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Rechnerisch lösen

Spickzettel
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Es gibt verschiedene Verfahren lineare Gleichungssysteme rechnerisch zu lösen, diese werden im Folgenden erklärt:
Das Einsetzungsverfahren
Beim Einsetzungsverfahren löst du zuerst eine der beiden Gleichungen nach einer Variable auf. Den erhaltenen Term kannst du dann in die andere Gleichung einsetzen. Wenn du diese Gleichung auflöst, bekommst du die Lösung für eine der beiden Variablen. Setze die Variable dann in eine der beiden Ursprungsgleichungen ein und rechne aus, um den Wert der zweiten Variable zu erhalten.
Das Gleichsetzungsverfahren
Beim Gleichsetzungsverfahren löst du beide Gleichungen nach einer Variablen auf (z.B. $y$). Dann kannst du die beiden erhaltenen Terme gleichsetzen und die Gleichung auflösen, sodass du die Lösung für die Variable (in diesem Fall $x$) bekommst. Setze die Variable dann in eine der beiden Ursprungsgleichungen ein und rechne aus, um den Wert der zweiten Variable zu erhalten.
Das Additionsverfahren
Um das Additionsverfahren anzuwenden, müssen vor einer Variable betragsgleiche Koeffizienten mit einem unterschiedlichen Vorzeichen stehen. Wenn das nicht direkt der Fall ist, kannst du mithilfe von Äquivalenzumformungen die Koeffizienten zu einer Variablen in die Form bringen, die du brauchst. Addiere die beiden Gleichungen miteinander, eine Variable wird wegfallen (z.b. $x$). Löse den entstandenen Term nach der übrig gebliebenen Variable (in diesem Fall $y$) auf. Setze die Variable in eine der beiden Ursprungsgleichungen ein und rechne aus, um den Werrt der zweiten Variable zu erhalten.
#lgs
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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Du hast folgendes lineares Gleichungssystem gegeben:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&3x+3y&=&4\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&y&=&3x+2\quad\\ \end{array}$
a)
Löse das lineare Gleichungssystem mithilfe des Einsetzungsverfahren.
b)
Löse das lineare Gleichungssystem mithilfe des Gleichsetzungsverfahren.
c)
Löse das lineare Gleichungssystem mithilfe des Additionsverfahren.
#additionsverfahren#einsetzungsverfahren#gleichsetzungsverfahren#lgs

Aufgabe 1

Löse die linearen Gleichungssysteme nach dem Einsetzungsverfahren.
a)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&2y - 4x&=&2\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&y&=&-3x + 6\quad\\ \end{array}$
b)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&y&=&4x+14\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&4y+2x&=&2\quad\\ \end{array}$
c)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&0,5y - x&=&-5\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&2y+6x&=&20\quad\\ \end{array}$
d)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x&=&2,5+0,5y\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&y+3x&=&20\quad\\ \end{array}$
e)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&9x&=&3y-39\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&4y+4&=&-8x+16\quad\\ \end{array}$
f)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&2y - 4x +2&=&-12\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&4y&=&2x-10\quad\\ \end{array}$
#lgs#einsetzungsverfahren

Aufgabe 2

Löse die linearen Gleichungssysteme nach dem Gleichsetzungsverfahren.
a)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&-2x&=&-8-y\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&y&=&0,5x+2,5\quad\\ \end{array}$
b)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&y&=&6x+2\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&y-3,5x&=&4,5\quad\\ \end{array}$
c)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&3y-9x&=&-6\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&2x&=&6-0,5y\quad\\ \end{array}$
d)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&2y&=&4x-18\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&2y&=&-8x+18\quad\\ \end{array}$
e)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&-2x+y&=&-11\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&y&=&-0,5x+1,5\quad\\ \end{array}$
f)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&3y+9x+2&=&26\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&0,5y+0,5&=&x-0,5\quad\\ \end{array}$
#lgs#gleichsetzungsverfahren

Aufgabe 3

Löse die linearen Gleichungssysteme nach dem Additionsverfahren.
a)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&y + 2x&=&6\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&2y-2x&=&-6\quad\\ \end{array}$
b)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&3y-9x&=&3\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&-3y + 7,5x&=&-4,5\quad\\ \end{array}$
c)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&y-2x&=&-3\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&2 \cdot (0,5y + x)&=&17\quad\\ \end{array}$
d)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&-y+x&=&8\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&2 \cdot (y - 0,5x)&=&-10\quad\\ \end{array}$
e)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&2y-3x&=&13\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&y+2x&=&-4\quad\\ \end{array}$
f)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&y+2x&=&-8\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&y-0,5x&=&9,5\quad\\ \end{array}$
#additionsverfahren#lgs

