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Produktmengen

Aufgaben
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Aufgabe 1

Gib alle möglichen geordneten Paare an.
a)
$M_1=\{1,2,3\}$ und $M_2=\{4,5,6\}$
a)
$M_1=\{1,2,3,4,5,6,7\}$ und $M_2=\{1\}$
a)
$M_1=\{-1,5,9\}$ und $M_2=\{1,10,100\}$
a)
$M_1=\{0,1\}$ und $M_2=\{1,0\}$

Aufgabe 2

Gib zu den gegebenen Produktmengen $A\times B$ die einzelnen Mengen $A$ und $B$ an.
a)
$A\times B=\{(1\mid2),(2\mid2),(3\mid2),(1\mid3),(2\mid3),(3\mid3)\}$
b)
$A\times B=\{(1\mid2),(2\mid2),(3\mid2),(4\mid2),(5\mid2)\}$
c)
d)
e)

Aufgabe 3

Nimm Stellung zu den folgenden Aussagen.
a)
„Du kannst die Anzahl möglicher Paare in einer Produktmenge errechnen, indem du die Anzahl der Elemente der einzelnen Mengen addierst.“
b)
„Du kannst von der Produktmenge $[0;4]_{\mathbb{Z}}\times[1;2]_{\mathbb{Q}}$ nicht alle möglichen Paare aufzählen.“

Aufgabe 4

Stelle die Produktmengen in einem Koordinatensystem dar.
a)
$\{1,2,3,4,5\}\times\{-1,0,1\}$
b)
$\{1,2,3\}\times[-1;5]_\mathbb{Z}$
c)
$[1;4]_\mathbb{N}\times[1;3]_\mathbb{Q}$
d)
$[1;3]_\mathbb{Q}\times[2;4]_\mathbb{Q}$

Aufgabe 5

Marco hat für seine Hausaufgaben mehrere Produktmengen Diagrammen zugeordnet. Dabei hat er ein paar Fehler gemacht. Überprüfe jedes Diagramm-Produktmengen-Paar und sage, ob Marco richtig zugeordnet hat. Wenn nicht, dann ordne richtig zu.
Lineare Funktionen: Produktmengen
Abb. 5: Zuordnung 2
Lineare Funktionen: Produktmengen
Abb. 5: Zuordnung 2
Lineare Funktionen: Produktmengen
Abb. 7: Zuordnung 4
Lineare Funktionen: Produktmengen
Abb. 7: Zuordnung 4

Aufgabe 6

In einem Hotel werden die Zimmer mit einem Buchstaben und einer zweistelligen Zahl gekennzeichnet. Der Buchstabe gibt die Etage des Zimmers und die Zahl die Zimmernummer an. Im Erdgeschoss befinden sich keine Zimmer für Gäste. Das 1. OG trägt den Buchstaben $A$, das letzte OG den Buchstaben $D$. Jede Etage hat $14$ Zimmer. Das erste Zimmer auf jedem Stockwert hat die Zimmernummer $01$.
a)
Wie viele Stockwerke hat das Hotel, wenn das Erdgeschoss mitgezählt wird?
b)
Gib die Mengen der Buchstaben und Zahlen an.
c)
Wie viele Zimmer hat das Hotel insgesamt?

Aufgabe 7

Tobias und Julia spielen zusammen Schiffeversenken. Dabei haben beide ein $10\times10$ Felder großes Spielfeld vor sich, auf das sie geheim fünf Boote verteilen. Eines davon ist $5$ Felder lang, eines $4$ Felder, zwei $3$ Felder und das kleinste ist $2$ Felder lang. Anschließend Raten sie immer abwechselnd eine Koordinate auf dem Feld, die sie beschießen. Der andere Spieler muss dann sagen, ob der Schuss eines seiner Boote getroffen hat oder verfehlt hat. Ein Schiff zählt als versenkt, wenn jedes seiner Felder getroffen wurde.
a)
Lineare Funktionen: Produktmengen
Abb. 8: Tobias Schiffe und sein Feld.
Lineare Funktionen: Produktmengen
Abb. 8: Tobias Schiffe und sein Feld.
b)
Lineare Funktionen: Produktmengen
Abb. 9: Julias Schiffe und ihr Feld.
Lineare Funktionen: Produktmengen
Abb. Zahl: Julias Schiffe und ihr Feld.
c)
„Welbst wenn du dein Muster auf das ganze Spielfeld ausweitest, dann kannst du niemals alle meine Schiffe finden“, sagt Julia. Tobias widerspricht ihr und behauptet, dass seine Methode totsicher jedes Schiff auf dem Spielfeld finden kann. Wer von beiden hat recht? Begründe.
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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Aufgabe 1

