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Gleichsetzungsverfahren

Spickzettel
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Beim Gleichsetzungsverfahren löst du beide Gleichungen nach einer Variablen auf. Durch Gleichsetzen der Gleichungen erhältst du eine Variable. Mithilfe dieser Variable kannst du die zweite Variable berechnen.

Beispiel

Löse das lineare Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} Ⅰ& y=&2x+1\\[5pt] Ⅱ& y=&-x+4 \end{array}$
1. Schritt: Gleichsetzen der beiden Funktionsgleichungen
Lineare Gleichungssysteme: Gleichsetzungsverfahren
Lineare Gleichungssysteme: Gleichsetzungsverfahren
2. Schritt: Auflösen der Gleichung nach $x$
$\begin{array}{rll} 2x+1=&-x+4& \mid\; +x\\[5pt] 3x+1=&4& \mid\; -1\\[5pt] 3x=&3& \mid\; :3\\[5pt] x=&1& \end{array}$
3. Schritt: Einsetzen von $x=1$ in eine der beiden Funktionsgleichungen
$\begin{array}{rrll} Ⅰ & y=&2\cdot 1+1\\[5pt] &y=&3\\[5pt] \Rightarrow&\mathbb{L}=&\{(1\mid3)\} \end{array}$
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Aufgaben
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1.
Löse das lineare Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren.
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b)
$\begin{array}[t]{rll} y=&\frac{2}{3}x-\frac{1}{2}\\[5pt] y=&-3x+25 \end{array}$
© SchulLV 2015 © SchulLV 2015
d)
$\begin{array}[t]{rll} y=&2-x\\[5pt] y=&-\frac{3}{4}x-5 \end{array}$
f)
$\begin{array}[t]{rll} -4y=& 10x-66\\[5pt] 11y=&-4x+65 \end{array}$
© SchulLV 2015
h)
$\begin{array}[t]{rll} y=&13x-2\\[5pt] \frac{1}{2}y=&26x+5 \end{array}$
2.
Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden mit dem Gleichsetzungsverfahren.
b)
$\begin{array}[t]{rll} 8x-7y-4=&0\\[5pt] -4x+2y+8=&0 \end{array}$
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d)
$\begin{array}[t]{rll} 4x-2y+2=&0\\[5pt] 5x-18y-13=&0 \end{array}$
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f)
$\begin{array}[t]{rll} 6x-7y-13=&0\\[5pt] -2x+3y+5=&0 \end{array}$
3.
Nutze das Gleichsetzungsverfahren.
a)
$\begin{array}[t]{rll} 8y=&3x-7,5\\[5pt] -12=&-4y \end{array}$
© SchulLV 2015
b)
$\begin{array}[t]{rll} -x-13=&3y\\[5pt] 22+3y=&-2x \end{array}$
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d)
$\begin{array}[t]{rll} 0=&8+2y+3x\\[5pt] -4=&-6x-2y \end{array}$
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f)
$\begin{array}[t]{rll} -4-6m=&-2n\\[5pt] 5+n=&2m \end{array}$
4.
Finde das passende Zahlenpaar, um das lineare Gleichungssystem zu lösen.
b)
$\begin{array}[t]{rll} \frac{1}{4}a+\frac{3}{10}+\frac{5}{2}b=&0\\[5pt] 2a-7b=&3 \end{array}$
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Lösungen
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1.
