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Determinantenverfahren

Spickzettel
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Mit der cramerschen Regel oder Determinantenmethode kannst du eine Lösung für ein lineares Gleichungssystem zu finden.
Um dieses Verfahren anwenden zu können, musst du für das lineare Gleichungssystem zuerst die erweiterte Koeffizientenmatrix $A$ bestimmen. Damit erhältst du die Form:
$A\cdot x=b$
$A\cdot x=b$
Du kannst eine $3x3$ Matrix mit folgenden Formeln berechnen:
$x_1=\dfrac{\det(A_1)}{\det(A)}$
$x_2=\dfrac{\det(A_2)}{\det(A)}$
$x_3=\dfrac{\det(A_3)}{\det(A)}$
Du musst also die Matritzen $A_1$, $A_2$ und $A_3$ bestimmen.
  • Die Matrix $A_1$ erhältst du, indem du in der Matrix $A$ die erste Spalte durch $b$ ersetzt.
  • Die Matrix $A_2$ erhältst du, indem du in der Matrix $A$ die zweite Spalte durch $b$ ersetzt.
  • Die Matrix $A_3$ erhältst du, indem du in der Matrix $A$ die dritte Spalte durch $b$ ersetzt.
Möchtest du das Verfahren für eine $2x2$ Matrix anwenden, verfährst du genau gleich. Du lässt lediglich die Berechnung von $x_3$ weg.
#lgs#determinantenverfahren
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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Bestimme die Werte der Determinanten.
a)
$\begin{vmatrix}3&4\\ 2&1\end{vmatrix}$
b)
$\begin{vmatrix}7&2\\ -3&2\end{vmatrix}$
c)
$\begin{vmatrix}-2&-4\\ -3&-7\end{vmatrix}$
d)
$\begin{vmatrix}9&2\\ 2&9\end{vmatrix}$
e)
$\begin{vmatrix}9&9\\ 2&2\end{vmatrix}$
f)
$\begin{vmatrix}4&6\\ 5&7\end{vmatrix}$
#cramerscheregel#determinantenverfahren

Aufgabe 1

Bestimme $a$ so, dass die Determinantengleichung stimmt.
a)
$\begin{vmatrix}a&1\\ 2,4&7\end{vmatrix} = 18,6$
b)
$\begin{vmatrix}3a&2\\ 5&a\end{vmatrix} = 17$
c)
$\begin{vmatrix}4a&7\\ 2a&a\end{vmatrix} = -8$
d)
$\begin{vmatrix}9,5&a\\ 1,5&3,5\end{vmatrix} = 20,5$
e)
$\begin{vmatrix}a + 9&a\\ 5-a&9\end{vmatrix} = 93$
f)
$\begin{vmatrix}a + a²&a²\\ 12&a\end{vmatrix} = 36$
#determinantenverfahren#cramerscheregel

Aufgabe 2

Bestimme die Lösungsmenge, indem du das Determinantenverfahren anwendest.
a)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&-2x + 2y&=&4\quad\\ \text{II}\quad&-9x + 3y&=&-6\quad\\ \end{array}$
b)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&-x+0,5y&=&0,1\quad\\ \text{II}\quad&-1,5x+3y&=&1,5\quad\\ \end{array}$
c)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&-8x+4y&=&-2,8\quad\\ \text{II}\quad&-2x+0,5y&=&-1,1\quad\\ \end{array}$
d)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&4,5x-3y&=&8,25\quad\\ \text{II}\quad&0,52x-4y&=&-19,4\quad\\ \end{array}$
e)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&0,5y&=&x + 12,75\quad\\ \text{II}\quad&2y&=&0,5x+18,8\quad\\ \end{array}$
f)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&1,5y&=&4,5x-1,5\quad\\ \text{II}\quad&2y&=&9x-5\quad\\ \end{array}$
g)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&y&=&0,3x+0,16\quad\\ \text{II}\quad&y&=&-0,12x+0.244\quad\\ \end{array}$
h)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&2,1y&=&3,15x-19,95\quad\\ \text{II}\quad&3,4y&=&-10,2x+44,2\quad\\ \end{array}$
#cramerscheregel#determinantenverfahren
Falls du das Determinantenverfahren noch intensiver üben willst, kannst du versuchen, die linearen Gleichungssysteme unter dem Menü-Punkt "Rechnerisch lösen" mit Hilfe des Determinantenverfahrens zu lösen.
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