Aufgabe 4

Stelle für die beschriebene Situation ein lineares Gleichungssystem auf und löse es rechnerisch mit einem Verfahren deiner Wahl.
a)
Sophie geht mit Verwandten ins Kino. Von einer Freundin weiß sie, dass der Preis für $4$ Erwachsene und $7$ Kinder bei $96$€ liegt. Der Verkäufer an der Kasse nennt ihr als Preis für $2$ Erwachsene und $3$ Kinder $44$€.
b)
Jan zahlt beim Bäcker für $2$ Käsebrötchen und $4$ Brezeln $5,60$€. Marie bezahlt für $5$ Käsebrötchen und $1$ Brezel $7,70$€.
c)
Die Summe zweier Zahlen ist $15$, ihre Differenz ist $1$.
d)
Die dreifache Summe zweier Zahlenist $42$, die doppelte Differenz $8$.
#lgs
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$  Einsetzungsverfahren
Das Einsetzungsverfahren ist ein Verfahren zum Lösen von einem linearen Gleichungssystem. Löse dafür zuerst eine der beiden Gleichungen nach einer Variable auf. Den erhaltenen Term kannst du dann in die andere Gleichung einsetzen. Wenn du diese Gleichung auflöst, bekommst du die Lösung für eine der beiden Variablen. Setze die Variable dann in eine der beiden Ursprungsgleichungen ein und rechne aus, um den Wert der zweiten Variable zu erhalten. Mache zum Schluss noch eine Probe (setze dazu die beiden Variablen in beide Ursprungsgleichungen ein), um Rechenfehler ausschließen zu können.
1. Schritt: Gleichung nach einer Variable auflösen
$\begin{array}{} \text{I}\quad&3x+3y&=&4\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&y&=&3x+2\quad\\ \end{array}$
2. Schritt: Term für $y$ in Gleichung $\text{I}$ einsetzen
$3x + 3 \cdot (3x + 2) = 4$
3. Schritt: Auflösen
$\begin{array}[t]{rll} 3x + 3 \cdot (3x + 2)&=&4 &\quad \scriptsize \\[5pt] 3x + 9x + 6&=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; - 6 \\[5pt] 12x&=&-2 &\quad \scriptsize \mid\; :12 \\[5pt] x&=&- \frac{1}{6} \end{array}$
4. Schritt: $x-$Wert in Ursprungsgleichung einsetzen
$\begin{array}[t]{rll} y&=& 3 \cdot (-\frac{1}{6}) + 2&\quad \scriptsize \\[5pt] y&=&-\frac{3}{6} + \frac{12}{6} &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=&\frac{9}{6} = \frac{3}{2} \end{array}$
5. Schritt: Probe
$\begin{array}{} \text{I}\quad&3 \cdot (-\frac{1}{6})+3 \cdot \frac{3}{2}&=&4\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&\frac{3}{2}&=&3 \cdot (-\frac{1}{6}) + 2\quad\\ \end{array}$
Beide Proben stimmen. Somit stimmt auch die ausgerechnete Lösung.
$\mathbb{L} =${$(-\frac{1}{6} \mid \frac{3}{2})$}
b)
$\blacktriangleright$  Gleichsetzungsverfahren
Auch das Gleichsetzungsverfahren ist ein Verfahren zum Lösen von einem linearen Gleichungssystem. Löse dafür beide Gleichungen nach einer Variablen auf (z.B. $y$). Dann kannst du die beiden erhaltenen Terme gleichsetzen und die Gleichung auflösen, sodass du die Lösung für die Variable (in diesem Fall $x$) bekommst. Setze die Variable dann in eine der beiden Ursprungsgleichungen ein und rechne aus, um den Wert der zweiten Variable zu erhalten. Mache zum Schluss noch eine Probe, um Rechenfehler auszuschließen.
1. Schritt: Gleichungen nach einer Variable auflösen
$\begin{array}[t]{rll} 3x + 3y&=&4 &\quad \scriptsize \mid\; -3x\\[5pt] 3y&=&4-3x &\quad \scriptsize \mid\; :3\\[5pt] y&=& \frac{4}{3}-x \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\quad&y&=&\frac{4}{3}-x\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&y&=&3x+2\quad\\ \end{array}$
2. Schritt: Gleichsetzen
$\frac{4}{3}-x = 3x+2$
3. Schritt: Auflösen
$\begin{array}[t]{rll} \frac{4}{3}-x&=&3x+2 &\quad \scriptsize \mid\;+x \\[5pt] \frac{4}{3}&=&4x + \frac{6}{3} &\quad \scriptsize \mid\; -\frac{6}{3} \\[5pt] -\frac{2}{3}&=&4x &\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] -\frac{2}{12}&=&x &\quad \scriptsize \\[5pt] x&=&-\frac{1}{6} \end{array}$
4. Schritt: $x$-Wert in Ursprungsgleichung einsetzen
$\begin{array}[t]{rll} y&=& 3 \cdot (-\frac{1}{6}) + 2&\quad \scriptsize \\[5pt] y&=&-\frac{3}{6} + \frac{12}{6} &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=&\frac{9}{6} = \frac{3}{2} \end{array}$
5. Schritt: Probe
$\begin{array}{} \text{I}\quad&3 \cdot (-\frac{1}{6})+3 \cdot \frac{3}{2}&=&4\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&\frac{3}{2}&=&3 \cdot (-\frac{1}{6}) + 2\quad\\ \end{array}$
Beide Proben stimmen. Somit stimmt auch die ausgerechnete Lösung.
$\mathbb{L} =${$(-\frac{1}{6} \mid \frac{3}{2})$}
c)
$\blacktriangleright$  Additionsverfahren
Das Additionsverfahren ist ebenfalls ein Verfahren zum Lösen von einem linearen Gleichungssystem. Um es anzuwenden, müssen vor einer Variable betragsgleiche Koeffizienten mit einem unterschiedlichen Vorzeichen stehen. Wenn das nicht direkt der Fall ist, kannst du mithilfe von Äquivalenzumformungen die Koeffizienten zu einer Variablen in die Form bringen, die du brauchst. Addiere die beiden Gleichungen miteinander, eine Variable wird wegfallen (z.b. $x$). Löse den entstandenen Term nach der übrig gebliebenen Variable (in diesem Fall $y$) auf. Setze die Variable in eine der beiden Ursprungsgleichungen ein und rechne aus, um den Werrt der zweiten Variable zu erhalten. Mache zum Schluss noch eine Probe, um Rechenfehler auszuschließen.
1. Schritt: Betragsgleiche Koeffizienten mit unterschiedlichem Vorzeichen bilden
$\begin{array}{} \text{I}\quad&3x + 3y&=&4\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&- 3x +y&=&2\quad\\ \end{array}$
2. Schritt: Gleichungen addieren
$\begin{array}{} \text{I}\quad&3x + 3y&=&4\quad \scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{I}+\text{II}\\ \text{II}\quad&- 3x+y&=&2\quad\\ \hline \text{I} \,+\text{II}\quad&4y&=&6\quad\\ \end{array}$
3. Schritt: Auflösen
$\begin{array}[t]{rll} 4y&=& 6&\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] y&=&\frac{6}{4} = \frac{3}{2} \end{array}$
4. Schritt: $y$-Wert in Ursprungsgleichung einsetzen
$\begin{array}[t]{rll} 3x + 3 \cdot \frac{3}{2} &=&4 &\quad \scriptsize \mid\; \\[5pt] 3x +\frac{9}{2}&=& \frac{8}{2}&\quad \scriptsize \mid\; -\frac{9}{2} \\[5pt] 3x&=& -\frac{1}{2}&\quad \scriptsize \mid\; :3\\[5pt] x&=&-\frac{1}{6} \end{array}$
5. Schritt: Probe
$\begin{array}{} \text{I}\quad&3 \cdot (-\frac{1}{6})+3 \cdot \frac{3}{2}&=&4\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&\frac{3}{2}&=&3 \cdot (-\frac{1}{6}) + 2\quad\\ \end{array}$
Beide Proben stimmen. Somit stimmt auch die ausgerechnete Lösung.
$\mathbb{L} =${$(-\frac{1}{6} \mid \frac{3}{2})$}

