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Zeichnerisch lösen

Spickzettel
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Um ein lineares Gleichungssystem zeichnerisch zu lösen, zeichnest du die Geraden, die durch die Gleichungen beschrieben werden in ein Koordinatensystem ein. Wenn du die Lage der Geraden zueinander betrachtest, gibt es verschiedene Möglichkeiten:
  • Die beiden Geraden, die du eingezeichnet hast, schneiden sich in genau einem Punkt. Das bedeutet, dass das lineare Gleichungssystem genau eine Lösung hat.
  • Die beiden Geraden, die du eingezeichnest hast, liegen parallel zueinander. Daher gibt es keinen Schnittpunkt und somit auch kein Zahlenpaar, das beide Gleichungen erfüllt. Das lineare Gleichungessystem hat keine Lösung: $\mathbb{L}= \emptyset$
  • Die beiden Geraden, die du eingezeichnest hast, sind identisch. Sie liegen aufeinander. Jedes Zahlenpaar, das die erste Gleichung erfüllt, erfüllt auch die zweite Gleichung und natürlich umgekehrt. Das lineare Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen.
#lgs
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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Stelle für die beschriebenen Situationen je zwei Gleichungen auf.
a)
Leon kauft $2$ Packungen Gummibärchen und $5$ Tafeln Schokolade. Dafür bezahlt er $8,90$€. Sarah kauft $4$ Packungen Gummibärchen und $3$ Tafeln Schokolade. Sie bezahlt dafür $8,80$€.
b)
Jan musste noch $4$ Aufgaben in Erdkunde und $2$ Aufgaben in Mathe als Hausaufgabe erledigen. Dafür benötigte er $1$ Stunde und $10$ Minuten. Julia musste in Erdkunde $1$ Aufgabe und in Mathe $5$ Aufgaben erledigen. Sie benötigte dafür $1$ Stunde und $25$ Minuten.
c)
Die Summe zweier Zahlen ist $8$, ihre Differenz ist $2$.
d)
Die Summe zweier Zahlen ist $20$, ihre Differenz ist $0$.
#lgs

Aufgabe 1

Löse die linearen Gleichungssysteme zeichnerisch und analysiere ihre Lösungsmenge. Welche Unterschiede stellst du fest?
a)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&y&=&-2x + 1\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&y&=&x+3\quad\\ \end{array}$
b)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&y&=&0,6x\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&y&=&\frac{3}{5}x + 3,2\quad\\ \end{array}$
c)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&y&=&2x+4\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&y&=&4 \cdot (\frac{1}{2}x+1)\quad\\ \end{array}$
#lgs

Aufgabe 2

Bestimme die Lösungsmenge, indem du die Geraden zeichnest. Setze die zeichnerisch ermittelte Lösungsmenge dann zur Probe in beide Gleichungen ein.
a)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&y&=&2x -4\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&y&=&-x+5 \quad\\ \end{array}$
b)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&y&=&5x -4\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&y&=&2,5x - 1,5\quad\\ \end{array}$
c)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&y&=&3x -10\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&y&=&0,5x\quad\\ \end{array}$
d)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&y&=&x+5\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&y&=&4x+11\quad\\ \end{array}$
e)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&y&=&2x +4\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&y&=&5x+4\quad\\ \end{array}$
f)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&y&=&3x+2 \quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&y&=&3 \cdot (x+1)\quad\\ \end{array}$
g)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&y&=&3x+2 \quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&y&=&0,5x+4,5\quad\\ \end{array}$
h)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&y&=&-x+5 \quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&y&=&2x-7\quad\\ \end{array}$

Aufgabe 3

Stelle für die beschriebenen Situationen je zwei Gleichungen auf. Löse dann das lineare Gleichungssystem zeichnerisch und erkläre, was die Lösung für die geschilderte Situation bedeutet.
a)
Sophie möchte mit ihrer Familie ins Spaßbad. Sie weiß, dass der Preis für $2$ Erwachsene und $3$ Kinder bei $19$€ liegt. Der Verkäufer erklärt ihr, dass der Preis für $4$ Erwachsene und $2$ Kinder bei $26$€ liegt.
b)
Auf dem Jahrmarkt möchte David etwas Süßes kaufen. Er weiß, dass $2$ Tüten gebrannte Mandeln und $4$ Packungen Magenbrot $17$ € kosten. Der Verkäufer erklärt ihm, dass der Preis für $3$ Tüten gebrannte Mandeln und $3$ Packungen Magenbrot bei $16,50$€ liegt.
c)
Sarah ist mit ihren Freunden im Europapark. Sie weiß, dass sie, wenn sie $1-$mal Blue Fire und $5$ Silver Star fährt, insgesamt $17,25$ Minuten Achterbahnfahrt erlebt. Ihr Freund Paul erklärt ihr, dass sie, wenn sie $3-$mal Blue Fire und $2-$mal Silver Star fährt, insgesamt $12,75$ Minuten Achterbahnfahrt erlebt.