Determinanten des Typs $2x2$ berechnest du, indem du zuerst das Produkt der Elemente der Hauptdiagonalen berechnest und davon das Produkt der Elemente der Nebendiagonalen abziehst. Das Produkt der Elemente der Hauptdiagonalen berechnest du von links oben nach rechts unten, das Produkt der Elemente der Nebendiagonalen berechnest du von links unten nach rechts oben. Im Folgenden siehst du ein Beispiel zur Verdeutlichung.
$\begin{vmatrix}a&b\\ c&d\end{vmatrix}=a \cdot d - c \cdot b$
a)
$\begin{vmatrix}3&4\\ 2&1\end{vmatrix}= 3 \cdot 1 - 2 \cdot 4 = 3 - 8 = -5$
b)
$\begin{vmatrix}7&2\\ -3&2\end{vmatrix} = 7 \cdot 2 - (-3) \cdot 2 = 14 + 6 = 20$
$\begin{vmatrix}7&2\\ -3&2\end{vmatrix}= 20 $
c)
$\begin{vmatrix}-2&-4\\ -3&-7\end{vmatrix} = -2 \cdot (-7) - (-3)\cdot (-4) = 14 - 12 = 2$
$ \begin{vmatrix}-2&-4\\ -3&-7\end{vmatrix} = 2$
d)
$\begin{vmatrix}9&2\\ 2&9\end{vmatrix} = 9 \cdot 9 - 2 \cdot 2 = 81 - 4 = 77$
e)
$\begin{vmatrix}9&9\\ 2&2\end{vmatrix} = 9 \cdot 2 - 2 \cdot 9 = 18 - 18 = 0$
f)
$\begin{vmatrix}4&6\\ 5&7\end{vmatrix} = 4 \cdot 7 - 5 \cdot 6 = 28 - 30 = -2$