Lösungen des LGS bestimmen
a)
Gegeben:
$\begin{array}{rll} y=&2x-8\\[5pt] y=&-\frac{1}{3}x+\frac{11}{3} \end{array}$
Gleichsetzen der beiden Gleichungen ergibt:
$\begin{array}{rll} 2x-8=&-\frac{1}{3}x+\frac{11}{3}& \quad\mid\;\; \cdot 3\\[5pt] 6x-24=&-x+11& \quad\mid\;\; +x\\[5pt] 7x-24=&11& \quad\mid\;\; +24\\[5pt] 7x=&35& \quad\mid\;\; :7\\[5pt] x=&5 \end{array}$
In eine der beiden Gleichungen einsetzen:
$\begin{array}{rll} y=&2\cdot 5-8=2\\[5pt] \mathbb{L}=&\{(5 \mid 2)\} \end{array}$
b)
Gegeben:
$\begin{array}{rll} y=&\frac{2}{3}x-\frac{1}{2}\\[5pt] y=&-3x+25 \end{array}$
Gleichsetzen der beiden Gleichungen ergibt:
$\begin{array}{rll} \frac{2}{3}x-\frac{1}{2}=&-3x+25& \quad\mid\; \cdot 3\\[5pt] 2x-\frac{3}{2}=&-9x+75& \quad\mid\; \cdot 2\\[5pt] 4x-3=&-18x+150& \quad\mid\; +18x\\[5pt] 22x-3=&150& \quad\mid\; +3\\[5pt] 22x=&153& \quad\mid\;:22\\[5pt] x=&\frac{153}{22}&\\[5pt] \end{array}$
In eine der beiden Gleichungen einsetzen:
$\begin{array}{rll} y=&\frac{2}{3}\cdot \frac{153}{22}-\frac{1}{2}=\frac{91}{22}\\[5pt] \mathbb{L}=&\left\{(\frac{153}{22} \mid \frac{91}{22})\right\} \end{array}$
b) $y=\frac{91}{22}$ $\mathbb{L}$=$\left\{(\frac{153}{22} \mid \frac{91}{22})\right\}$
c)
Gegeben:
$\begin{array}{rll} y=&\frac{1}{3}x-\frac{1}{6}\\[5pt] y=&-\frac{2}{5}x-\frac{4}{5} \end{array}$
Gleichsetzen der beiden Gleichungen ergibt:
$\begin{array}{rll} \frac{1}{3}x-\frac{1}{6}=&-\frac{2}{5}x-\frac{4}{5}& \quad\mid\; \cdot 5\\[5pt] \frac{5}{3}x-\frac{5}{6}=&-2x-4& \quad\mid\; \cdot 6\\[5pt] 10x-5=&-12x-24& \quad\mid\; +12x\\[5pt] 22x-5=&-24& \quad\mid\; +5\\[5pt] 22x=&-19& \quad\mid\;:22\\[5pt] x=&-\frac{19}{22}&\\[5pt] \end{array}$
In eine der beiden Gleichungen einsetzen:
$\begin{array}{rll} y=&(-\frac{2}{5})\cdot (-\frac{19}{22})-\frac{4}{5}=-\frac{5}{11}\\[5pt] \mathbb{L}=&\left\{(-\frac{19}{22} \mid -\frac{5}{11})\right\} \end{array}$
d)
Gegeben:
$\begin{array}{rll} y=&2-x\\[5pt] y=&-\frac{3}{4}x-5\\[5pt] \end{array}$
Gleichsetzen der beiden Gleichungen ergibt:
$\begin{array}{rll} 2-x=&-\frac{3}{4}x-5& \quad\mid\; \cdot 4\\[5pt] 8-4x=&-3x-20& \quad\mid\; +3x\\[5pt] 8-x=&-20& \quad\mid\; -8\\[5pt] -x=&-28& \quad\mid\;:(-1)\\[5pt] x=&28\\[5pt] \end{array}$
In eine der beiden Gleichungen einsetzen:
$\begin{array}{rll} y=&2-28=-26\\[5pt] \mathbb{L}=&\{(28 \mid -26)\} \end{array}$
e)
Gegeben:
$\begin{array}{rll} y=&2x+5\\[5pt] 3y=&6x+15&\quad\mid\;:3\\[5pt] \hline y=&2x+5\\[5pt] y=&2x+5\\[5pt] \end{array}$
Gleichsetzen der beiden Gleichungen ergibt:
$\begin{array}{rll} 2x+5=&2x+5& \quad\mid\; -5\\[5pt] 2x=&2x& \quad\mid\;:2\\[5pt] x=&x\\[5pt] \end{array}$
In eine der beiden Gleichungen einsetzen:
$\begin{array}{rll} y=&2x+5\\[5pt] \mathbb{L}=&\{(x \mid 2x+5)\} \end{array}$
-->
f)
Gegeben:
$\begin{array}{rll} -4y=& 10x-66&\quad\mid\;:(-4)\\[5pt] 11y=&-4x+65&\quad\mid\;:11\\[5pt] \hline y=&-\frac{10}{4}x+\frac{66}{4}\\[5pt] y=&-\frac{4}{11}x+\frac{65}{11}\\[5pt] \end{array}$
Gleichsetzen der beiden Gleichungen ergibt:
$\begin{array}{rll} -\frac{10}{4}x+\frac{66}{4}=&-\frac{4}{11}x+\frac{65}{11}& \quad\mid\; \cdot 11\\[5pt] -\frac{110}{4}x+\frac{726}{4}=&-4x+65& \quad\mid\; \cdot 4\\[5pt] -110x+726=&-16x+260& \quad\mid\; +16x\\[5pt] -94x+726=&260& \quad\mid\; -726\\[5pt] -94x=&-466& \quad\mid\;:(-94)\\[5pt] x=&\frac{233}{47}\\[5pt] \end{array}$
In eine der beiden Gleichungen einsetzen:
$\begin{array}{rll} y=&(-\frac{4}{11})\cdot \frac{233}{47}+\frac{65}{11}=\frac{193}{47}\\[5pt] \mathbb{L}=&\left\{(\frac{233}{47} \mid \frac{193}{47})\right\} \end{array}$
f) $y=-\frac{4}{11}x+\frac{65}{11}$
$x= \frac{233}{47}$ In eine der beiden Gleichungen einsetzen:
$y=\frac{193}{47}$ $\mathbb{L}$=$\left\{(\frac{233}{47} \mid \frac{193}{47})\right\}$
g)
Gegeben:
$\begin{array}{rll} 3y=&8x+1&\quad\mid\;:3\\[5pt] -3y=&-6x&\quad\mid\;:(-3)\\[5pt] \hline y=&\frac{8}{3}x+\frac{1}{3}\\[5pt] y=&2x\\[5pt] \end{array}$
Gleichsetzen der beiden Gleichungen ergibt:
$\begin{array}{rll} \frac{8}{3}x+\frac{1}{3}=&2x& \quad\mid\; \cdot 3\\[5pt] 8x+1=&6x& \quad\mid\; -6x\\[5pt] 2x+1=&0& \quad\mid\; -1\\[5pt] 2x=&-1& \quad\mid\;:2\\[5pt] x=&-\frac{1}{2}\\[5pt] \end{array}$
In eine der beiden Gleichungen einsetzen:
$\begin{array}{rll} y=&2\cdot (-\frac{1}{2})=-1\\[5pt] \mathbb{L}=&\left\{(-\frac{1}{2} \mid -1)\right\} \end{array}$
h)
Gegeben:
$\begin{array}{rll} y=&13x-2\\[5pt] \frac{1}{2}y=&26x+5&\quad\mid\; \cdot 2\\[5pt] \hline y=&13x-2\\[5pt] y=&52x+10\\[5pt] \end{array}$
Gleichsetzen der beiden Gleichungen ergibt:
$\begin{array}{rll} 13x-2=&52x+10& \quad\mid\; +2\\[5pt] 13x=&52x+12& \quad\mid\; -52x\\[5pt] -39x=&12& \quad\mid\;:(-39)\\[5pt] x=&-\frac{12}{39}\\[5pt] x=&-\frac{4}{13}\\[5pt] \end{array}$
In eine der beiden Gleichungen einsetzen:
$\begin{array}{rll} y=&13\cdot (-\frac{4}{13})-2=-6\\[5pt] \mathbb{L}=&\left\{(-\frac{4}{13} \mid -6)\right\} \end{array}$
i)
Gegeben:
$\begin{array}{rll} 9y=&-15x&\quad\mid\;:9\\[5pt] 3y=&-9-6x&\quad\mid\;:3\\[5pt] \hline y=&-\frac{5}{3}x\\[5pt] y=&-3-2x\\[5pt] \end{array}$
Gleichsetzen der beiden Gleichungen ergibt:
$\begin{array}{rll} -\frac{5}{3}x=&-3-2x& \quad\mid\; \cdot 3\\[5pt] -5x=&-9-6x& \quad\mid\; +6x\\[5pt] x=&-9\\[5pt] \end{array}$
In eine der beiden Gleichungen einsetzen:
$\begin{array}{rll} y=&(-\frac{5}{3})\cdot (-9)=15\\[5pt] \mathbb{L}=&\{(-9 \mid 15)\} \end{array}$
2.
