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Aufgaben
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Aufgabe 1

a)
Zeichne die drei Funktionen $f$, $g$ und $h$ mit $f:y=\frac{1}{x}$, $g:y=\frac{4}{x}$ und $h:y=-\frac{1}{x}$ in ein geeignetes Koordinatensystem.
b)
Was kannst du über den Einfluss von $k$ auf das Schaubild einer Funktion anhand der Abbildung aus Aufgabenteil a) sagen?
c)
Erkläre, was eine Asymptote ist und wieso bei den Funktionen aus Aufgabenteil a) die $0$ nicht Teil der Definitionmenge $\mathbb{D}$ sein darf.

Aufgabe 2

Bestimme die fehlenden Koordinaten der Punkte, die auf dem Graphen einer Funktion mit der Gleichung $y=\frac{2}{x}$ liegen.
a)
$A\,(x_1\mid3)$
b)
$B\,(x_2\mid0,1)$
c)
$C\,(0,1\mid y_3)$
d)
$D\,(5\mid y_4)$
e)
$E\,(x_5\mid y_5)$

Aufgabe 3

Überprüfe, welche der folgenden Aussagen auf die Funktion $f$ mit der Gleichung $y=-\frac{3}{x}$ zutrifft.
  • „Der Graph der Funktion verläuft durch den $I.$ und $III.$ Quadranten.“
  • „Die Punkte $A\,(3\mid-1)$ und $B\,(\frac{1}{3}\mid9)$ liegen beide auf dem Graphen der Funktion.“
  • „Die $x$-Achse ist eine Asymptote der Funktion.“
  • „Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung.“
  • „Die $0$ ist nicht Teil der Definitionsmenge $\mathbb{D}$ der Funktion.“

Aufgabe 4

Du kannst die Lautstärke einer Schlagzeugtrommel annähernd mit der Funktion $f$ mit der Gleichung $y=\frac{30}{x}$ darstellen. Dabei ist der $x$-Wert die Zeit in Sekunden nach dem Schlag und der $y$-Wert die hörbare Lautstärke in Dezibel. Wenn der Schlagzeuger nun seine Trommel dämpft, dann verändert sich dadurch der Zähler des Bruchs.
Um welchen Faktor muss die Trommel gedämpft werden, damit nach einer halben Sekunde die Trommel nur noch mit einer Lautstärke von $5$ Dezibel zu hören ist?

Aufgabe 5

Seine Beute ist dieses Mal eine Aaskrähe von $30\,\text{cm}$ Größe, die in einem Abstand von $2,5\,\text{m}$ auf dem Feld nach Nahrung gesucht hat. Trift der Wanderfalke mit seinem Sturzflug seine Beute?

Aufgabe 6

a)
Überlege dir vier Möglichkeiten für die Maße des Meerschweinchenstalls, sodass er die gewünschte Größe von $3\,\text{m}^2$ hat.
b)
Tanja sagt: „Ich kann eine indirekt proportionale Funktion aufstellen, mit der wir die Breite des Stalls für jede beliebige Länge ausrechnen können. Der Stall wird dann immer einen Flächeninhalt von $3\,\text{m}^2$ haben.“
Hat Tanja recht? Stelle eine passende Funktionsgleichung auf und überprüfe das Ergebnis mit deinen Vorschlägen aus Aufgabenteil a).
c)
Philipp und Tanja wollen sich nun für einen der Vorschläge aus Aufgabenteil a) entscheiden. Welchen würdest du nehmen und wieso?
Bildnachweise [nach oben]
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[2]
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[3]
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Aufgabe 1

