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Vermischte Aufgaben

Aufgaben
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Aufgabe 1

Kreuze in der folgenden Tabelle an, welche Aussagen auf welche Funktion zutreffen.
  1. Die Funktion verläuft ausschließlich im $I.$ und $III.$ Quadranten.
  2. Die Funktion hat eine Definitionslücke bei $x=0$.
  3. Die Funktion ist punktsymmetrisch.
  4. Die Funktion verläuft durch den Ursprung.
  5. Die Funktion hat eine konstante Steigung.
$1.$$2.$$3.$$4.$$5.$
$y=x$
$y=2x+1$
$y=\frac{3}{x}$
$y=-x-2$

Aufgabe 2

Zeichne die folgenden Funktionen in ein geeignetes Schaubild. Zeichne dabei den $x$-Bereich zwischen $-3$ und $3$.
a)
$f:y=1,5x$
b)
$g:y=-0,33x$
c)
$h:y=x-2$
d)
$i:y=-2x+3$
e)
$j:y=\frac{0,25}{x}$
f)
$k:y=\frac{-1}{x}$

Aufgabe 3

Gib die Funktionsgleichung der abgebildeten Funktionen an.

Aufgabe 4

Bestimme die Funktionsgleichung der indirekt proportionalen Funktion anhand der angegebenen Punkte an.
a)
$A\,(2\mid1)$
b)
$B\,(-1\mid0,5)$
c)
$C\,(0,1\mid100)$
Ab jetzt werden die Funktionsgleichungen von linearen Funktionen gesucht. Bestimme die Gleichung der Funktion anhand der angegebenen Punkte bzw. der Steigung.
d)
$D\,(1\mid3)$ und $E\,(-1\mid-3)$
e)
$F\,(2\mid-4)$ und $G\,(-1\mid1)$
f)
$H\,(5\mid3)$ und die Steigung $m=-1$
g)
$I\,(0,6\mid7)$ und $J\,(0,5\mid4)$
h)
$K\,(7,5\mid10)$ und die Steigung $m=2,5$

Aufgabe 5

Bestimme die fehlenden Koordinaten der Punkte, die auf den Graphen der jeweiligen Funktionen liegen.
a)
Punkt $A\,(x_1\mid2)$ liegt auf dem Graphen der Funktion mit der Gleichung $y=3x+1$.
b)
Punkt $B\,(x_2\mid10)$ liegt auf dem Graphen der Funktion mit der Gleichung $y=\frac{2}{x}$.
c)
Punkt $C\,(2\mid y_3)$ liegt auf dem Graphen der Funktion mit der Gleichung $y=-0,5x+3$.
d)
Punkt $D\,(9\mid y_4)$ liegt auf dem Graphen der Funktion mit der Gleichung $y=\frac{1}{4x}$.
e)
Punkt $E\,(x_5\mid 8)$ liegt auf dem Graphen der Funktion mit der Gleichung $y=-0,1x-0,1$.
f)
Punkt $F\,(x_6\mid y_6)$ liegt auf dem Graphen der Funktion mit der Gleichung $y=5x-3$.

Aufgabe 6

Bestimme die Definitions- und Wertemenge der angegebenen Funktion. Achte dabei auf besondere Bedingungen.
a)
$y=\frac{1}{x}$
b)
$y=-x+1$, berücksichtige nur den Bereich zwischen $x=1$ und $x=3$.
c)
$y=x-3$, berücksichtige nur den Bereich, in dem die Funktion einen $y$-Wert annimmt, der größer oder gleich $2$ ist.
d)
$y=2x+3$, berücksichtige nur den Bereich der Funktion, der im $II.$ Quadranten liegt.

Aufgabe 7

Gib die eingezeichnete Produktmenge an oder zeichne die angegebenen Produktmenge in ein geeignetes Koordinatensystem.
a)
b)
c)
d)
$[2;4]_\mathbb{Z}\times[1;2]_\mathbb{Q}$
e)
$[2;4]_\mathbb{Q}\times[1;2]_\mathbb{Z}$
f)
$[2;4]_\mathbb{Q}\times[1;2]_\mathbb{Q}$

Aufgabe 8

a)
Gib die Position der schwarzen Spielfiguren als Produktmenge an.
Im Schach beginnt immer der weiße Spieler. Häufig wird damit begonnen, dass ein Bauer gezogen wird. Die Bauern sind die Figuren in der Reihe, die näher an den schwarzen Figuren ist. Sie dürfen sich nur ein Feld in gerader Richtung der gegnerischen Spielfeldhälfte bewegen.
Wenn ein Bauer noch nicht bewegt wurde, dann kann er als besonderen Spielzug eine „Eröffnung“ durchführen, d.h. er darf bis zu zwei Felder weit gezogen werden.
b)
Gib alle möglichen Felder, auf denen eine Figur beim ersten Spielzug des weißen Spielers landen kann, wenn er einen Bauer bewegt, als Produktmenge an. Wie verändert sich die Produktmenge, wenn der weiße Spieler keine „Eröffnung“ durchführt?