Aufgabe 1

a)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&2y - 4x&=&2\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&y&=&-3x + 6\quad\\ \end{array}$
Gleichung $\text{II}$ ist bereits nach $y$ aufgelöst. Setze den Term für $y$ in die Gleichung $\text{I}$ ein und löse auf.
$\begin{array}[t]{rll} 2\cdot (-3x + 6) - 4x&=& 2&\quad \scriptsize \\[5pt] -6x + 12 - 4x&=&2 &\quad \scriptsize \mid\; -12\\[5pt] -10x&=&-10 &\quad \scriptsize \mid\; :(-10)\\[5pt] x&=&1 \end{array}$
Setze den $x-$Wert in eine der Ursprungsgleichungen ein, um den $y-$Wert herauszufinden.
$\begin{array}[t]{rll} 2y - 4 \cdot 1&=&2 &\quad \scriptsize \mid\; +4 \\[5pt] 2y&=&6 &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] y&=&3 \end{array}$
Mach die Probe.
$\begin{array}[t]{rll} 2 \cdot 3 - 4 \cdot 1&=& 2&\quad \scriptsize \\[5pt] 3&=& -3 \cdot 1 + 6 \end{array}$
Beide Proben stimmen. Somit stimmt auch die ausgerechnete Lösung.
$\mathbb{L} =${$(1 \mid 3)$}
b)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&y&=&4x+14\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&4y+2x&=&2\quad\\ \end{array}$
Gleichung $\text{I}$ ist bereits nach $y$ aufgelöst. Setze den Term für $y$ in die Gleichung $\text{II}$ ein und löse auf.
$\begin{array}[t]{rll} 4 \cdot (4x+14) + 2x&=& 2&\quad \scriptsize \\[5pt] 16x + 56 + 2x&=&2 &\quad \scriptsize \mid\; -56\\[5pt] 18x&=&-54 &\quad \scriptsize \mid\; :18\\[5pt] x&=&-3 \end{array}$
Setze den $x-$Wert in eine der Ursprungsgleichungen ein, um den $y-$Wert herauszufinden.
$\begin{array}[t]{rll} 4y+ 2 \cdot (-3)&=&2 &\quad \scriptsize \\[5pt] 4y - 6&=&2 &\quad \scriptsize \mid\; +6 \\[5pt] 4y&=&8 &\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] y&=&2 \end{array}$
Mach die Probe.
$\begin{array}[t]{rll} 2&=& 4 \cdot (-3) + 14&\quad \scriptsize \\[5pt] 4 \cdot 2 + 2 \cdot (-3)&=& 2 \end{array}$
Beide Proben stimmen. Somit stimmt auch die ausgerechnete Lösung.
$\mathbb{L} =${$(-3 \mid 2)$}
c)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&0,5y - x&=&-5\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&2y+6x&=&20\quad\\ \end{array}$
Löse Gleichung $\text{I}$ nach $y$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} 0,5y - x&=& -5&\quad \scriptsize \mid\; +x \\[5pt] 0,5y&=& -5+x&\quad \scriptsize \mid\; \cdot 2\\[5pt] y&=&-10 + 2x \end{array}$
Setze den Term für $y$ aus Gleichung $\text{I}$ in die Gleichung $\text{II}$ ein und löse auf.
$\begin{array}[t]{rll} 2 \cdot (-10 + 2x) + 6x&=& 20&\quad \scriptsize \\[5pt] -20 + 4x + 6x&=&20 &\quad \scriptsize \mid\; +20\\[5pt] 10x&=&40 &\quad \scriptsize \mid\; :10\\[5pt] x&=&4 \end{array}$
Setze den $x-$Wert in eine der Ursprungsgleichungen ein, um den $y-$Wert herauszufinden.
$\begin{array}[t]{rll} 0,5y- 4&=&-5 &\quad \scriptsize +4 \\[5pt] 0,5y&=&-1 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 2 \\[5pt] y&=&-2 \end{array}$
Mach die Probe.
$\begin{array}[t]{rll} 0,5 \cdot (-2) - 4&=&-5&\quad \scriptsize \\[5pt] 2 \cdot (-2) + 6 \cdot 4&=& 20 \end{array}$
Beide Proben stimmen. Somit stimmt auch die ausgerechnete Lösung.
$\mathbb{L} =${$(4 \mid -2)$}
d)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x&=&2,5+0,5y\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&y+3x&=&20\quad\\ \end{array}$