Bestimmung der Schnittpunkte der Geraden
a)
Gegeben:
$\begin{array}{rll} 7x+8y+8=&0&\quad\mid\; -8y\\[5pt] 4x-y-40=&0&\quad\mid\; +y\\[5pt] \hline -8y=&7x+8& \quad\mid\;:(-8)\\[5pt] y=&4x-40\\[5pt] \hline y=&-\frac{7}{8}x-1\\[5pt] y=&4x-40\\[5pt] \end{array}$
Gleichsetzen und nach x auflösen:
$\begin{array}{rll} -\frac{7}{8}x-1=&4x-40& \quad\mid\; \cdot 8\\[5pt] -7x-8=&32x-320& \quad\mid\; -32x\\[5pt] -39x-8=&-320& \quad\mid\; +8\\[5pt] -39x=&-312& \quad\mid\;:(-39)\\[5pt] x=&8\\[5pt] \end{array}$
In eine der beiden Gleichungen einsetzen:
$\begin{array}{rll} y=&4\cdot8-40=-8\\[5pt] \mathbb{L}=&\{(8 \mid -8)\} \end{array}$
a)$y=-8$ $\mathbb{L}$=$\{(8 \mid -8)\}$
b)
Gegeben:
$\begin{array}{rll} 8x-7y-4=&0&\quad\mid\; +7y\\[5pt] -4x+2y+8=&0&\quad\mid\; -2y\\[5pt] \hline 8x-4=&7y& \quad\mid\;:7\\[5pt] 4x+8=&-2y& \quad\mid\;:(-2)\\[5pt] \hline y=&\frac{8}{7}x-\frac{4}{7}\\[5pt] y=&2x-4\\[5pt] \end{array}$
Gleichsetzen und nach x auflösen:
$\begin{array}{rll} \frac{8}{7}y-\frac{4}{7}=&2x-4& \quad\mid\; \cdot 7\\[5pt] 8x-4=&14x-28& \quad\mid\; -14x\\[5pt] -6x-4=&-28& \quad\mid\; +4\\[5pt] -6x=&-24& \quad\mid\;:(-6)\\[5pt] x=&4\\[5pt] \end{array}$
In eine der beiden Gleichungen einsetzen:
$\begin{array}{rll} x=&2\cdot 4-4=4\\[5pt] \mathbb{L}=&\{(4 \mid 4)\} \end{array}$
b)$ x=4$ $ \mathbb{L} $= $ \{(4 \mid 4)\}$
c)
Gegeben:
$\begin{array}{rll} 15x-11y-1=&0&\quad\mid\; +11y\\[5pt] -15x-9y+12=&0&\quad\mid\; +15x\\[5pt] \hline 15x-1=&11y&\quad\mid\; +1\\[5pt] 15x=&-9y+12&\quad\mid\;:9\\[5pt] \hline 15x=&11y+1\\[5pt] 15x=&-9y+12\\[5pt] \end{array}$
Gleichsetzen und nach y auflösen:
$\begin{array}{rll} 11y+1=&-9y+12& \quad\mid\; +9y\\[5pt] 20y+1=&12& \quad\mid\; -1\\[5pt] 20y=&11& \quad\mid\;:20\\[5pt] y=&\frac{11}{20}\\[5pt] \end{array}$
In eine der beiden Gleichungen einsetzen:
$\begin{array}{rll} 0=&15x-11\cdot\frac{11}{20}-1\\[5pt] 0=&15x-\cdot\frac{141}{20}& \quad\mid\; -15x\\[5pt] -15x=&-\frac{141}{20}& \quad\mid\;:(-15)\\[5pt] x=&\frac{47}{100}\\[5pt] \mathbb{L}=&\left\{(\frac{47}{100} \mid \frac{11}{20})\right\} \end{array}$
c) x= $ \frac{47}{100}\\[5pt]$ $\mathbb{L}$= $ \left\{(\frac{47}{100} \mid \frac{11}{20})\right\} $
d)
Gegeben:
$\begin{array}{rll} 4x-2y+2=&0&\quad\mid\; +2y\\[5pt] 5x-18y-13=&0&\quad\mid\; +18y\\[5pt] \hline 2y=&4x+2&\quad\mid\;:2\\[5pt] 18y=&5x-13&\quad\mid\;:18\\[5pt] \hline y=&2x+1\\[5pt] y=&\frac{5}{18}x-\frac{13}{18}\\[5pt] \end{array}$
Gleichsetzen und nach x auflösen:
$\begin{array}{rll} 2x+1=&\frac{5}{18}x-\frac{13}{18}& \quad\mid\; \cdot 18\\[5pt] 36x+18=&5x-13& \quad\mid\; -5x\\[5pt] 31x+18=&-13& \quad\mid\; -18\\[5pt] 31x=&-31& \quad\mid\;:31\\[5pt] x=&-1\\[5pt] \end{array}$
In eine der beiden Gleichungen einsetzen:
$\begin{array}{rll} y=&2\cdot(-1)+1=-1\\[5pt] \mathbb{L}=&\{(-1 \mid -1)\} \end{array}$
d)y= $ -1$ $ \mathbb{L} $ = $ \{(-1 \mid -1)\} $
e)
Gegeben:
$\begin{array}{rll} 9x-7y-19=&0&\quad\mid\; +7y \\[5pt] 2x-6y+18=&0&\quad\mid\; +6y\\[5pt] \hline 7y=&9x-19& \quad\mid\;:7\\[5pt] 6y=&2x+18&\quad\mid\;:6\\[5pt] \hline y=&\frac{9}{7}x-\frac{19}{7}\\[5pt] y=&\frac{1}{3}x+3\\[5pt] \end{array}$
Gleichsetzen und nach x auflösen:
$\begin{array}{rll} \frac{9}{7}x-\frac{19}{7}=&\frac{1}{3}x+3& \quad\mid\; \cdot 7\\[5pt] 9x-19=&\frac{7}{3}x+21& \quad\mid\; \cdot 3\\[5pt] 27x-57=&7x+63& \quad\mid\; -7x\\[5pt] 20x-57=&63& \quad\mid\; +57\\[5pt] 20x=&120& \quad\mid\;:20\\[5pt] x=&6\\[5pt] \end{array}$
In eine der beiden Gleichungen einsetzen:
$\begin{array}{rll} y=&\frac{1}{3}\cdot 6+3=5\\[5pt] \mathbb{L}=&\{(6 \mid 5)\} \end{array}$
e)$y=5$ $\mathbb{L}$=$\{(6 \mid 5)\}$
f)
Gegeben:
$\begin{array}{rll} 6x-7y-13=&0&\quad\mid\; +7y \\[5pt] -2x+3y+5=&0&\quad\mid\; -3y \\[5pt] \hline 6x-13=&7y& \quad\mid\;:7\\[5pt] -2x+5=&-3y& \quad\mid\;:(-3)\\[5pt] \hline y=&\frac{6}{7}x-\frac{13}{7}\\[5pt] y=&\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}\\[5pt] \end{array}$
Gleichsetzen und nach x auflösen:
$\begin{array}{rll} \frac{6}{7}y+\frac{13}{7}=&\frac{2}{3}y-\frac{5}{3}& \quad\mid\; \cdot 7\\[5pt] 6x-13=&\frac{14}{3}x-\frac{35}{3}& \quad\mid\; \cdot 3\\[5pt] 18x-39=&14x-35& \quad\mid\; -14x\\[5pt] 4x-39=&-35& \quad\mid\; +39\\[5pt] 4x=&4& \quad\mid\;:4\\[5pt] x=&1\\[5pt] \end{array}$
In eine der beiden Gleichungen einsetzen:
$\begin{array}{rll} x=&\frac{2}{3}\cdot 1+\frac{5}{3}=-1\\[5pt] \mathbb{L}=&\{(1 \mid -1)\} \end{array}$
f)$ x= -1$ $ \mathbb{L}$ = $ \{(1 \mid -1)\}$
3.