Aufgabe 9

Melanies Eltern haben ein Auto gemietet und wollen damit die komplette, befahrbare Strecke abfahren.
a)
Wie viele Meilen der Route 66 sind heute noch befahrbar?
Melanies Eltern vergleichen die Angebote für zwei Mietwagen. Bei einer Firma würden sie für jede gefahrene Meile $0,45\,\$$ zahlen. Bei einer anderen Firma kostet jede Meile nur $0,33\,\$$, jedoch zahlen sie dort einen festen Betrag von $200\,\$$ zusätzlich.
b)
Gib für jede der beiden Firmen eine Funktionsgleichung an, mit der der Gesamtpreis pro gefahrene Meile in $\$$ berechnet werden kann. Welches der beiden Angebote ist für die Urlaubspläne von Melanies Familie günstiger?

Aufgabe 10

Matthias soll für den Erdkundeunterricht eine solche Anlage als Modell nachbauen. Dazu hat er sich eine besondere Konstruktion ausgedacht. Er bohrt ein Loch in den Boden eines $5\,\text{l}$-Eimers und befestigt einen Schlauch daran. Am unteren Ende des Schlauchs befestigt er ein Ventil, mit dem er den Wasserausfluss kontrollieren kann. Im Eimer befestigt er eine Skala, an der er den Wasserstand ablesen kann. Den Eimer stellt er auf die Fensterbank und führt den Schlauch in einen Blumentopf, der auf dem Boden davor steht.
Matthias stellt sein Ventil ein und misst die Zeit, während das Wasser herausfließt. Nach etwa $20$ Minuten sind ca. $300\,\text{ml}$ aus dem Eimer geflossen.
a)
Stelle eine Funktionsgleichung auf, mit der du den Wasserstand im Eimer in Abhängigkeit von der Zeit, seit das Ventil geöffnet wurde, berechnen kannst. Gib auch eine realistische Definitions- und Wertemenge an.
b)
Matthias will sich um $14:00$ Uhr mit seinen Freunden im Freibad treffen. Bevor er losfährt, füllt er noch einmal den Eimer an seiner Konstruktion auf. Das Freibad schließt um $19:00$ Uhr. Für den Weg ins Schwimmbad oder nach Hause braucht er jeweils $20\,\text{min}$. Ist noch Wasser im Eimer, wenn Matthias heim kommt und wenn ja, wie viel?

Aufgabe 11

So trägt der Thriller-Autor Alan Wake im gleichnamigen Spiel eine Augenklappe mit einem Totenschädel darauf, wenn der Spieler eine raubkopierte Version des Spiels installiert.
Im Spiel „Mirrors Edge“ ergeht es dem Spieler um einiges schlechter: Die Hauptcharakterin Faith ist üblicherweise in der Lage in halsbrecherischer Geschwindigkeit zu rennen und so von Dach zu Dach über riesige Häuserschluchten zu springen. Ab dem dritten Level ändert sich das jedoch auf einmal. Faith wird mit jedem Meter, dem sie dem Abgrund näher kommt, immer langsamer, bis sie am Ende nur noch gemächlich schlendert.
Viele Spieler, die das Spiel raubkopiert hatten, hielten das für einen Spielfehler und haben sich in Internetforen darüber beklagt: „Ich steh auf diesem $20\,\text{m}$ breiten Dach und renn los. Nach ca. $2\,\text{m}$ habe ich meine $60\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ drauf, doch je näher ich dem Abgrund komme, desto langsamer werd ich. Wenn ich am Abgrund stehe, dann hab ich nur noch $2\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ drauf und falle vom Dach.“
Das Gelächter war groß, als der Publisher EA Games nach einiger Zeit dann den Grund für die müden Beine von Faith bekannt gegeben hat.
Das Spiel nutzt eine indirekt proportionale Funktion, um die Geschwindigkeit von Faith zu drosseln. Ist es möglich, dass sie am Abgrund so langsam ist, wenn sie kurz zuvor noch $60\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ Geschwindigkeit erreicht hat? Überprüfe das und gib wenn nicht Faiths richtige Geschwindigkeit am Abgrund an. Gehe davon aus, dass die Angabe mit den $60\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ korrekt ist.
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2016 – SchulLV.
[2]
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[3]
© 2016 – SchulLV.
[4]
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Public Domain.
[6]
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[7]
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[8]
https://www.flickr.com/photos/pentadact/2674718111 – Tom Francis, CC BY-SA 2.0.
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Lösungen
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Aufgabe 1