Gib alle geordneten Paare an, indem du alle möglichen Kombinationen der angegebenen Mengen bildest. Gib die Paare dabei so an $(x\mid y)$. Dabei ist $x$ ein Element der Menge $M_1$ und $y$ ein Element der Menge $M_2$.
a)
$(1\mid4)$, $(2\mid4)$, $(3\mid4)$, $(1\mid5)$, $(2\mid5)$, $(3\mid5)$, $(1\mid6)$, $(2\mid6)$, $(3\mid6)$
b)
$(1\mid1)$, $(2\mid1)$, $(3\mid1)$, $(4\mid1)$, $(5\mid1)$, $(6\mid1)$, $(7\mid1)$
c)
$(-1\mid1)$, $(5\mid1)$, $(9\mid1)$, $(-1\mid10)$, $(5\mid10)$, $(9\mid10)$, $(-1\mid100)$, $(5\mid100)$, $(9\mid100)$
d)
$(0\mid1)$, $(1\mid1)$, $(0\mid0)$, $(1\mid0)$

Aufgabe 2

Hier sollst du die einzelnen Mengen angeben, aus denen die Produktmengen gebildet wurden. In den ersten Teilaufgaben werden dir die geordneten Paare der Mengen gegeben. Sie haben die Form $(x\mid y)$. Dabei ist $x$ ein Element der ersten Menge $A$ und $y$ ein Teil der zweiten Menge $B$. Schau dir die Paare an und suche alle Zahlen, die zu den jeweiligen Mengen gehören.
Liste sie anschließend so auf: $A=\{a,b,c\}$. In die geschweiften Klammern schreibst du alle Elemente der Menge. Alternativ kannst du die Menge auch so schreiben: $A=[a;b]_\mathbb{Q}$. Damit würdest du aussagen, dass $a$ die untere Grenze und $b$ die obere Grenze ist. Die Menge umfasst alle Zahlen zwischen den beiden Grenzen. Das $\mathbb{Q}$ sagt aus, dass alle rationalen Zahlen innerhalb der Grenzen zur Menge gehören. Es könnte sich aber z.B. auch um alle ganzen Zahlen ($\mathbb{Z}$) oder alle natürlichen Zahlen ($\mathbb{N}$) handeln.
a)
$A=\{1,2,3\}$ und $B=\{2,3\}$
b)
$A=\{1,2,3,4,5\}$ und $B=\{2\}$
Nun hast du keine geordneten Paare, sondern Koordinatensysteme gegeben, in denen die Produktmenge markiert ist. Lies die Grenzen der Mengen ab und überlege dir, welche Zahlen alle in der Menge liegen. Vielleicht liegen alle rationalen Zahlen darin oder doch nur alle natürlichen Zahlen. Gib die $x$-Koordinate als erste Menge an und die $y$-Koordinate als die zweite Menge.
c)
Im Koordinatensystem ist ein Rechteck markiert. Es liegt im $x$-Bereich zwischen $1$ und $4$ als eine durchgehende Linie. Demnach müssen in diesem Bereich alle rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ Teil der Menge sein. Das Rechteck liegt im $y$-Bereich zwischen $1$ und $2$. Hier sind ebenfalls alle rationalen Zahlen Teil der Menge. Die Mengen lauten demnach.
$A=[1;4]_\mathbb{Q}$ und $B=[1;2]_\mathbb{Q}$
d)
Im Koordinatensystem sind mehrere Strecken markiert. Sie liegen im $x$-Bereich zwischen $0$ und $3$ als durchgehende Linien vor. Demnach müssen in diesem Bereich alle rationalen Zahlen Teil der Menge sein. Die Linien liegen auf vier verschiedenen $y$-Koordinaten. Die Mengen lauten demnach.
$A=[0;3]_\mathbb{Q}$ und $B=\{0,5;1;1,5;2\}$
e)
Im Koordinatensystem sind viele Punkte markiert. Wenn du ihre Koordinaten abließt, dann siehst du, dass es vier verschiedene $x$- und zwei verschiedene $y$-Koordinaten gibt. Die Mengen lauten demnach.
$A=\{1,2,3,4\}$ und $B=\{1,2\}$