a)
Zum Zeichnen der Funktionen empfiehlt es sich, die Koordinaten einiger Punkte zu berechnen. Damit bekommst du ein Gefühl, in welchem $x$- und $y$-Bereich sich deine Zeichnung bewegt. Außerdem ist es einfacher den Verlauf der Graphen nachzuvollziehen. Denk daran, alle Graphen zu beschriften, sodass du sie unterscheiden kannst.
Das fertige Koordinatensystem sieht so aus:
b)
Betrachte die drei Graphen die du gezeichnet hast und überlege dir, wie sich die Werte für $k$ und deren Schaubilder bei den einzelnen Funktionen unterscheiden und formuliere Aussagen über den Verlauf des Graphen abhängig von $k$ und deinen Beobachtungen.
Wenn du die Graphen der Funktionen $f$ und $g$ vergleichst, dann siehst du, dass der Graph der Funktion $f$ steiler fällt als der Graph der Funktion $g$. Vergleichst du die Werte für $k$, dann siehst du, dass der Wert für $k$ bei der Funktion $g$ größer ist.
Je kleiner der Wert $k$ ist, desto steiler fällt der Graph der Funktion im Bereich $x>0$.
Vergleichst du die Graphen der Funktionen $f$ und $h$, dann siehst du, dass die Graphen identisch sind. Ihr einziger Unterschied ist, dass der Graph von $f$ im $I.$ und $III.$ Quadranten verläuft, während der Graph von $h$ im $II.$ und $IV.$ Quadranten verläuft. Wenn du dir die zugehörigen Werte für $k$ anschaust, dann siehst du, dass die Funktion $h$ einen negatives $k$ hat, während die Funktion $f$ ein positives $k$ aufweist.
Ist der Wert von $k$ positiv, dann verläuft der Graph der Funktion im $I.$ und $III.$ Quadranten. Ist der Wert für $k$ negativ, dann verläuft der Graph der Funktion im $II.$ und $IV.$ Quadranten.
c)
Beschreibe mit deinen eigenen Worten, was eine Asymptote ist. Wenn du dir nicht mehr sicher bist, dann schau dir dein Schaubild aus Aufgabenteil a) an. Die $x$- und $y$-Achse im Schaubild sind jeweils Asymptoten der eingezeichneten Funktionen.
Eine Asymptote ist eine Gerade, der sich der Graph einer Funktion beliebig weit nähert, sie aber nie erreicht.
Beschreibe mit deinen eigenen Worten, wieso die $0$ nicht Teil der Definitionsmenge $\mathbb{D}$ sein kann. Wenn du dir nicht sicher bist, dann überlege dir, was die Definitionsmenge aussagt.
Die Definitionsmenge gibt die Zahlen an, die du für $x$ in deine Funktionsgleichung einsetzen darfst. Was würde passieren, wenn du die $0$ als $x$ in eine der Funktionsgleichungen aus Aufgabenteil a) einsetzen würdest?
Die $0$ darf kein Teil der Definitionsmenge $\mathbb{D}$ bei einer der Funktionen aus Aufgabenteil a) sein, weil sie eingesetzt dazu führen würde, dass du durch $0$ teilst und das ist mathematisch nicht erlaubt.

Aufgabe 2

In der Aufgabenstellung hast du die Gleichung der Funktion gegeben, auf der alle Punkte liegen sollen. Setze die dir bekannten Koordinaten der Punkte in die Funktion ein und berechne die andere Koordinate.
a)
Dir ist die $y$-Koordinate mit $y=3$ gegeben. Setze diesen Wert in die Funktionsgleichung ein und berechne $x$.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&\frac{2}{x} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] 3&=&\frac{2}{x} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot x;\, :3\\[5pt] x&=&\frac{2}{3} \\[5pt] \end{array}$
Die Koordinaten des Punktes lauten $A\,(\frac{2}{3}\mid3)$.
b)
Dir ist die $y$-Koordinate mit $y=0,1$ gegeben. Setze diesen Wert in die Funktionsgleichung ein und berechne $x$.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&\frac{2}{x} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] 0,1&=&\frac{2}{x} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot x;\, :0,1\\[5pt] x&=&\frac{2}{0,1} \\[5pt] x&=&20 \\[5pt] \end{array}$
Die Koordinaten des Punktes lauten $B\,(20\mid0,1)$.
c)
Dir ist die $x$-Koordinate mit $x=0,1$ gegeben. Setze diesen Wert in die Funktionsgleichung ein und berechne $y$.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&\frac{2}{x} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] y&=&\frac{2}{0,1}\\[5pt] y&=&20\\[5pt] \end{array}$
Die Koordinaten des Punktes lauten $C\,(0,1\mid20)$.
d)
Dir ist die $x$-Koordinate mit $x=5$ gegeben. Setze diesen Wert in die Funktionsgleichung ein und berechne $y$.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&\frac{2}{x} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] y&=&\frac{2}{5}\\[5pt] y&=&0,4\\[5pt] \end{array}$
Die Koordinaten des Punktes lauten $D\,(5\mid0,4)$.
e)
Hier sind dir keine Koordinaten des Punktes gegeben. Lege eine Koordinate des Punktes fest und berechne davon ausgehend die zweite Koordinate. Lege z.B. fest, dass $x=1$ ist. Berechne die zweite Koordinate.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&\frac{2}{x} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] y&=&\frac{2}{1}\\[5pt] y&=&2\\[5pt] \end{array}$
Die Koordinaten des Punktes lauten $E\,(1\mid2)$.