Aufgabe 1

a)
$a = 3$
b)
$a = 3$
c)
$a = 2$
d)
$a = 8,5$
e)
$a = 2$
f)
$a = 2$

Aufgabe 2

Mache dir bevor du das Determinantenverfahren anwendest noch einmal genau klar, wie du selbiges benutzt. Um es anzuwenden, müssen deine Gleichungen in folgender Form vorliegen:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&a_1x+b_1y&=&c_1\quad\\ \text{II}\quad&a_2x+b_2y&=&c_2\quad\\ \end{array}$
$D_N = \begin{vmatrix}a_1&b_1\\ a_2&b_2\end{vmatrix} = a_1b_2 - a_2b_1$
$D_x = \begin{vmatrix}c_1&b_1\\ c_2&b_2\end{vmatrix} = c_1b_2 - c_2b_1$
$D_y = \begin{vmatrix}a_1&c_1\\ a_2&c_2\end{vmatrix} = a_1c_2 - a_2c_1$
Über die Cramer'sche Regel kommst du auf deine Lösungsmenge:
$\mathbb{L}=${$\dfrac{D_x}{D_N}\mid \dfrac{D_y}{D_N}$}
Den $x-$ und $y-$Wert berechnest du folglich so:
$x = \dfrac{D_x}{D_N}$
$y = \dfrac{D_y}{D_N}$
a)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&-2x + 2y&=&4\quad\\ \text{II}\quad&-9x + 3y&=&-6\quad\\ \end{array}$
$D_N = \begin{vmatrix}-2&2\\ -9&3\end{vmatrix} = -2 \cdot 3 - (-9) \cdot 2 = -6 + 18 = 12$
$ D_N = \begin{vmatrix}-2&2\\ -9&3\end{vmatrix}= 12 $
$D_x = \begin{vmatrix}4&2\\ -6&3\end{vmatrix} = 4 \cdot 3 - (-6) \cdot 2 = 12 + 12 = 24$
$ D_x = \begin{vmatrix}4&2\\ -6&3\end{vmatrix} = 24$
$D_y = \begin{vmatrix}-2&4\\ -9&-6\end{vmatrix} = -2 \cdot (-6) - (-9) \cdot 4 = 12 + 36 = 48$
$ D_y = \begin{vmatrix}-2&4\\ -9&-6\end{vmatrix} = 48$
$\begin{array}[t]{rll} x&=&\dfrac{24}{12} &\quad \scriptsize \\[5pt] x&=& 2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y&=& \dfrac{48}{12} &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& 4 \end{array}$
Mach die Probe.
$\begin{array}[t]{rll} -2 \cdot 2 + 2 \cdot 4 &=& 4&\quad \scriptsize \\[5pt] -9 \cdot 2 + 3 \cdot 4&=& -6 \end{array}$
Beide Proben stimmen. Somit stimmt auch die ausgerechnete Lösung. $\mathbb{L} =${$(2 \mid 4)$}
b)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&-x+0,5y&=&0,1\quad\\ \text{II}\quad&-1,5x+3y&=&1,5\quad\\ \end{array}$
$D_N = \begin{vmatrix}-1&0,5\\ -1,5&3\end{vmatrix} = -1 \cdot 3 - (-1,5) \cdot 0,5= -3 + 0,75= -2,25$
$ D_N = \begin{vmatrix}-1&0,5\\ -1,5&3\end{vmatrix}= -2,25 $
$D_x = \begin{vmatrix}0,1&0,5\\ 1,5&3\end{vmatrix} = 0,1 \cdot 3 - 1,5 \cdot 0,5 = 0,3 - 0,75 = -0,45$
$ D_x = \begin{vmatrix}0,1&0,5\\ 1,5&3\end{vmatrix} = -0,45$
$D_y = \begin{vmatrix}-1&0,1\\ -1,5&1,5\end{vmatrix} = -1\cdot 1,5 - (-1,5) \cdot 0,1 = -1,5 + 0,15= -1,35$
$ D_y = \begin{vmatrix}-1&0,1\\ -1,5&1,5\end{vmatrix} = -1,35$
$\begin{array}[t]{rll} x&=& \dfrac{-0,45}{-2,25} &\quad \scriptsize \\[5pt] x&=& 0,2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y&=& \dfrac{-1,35}{-2,25} &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& 0,6 \end{array}$
Mache die Probe.
$\begin{array}[t]{rll} -0,2 +0,5 \cdot 0,6&=& 0,1&\quad \scriptsize \\[5pt] -1,5 \cdot 0,2+ 3 \cdot 0,6&=& 1,5 \end{array}$
Beide Proben stimmen. Somit stimmt auch die ausgerechnete Lösung. $\mathbb{L} =${$(0,2 \mid 0,6)$}
c)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&-8x+4y&=&-2,8\quad\\ \text{II}\quad&-2x+0,5y&=&-1,1\quad\\ \end{array}$
$D_N = \begin{vmatrix}-8&4\\ -2&0,5\end{vmatrix} = -8 \cdot 0,5 - (-2) \cdot 4= -4 + 8= 4$
$ D_N = \begin{vmatrix}-8&4\\ -2&0,5\end{vmatrix} = 4$
$D_x = \begin{vmatrix}-2,8&4\\ -1,1&0,5\end{vmatrix} = -2,8 \cdot 0,5 - (-1,1) \cdot 4 = -1,4 +4,4 = 3$
$ D_x = \begin{vmatrix}-2,8&4\\ -1,1&0,5\end{vmatrix}= 3 $
$D_y = \begin{vmatrix}-8&-2,8\\ -2&-1,1\end{vmatrix} = -8\cdot (-1,1) - (-2) \cdot (-2,8) = 8,8 -5,6= 3,2$
$ D_y = \begin{vmatrix}-8&-2,8\\ -2&-1,1\end{vmatrix} = 3,2$