Lösungen des LGS bestimmen
a)
Gegeben:
$\begin{array}{rll} 8y=&3x-7,5\\[5pt] -12=&-4y&\quad\mid\; \cdot (-2)\\[5pt] \hline 8y=&3x-7,5\\[5pt] 8y=&24\\[5pt] \end{array}$
Gleichsetzen der beiden Gleichungen ergibt:
$\begin{array}{rll} 3x-7,5=&24& \quad\mid\; +7,5\\[5pt] 3x=&31,5& \quad\mid\; \cdot 2\\[5pt] 6x=&63& \quad\mid\;:6\\[5pt] x=&\frac{21}{2}\\[5pt] \end{array}$
Eine der Gleichungen nach y auflösen und x einsetzen:
$\begin{array}{rll} 8y=&3x-7,5& \quad\mid\;:8\\[5pt] y=&\frac{3}{8}x-\frac{75}{80}\\[5pt] y=&\frac{3}{8}\cdot\frac{21}{2}-\frac{75}{80}=3\\[5pt] \mathbb{L}=&\{(\frac{21}{2} \mid 3)\} \end{array}$
b)
Gegeben:
$\begin{array}{rll} -x-13=&3y\\[5pt] 22+3y=&-2x&\quad\mid\; -22\\[5pt] \hline 3y=&-x-13\\[5pt] 3y=&-2x-22\\[5pt] \end{array}$
Gleichsetzen der beiden Gleichungen ergibt:
$\begin{array}{rll} -x-13=&-2x-22& \quad\mid\; +2x\\[5pt] x-13=&-22& \quad\mid\; +13\\[5pt] x=&-9\\[5pt] \end{array}$
Eine der Gleichungen nach y auflösen und x einsetzen:
$\begin{array}{rll} 3y=&-x-13& \quad\mid\;:3\\[5pt] y=&-\frac{1}{3}x-\frac{13}{3}\\[5pt] y=&-\frac{1}{3}\cdot (-9)-\frac{13}{3}=-\frac{4}{3}\\[5pt] \mathbb{L}=&\{(-9 \mid -\frac{4}{3})\} \end{array}$
b) $y=-\frac{4}{3}$ $\mathbb{L}$=$\{(-9 \mid -\frac{4}{3})\}$
c)
Gegeben:
$\begin{array}{rll} -4x-5y=&-4&\quad\mid\; +5y\\[5pt] 76+4x=&0&\quad\mid\; -4x\\[5pt] \hline -4x=&5y-4\\[5pt] -4x=&76\\[5pt] \end{array}$
Gleichsetzen der beiden Gleichungen ergibt:
$\begin{array}{rll} 5y-4=&76& \quad\mid\; +4\\[5pt] 5y=&80& \quad\mid\;:5\\[5pt] y=&16\\[5pt] \end{array}$
Eine der Gleichungen nach y auflösen und x einsetzen:
$\begin{array}{rll} -4x=&5y-4& \quad\mid\;:4\\[5pt] x=&-\frac{5}{4}+1\\[5pt] x=&-12& \quad\mid\;:(-3)\\[5pt] x=&(-\frac{5}{4})\cdot 16+1=-19\\[5pt] \mathbb{L}=&\{(-19 \mid 16)\} \end{array}$