Aufgabe 3

Überprüfe die Aussagen im Bezug auf die angegebene Funktion. Überlege dir, was die Funktion für Bedingungen erfüllen muss, damit die Aussage zutrifft. Vielleicht hilft es dir, wenn du dir den Graph der Funktion aufzeichnest.
„Der Graph der Funktion verläuft durch den $I.$ und $III.$ Quadranten.“
In Aufgabe 1 hast du bereits herausgefunden, dass der Graph einer indirekt proportionalen Funktion im $I.$ und $III.$ Quadranten verläuft, wenn der Wert für $k$ positiv ist. Das ist in der Funktionsgleichung nicht der Fall. Die Aussage ist demnach falsch.
Die Punkte $A\,(3\mid-1)$ und $B\,(\frac{1}{3}\mid9)$ liegen beide auf dem Graphen der Funktion.“
Setze die Koordinaten der Punkte in die Funktionsgleichung ein und überprüfe, ob die Gleichung stimmt. Ist die Gleichung für einen der Punkte nicht erfüllt, dann ist die Aussage falsch.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&-\frac{3}{x} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] -1&=&-\frac{3}{3}\\[5pt] -1&=&-1\\[5pt] \end{array}$
Punkt $A$ liegt auf dem Graphen der Funktion.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&-\frac{3}{x} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] 9&=&-\frac{3}{\frac{1}{3}}\\[5pt] 9&=&-3\cdot 3\\[5pt] 9&=&-9\\[5pt] \end{array}$
Punkt $B$ liegt nicht auf dem Graphen der Funktion. Die Aussage ist demnach falsch.
„Die $x$-Achse ist eine Asymptote der Funktion.“
Wenn du den Graph der Funktion zeichnest, dann siehst du, dass der Graph der Funktion sich der $x$-Achse annähert, sie aber nie schneidet. Demnach ist die $x$-Achse eine Asymptote der Funktion und die Aussage ist richtig.
„Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung.“
Diese Aussage lässt sich ebenfalls überprüfen, indem du den Graph der Funktion zeichnest. Im Schaubild kannst du sehen, dass die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Die Aussage ist demnach richtig.
„Die $0$ ist nicht Teil der Definitionsmenge $\mathbb{D}$ der Funktion.“
Die Definitionsmenge gibt die Zahlen an, die du für $x$ in die Funktionsgleichung einsetzen darfst. Wenn du $x=0$ einsetzen würdest, dann würdest du durch $0$ teilen, was mathematisch nicht erlaubt ist. Die Aussage ist demnach richtig.