$\begin{array}[t]{rll} x&=& \dfrac{3}{4} &\quad \scriptsize \\[5pt] x&=& 0,75 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y&=& \dfrac{3,2}{4} &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& 0,8 \end{array}$
Mache die Probe.
$\begin{array}[t]{rll} -8 \cdot 0,75 +4 \cdot 0,8&=& -2,8&\quad \scriptsize \\[5pt] -2 \cdot 0,75+ 0,5 \cdot 0,8&=& -1,1 \end{array}$
Beide Proben stimmen. Somit stimmt auch die ausgerechnete Lösung. $\mathbb{L} =${$(0,75 \mid 0,8)$}
d)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&4,5x-3y&=&8,25\quad\\ \text{II}\quad&0,52x-4y&=&-19,4\quad\\ \end{array}$
$D_N = \begin{vmatrix}4,5&-3\\ 0,52&-4\end{vmatrix} = 4,5 \cdot (-4) - 0,52 \cdot (-3)= -18 + 1,56= -16,44$
$ D_N = \begin{vmatrix}4,5&-3\\ 0,52&-4\end{vmatrix} = -16,44$
$D_x = \begin{vmatrix}8,25&-3\\ -19,14&-4\end{vmatrix} = 8,25 \cdot (-4) - (-19,14) \cdot (-3) = -33 - 57,42 = -90,42$
$ D_x = \begin{vmatrix}8,25&-3\\ -19,14&-4\end{vmatrix} = -90,42$
$D_y = \begin{vmatrix}4,5&8,25\\ 0,52&-19,14\end{vmatrix} = 4,5\cdot (-19,14) - 0,52\cdot 8,25 = -80,13- 4,29= -90,42$
$ D_y = \begin{vmatrix}4,5&8,25\\ 0,52&-19,14\end{vmatrix} = -90,42$
$\begin{array}[t]{rll} x&=& \dfrac{-90,42}{-16,44} &\quad \scriptsize \\[5pt] x&=& 5,5 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y&=& \dfrac{-90,42}{-16,44} &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& 5,5 \end{array}$
Mache die Probe.
$\begin{array}[t]{rll} 4,5 \cdot 5,5 -3 \cdot 5,5&=& 8,25&\quad \scriptsize \\[5pt] 0,52 \cdot 5,5 - 4\cdot 5,5&=& -19,14 \end{array}$
Beide Proben stimmen. Somit stimmt auch die ausgerechnete Lösung. $\mathbb{L} =${$(5,5 \mid 5,5)$}
e)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&0,5y&=&x + 12,75\quad\\ \text{II}\quad&2y&=&0,5x+18,8\quad\\ \end{array}$
Schreibe dir die Gleichung erst einmal in die Form um, in der du sie für das Determinanten verfahren am einfachsten verwenden kannst.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x-0,5y&=&-12,75\quad\\ \text{II}\quad&0,5x - 2y&=&-18,8\quad\\ \end{array}$
$D_N = \begin{vmatrix}1&-0,5\\ 0,5&-2\end{vmatrix} = 1 \cdot (-2) - 0,5 \cdot (-0,5)= -2 -0,25= -1,75$
$D_N = \begin{vmatrix}1&-0,5\\ 0,5&-2\end{vmatrix}= -1,75$
$D_x = \begin{vmatrix}-12,75&-0,5\\ -18,8&-2\end{vmatrix} = -12,75 \cdot (-2) - (-18,8) \cdot (-0,5) = 25,5 - 9,4 = 16,1$
$ D_x = \begin{vmatrix}-12,75&-0,5\\ -18,8&-2\end{vmatrix}= 16,1 $
$D_y = \begin{vmatrix}1&-12,75\\ 0,5&-18,8\end{vmatrix} = 1\cdot (-18,8) - 0,5\cdot -(12,75) = -18,8 + 6,375= -12,425$
$ D_y = \begin{vmatrix}1&-12,75\\ 0,5&-18,8\end{vmatrix} = -12,425$
$\begin{array}[t]{rll} x&=& \dfrac{16,1}{-1,75} &\quad \scriptsize \\[5pt] x&=& -9,2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y&=& \dfrac{-12,425}{-1,75} &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& 7,1 \end{array}$
Mache die Probe.
$\begin{array}[t]{rll} -9,2 - 0,5 \cdot 7,1&=& -12,75&\quad \scriptsize \\[5pt] 0,5 \cdot (-9,2) - 2\cdot 7,1&=& -18,8 \end{array}$
Beide Proben stimmen. Somit stimmt auch die ausgerechnete Lösung. $\mathbb{L} =${$(-9,2 \mid 7,1)$}
f)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&1,5y&=&4,5x-1,5\quad\\ \text{II}\quad&2y&=&9x-5\quad\\ \end{array}$
Schreibe dir die Gleichung erst einmal in die Form um, in der du sie für das Determinanten verfahren am einfachsten verwenden kannst.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&4,5x-1,5y&=&1,5\quad\\ \text{II}\quad&9x-2y&=&5\quad\\ \end{array}$
$D_N = \begin{vmatrix}4,5&-1,5\\ 9&-2\end{vmatrix} = 4,5 \cdot (-2) - 9 \cdot (-1,5)= -9 + 13,5= 4,5$
$ D_N = \begin{vmatrix}4,5&-1,5\\ 9&-2\end{vmatrix} = 4,5$
$D_x = \begin{vmatrix}1,5&-1,5\\ 5&-2\end{vmatrix} = 1,5 \cdot (-2) - 5 \cdot (-1,5) = -3 + 7,5= 4,5$