c) $ x = -19 $ $\mathbb{L}$= $\{(-19 \mid 16)\}$
d)
Gegeben:
$\begin{array}{rll} 0=&8+2y+3x&\quad\mid\; -2y\\[5pt] -4=&-6x-2y&\quad\mid\; +6x\\[5pt] \hline -2y=&3x+8\\[5pt] -2y=&6x-4\\[5pt] \end{array}$
Gleichsetzen der beiden Gleichungen ergibt:
$\begin{array}{rll} 3x+8=&6x-4& \quad\mid\; -6x\\[5pt] -3x+8=&-4& \quad\mid\; -8\\[5pt] -3x=&-12& \quad\mid\;:(-3)\\[5pt] x=&4\\[5pt] \end{array}$
Eine der Gleichungen nach y auflösen und x einsetzen:
$\begin{array}{rll} -2y=&6x-4& \quad\mid\;:(-2)\\[5pt] y=&-3x+2\\[5pt] y=&(-3)\cdot 4+2=-10\\[5pt] \mathbb{L}=&\{(4 \mid -10)\} \end{array}$
d) $ y= -10 $ $\mathbb{L}$ = $ \{(4 \mid -10)\} $
e)
Gegeben:
$\begin{array}{rll} -3a=&4b+6&\quad\mid\;\cdot (-1)\\[5pt] 18=&3a+2b&\quad\mid\; -2b\\[5pt] \hline 3a=&-4b-6\\[5pt] 3a=&-2b+18\\[5pt] \end{array}$
Gleichsetzen der beiden Gleichungen ergibt:
$\begin{array}{rll} -4b-6=&-2b+18& \quad\mid\; +2b\\[5pt] -2b-6=&18& \quad\mid\; +6\\[5pt] -2b=&24& \quad\mid\;:(-2)\\[5pt] b=&-12\\[5pt] \end{array}$
Eine der Gleichungen nach a auflösen und b einsetzen:
$\begin{array}{rll} 3a=&-4b-6& \quad\mid\;:3\\[5pt] a=&-\frac{4}{3} \cdot b-2& \quad\mid\; -2\\[5pt] a=&(-\frac{4}{3})\cdot (-12)-2=14\\[5pt] \mathbb{L}=&\{14 \mid -12)\} \end{array}$
e) $ a= 14 $ $ \mathbb{L}$ = $ \{14 \mid -12)\}$
f)
Gegeben:
$\begin{array}{rll} -4-6m=&-2n&\quad\mid\;:(-2)\\[5pt] 5+n=&2m&\quad\mid\; -5\\[5pt] \hline n=&3m+2\\[5pt] n=&2m-5\\[5pt] \end{array}$
Gleichsetzen der beiden Gleichungen ergibt:
$\begin{array}{rll} 3m+2=&2m-5& \quad\mid\; -2m\\[5pt] m+2=&-5& \quad\mid\; -2\\[5pt] m=&-7\\[5pt] \end{array}$
Eine der Gleichungen nach n auflösen und m einsetzen:
$\begin{array}{rll} n=&2\cdot (-7)-5=-19\\[5pt] \mathbb{L}=&\{-7 \mid -19)\} \end{array}$
4.