Gleichung $\text{I}$ ist bereits nach $x$ aufgelöst. Setze den Term für $x$ in die Gleichung $\text{II}$ ein und löse auf.
$\begin{array}[t]{rll} y + 3 \cdot (2,5+0,5 y)&=& 20&\quad \scriptsize \\[5pt] y + 7,5 + 1,5y&=&20 &\quad \scriptsize \mid\; -7,5\\[5pt] 2,5y&=&12,5 &\quad \scriptsize \mid\; :2,5\\[5pt] y&=& 5 \end{array}$
Setze den $y-$Wert in eine der Ursprungsgleichungen ein, um den $x-$Wert herauszufinden.
$\begin{array}[t]{rll} 5 + 3x&=&20 &\quad \scriptsize \mid\; -5 \\[5pt] 3x&=&15 &\quad \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt] x&=&5 \end{array}$
Mach die Probe.
$\begin{array}[t]{rll} 5&=& 2,5 + 0,5 \cdot 5&\quad \scriptsize \\[5pt] 5 + 3 \cdot 5&=& 20 \end{array}$
Beide Proben stimmen. Somit stimmt auch die ausgerechnete Lösung.
$\mathbb{L} =${$(5 \mid 5)$}
e)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&9x&=&3y-39\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&4y+4&=&-8x+16\quad\\ \end{array}$
Löse Gleichung $\text{II}$ nach $y$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} 9x&=&3y - 39&\quad \scriptsize \mid\; -9x, +3y\\[5pt] 3y&=&-39 + 9x&\quad \scriptsize \mid\; :3\\[5pt] y&=&13 + 3x \end{array}$
Setze den Term für $y$ aus Gleichung $\text{I}$ in die Gleichung $\text{II}$ ein und löse auf.
$\begin{array}[t]{rll} 4 \cdot (13 + 3x)+4&=& -8x+16&\quad \scriptsize \\[5pt] 52 + 12x + 4&=&-8x+16 &\quad \scriptsize \mid\; +20\\[5pt] 56 + 12x&=&-8x + 16 &\quad \scriptsize \mid\; +8x, -56\\[5pt] 20x&=&-40 &\quad \scriptsize \mid\; :20\\[5pt] x&=&-2 \end{array}$
Setze den $x-$Wert in eine der Ursprungsgleichungen ein, um den $y-$Wert herauszufinden.
$\begin{array}[t]{rll} 9 \cdot (-2)&=&3y - 39&\quad \scriptsize \\[5pt] -18&=&3y - 39 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot +39 \\[5pt] 21&=&3y &\quad \scriptsize \mid\; :3\\[5pt] 7&=&y \end{array}$
Mach die Probe.
$\begin{array}[t]{rll} 9 \cdot (-2)&=&3 \cdot 7 - 39&\quad \scriptsize \\[5pt] 4 \cdot 7 + 4&=& -8 \cdot (-2) + 16 \end{array}$
Beide Proben stimmen. Somit stimmt auch die ausgerechnete Lösung.
$\mathbb{L} =${$(-2 \mid 7)$}
f)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&2y - 4x +2&=&-12\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&4y&=&2x-10\quad\\ \end{array}$
Löse Gleichung $\text{II}$ nach $y$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} 4y&=&2x-10&\quad \scriptsize \mid\; :4\\[5pt] y&=&0,5x - 2,5 \end{array}$
Setze den Term für $y$ aus Gleichung $\text{II}$ in die Gleichung $\text{I}$ ein und löse auf.
$\begin{array}[t]{rll} 2 \cdot (0,5x - 2,5) - 4x + 2&=&-12&\quad \scriptsize \\[5pt] x - 5 - 4x + 2&=&-12 &\quad \scriptsize \\[5pt] -3x - 3&=&-12 &\quad \scriptsize \mid\; +3 \\[5pt] -3x&=&-9&\quad \scriptsize \mid\; :(-3)\\[5pt] x&=&3 \end{array}$
Setze den $x-$Wert in eine der Ursprungsgleichungen ein, um den $y-$Wert herauszufinden.
$\begin{array}[t]{rll} 4y&=&2 \cdot 3 - 10&\quad \scriptsize \\[5pt] 4y&=&-4&\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] y&=&-1 \end{array}$
Mach die Probe.
$\begin{array}[t]{rll} 2 \cdot (-1) - 4 \cdot 3 + 2&=&-12&\quad \scriptsize \\[5pt] 4 \cdot (-1)&=& 2 \cdot 3 - 10 \end{array}$
Beide Proben stimmen. Somit stimmt auch die ausgerechnete Lösung.
$\mathbb{L} =${$(3 \mid -1)$}