Aufgabe 3

Überprüfe die Aussagen, indem du versuchst ein Gegenbeispiel zu geben. Findest du ein Beispiel, für das die Aussage nicht gilt, dann hast du die Aussage widerlegt. Wenn du die Aussage widerlegen konntest, formuliere anschließend eine richtige Aussage.
a)
Betrachte z.B. die Produktmenge der beiden Mengen $A=\{1\}$ und $B=\{1\}$. Nach der Aussage müsstest du die Anzahl der Elemente beider Mengen addieren und du erhältst die Anzahl aller möglichen Paare. Für diese beiden Mengen müsste es also $1+1=2$ mögliche Paare geben. Wenn du alle möglichen Paare bildest, dann merkst du, dass es nur ein Paar gibt, nämlich $(1\mid1)$. Die Aussage ist demnach falsch.
Die korrigierte Aussage lautet: „Du kannst die Anzahl möglicher Paare in einer Produktmenge errechnen, indem du die Anzahl der Elemente der einzelnen Mengen multiplizierst.“
b)
Du kannst versuchen für die gegebene Produktmenge alle möglichen Paare aufzuzählen. Dazu musst du dir zuerst klar machen, welche Zahlen die beiden Mengen jeweils umfassen. Die erste Menge umfasst alle ganzen Zahlen zwischen $0$ und $4$ also die Zahlen $0,\,1,\,2,\,3$ und $4$. Die zweite Menge umfasst alle rationalen Zahlen zwischen $1$ und $2$. Dabei stößt du nun auf ein Problem. Es gibt unendlich viele rationale Zahlen zwischen $1$ und $2$.
Die Aussage ist richtig. Du kannst nicht alle möglichen Paare einer Produktmenge angeben, bei der eine Menge einen Bereich rationaler Zahlen umfasst, da es zwischen zwei Zahlen immer unendlich viele rationale Zahlen gibt.

Aufgabe 4

Zeichne die angegebenen Produktmengen in Koordinatensysteme. Dabei gibt die erste Menge die $x$-Koordinate und die zweite Menge die $y$-Koordinate an. Wenn du Schwierigkeiten hast, dann helfen dir vielleicht deine Ergebnisse aus Aufgabe 2. Diese Aufgabe ist quasi die Umkehrung der Aufgabe.
a)
b)
c)
d)

Aufgabe 5

Überprüfe zuerst, bei welchen Zuordnungen Marco einen Fehler gemacht hat. Schau dir dazu die Diagramme an und überlege dir die dazu passende Produktmenge. Anschließend kannst du dein Ergebnis mit der Zuordnung von Marco vergleichen.
Wenn du alle Fehler von Marco gefunden hast, dann kannst du dir überlegen, zu welchem der vier Diagramme die flsch zugeordneten Produktmengen gehören.
Zuordnung 1
Die Produktmenge zum Diagramm lautet $[1;4]_\mathbb{Q}\times[0;4]_\mathbb{Q}$. Das entspricht der Zuordnung von Marco. Hier hat Marco keinen Fehler gemacht.
Zuordnung 2
Die Produktmenge zum Diagramm lautet $[1;4]_\mathbb{N}\times[0;4]_\mathbb{N}$. Das entspricht der Zuordnung von Marco. Hier hat Marco keinen Fehler gemacht.
Zuordnung 3
Die Produktmenge zum Diagramm lautet $[1;4]_\mathbb{Q}\times[0;4]_\mathbb{N}$. Das entspricht nicht der Zuordnung von Marco. Hier hat Marco einen Fehler gemacht.
Zuordnung 4
Die Produktmenge zum Diagramm lautet $[1;4]_\mathbb{N}\times[0;4]_\mathbb{Q}$. Das entspricht nicht der Zuordnung von Marco. Hier hat Marco einen Fehler gemacht.
Marco hat bei Zuordnung 3 und 4 jeweils einen Fehler gemacht. Er hat beide Zuordnungen vertauscht.