Lösungen des LGS bestimmen
a)
Gegeben:
$\begin{array}{rll} \frac{4}{3}y=&\frac{5}{3}-\frac{1}{2}x&\quad\mid\; \cdot \frac{3}{4}\\[5pt] -\frac{1}{4}y+1=&\frac{7}{16}x&\quad\mid\; -1\\[5pt] \hline y=&\frac{5}{4}-\frac{3}{8}x\\[5pt] -\frac{1}{4}y=&-1+\frac{7}{16}x&\quad\mid\; \cdot (-4)\\[5pt] \hline y=&\frac{5}{4}-\frac{3}{8}x\\[5pt] y=&4-\frac{7}{4}x\\[5pt] \end{array}$
Gleichsetzen und nach x auflösen:
$\begin{array}{rll} \frac{5}{4}-\frac{3}{8}x=&4-\frac{7}{4}x& \quad\mid\; \cdot 8\\[5pt] 10-3x=&32-14x& \quad\mid\; +14x\\[5pt] 10+11x=&32& \quad\mid\; -10\\[5pt] 11x=&22& \quad\mid\;:11\\[5pt] x=&2\\[5pt] \end{array}$
In eine der beiden Gleichungen einsetzen:
$\begin{array}{rll} y=&4-\frac{7}{4}\cdot 2=\frac{1}{2}\\[5pt] \mathbb{L}=&\left\{(2 \mid \frac{1}{2})\right\} \end{array}$
b)
Gegeben:
$\begin{array}{rll} \frac{1}{4}a+\frac{3}{10}+\frac{5}{2}b=&0&\quad\mid\; -\frac{3}{10}\\[5pt] 2a-7b=&3&\quad\mid\; +7b\\[5pt] \hline \frac{1}{4}a+\frac{5}{2}b=&-\frac{3}{10}&\quad\mid\; -\frac{5}{2}b\\[5pt] 2a=&7b+3&\quad\mid\;:2\\[5pt] \hline \frac{1}{4}a=&-\frac{5}{2}b-\frac{3}{10}&\quad\mid\; \cdot 4\\[5pt] a=&\frac{7}{2}b+\frac{3}{2}\\[5pt] \hline a=&-10b-\frac{6}{5}\\[5pt] a=&\frac{7}{2}b+\frac{3}{2}\\[5pt] \end{array}$
Gleichsetzen und nach b auflösen:
$\begin{array}{rll} -10b-\frac{6}{5}=&\frac{7}{2}b+\frac{3}{2}& \quad\mid\; \cdot 2\\[5pt] -20b-\frac{12}{5}=&7b+3& \quad\mid\; \cdot 5\\[5pt] -100b-12=&35b+15& \quad\mid\; -35b\\[5pt] -135b-12=&15& \quad\mid\; +12\\[5pt] -135b=&27& \quad\mid\;:(-135)\\[5pt] b=&-\frac{1}{5}\\[5pt] \end{array}$
In eine der beiden Gleichungen einsetzen:
$\begin{array}{rll} a=&-10\cdot (-\frac{1}{5})-\frac{6}{5}=\frac{4}{5}\\[5pt] \mathbb{L}=&\left\{(\frac{4}{5} \mid -\frac{1}{5})\right\} \end{array}$
b) $ a = -10\cdot (-\frac{1}{5})-\frac{6}{5} = \frac{4}{5}\\[5pt]$ $\mathbb{L}$ = $ \left\{(\frac{4}{5} \mid -\frac{1}{5})\right\}$
c)
Gegeben:
$\begin{array}{rll} 3x+\frac{1}{7}y+5=&7-2&\quad\mid\; -5\\[5pt] 13x+1=&3+\frac{1}{21}\\[5pt] \hline 3x+\frac{1}{7}y=&0&\quad\mid\; -\frac{1}{7}\\[5pt] 13x+1=&\frac{64}{21}&\quad\mid\; -1\\[5pt] \hline 3x=&-\frac{1}{7}y&\quad\mid\;:3\\[5pt] 13x=&\frac{43}{21}&\quad\mid\;:13\\[5pt] \hline x=&-\frac{1}{21}y\\[5pt] x=&\frac{43}{273}\\[5pt] \end{array}$
Gleichsetzen und nach y auflösen:
$\begin{array}{rll} -\frac{1}{21}y=&\frac{43}{273}& \quad\mid\; \cdot 21\\[5pt] -y=&\frac{43}{13}& \quad\mid\; \cdot (-1)\\[5pt] y=&-\frac{43}{13}\\[5pt] \mathbb{L}=&\left\{(\frac{43}{273} \mid -\frac{43}{13})\right\} \end{array}$
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