Aufgabe 2

a)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&-2x&=&-8-y\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&y&=&0,5x+2,5\quad\\ \end{array}$
Gleichung $\text{II}$ ist bereits nach $y$ aufgelöst. Löse Gleichung $\text{I}$ nach $y$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} -2x&=&-8-y&\quad \scriptsize \mid\; + y, + 2x\\[5pt] y&=&-8 + 2x \end{array}$
Setze die beiden Terme für $y$ gleich und löse auf.
$\begin{array}[t]{rll} -8 + 2x &=&0,5x+2,5&\quad \scriptsize \mid\; -0,5x, +8 \\[5pt] 1,5x&=&10,5 &\quad \scriptsize \mid\; :1,5 \\[5pt] x&=&7 \end{array}$
Setze den $x-$Wert in eine der Ursprungsgleichungen ein, um den $y-$Wert herauszufinden.
$\begin{array}[t]{rll} -2 \cdot 7&=&-8-y&\quad \scriptsize \\[5pt] -14&=&-8-y&\quad \scriptsize \mid\; +y, +14 \\[5pt] y&=&6 \end{array}$
Mach die Probe.
$\begin{array}[t]{rll} -2 \cdot 7&=&-8 - 6&\quad \scriptsize \\[5pt] 6&=& 0,5 \cdot 7 + 2,5 \end{array}$
Beide Proben stimmen. Somit stimmt auch die ausgerechnete Lösung.
$\mathbb{L} =${$(7 \mid 6)$}
b)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&y&=&6x+2\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&y-3,5x&=&4,5\quad\\ \end{array}$
Gleichung $\text{I}$ ist bereits nach $y$ aufgelöst. Löse Gleichung $\text{II}$ nach $y$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} y-3,5x&=&4,5&\quad \scriptsize \mid\; + 3,5x\\[5pt] y&=&4,5 + 3,5x \end{array}$
Setze die beiden Terme für $y$ gleich und löse auf.
$\begin{array}[t]{rll} 6x+2&=&4,5 + 3,5x&\quad \scriptsize \mid\; -2, -3,5x \\[5pt] 2,5x&=&2,5 &\quad \scriptsize \mid\; :2,5 \\[5pt] x&=&1 \end{array}$
Setze den $x-$Wert in eine der Ursprungsgleichungen ein, um den $y-$Wert herauszufinden.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&6 \cdot 1 + 2&\quad \scriptsize \\[5pt] y&=&8 \end{array}$
Mach die Probe.
$\begin{array}[t]{rll} 8&=&6 \cdot 1 + 2&\quad \scriptsize \\[5pt] 8 - 3,5 \cdot 1&=&4,5 \end{array}$
Beide Proben stimmen. Somit stimmt auch die ausgerechnete Lösung.
$\mathbb{L} =${$(1 \mid 8)$}
c)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&3y-9x&=&-6\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&2x&=&6-0,5y\quad\\ \end{array}$
Löse beide Gleichungen nach $y$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} 3y-9x&=&-6&\quad \scriptsize \mid\; +9x\\[5pt] 3y&=&-6+9x &\quad \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt] y&=&-2 + 3x \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 2x&=&6-0,5y&\quad \scriptsize \mid\; +0,5y, -2x\\[5pt] 0,5y&=&6-2x &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 2 \\[5pt] y&=&12 - 4x \end{array}$
Setze die beiden Terme für $y$ gleich und löse auf.
$\begin{array}[t]{rll} -2 + 3x&=&12 - 4x&\quad \scriptsize \mid\; +4x, +2 \\[5pt] 7x&=&14&\quad \scriptsize \mid\; :7\\[5pt] x&=&2 \end{array}$
Setze den $x-$Wert in eine der Ursprungsgleichungen ein, um den $y-$Wert herauszufinden.
$\begin{array}[t]{rll} 3y - 9 \cdot 2&=&-6&\quad \scriptsize \\[5pt] 3y - 18&=&-6 &\quad \scriptsize \mid\; + 18 \\[5pt] 3y&=&12 &\quad \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt] y&=&4 \end{array}$
Mach die Probe.
$\begin{array}[t]{rll} 3 \cdot 4 - 9 \cdot 2&=&-6&\quad \scriptsize \\[5pt] 2 \cdot 2&=&6 - 0,5 \cdot 4 \end{array}$
Beide Proben stimmen. Somit stimmt auch die ausgerechnete Lösung.
$\mathbb{L} =${$(2 \mid 4)$}
d)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&2y&=&4x-18\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&2y&=&-8x+18\quad\\ \end{array}$