Mache dir klar, welche Voraussetzungen eine Funktion erfüllen muss, damit eine der Aussagen zutrifft. Eventuell hilft es dir auch, wenn du dir den groben Verlauf der Graphen der Funktionen aufzeichnest.
Eine Funktion, die nur im $I.$ und $III.$ Quadranten verläuft, bewegt sich bei einem positiven Wert für $x$ nur im positiven $y$-Bereich und für ein negatives $x$ nur im negativen $y$-Bereich.
Wenn die Funktion eine Definitionslücke bei $x=0$ hat, dann gehört $0$ nicht zu ihrer Definitionsmenge. Wenn du $x=0$ in die Funktionsgleichung einsetzt, dann darf sich die Funktionsgleichung nicht lösen lassen.
Eine Funktion, die punktsymmetrisch ist, besitzt einen Punkt, an dem sie sich spiegeln lässt und die gespiegelte Funktion danach wie die ursprüngliche Funktion aussieht.
Bei einer Funktion, die durch den Ursprung verläuft, liegt der Punkt $U\,(0\mid0)$ auf dem Graphen der Funktion.
Den Anstieg, den eine Funktion in einem gewissen Bereich hat, nennt man Steigung. Wenn die Funktion eine konstante Steigung hat, dann ist diese Steigung in allen Bereichen der Funktion gleich.
Überprüfe, auf welche Funktionen, welche Aussagen zutreffen.
1. Aussage
Bestimme anhand des Schaubilds der Funktionen, auf welche Funktionen die Aussage zutrifft. Du kannst ein paar Punkte für jede Funktion berechnen. Das erleichtert es dir, den Verlauf der Funktion nachzuvollziehen.
Die beiden Funktionen $y=x$ und $y=\frac{3}{x}$ verlaufen beide ausschließlich im $I.$ und $III.$ Quadranten. Die anderen tun das nicht.
2. Aussage
Setze $x=0$ in die Funktionsgleichung ein und schau, ob sich die Gleichung lösen lässt.
Nur die Funktion $y=\frac{3}{x}$ hat eine Definitionslücke bei $x=0$.
3. Aussage
Überprüfe anhand des Schaubilds der Funktion, ob es einen Punkt gibt, an dem du die Funktion spiegeln kannst, ohne dass sich ihr Verlauf verändert.
Die Funktionen $y=x$, $y=2x+1$ und $y=-x-2$ sind alle punktsymmetrisch zu einem beliebigen Punkt auf ihrem Graphen. Die Funktion $y=\frac{3}{x}$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Alle Funktionen sind also punktsymmetrisch.
4. Aussage
Setze die Koordinaten des Punktes $U\,(0\mid0)$ in die Funktionsgleichung ein und überprüfe, ob die Gleichung erfüllt ist. Wenn ja, dann verläuft die Funktion durch den Ursprung.
Nur die Funktion $y=x$ verläuft durch den Ursprung.
5. Aussage
Schau dir das Schaubild der Funktion an. Wenn du beliebig viele Steigungsdreiecke in die Funktion einzeichnen kannst, die alle eine identische Steigung ergeben, dann hat die Funktion eine konstante Steigung.
Die Funktionen $y=x$, $y=2x+1$ und $y=-x-2$ haben alle eine konstante Steigung.
Die fertig ausgefüllte Tabelle sieht so aus:
$1.$$2.$$3.$$4.$$5.$
$y=x$$\times$$\times$$\times$$\times$
$y=2x+1$$\times$$\times$
$y=\frac{3}{x}$$\times$$\times$$\times$
$y=-x-2$$\times$$\times$

Aufgabe 2

Zeichne die Funktionen in ein Koordinatensystem. Du kannst dir ein paar Punkte des Graphen berechnen, um ein Gefühl für den Verlauf des Graphen und den $y$-Bereich, in dem du dich bewegst, zu bekommen.
a)
b)
c)
d)
e)
f)