Aufgabe 6

a)
Aus der Aufgabenstellung weißt du, dass die Obergeschosse des Hotels mit den Buchstaben von $A$ bis $D$ nummeriert sind. Das macht insgesamt vier Obergeschosse und das Erdgeschoss. Das macht insgesamt $4+1=5$ Stockwerke.
b)
Überlege dir für die jeweiligen Mengen, welche Zahlen bzw. Buchstaben alles Teil der Menge sind und gib die Menge dann entweder in geschweiften Klammern oder als Intervall in eckigen Klammern an.
Die Stockwerke tragen die Buchstaben $A$ bis $D$. Die Menge der Buchstaben lautet demnach: $M_B=\{A,B,C,D\}$
In jedem Stockwerk befinden sich $14$ Zimmer. Das erste trägt die Zahl $01$. Das letzte Zimmer muss demnach die Zahl $14$ tragen. Die Menge der Zahlen umfasst also alle natürlichen Zahlen zwischen $1$ und $14$. Die Menge lautet demnach: $M_Z=[01;14]_\mathbb{N}$
c)
Überlege dir, wie viele bewohnte Stockwerke das Hotel hat und wie viele Zimmer auf einem Stockwerk liegen. Anschließend kannst du diese beiden Zahlen miteinander multiplizieren, um die Anzahl aller Hotelzimmer zu berechnen. Dieser Wert entspricht den möglichen Paaren der beiden Mengen die du in Aufgabenteil b) bestimmt hast.
Das Hotel hat $4$ bewohnte Stockwerke mit jeweils $14$ Zimmer. Das macht zusammen $4\cdot14=64$ Zimmer.

Aufgabe 7

a)
Schau dir die Verteilung von Tobias Schiffen an und überlege dir, wie du sie als eine Produktmenge darstellen kannst. Dabei sollst du das fünfte Feld des größten Schiffes auf $(G\mid2)$ vernachlässigen.
Tobias Schiffe formen ein Quadrat, das von den Buchstaben $C$ bis $F$ und von den Zahlen $2$ bis $5$ reicht. Die passende Produktmenge lautet demnach $\{C,D,E,F\}\times[2;5]_\mathbb{N}$
b)
Lineare Funktionen: Produktmengen
Abb. 5: Die Schüsse, die Tobias mit seinem Muster gemacht hat. Gelb bedeutet ein Treffer und weiß bedeutet verfehlt.
Lineare Funktionen: Produktmengen
Abb. 5: Die Schüsse, die Tobias mit seinem Muster gemacht hat. Gelb bedeutet ein Treffer und weiß bedeutet verfehlt.
c)
Überlege dir, wie das Muster aussehen würde, wenn du es auf das komplette Feld erweiterst. Anschließend kannst du überprüfen, ob es möglich wäre, ein Schiff so zu platzieren, dass es von keinem der Schüsse getroffen werden würde. Bei der bildlichen Vorstellung hilft dir eventuell auch die Abbildung aus Aufgabenteil b) weiter.
Julia hat mit ihrer Aussage recht. In der Abbildung aus Aufgabenteil b) ist zu sehen, dass Julias $2$-Felder-Schiff und das $5$-Felder-Schiff bisher dem Beschuss entgangen sind. Wenn du das Muster von Tobias fortsetzt dann siehst du, dass sie auch weiterhin verschont bleiben.
Tobias Muster ist ein guter Anfang, um das Spielfeld abzusuchen, es ist jedoch nicht Fehlerfrei. Um wirklich alle Schiffe totsicher finden zu können, müsste er sein Muster engmaschiger gestalten.
Bildnachweise [nach oben]
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