Löse beide Gleichungen nach $y$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} 2y&=&4x-18&\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] y&=&2x-9 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 2y&=&-8x+18&\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] y&=&-4x+9 \end{array}$
Setze die beiden Terme für $y$ gleich und löse auf.
$\begin{array}[t]{rll} 2x-9&=&-4x+9&\quad \scriptsize \mid\; +4x, +9 \\[5pt] 6x&=&18&\quad \scriptsize \mid\; :6\\[5pt] x&=&3 \end{array}$
Setze den $x-$Wert in eine der Ursprungsgleichungen ein, um den $y-$Wert herauszufinden.
$\begin{array}[t]{rll} 2y&=&4 \cdot 3 - 18&\quad \scriptsize \\[5pt] 2y&=&12 - 18 &\quad \scriptsize \mid\; \\[5pt] 2y&=&-6 &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] y&=&-3 \end{array}$
Mach die Probe.
$\begin{array}[t]{rll} 2 \cdot (-3)&=&4 \cdot 3 - 18&\quad \scriptsize \\[5pt] 2 \cdot (-3)&=&-8 \cdot 3 + 18 \end{array}$
Beide Proben stimmen. Somit stimmt auch die ausgerechnete Lösung.
$\mathbb{L} =${$(3 \mid -3)$}
e)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&-2x+y&=&-11\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&y&=&-0,5x+1,5\quad\\ \end{array}$
Gleichung $\text{II}$ ist bereits nach $y$ aufgelöst. Löse die Gleichung $\text{I}$ nach $y$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} -2x+y&=&-11&\quad \scriptsize \mid\; +2x\\[5pt] y&=&-11+2x \end{array}$
Setze die beiden Terme für $y$ gleich und löse auf.
$\begin{array}[t]{rll} -11+2x&=&-0,5x+1,5&\quad \scriptsize \mid\; +0,5x, +11 \\[5pt] 2,5x&=&12,5&\quad \scriptsize \mid\; :2,5\\[5pt] x&=&5 \end{array}$
Setze den $x-$Wert in eine der Ursprungsgleichungen ein, um den $y-$Wert herauszufinden.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& - 0,5 \cdot 5 + 1,5&\quad \scriptsize \\[5pt] y&=&-2,5 + 1,5 &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=&-1 \end{array}$
Mach die Probe.
$\begin{array}[t]{rll} -2 \cdot 5 + (-1)&=&-11&\quad \scriptsize \\[5pt] -1&=&-0,5 \cdot 5 + 1,5 \end{array}$
Beide Proben stimmen. Somit stimmt auch die ausgerechnete Lösung.
$\mathbb{L} =${$(5 \mid -1)$}
f)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&3y+9x+2&=&26\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&0,5y+0,5&=&x-0,5\quad\\ \end{array}$
Löse beide Gleichungen nach $y$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} 3y+9x+2&=&26&\quad \scriptsize \mid\; -9x, -2\\[5pt] 3y&=&24 - 9x &\quad \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt] y&=&8 - 3x \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 0,5y+0,5&=&x-0,5&\quad \scriptsize \mid\; -0,5\[5pt] 0,5y&=&x-1&\quad \scriptsize \cdot 2\[5pt] y&=&2x-2 \end{array}$
Setze die beiden Terme für $y$ gleich und löse auf.
$\begin{array}[t]{rll} 8 - 3x&=&2x-2&\quad \scriptsize \mid\; -2x, -8 \\[5pt] -5x&=&-10&\quad \scriptsize \mid\; :(-5)\\[5pt] x&=&2 \end{array}$
Setze den $x-$Wert in eine der Ursprungsgleichungen ein, um den $y-$Wert herauszufinden.
$\begin{array}[t]{rll} 0,5y + 0,5&=&2 - 0,5&\quad \scriptsize \mid\;-0,5 \\[5pt] 0,5y&=&1 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 2 \\[5pt] y&=&2 \end{array}$
Mach die Probe.
$\begin{array}[t]{rll} 3 \cdot 2 + 9 \cdot 2 + 2 &=&26&\quad \scriptsize \\[5pt] 0,5 \cdot 2 + 0,5&=&2 -0,5 \end{array}$
Beide Proben stimmen. Somit stimmt auch die ausgerechnete Lösung.
$\mathbb{L} =${$(2 \mid 2)$}