$ D_x = \begin{vmatrix}1,5&-1,5\\ 5&-2\end{vmatrix}= 4,5 $
$D_y = \begin{vmatrix}4,5&1,5\\ 9&5\end{vmatrix} = 4,5\cdot 5 - 9\cdot 1,5 = 22,5 - 13,5= 9$
$ D_y = \begin{vmatrix}4,5&1,5\\ 9&5\end{vmatrix} = 9 $
$\begin{array}[t]{rll} x&=& \dfrac{4,5}{4,5} &\quad \scriptsize \\[5pt] x&=& 1 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y&=& \dfrac{9}{4,5} &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& 2 \end{array}$
Mache die Probe.
$\begin{array}[t]{rll} 4,5 \cdot 1 - 1,5 \cdot 2&=& 1,5&\quad \scriptsize \\[5pt] 9 \cdot 1 - 2\cdot2&=& 5 \end{array}$
Beide Proben stimmen. Somit stimmt auch die ausgerechnete Lösung. $\mathbb{L} =${$(1 \mid 2)$}
g)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&y&=&0,3x+0,16\quad\\ \text{II}\quad&y&=&-0,12x+0.244\quad\\ \end{array}$
Schreibe dir die Gleichung erst einmal in die Form um, in der du sie für das Determinanten verfahren am einfachsten verwenden kannst.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&0,3x-y&=&-0,16\quad\\ \text{II}\quad&-0,12x-y&=&-0,244\quad\\ \end{array}$
$D_N = \begin{vmatrix}0,3&-1\\ -0,12&-1\end{vmatrix} = 0,3 \cdot (-1) - (-0,12) \cdot (-1)= -0,3 - 0,12 = -0,42$
$ D_N = \begin{vmatrix}0,3&-1\\ -0,12&-1\end{vmatrix}= -0,42$
$D_x = \begin{vmatrix}-0,16&-1\\ -0,244&-1\end{vmatrix} = -0,16\cdot (-1) - (-0,244) \cdot (-1) = 0,16 -0,244= -0,084$
$ D_x = \begin{vmatrix}-0,16&-1\\ -0,244&-1\end{vmatrix} = -0,084$
$D_y = \begin{vmatrix}0,3&-0,16\\ -0,12&-0,244\end{vmatrix} = 0,3\cdot (-0,244) - (-0,12)\cdot -(0,16) = -0,0732- 0,0192= -0,0924$
$ D_y = \begin{vmatrix}0,3&-0,16\\ -0,12&-0,244\end{vmatrix}= -0,0924 $
$\begin{array}[t]{rll} x&=& \dfrac{-0,084}{-0,42} &\quad \scriptsize \\[5pt] x&=& 0,2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y&=& \dfrac{-0,0924}{-0,42} &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& 0,22 \end{array}$
Mache die Probe.
$\begin{array}[t]{rll} 0,3 \cdot 0,2 - 0,22&=& -0,16&\quad \scriptsize \\[5pt] -0,12 \cdot 0,2 - 0,22&=& -0,244 \end{array}$
Beide Proben stimmen. Somit stimmt auch die ausgerechnete Lösung. $\mathbb{L} =${$(0,2 \mid 0,22)$}
h)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&2,1y&=&3,15x-19,95\quad\\ \text{II}\quad&3,4y&=&-10,2x+44,2\quad\\ \end{array}$
Schreibe dir die Gleichung erst einmal in die Form um, in der du sie für das Determinanten verfahren am einfachsten verwenden kannst.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&3,15x-2,1y&=&19,95\quad\\ \text{II}\quad&-10,2x-3,4y&=&-44,2\quad\\ \end{array}$
$D_N = \begin{vmatrix}3,15&-2,1\\ -10,2&-3,4\end{vmatrix} = 3,15\cdot (-3,4) - (-10,2) \cdot (-2,1)= -10,71 - 021,42 = -32,13$
$ D_N = \begin{vmatrix}3,15&-2,1\\ -10,2&-3,4\end{vmatrix} = -32,13$
$D_x = \begin{vmatrix}19,95&-2,1\\ -44,2&-3,4\end{vmatrix} = 19,95\cdot (-3,4) - (-44,2) \cdot (-2,1) = -67,83 - 92,82= -160,65$
$ D_x = \begin{vmatrix}19,95&-2,1\\ -44,2&-3,4\end{vmatrix} = -160,65$
$D_y = \begin{vmatrix}3,15&19,95\\ -10,2&-44,2\end{vmatrix} = 3,15\cdot (-44,2) - (-10,2)\cdot 19,95= -139,23 + 203,49= 64,26$
$ D_y = \begin{vmatrix}3,15&19,95\\ -10,2&-44,2\end{vmatrix} = 64,26$
$\begin{array}[t]{rll} x&=& \dfrac{-160,65}{-32,13} &\quad \scriptsize \\[5pt] x&=& 5 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y&=& \dfrac{64,26}{-32,13} &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& -2 \end{array}$
Mache die Probe.
$\begin{array}[t]{rll} 3,15 \cdot 5- 2,1 \cdot (-2)&=& 19,95&\quad \scriptsize \\[5pt] -10,2 \cdot 5- -3,4 \cdot (-2)&=& -44,2 \end{array}$
Beide Proben stimmen. Somit stimmt auch die ausgerechnete Lösung. $\mathbb{L} =${$(5 \mid -2)$}
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