&6\cdot x &\quad \scriptsize \mid\; :6 \\[5pt] 15&=&x \\[5pt] \end{array}$
Nach $15\,\text{min}$ ist die Wanne zu $\frac{3}{4}$ gefüllt.

Aufgabe 9

a)
Zeichne anhand der Informationen aus dem Text den Verlauf des Flugzeuges in ein Koordinatensystem. Auf der $x$-Achse trägst du die horizontale Strecke in $\text{km}$ auf und auf der $y$-Achse die Flughöhe in $\text{km}$.
Das Flugzeug hebt nach $3\,\text{km}$ ab, d.h. die erste Strecke hat es durchgehend einen $y$-Wert von $0$. Dann steigt es mit $0,5\,\text{km}$ Flughöhe pro $1\,\text{km}$ horizontale Strecke. Das passende Schaubild sieht so aus:
b)
Nun sollst du eine Funktionsgleichung angeben, die nur den Steigflug des Flugzeuges beschreibt, also in deinem Diagramm aus Aufgabenteil a) nur den Teil, ab dem das Flugzeug an Höhe gewinnt.
Dabei kannst du zwei verschiedene Ansätze wählen. Du kannst die reine Steigung beschreiben, so als ob der Steigflug bei $x=0$ startet oder du beschreibst sie so wie im Diagramm, dass das Flugzeug erst ab $3\,\text{km}$ horizontale Strecke startet.
Überlege dir dabei, um welchen $y$-Wert der Graph steigt, wenn du dich einen Schritt auf der $x$-Achse bewegst.
Pro Schritt auf der $x$-Achse steigt der $y$-Wert um $0,5$. Die Gleichung für die Funktion lautet deshalb $y=0,5x$.
Wenn du den Ansatz gewählt hast, dass du die Strecke auf der Startbahn miteinbeziehst, dann musst du noch die Nullstelle der Funktion so legen, dass die Nullstelle bei $x=3$ liegt. Deine Funktionsgleichung würde demnach lauten: $y=0,5x-1,5$.
c)
In der Aufgabenstellung ist dir gegeben, dass die maximale Flughöhe des Airbus A380 $22.500\,\text{ft}$ beträgt, wobei ein Fuß $0,305\,\text{m}$ entspricht. Rechne die Angabe von Fuß in Meter um, indem du die maximale Flughöhe mal der Länge eines Fuß in Metern multiplizierst.
$22.500\,\text{ft}\cdot0,305\,\frac{\text{m}}{\text{ft}}=6.862,5\,\text{m}$
Die maximale Flughöhe des Airbus A380 beträgt $6.862,5\,\text{m}$.
d)
Benutze hier dein Ergebnis aus Aufgabenteil c). Rechne es in Kilometer um und setze es für deinen $y$-Wert in die Funktionsgleichung ein und löse nach $x$ auf. Wenn du in Aufgabenteil b) den Ansatz gewählt hast, dass du nur die reine Steigung berechnet hast, dann musst du zu deinem Ergebnis noch die $3\,\text{km}$, die das Flugzeug auf der Startbahn zurücklegt dazurechnen.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&0,5x-1,5 &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] 6,8625&=&0,5x-1,5 &\quad \scriptsize \mid\;+1,5 \\[5pt] 8,3625&=&0,5x &\quad \scriptsize \mid\;:0,5 \\[5pt] 16,725&=&x \\[5pt] \end{array}$
$ x=16,725$
Nach $16,725\,\text{km}$ horizontaler Strecke erreicht der Airbus A380 seine maximale Flughöhe.
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