Aufgabe 3

a)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&y + 2x&=&6\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&2y-2x&=&-6\quad\\ \end{array}$
Bei den Gleichungen stehen vor einer Variable bereits betragsgleiche Koeffizienten mit unterschiedlichem Vorzeichen. Du kannst die Gleichungen also direkt addieren.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&y + 2x&=&6\quad \scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{I}+\text{II}\\ \text{II}\quad&2y-2x&=&-6\quad\\ \hline \text{I} \,+\text{II}\quad&3y&=&0\quad \mid\; :3\\ \quad&y&=&0\quad\\ \end{array}$
Setze den $y-$Wert in eine der Ursprungsgleichungen ein, um den $x-$Wert herauszufinden.
$\begin{array}[t]{rll} 0 + 2x&=&6&\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] x&=&3 \end{array}$
Mach die Probe.
$\begin{array}[t]{rll} 0 + 2 \cdot 3&=&6&\quad \scriptsize \\[5pt] 2 \cdot 0 - 2 \cdot 3&=&2 -6 \end{array}$
Beide Proben stimmen. Somit stimmt auch die ausgerechnete Lösung.
$\mathbb{L} =${$(3 \mid 0)$}
b)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&3y-9x&=&3\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&-3y + 7,5x&=&-4,5\quad\\ \end{array}$
Bei den Gleichungen stehen vor einer Variable bereits betragsgleiche Koeffizienten mit unterschiedlichem Vorzeichen. Du kannst die Gleichungen also direkt addieren.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&3y-9x&=&3\quad \scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{I}+\text{II}\\ \text{II}\quad&-3y + 7,5x&=&-4,5\quad\\ \hline \text{I} \,+\text{II}\quad&-1,5x&=&-1,5\quad \mid\; :(-1,5)\\ \quad&x&=&1\quad\\ \end{array}$
Setze den $x-$Wert in eine der Ursprungsgleichungen ein, um den $y-$Wert herauszufinden.
$\begin{array}[t]{rll} 3y - 9 \cdot 1&=&3&\quad \scriptsize \mid\; +9 \\[5pt] 3y&=&12 &\quad \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt] y&=&4 \end{array}$
Mach die Probe.
$\begin{array}[t]{rll} 3 \cdot 4 - 9 \cdot 1&=&3&\quad \scriptsize \\[5pt] -3 \cdot 4 + 7,5 \cdot 1&=&-4,5 \end{array}$
Beide Proben stimmen. Somit stimmt auch die ausgerechnete Lösung.
$\mathbb{L} =${$(1 \mid 4)$}
c)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&y-2x&=&-3\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&2 \cdot (0,5y + x)&=&17\quad\\ \end{array}$
Bei den Gleichungen stehen vor einer Variable bereits betragsgleiche Koeffizienten mit unterschiedlichem Vorzeichen. Du kannst die Gleichungen also direkt addieren.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&y-2x&=&-3\quad \scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{I}+\text{II}\\ \text{II}\quad&y + 2x&=&17\quad\\ \hline \text{I} \,+\text{II}\quad&2y&=&14\quad \mid\; :2\\ \quad&y&=&7\quad\\ \end{array}$
Setze den $y-$Wert in eine der Ursprungsgleichungen ein, um den $x-$Wert herauszufinden.
$\begin{array}[t]{rll} 7 - 2x&=&-3&\quad \scriptsize \mid\; -7 \\[5pt] -2x&=&-10&\quad \scriptsize \mid\; :(-2) \\[5pt] x&=&5 \end{array}$
Mach die Probe.
$\begin{array}[t]{rll} 7 - 2 \cdot 5&=&-3&\quad \scriptsize \\[5pt] 2 \cdot (0,5 \cdot 7 + 5)&=&17 \end{array}$
Beide Proben stimmen. Somit stimmt auch die ausgerechnete Lösung.
$\mathbb{L} =${$(5 \mid 7)$}
d)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&-y+x&=&8\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&2 \cdot (y - 0,5x)&=&-10\quad\\ \end{array}$
Bei den Gleichungen stehen vor einer Variable bereits betragsgleiche Koeffizienten mit unterschiedlichem Vorzeichen. Du kannst die Gleichungen also direkt addieren.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&-y+x&=&8\quad \scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{I}+\text{II}\\ \text{II}\quad&2y - x&=&-10\quad\\ \hline \text{I} \,+\text{II}\quad&y&=&-2\quad \\ \end{array}$
Setze den $y-$Wert in eine der Ursprungsgleichungen ein, um den $x-$Wert herauszufinden.
$\begin{array}[t]{rll} 2 + x&=&8&\quad \scriptsize \mid\; -2 \\[5pt] x&=&6 \end{array}$
Mach die Probe.
$\begin{array}[t]{rll} 2 + 6&=&8&\quad \scriptsize \\[5pt] 2 \cdot (-2 - 0,5 \cdot 6)&=&-10 \end{array}$
Beide Proben stimmen. Somit stimmt auch die ausgerechnete Lösung.
$\mathbb{L} =${$(6 \mid 2)$}
e)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&2y-3x&=&13\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&y+2x&=&-4\quad\\ \end{array}$
Bei den Gleichungen stehen vor einer Variable noch keine betragsgleichen Koeffizienten mit unterschiedlichem Vorzeichen. Wende eine Äquvalenzumformung an, um die Koeffizienten zu $y$ in die Form zu bringen, die du benötigst.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&2y-3x&=&13\quad\\ \text{II}\quad&y+2x&=&-4\quad \mid\; \cdot (-2)\\ \hline \text{I}\quad&2y-3x&=&13\quad \scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{I}+\text{II}\\ \text{II}\quad&-2y-4x&=&8\quad\\ \hline \text{I} \,+\text{II}\quad&-7x&=&21\quad \mid\; :(-7) \\ \quad&x&=&-3\quad \\ \end{array}$
Setze den $x-$Wert in eine der Ursprungsgleichungen ein, um den $y-$Wert herauszufinden.
$\begin{array}[t]{rll} y + 2 \cdot -3 &=&-4&\quad \scriptsize \mid\; -2 \\[5pt] y - 6&=&-4 &\quad \scriptsize \mid\; +6 \\[5pt] y=&=&2 \end{array}$
Mach die Probe.
$\begin{array}[t]{rll} 2 \cdot 2 - 3 \cdot (-3)&=&13&\quad \scriptsize \\[5pt] 2 + 2 \cdot (-3)&=&-4 \end{array}$
Beide Proben stimmen. Somit stimmt auch die ausgerechnete Lösung.
$\mathbb{L} =${$(-3 \mid 2)$}
f)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&y+2x&=&-8\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&y-0,5x&=&9,5\quad\\ \end{array}$
Bei den Gleichungen stehen vor einer Variable noch keine betragsgleichen Koeffizienten mit unterschiedlichem Vorzeichen. Wende eine Äquvalenzumformung an, um die Koeffizienten zu $y$ in die Form zu bringen, die du benötigst.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&y+2x&=&-8\quad \mid\; \cdot (-1)\\ \text{II}\quad&y-0,5x&=&9,5\quad\\ \hline \text{I}\quad&-y - 2x&=&8\quad \scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{I}+\text{II}\\ \text{II}\quad&y-0,5&=&9,5\quad\\ \hline \text{I} \,+\text{II}\quad&-2,5x&=&17,5\quad \mid\; :(-2,5) \\ \quad&x&=&-7\quad \\ \end{array}$
Setze den $x-$Wert in eine der Ursprungsgleichungen ein, um den $y-$Wert herauszufinden.
$\begin{array}[t]{rll} y + 2 \cdot (-7)&=&-8&\quad \scriptsize \\[5pt] y -14&=&-8&\quad \scriptsize \mid\; +14\\[5pt] y=&=&6 \end{array}$
Mach die Probe.
$\begin{array}[t]{rll} 6 + 2 \cdot (-7)&=&-8&\quad \scriptsize \\[5pt] 6 - 0,5 \cdot (-7)&=&9,5 \end{array}$
Beide Proben stimmen. Somit stimmt auch die ausgerechnete Lösung.
$\mathbb{L} =${$(-7\mid 6)$}