Aufgabe 4

In der Aufgabenstellung hast du die ursprüngliche Funktion für die Lautstärke eines Trommelschlags gegeben. Sie lautet $y=\frac{30}{x}$. Dabei gibt $x$ die Zeit nach dem Schlag auf die Trommel an und $y$ die Lautstärke in Dezibel. Nun sollst du den Zähler der Funktion so verändern, dass nach $0,5\,\text{s}$ eine Lautstärke von $5$ Dezibel erreicht wird.
Am einfachsten ist es, wenn du die Gleichung der Funktion bestimmst, die den gewünschten Pegel nach der gewünschten Zeit erreicht, und ihren Zähler mit dem der ungedämpften Trommel vergleichst. Die allgemeine Form einer indirekt proportionalen Funktion lautet:
$y=\frac{k}{x}$
$y=\frac{k}{x}$
Überlege dir, durch welchen Punkt der Graph der Funktion laufen muss und setze diese Koordinate in die allgemeine Gleichung ein und bestimmte die Gleichung der Funktion.
Wenn nach $0,5\,\text{s}$ die Lautstärke bei einem gewissen Pegel sein soll, dann ist dies die $x$-Koordinate des Punkts. Der Pegel soll bei $5$ Dezibel liegen. Das ist dein $y$-Wert. Der Punkt, durch den der Graph der Funktion laufen soll, hat die Koordinaten $(0,5\mid5)$. Setze die Koordinaten des Punkts in die allgemeine Gleichung ein und bestimme $k$.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&\frac{k}{x} &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] 5&=&\frac{k}{0,5} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 2 \\[5pt] 10&=&k\\[5pt] \end{array}$
Die Funktionsgleichung für die gedämpfte Trommel lautet $y=\frac{10}{x}$. Vergleiche die Zähler der beiden Funktionen.
Der Zähler der gedämpften Trommel entspricht einem Drittel des Zählers der ungedämpften Trommel. Demnach muss die Trommel um den Faktor $3$ gedämpft werden, um nach einer halben Sekunde die Lautstärke von $5$ Dezibel zu erreichen.

Aufgabe 5

Bei dieser Aufgabe geht es darum zu klären, ob der Wanderfalke, wenn er auf Höhe der Saatkrähe ist, nahe genug ist, um seine Beute zu töten. Dazu musst du zum einen bestimmen, in welcher Höhe der Falke über dem Boden ist, und zum anderen in welchem Bereich er sein müsste, um die Saatkrähe zu erreichen.
Die Saatkrähe ist $0,3\,\text{m}$ hoch. Sie sitzt auf dem Boden. Du kannst deshalb annehmen, dass der Falke die Krähe fängt, wenn seine Höhe über dem Boden der Höhe der Saatkrähe entspricht oder kleiner ist.
Die Saatkrähe sitzt $2,5\,\text{m}$ vom Startpunkt des Sturzfluges entfernt. Dieser Wert entspricht dem $x$-Wert. Setze diesen Wert in die Funktion, die den Sturzflug des Wanderfalken beschreibt, und berechne die Höhe des Falkens.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&\frac{0,75}{x} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen} \\[5pt] y&=&\frac{0,75}{2,5} \\[5pt] y&=&0,3 \\[5pt] \end{array}$
Auf Höhe der Saatkrähe fliegt der Wanderfalke auf einer Höhe von $0,3\,\text{m}$. Damit erwischt er die Saatkrähe genau.