Aufgabe 3

Mache dir bei jeder Funktion klar, welche Form sie hat und welche allgemeine Funktionsgleichung zu so einer Funktion gehört. Bestimme anschließend anhand des Schaubilds einen Punkt, der auf dem Graphen der Funktion liegen und setze ihn in die allgemeine Funktionsgleichung ein. Die allgemeine Funktionsgleichung einer linearen Funktion sieht so aus:
$y=m\cdot x$ bzw. $y=m\cdot x+a$
$y=m\cdot x$ bzw. $y=m\cdot x+a$
Dabei ist $m$ die Steigung und $a$ ein Parameter. Hat die Funktion die Form $y=m\cdot x+a$, dann benötigst du zum Bestimmen der Gleichung die Zweipunktformel. Sie lautet:
$\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\dfrac{y-y_2}{x-x_2}$
$\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\dfrac{y-y_2}{x-x_2}$
Dabei sind $x_1$, $x_2$, $y_1$ und $y_2$ die Koordinaten von zwei Punkten, die auf dem Graphen der Funktion liegen. Setze die Koordinaten der Punkte ein und löse anschließend nach $y$. Eine weitere Art von Funktionen, die im Schaubild vorkommen, sind indirekt propotionale Funktionen. Sie haben die allgemeine Form:
$y=\dfrac{k}{x}$
$y=\dfrac{k}{x}$
Dabei ist $k$ ein Parameter. Entscheide für jeden Graphen, welche allgemeine Funktionsgleichung den Graphen beschreibt, lies die Koordinaten von Punkten ab und bestimme die Funktionsgleichung.
Funktion $f$
Die Funktion hat die allgemeine Funktionsgleichung $y=m\cdot x+a$. Aus dem Schaubild kannst du die Koordinaten der Punkte $P_1\,(0\mid1)$ und $P_2\,(1\mid -2)$ ablesen. Bestimme die Funktionsgleichung über die Zweipunktformel.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}&=&\dfrac{y-y_2}{x-x_2} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] \dfrac{1-(-2)}{0-1}&=&\dfrac{y-(-2)}{x-1} \\[5pt] \dfrac{3}{-1}&=&\dfrac{y+2}{x-1} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot(x-1)\\[5pt] -3\cdot (x-1)&=&y+2\\[5pt] -3x+3&=&y+2&\quad \scriptsize \mid\; -2\\[5pt] -3x+1&=&y\\[5pt] \end{array}$
$y=-3x+1$
Die Gleichung der Funktion $f$ lautet $y=-3x+1$.
Funktion $g$
Die Funktion hat die allgemeine Funktionsgleichung $y=\frac{k}{x}$. Aus dem Schaubild kannst du die Koordinaten des Punkts $P_3\,(-1\mid0,5)$ ablesen. Bestimme $k$.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&\dfrac{k}{x} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] 0,5&=&\dfrac{k}{-1} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-1)\\[5pt] -0,5&=&k\\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung der Funktion $g$ lautet $y=\frac{-0,5}{x}$.
Funktion $h$
Die Funktion hat die allgemeine Funktionsgleichung $y=\frac{k}{x}$. Aus dem Schaubild kannst du die Koordinaten des Punkts $P_4\,(2\mid1)$ ablesen. Bestimme $k$.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&\dfrac{k}{x} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] 1&=&\dfrac{k}{2} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 2\\[5pt] 2&=&k\\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung der Funktion $h$ lautet $y=\frac{2}{x}$.
Funktion $i$
Die Funktion hat die allgemeine Funktionsgleichung $y=m\cdot x$. Aus dem Schaubild kannst du die Koordinaten des Punkts $P_5\,(3\mid2)$ ablesen. Bestimme die Steigung $m$.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&m\cdot x &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] 2&=&m\cdot 3 &\quad \scriptsize \mid\; :3\\[5pt] \frac{2}{3}&=&m\\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung der Funktion $i$ lautet $y=\frac{2}{3}x$.
Funktion $j$
Die Funktion hat die allgemeine Funktionsgleichung $y=m\cdot x+a$. Aus dem Schaubild kannst du die Koordinaten der Punkte $P_6\,(0\mid-1)$ und $P_7\,(5\mid-0,5)$ ablesen. Bestimme die Funktionsgleichung über die Zweipunktformel.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}&=&\dfrac{y-y_2}{x-x_2} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] \dfrac{-0,5-(-1)}{5-0}&=&\dfrac{y-(-1)}{x-0} \\[5pt] \dfrac{0,5}{5}&=&\dfrac{y+1}{x} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot x\\[5pt] 0,1\cdot x&=&y+1 &\quad \scriptsize \mid\; -1\\[5pt] 0,1\cdot x-1&=&y\\[5pt] \end{array}$
$ y=0,1x-0,1$
Die Gleichung der Funktion $j$ lautet $y=0,1x-1$.