Aufgabe 4

Wenn du das lineare Gleichungssystem aufgestellt hast, überlege dir, welches Lösungsverfahren für dieses Gleichungssystem am geschicktesten ist.
a)
$x$: Erwachsene, $y$: Kinder
$\begin{array}{} \text{I}\quad&4x + 7y&=&96\quad \\ \text{II}\quad&2x + 3y&=&44\quad\\ \end{array}$
Benutze das Additionsverfahren.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&4x + 7y&=&96\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&2x + 3y&=&44\quad \mid\; \cdot(-2)\\ \hline \text{I}\quad&4x + 7y&=&96\quad \scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{I}+\text{II}\\ \text{II}\quad&-4x - 6y&=&-88\quad\\ \hline \text{I} \,+\text{II}\quad&y&=&8\quad \end{array}$
Setze den $y$-Wert in eine der beiden Ursprungsgleichungen ein.
$\begin{array}[t]{rll} 2x + 3 \cdot 8&=&44&\quad \scriptsize \\[5pt] 2x + 24&=&44&\quad \scriptsize \mid\; -24\\[5pt] 2x&=&20 &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] x&=&10 \end{array}$
Mach die Probe.
$\begin{array}[t]{rll} 4 \cdot 10 + 7 \cdot 8&=&96&\quad \scriptsize \\[5pt] 2 \cdot 10 + 3 \cdot 8&=&44 \end{array}$
Beide Proben stimmen. Somit stimmt auch die ausgerechnete Lösung.
$\mathbb{L} =${$(10\mid 8$}
Der Kinoeintritt für Erwachsene kostet $10$€, der Kinoeintritt für Kinder $8$€.
b)
$x$: Preis Käsebrötchen, $y$: Preis Brezel
$\begin{array}{} \text{I}\quad&2x + 4y&=&5,6\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&5x + y&=&7,7\quad \mid\; \cdot(-2)\\ \end{array}$
Benutze das Einsetzungsverfahren. Löse Gleichung $\text{II}$ nach $y$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} 5x + y&=&7,7&\quad \scriptsize \mid\; -5x\\[5pt] y&=&7,7 - 5x \end{array}$
Setze den Term für $y$ aus Gleichung $\text{II}$ in die Gleichung $\text{I}$ ein und löse auf.
$\begin{array}[t]{rll} 2x + 4 \cdot (7,7 - 5x)&=&5,6&\quad \scriptsize \\[5pt] 2x + 30,8 - 20x&=&5,6&\quad \scriptsize \mid\; -30,8\\[5pt] -18x&=&-25,2 &\quad \scriptsize \mid\; :(-18)\\[5pt] x&=&1,4 \end{array}$
Setze den $x$-Wert in eine der beiden Ursprungsgleichungen ein.
$\begin{array}[t]{rll} 5 \cdot 1,4 + y&=&7,7&\quad \scriptsize \\[5pt] 7 + y&=&7,7&\quad \scriptsize \mid\; -7\\[5pt] y&=&0,7 \end{array}$
Mach die Probe.
$\begin{array}[t]{rll} 2 \cdot 1,4 + 4 \cdot 0,7&=&5,6&\quad \scriptsize \\[5pt] 5 \cdot 1,4 + 0,7&=&7,7 \end{array}$
Beide Proben stimmen. Somit stimmt auch die ausgerechnete Lösung.
$\mathbb{L} =${$(1,4\mid 1,7$}
Ein Käsebrötchen kostet $1,40$€ und eine Brezel kostet $1,70$€.
c)
$x$: Zahl 1, $y$: Zahl 2
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x+y&=&15\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&x-y&=&1\quad \mid\; \cdot(-2)\\ \end{array}$
Benutze das Einsetzungsverfahren. Löse Gleichung $\text{I}$ nach $y$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} x+y&=&15&\quad \scriptsize \mid\; -x\\[5pt] y&=&15-x \end{array}$
Setze den Term für $y$ aus Gleichung $\text{I}$ in die Gleichung $\text{II}$ ein und löse auf.
$\begin{array}[t]{rll} x - (15-x)&=&1&\quad \scriptsize \\[5pt] x - 15 +x&=&1&\quad \scriptsize \mid\; +15\\[5pt] 2x&=&16 &\quad \scriptsize \mid\; :2)\\[5pt] x&=&8 \end{array}$
Setze den $x$-Wert in eine der beiden Ursprungsgleichungen ein.
$\begin{array}[t]{rll} 8 - y&=&1&\quad \scriptsize \mid\; +y, - 1\\[5pt] 7&=&y \end{array}$
Mach die Probe.
$\begin{array}[t]{rll} 8 + 7&=&15&\quad \scriptsize \\[5pt] 8-7&=&1 \end{array}$
Beide Proben stimmen. Somit stimmt auch die ausgerechnete Lösung.
$\mathbb{L} =${$(8\mid 7$}
Die beiden gesuchten Ziffern sind $8$ und $7$.
d)
$x$: Zahl 1, $y$: Zahl 2
$\begin{array}{} \text{I}\quad&(x+y) \cdot 3 &=&42\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&(x-y) \cdot 2&=&8\quad \mid\; \cdot(-2)\\ \end{array}$
Benutze das Additionsverfahren.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&3x+3y&=&42\quad \scriptsize \mid\; \cdot 2\\ \text{II}\quad&2x-2y&=&8\quad \mid\; \cdot 3\\ \hline \text{I}\quad&6x + 6y&=&84\quad \scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{I}+\text{II}\\ \text{II}\quad&6x - 6y&=&24\quad\\ \hline \text{I} \,+\text{II}\quad&12x&=&108\quad \mid\; :12\\ \quad&x&=&9\quad\\ \end{array}$
Setze den $x$-Wert in eine der beiden Ursprungsgleichungen ein.
$\begin{array}[t]{rll} 2 \cdot 9 - 2y&=&8&\quad \scriptsize \\[5pt] 18-2y&=&8&\quad \scriptsize \mid\; -18\\[5pt] -2y&=&-10 &\quad \scriptsize \mid\; :(-2)\\[5pt] y&=&5 \end{array}$
Mach die Probe.
$\begin{array}[t]{rll} 3 \cdot 9 + 3 \cdot 5&=&42&\quad \scriptsize \\[5pt] 2 \cdot 9 - 2 \cdot 5&=&8 \end{array}$
Beide Proben stimmen. Somit stimmt auch die ausgerechnete Lösung.
$\mathbb{L} =${$(9\mid 5$}
Die beiden gesuchten Ziffern sind $9$ und $5$.
#einsetzungsverfahren#additionsverfahren
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