Aufgabe 6

a)
Für diese Aufgabe benötigst du die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks. Sie lautet:
$A_R=a\cdot b$
$A_R=a\cdot b$
Dabei sind $a$ und $b$ die Länge und Breite des Rechtecks. Den Flächeninhalt hast du in der Aufgabenstellung mit $3\,\text{m}^2$ gegeben. Lege eine der Längenangaben für den Stall fest und berechne mit der Formel die jeweils andere Längenangabe.
1. Möglichkeit
Es wird festgelegt, dass der Stall $3\,\text{m}$ lang ist.
$\begin{array}[t]{rll} A_R&=&a\cdot b &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] 3\,\text{m}^2&=&a\cdot 3\,\text{m} &\quad \scriptsize \mid\;:3\,\text{m} \\[5pt] 1\,\text{m}&=&a\\[5pt] \end{array}$
Wenn der Stall $3\,\text{m}$ lang und $1\,\text{m}$ breit ist, dann hat er den gewünnschten Flächeninhalt.
2. Möglichkeit
Es wird festgelegt, dass der Stall $1,5\,\text{m}$ lang ist.
$\begin{array}[t]{rll} A_R&=&a\cdot b &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] 3\,\text{m}^2&=&a\cdot 1,5\,\text{m} &\quad \scriptsize \mid\;:1,5\,\text{m} \\[5pt] 2\,\text{m}&=&a\\[5pt] \end{array}$
Wenn der Stall $1,5\,\text{m}$ lang und $2\,\text{m}$ breit ist, dann hat er den gewünnschten Flächeninhalt.
3. Möglichkeit
Es wird festgelegt, dass der Stall $1,2\,\text{m}$ lang ist.
$\begin{array}[t]{rll} A_R&=&a\cdot b &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] 3\,\text{m}^2&=&a\cdot 1,2\,\text{m} &\quad \scriptsize \mid\;:1,2\,\text{m} \\[5pt] 2,5\,\text{m}&=&a\\[5pt] \end{array}$
Wenn der Stall $1,2\,\text{m}$ lang und $2,5\,\text{m}$ breit ist, dann hat er den gewünnschten Flächeninhalt.
4. Möglichkeit
Es wird festgelegt, dass der Stall $1,8\,\text{m}$ lang ist.
$\begin{array}[t]{rll} A_R&=&a\cdot b &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] 3\,\text{m}^2&=&a\cdot 1,8\,\text{m} &\quad \scriptsize \mid\;:1,8\,\text{m} \\[5pt] 1,67\,\text{m}&=&a\\[5pt] \end{array}$
Wenn der Stall $1,8\,\text{m}$ lang und $1,67\,\text{m}$ breit ist, dann hat er den gewünnschten Flächeninhalt.
b)
Stelle die Funktionsgleichung einer indirekt proportionalen Funktion für eine der Möglichkeiten auf und setze anschließend die anderen möglichen Maße ein, die du im vorherigen Aufgabenteil bestimmt hast. Die allgemeine Funktionsgleichung für eine indirekt proportionale Funktion lautet:
$y=\frac{k}{x}$
$y=\frac{k}{x}$
Betrachte die vorher bestimmten Maße als Punkte mit $x$- und $y$-Koordinaten und setze einen Punkt in die allgemeine Formel ein. Bestimme $k$ und überprüfe anschließend, ob die anderen Maße die Gleichung erfüllen.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&\frac{k}{x} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] 3&=&\frac{k}{1} \\[5pt] 3&=&k \\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung der Funktion lautet: $y=\frac{3}{x}$. Setze die anderen Maße ein.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&\frac{3}{x} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] 1,5&=&\frac{3}{2} \\[5pt] 1,5&=&1,5 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y&=&\frac{3}{x} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] 1,2&=&\frac{3}{2,5} \\[5pt] 1,2&=&1,2 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y&=&\frac{3}{x} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] 1,8&=&\frac{3}{1,67} \\[5pt] 1,8&\approx&1,8 \\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung ist für jede der vier Möglichkeiten erfüllt. Tanja hat demnach recht.
c)
Eine Art, sich für eine Möglichkeit zu entscheiden, ist über das benötigte Zaunmaterial. Die vier Rechtecke haben zwar den selben Flächeninhalt, aber unterschiedliche Umfänge. Die Formel für den Umfang eines Rechtecks lautet:
$U_R=2\cdot a+2\cdot b$
$U_R=2\cdot a+2\cdot b$
Berechne den Umfang des Stalls für jede der vier Möglichkeiten und bestimme den niedrigsten Umfang.
$U_{M1}=2\cdot 3\,\text{m}+2\cdot 1\,\text{m}=8\,\text{m}$
$U_{M2}=2\cdot 1,5\,\text{m}+2\cdot 2\,\text{m}=7\,\text{m}$
$U_{M3}=2\cdot 1,2\,\text{m}+2\cdot 2,5\,\text{m}=7,4\,\text{m}$
$U_{M4}=2\cdot 1,8\,\text{m}+2\cdot 1,67\,\text{m}=6,94\,\text{m}$
Die vierte Möglichkeit führt zu einem Stall mit dem kleinsten Umfang und demnach mit den geringsten Kosten für den Zaun. Aus finanzieller Sicht würde sich diese Möglichkeit anbieten.
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2016 – SchulLV.
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