Aufgabe 4

Eine indirekt proportionale Funktion hat die allgemeine Funktionsgleichung:
$y=\frac{k}{x}$
$y=\frac{k}{x}$
Dabei ist $k$ ein Parameter. Setze die Koordinaten des Punkts in die allgemeine Funktionsgleichung ein und bestimme $k$. Gib anschließend die Funktionsgleichung an.
a)
$\begin{array}[t]{rll} y&=&\dfrac{k}{x} &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] 1&=&\dfrac{k}{2} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 2 \\[5pt] 2&=&k\\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung der Funktion lautet: $y=\frac{2}{x}$.
b)
$\begin{array}[t]{rll} y&=&\dfrac{k}{x} &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] 0,5&=&\dfrac{k}{-1} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot -1 \\[5pt] -0,5&=&k \\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung der Funktion lautet: $y=\frac{-0,5}{x}$.
c)
$\begin{array}[t]{rll} y&=&\dfrac{k}{x} &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] 100&=&\dfrac{k}{0,1} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 0,1 \\[5pt] 10&=&k\\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung der Funktion lautet: $y=\frac{10}{x}$.
Ab jetzt musst du die Funktionsgleichung einer linearen Funktion bestimmen. Sie hat die allgemeine Gleichung:
$y=mx+a$
$y=mx+a$
Bestimme, wenn dir zwei Punkte gegeben sind, die Funktionsgleichung über die Zweipunktformel. Sie lautet:
$\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\dfrac{y-y_2}{x-x_2}$
$\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\dfrac{y-y_2}{x-x_2}$
Dabei sind $x_1$, $x_2$, $y_1$ und $y_2$ die Koordinaten der beiden angegebenen Punkte. $y$ und $x$ werden allgemein gelassen. Setze die Koordinaten ein und forme die Gleichung nach $y$ um.
Wenn du die Steigung und einen Punkte gegeben hast, dann bestimme die Funktionsgleichung über die Punktsteigungsformel. Sie lautet:
$m=\dfrac{y-y_1}{x-x_1}$
$m=\dfrac{y-y_1}{x-x_1}$
Dabei sind $y_1$ und $x_1$ die Koordinaten des Punktes und $m$ die angegebene Steigung. Setze die dir bekannten Werte in die Formel ein und forme nach $y$ um.
d)
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}&=\dfrac{y-y_2}{x-x_2} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] \dfrac{3-(-3)}{1-(-1)}&=\dfrac{y-(-3)}{x-(-1)}\\[5pt] \dfrac{6}{2}&=\dfrac{y+3}{x+1}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot (x+1)\\[5pt] 3\cdot (x+1)&=y+3\\[5pt] 3x+3&=y+3&\quad \scriptsize \mid\; -3\\[5pt] 3x&=y\\[5pt] \end{array}$
$y=3x$
Die Gleichung der Funktion lautet: $y=3x$.
e)
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}&=\dfrac{y-y_2}{x-x_2} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] \dfrac{1-(-4)}{-1-2}&=\dfrac{y-(-4)}{x-2}\\[5pt] \dfrac{5}{-3}&=\dfrac{y+4}{x-2}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot (x-2)\\[5pt] -\frac{5}{3}\cdot (x-2)&=y+4\\[5pt] -\frac{5}{3}x+\frac{10}{3}&=y+4&\quad \scriptsize \mid\; -4\\[5pt] -\frac{5}{3}x-\frac{2}{3}&=y&\\[5pt] \end{array}$
$y=-\frac{5}{3}x-\frac{2}{3}$
Die Gleichung der Funktion lautet: $y=-\frac{5}{3}x-\frac{2}{3}$.
f)
$\begin{array}[t]{rll} m&=\dfrac{y-y_1}{x-x_1} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] -1&=\dfrac{y-3}{x-5} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (x-5)\\[5pt] -1(x-5)&=y-3\\[5pt] -x+5&=y-3&\quad \scriptsize \mid\; +3\\[5pt] -x+8&=y\\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung der Funktion lautet: $y=-x+8$.
g)
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}&=\dfrac{y-y_2}{x-x_2} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] \dfrac{7-4}{0,6-0,5}&=\dfrac{y-4}{x-0,5}\\[5pt] \dfrac{3}{0,1}&=\dfrac{y-4}{x-0,5}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot (x-0,5)\\[5pt] 30\cdot (x-0,5)&=y-4\\[5pt] 30x-15&=y-4&\quad \scriptsize \mid\; +4\\[5pt] 30x-11&=y&\\[5pt] \end{array}$
$y=30x-11$
Die Gleichung der Funktion lautet: $y=30x-11$.
h)
$\begin{array}[t]{rll} m&=\dfrac{y-y_1}{x-x_1} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] 2,5&=\dfrac{y-10}{x-7,5} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (x-7,5)\\[5pt] 2,5(x-7,5)&=y-10\\[5pt] 2,5x-18,75&=y-10&\quad \scriptsize \mid\; +10\\[5pt] 2,5x-8,75&=y\\[5pt] \end{array}$
$y=2,5x-8,75$
Die Gleichung der Funktion lautet: $y=2,5x-8,75$.

Aufgabe 5

Bestimme die fehlenden Koordinaten des Punkts, indem du die bekannten Koordinaten in die gegebene Funktionsgleichung einsetzt und nach der unbekannten Koordinate auflöst.
a)
$\begin{array}[t]{rll} y&=&3x+1 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] 2&=&3x+1 &\quad \scriptsize \mid\; -1\\[5pt] 1&=&3x &\quad \scriptsize \mid\; :3\\[5pt] \frac{1}{3}&=&x \\[5pt] \end{array}$
Der Punkt hat die Koordinaten $A\,(\frac{1}{3}\mid2)$.
b)
$\begin{array}[t]{rll} y&=&\frac{2}{x} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] 10&=&\frac{2}{x} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot x;\,:10\\[5pt] x&=&\frac{2}{10} \\[5pt] x&=&0,2 \\[5pt] \end{array}$
Der Punkt hat die Koordinaten $B\,(\frac{0,2}{10}\mid2)$.
c)
$\begin{array}[t]{rll} y&=&-0,5x+3 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] y&=&-0,5\cdot 2+3\\[5pt] y&=&-1+3\\[5pt] y&=&2\\[5pt] \end{array}$
Der Punkt hat die Koordinaten $C\,(2\mid2)$.
d)
$\begin{array}[t]{rll} y&=&\frac{1}{4x} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] y&=&\frac{1}{4\cdot9} \\[5pt] y&=&\frac{1}{36} \\[5pt] \end{array}$
Der Punkt hat die Koordinaten $D\,(9\mid\frac{1}{36})$.
e)
$\begin{array}[t]{rll} y&=&-0,1x-0,1 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] 8&=&-0,1x-0,1 &\quad \scriptsize \mid\; +0,1\\[5pt] 8,1&=&-0,1x &\quad \scriptsize \mid\; :(-0,1)\\[5pt] 81&=&x \\[5pt] \end{array}$
Der Punkt hat die Koordinaten $E\,(81\mid8)$.
f)
Hier hast du weder eine $x$- noch eine $y$-Koordinate gegeben. Du kannst eine der Koordinaten frei wählen und daraus die andere Koordinate bestimmen. Hier wird z.B. bestimmt, dass $x=0$ ist.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&5x-3 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] y&=&5\cdot0-3\\[5pt] y&=&3\\[5pt] \end{array}$
Der Punkt hat z.B. die Koordinaten $F\,(0\mid-3)$.

Aufgabe 6

Die Definitionsmenge $\mathbb{D}$ gibt an, welche Werte du für $x$ in die Funktion einsetzen darfst. Die Wertemenge $\mathbb{W}$ gibt die Werte an, die du für $y$ erhalten kannst.
Überlege dir, für welche $x$-Werte die Funktionsgleichung nicht erfüllbar ist, also z.B. wann du durch $0$ teilen würdest. Bei manchen Gleichungen sind auch besondere Bedingungen angegeben. Mache dir klar, ob diese Bedingungen die Definitions- oder Wertemenge einschränken und was das für Folgen hat.
a)
Die Funktion ist für $x=0$ nicht definiert, da du ansonsten durch $0$ teilen würdest. Du kannst ansonsten alle rationalen Zahlen einsetzen und erhalten (bis auf die $0$).
$\mathbb{D}=\mathbb{Q}\setminus\{0\}$; $\mathbb{W}=\mathbb{Q}\setminus\{0\}$
b)
Du sollst nur den $x$-Bereich zwischen $1$ und $3$ berücksichtigen. Damit ist dir die Definitionsmenge schon gegeben. Berechne die $y$-Werte in diesem Bereich, um den Wertebereich definieren zu können.
Die Funktion nimmt in diesem Bereich $y$-Werte zwischen $-2$ und $0$ an.
$\mathbb{D}=[1;3]$; $\mathbb{W}=[-2;0]$
c)
Du sollst nur den Bereich angeben, indem die Funktion einen $y$-Wert annimmt, der größer oder gleich $2$ ist. Somit hast du deinen Wertebereich gegeben. Bestimme den Punkt, an dem die Funktion den $y$-Wert $2$ annimmt und entscheide, welcher Bereich daneben über den $y$-Wert von $2$ steigt.
Die Funktion nimmt für $x=5$ einen $y$-Wert von $2$ an. Für größere $x$-Werte wird dieser Wert noch größer.
$\mathbb{D}=\{x\mid x\geq5\}$; $\mathbb{W}=\{x\mid x\geq2\}$
d)
Du sollst nur den Bereich angeben, indem die Funktion durch den $II.$ Quadranten verläuft. Du sollst also den Bereich angeben, indem die Funktion für negative $x$-Werte ein positives $y$ ergibt. Überlege dir, wo die Grenzen dieses Bereiches für die angegebene Funktion liegen.
Im $x$-Bereich zwischen $-1,5$ und $0$ nimmt die Funktion einen positiven $y$-Wert an, während sie einen negativen $x$-Wert besitzt. Dabei bewegt sie sich zwischen $y=0$ und $y=3$.
$\mathbb{D}=[-1,5]$; $\mathbb{W}=[0;3]$

Aufgabe 7

Gib die dargestellte Produktmenge an. Eine Menge gibt dabei die $x$-Koordinate und eine andere Menge die $y$-Koordinate an. Mache dir klar, in welchem $x$- bzw. $y$-Bereich sich die Produktmenge bewegt. Überlege dir auch, welche Zahlenmenge die Produktmenge umfasst, also ob es sich um alle rationalen Zahlen in dem Bereich handelt oder doch eher nur um ganze Zahlen. Gib die Mengen anschließend als Intervall an, wie z.B. $[1;2]_\mathbb{Q}$.
a)
Die Produktmenge bewegt sich im $x$-Bereich zwischen $1$ und $4$ und im $y$-Bereich zwischen $1$ und $2$. Die Mengen umfassen jeweils nur ganze Zahlen.
Die Produktmenge lautet: $[1;4]_\mathbb{Z}\times[1;2]_\mathbb{Z}$.
b)
Die Produktmenge bewegt sich im $x$-Bereich zwischen $1$ und $3$ und im $y$-Bereich zwischen $1$ und $4$. Die $x$-Menge umfasst ganze Zahlen, während die $y$-Menge rationale Zahlen umfasst.
Die Produktmenge lautet: $[1;3]_\mathbb{Z}\times[1;4]_\mathbb{Q}$.
c)
Die Produktmenge bewegt sich im $x$-Bereich zwischen $1$ und $3$ und im $y$-Bereich zwischen $2$ und $3$. Beide Mengen umfassen jeweils rationale Zahlen.
Die Produktmenge lautet: $[1;3]_\mathbb{Q}\times[2;3]_\mathbb{Q}$.
Jetzt musst du anhand der gegebenen Produktmengen, die Produktmengen in ein Koordinatensystem zeichnen. Dabei gibt die erste Menge die $x$-Koordinate an, während die zweite Menge die $y$-Koordinate angibt. Überlege dir auch, welchen Unterschied es in der Darstellung gibt, wenn ein Intervall ganze Zahlen oder rationale Zahlen umfasst.
d)
e)
f)

Aufgabe 8

a)
Die schwarzen Figuren stehen auf Feldern mit den Buchstaben von $A$-$H$ und mit den Zahlen $7$ und $8$.
Die Produktmenge lautet $\{A,B,C,D,E,F,G,H\}\times\{7,8\}$.
b)
Hierfür brauchst du wieder deine Skizze aus Aufgabenteil a). Die weißen Bauern können jeweils $1$ Feld gerade in Richtung schwarze Figuren rücken. Mit der „Eröffnung“ können sie sich sogar zwei Felder weit bewegen. Überlege dir, auf welche Felder jeder Bauer rücken kann und gib diese Felder als eine Produktmenge an. Während du dabei bist, versuche darauf zu achten, welche Felder nur durch eine „Eröffnung“ erreichbar sind.
Die weißen Bauern können alle Felder mit den Zahlen $3$ und $4$ erreichen.
Die Produktmenge lautet $\{A,B,C,D,E,F,G,H\}\times\{3,4\}$.
Ohne die „Eröffnung“ können die weißen Bauern in einem Zug nicht die Felder mit der Zahl $4$ erreichen.

Aufgabe 9

a)
Sammle aus dem Text die Informationen, wie lange die Route 66 insgesamt ist und wie viel Prozent davon du heute noch befahren kannst. Multipliziere diese beiden Werte anschließend, um auf die gesamte befahrbare Strecke zu kommen.
Die Route 66 ist insgesamt $2,451$ Meilen lang. Noch $85\,\%$ der Strecke sind befahrbar. Rechne zuerst die Prozentangabe in eine Dezimalzahl um, indem du sie durch $100\,\%$ teilst und berechne anschließend die Länge der befahrbaren Strecke.
$\dfrac{85\,\%}{100\,\%}=0,85$
$2.451\,\text{Meilen}\cdot 0,85=2.083,35\,\text{Meilen}$
Die gesamte befahrbare Strecke der Route 66 ist $2.083,35$ Meilen lang.
b)
Überlege dir für die beiden Angebote eine Funktionsgleichung, bei der der $y$-Wert die Gesamtkosten angibt. Mache dir klar, wofür $x$ steht und welche Kosten für was anfallen.
1. Angebot
Das erste Angebot bietet einen Mietwagen für $0,45\,\$$ pro Meile an. Der $x$-Wert in der Funktion ist die Anzahl der gefahrernen Meilen. Er wird mit den Kosten pro Meile multipliziert.
Die Funktionsgleichung für das erste Angebot lautet: $y=0,45\cdot x$.
2. Angebot
Das zweite Angebot bietet einen Mietwagen für $0,33\,\$$ pro Meile an und berechnet zusätzlich noch $200\,\$$ für das Mieten. Der $x$-Wert in der Funktion ist die Anzahl der gefahrernen Meilen. Er wird mit den Kosten pro Meile multipliziert. Dazu muss noch der feste Mietpreis addiert werden.
Die Funktionsgleichung für das zweite Angebot lautet: $y=0,33\cdot x+200$.
Um die Frage zu klären, welches Angebot für das Vorhaben von Melanies Familie günstiger ist, musst du deinen in Aufgabenteil a) berechneten Wert für $x$ in die beiden Funktionsgleichungen einsetzen und überprüfen, welches Angebot den niedrigeren Preis liefert. Du hast berechnet, dass die befahrbare Strecke der Rout 66 $2.083,35$ Meilen lang ist.
Angebot 1: $y=2.083,35\cdot 0,45\approx937,51$
Angebot 2: $y=2.083,35\cdot 0,33+200\approx887,51$
Das zweite Angebot ist für Melanies Familie das günstigere Angebot.

Aufgabe 10

a)
Suche dir aus dem Text die nötigen Informationen heraus und stelle eine passende Funktionsgleichung auf. Überlege dir, welche Art der Funktion passend ist. Mache dir klar, welche Variable welche Bedeutung hat.
Für diese Aufgabe brauchst du eine lineare Funktion der Form $y=mx+a$. Dabei gibt $y$ den aktuellen Wasserstand an und $x$ die Zeit, die seit dem Öffnen des Ventils vergangen ist. $a$ ist der Füllstand zu Beginn der Messung.
Du weißt, dass zu Beginn (bei $x=0$) der Eimer mit $5\,\text{l}$ Wasser gefüllt ist. In $20$ Minuten sind $300\,\text{ml}$ herausgelaufen. Es waren also noch $5\,\text{l}-0,3\,\text{l}=4,7\,\text{l}$ Wasser im Eimer. Setze diese beiden Punkte in die Zweipunktformel ein und bestimme die Funktionsgleichung. Die Formel lautet:
$\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\dfrac{y-y_2}{x-x_2}$
$\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\dfrac{y-y_2}{x-x_2}$
Dabei sind $x_1$, $x_2$, $y_1$ und $y_2$ die Koordinaten der beiden Punkte. Halte $x$ und $y$ allgemein und forme die Gleichung nach $y$ um.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}&=&\dfrac{y-y_2}{x-x_2} &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen} \\[5pt] \dfrac{5-4,7}{0-20}&=&\dfrac{y-4,7}{x-20} \\[5pt] \dfrac{0,3}{-20}&=&\dfrac{y-4,7}{x-20} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (x-20)\\[5pt] -0,015\cdot(x-20)&=&y-4,7\\[5pt] -0,015x+0,3&=&y-4,7 &\quad \scriptsize \mid\; +4,7\\[5pt] -0,015x+5&=&y\\[5pt] \end{array}$
$y=-0,015x+5$
Die Funktionsgleichung lautet: $y=-0,015x+5$.
Überlege dir für diese Funktion einen realistischen Definitions- und Wertebereich. Welche Ergebnisse für $y$ sind sinnvoll? Welche $x$-Werte liefern diese $y$-Werte?
Es ist nur realistisch, dass sich im Eimer eine Wassermenge zwischen $5\,\text{l}$ und $0\,\text{l}$ befindet. Das ist die Wertemenge. Zu Beginn ist der Eimer voll, weshalb $x=0$ die untere Grenze des Definitionsbereichs ist. Für die obere Grenze des Definitionsbereichs setze $y=0$ in die Funktion ein und berechne den passenden $x$-Wert.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&-0,015x+5 &\quad \scriptsize \mid\;y=0 \\[5pt] 0&=&-0,015x+5 &\quad \scriptsize \mid\;-5 \\[5pt] -5&=&-0,015x &\quad \scriptsize \mid\;:-0,015 \\[5pt] 333,33&\approx&x \\[5pt] \end{array}$
Für diese Funktion sind die Definitionsmenge $\mathbb{D}=[0;333,33]$ und die Wertemenge $\mathbb{W}=[0;5]$ realistisch.
b)
Berechne zuerst, wie lange Matthias von zu Hause weg ist. Wenn er um $19:00$ Uhr das Schwimmbad verlässt und seit $14:00$ Uhr dort ist, verbringt er insgesamt $5\,\text{h}$ also $300\,\text{min}$ dort. Zusätzlich fährt er noch jeweils $20\,\text{min}$ hin und zurück. Das macht insgesamt $300\,\text{min}+2\cdot20\,\text{min}=340\,\text{min}$ die Matthias nicht zu Hause ist. Im vorherigen Aufgabenteil hast du bereits berechnet, dass nach $333,33\,\text{min}$ der Eimer leer ist. Matthias ist also länger unterwegs und es ist kein Wasser im Eimer, wenn er nach Hause kommt.

Aufgabe 11

Bestimme eine indirekt proportionale Funktion, die die Geschwindigkeit in Abhängigkeit vom Abstand zum Absprungspunkt beschreibt. Mache dir klar, welche Variable für was steht. Die allgemeine Formel einer indirekt Proportionalen Funktion lautet:
$y=\dfrac{k}{x}$
$y=\dfrac{k}{x}$
Dabei ist $k$ ein Parameter. Der $y$-Wert gibt in der Gleichung die Geschwindigkeit der Hauptcharakterin an, während der $x$-Wert ihren Abstand zum Absprungspunkt angibt. Nun benötigst du einen Punkt, der auf dem Graphen der Funktion liegt, um ihn in die Gleichung einzusetzen und $k$ zu bestimmen. Du sollst davon ausgehen, dass die Angabe zu den $60\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ korrekt ist. Demnach wäre Faith nach $2\,\text{m}$ $60\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ schnell. Diese Angabe kannst du als Punkt nehmen und in die Gleichung einsetzen.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&\dfrac{k}{x} &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] 60&=&\dfrac{k}{2} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 2 \\[5pt] 120&=&k\\[5pt] \end{array}$
Die Funktionsgleichung lautet $y=\frac{120}{x}$. Nun sollst du überprüfen, ob die Angabe, dass Faith am Absprungspunkt nur noch $2\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ schnell war, stimmt. Setze dazu den $x$-Wert des Absprungspunktes in deine bestimmte Gleichung ein und berechne ihre Geschwindigkeit an diesem Ort. Sind die Ergebnisse identisch, dann stimmt die Behauptung.
Wenn das Dach $20\,\text{m}$ breit ist und die Hauptcharakterin Anlauf vom einen Ende des Daches nimmt, dann hat sie am anderen Ende eine Strecke von $20\,\text{m}$ zurückgelegt. Das ist der gesuchte $x$-Wert.
$y=\frac{120}{20}=6$
Faith war am Absprungspunkt nur noch $6\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ schnell. Damit war sie jedoch schneller als behauptet. Die Aussage ist demnach falsch.
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