Aufgabe 4

Setze für die Variablen $a$ (und ggf $b$) Zahlen ein, mit denen das Gleichungssystem so ergänzt wird, dass die anfangs angegebene Angabe erfüllt wird.
a)
Die Lösungsmenge besteht aus genau einem Zahlenpaar.
1. $\begin{array}{} \text{I}\quad&y&=&3x+5 \quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&y&=&a \cdot x+ 3\quad\\ \end{array}$
2. $\begin{array}{} \text{I}\quad&y&=&- \frac{3}{2}x \quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&y&=&a \cdot x+b\quad\\ \end{array}$
3. $\begin{array}{} \text{I}\quad&y&=&1,5x-2 \quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&2y&=&a \cdot x\quad\\ \end{array}$
b)
Es gibt unendlich viele Lösungen.
1. $\begin{array}{} \text{I}\quad&y&=&7x+2 \quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&y&=&7x+a\quad\\ \end{array}$
2. $\begin{array}{} \text{I}\quad&y&=&12x + 18 \quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&3y&=&a \cdot x + b\quad\\ \end{array}$
3. $\begin{array}{} \text{I}\quad&2y&=&4 \cdot x + 5 \quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&y&=&a \cdot x + 2,5\quad\\ \end{array}$
c)
Die Lösungsmenge ist leer.
1. $\begin{array}{} \text{I}\quad&y&=&-3x + 2 \quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&y&=&-a \cdot x + 4\quad\\ \end{array}$
2. $\begin{array}{} \text{I}\quad&y&=&7x + 2 \quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&y&=&a \cdot x + 5\quad\\ \end{array}$
3. $\begin{array}{} \text{I}\quad&y&=&5x+3 \quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&a \cdot y&=&10x + 1\quad\\ \end{array}$

Aufgabe 5

Lineare Gleichungssysteme: Zeichnerisch lösen
Abb. 1: $5a)$
Lineare Gleichungssysteme: Zeichnerisch lösen
Abb. 1: $5a)$
Lineare Gleichungssysteme: Zeichnerisch lösen
Abb. 3: $5c)$
Lineare Gleichungssysteme: Zeichnerisch lösen
Abb. 3: $5c)$
#lgs#schaubild

Aufgabe 6

Stelle je zwei Gleichungen zu der beschriebenen Situation auf und löse das lineare Gleichungssystem zeichnerisch. Gib die Lösungsmenge an.
a)
Es werden $2$ Zahlen gesucht. Ihre Summe ist $2$ und ihre Differenz ist $12$.
b)
Es werden $2$ Zahlen gesucht. Ihre Summe ist $-9$ und ihre Differenz ist $-15$.
c)
Es werden $2$ Zahlen gesucht. Ihre Differenz ist $6$. Dividiert man die größere Zahl durch die kleinere Zahl, ist das Ergebnis $3$.
d)
Es wird eine positive $2-$stellige Zahl gesucht. Ihre Quersumme ist $8$. Dividiert man die kleinere in ihr enthaltene Ziffer durch die größere, ist das Ergebnis $7$.
#lgs
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Einführungsaufgabe

a)
$x$: Anzahl Gummibärchenpackungen; $y$: Anzahl Schokoladentafeln
$\begin{array}{} \text{I}\quad&2x + 5y&=&8,9\quad \scriptsize\\\ \text{II}\quad&4x + 3y&=&8,8\quad\\ \end{array}$
b)
$x$: benötigte Zeit für eine Erdkundeaufgabe; $y$: benötigte Zeit für eine Matheaufgabe
$\begin{array}{} \text{I}\quad&4x + 2y&=&70\quad \scriptsize\\\ \text{II}\quad&x + 5y&=&85\quad\\ \end{array}$
c)
$x$: Zahl $1$; $y$: Zahl $2$
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x + y&=&8\quad \scriptsize\\\ \text{II}\quad&x-y&=&2\quad\\ \end{array}$
d)
$x$: Zahl $1$; $y$: Zahl $2$
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x + y&=&20\quad \scriptsize\\\ \text{II}\quad&x-y&=&0\quad\\ \end{array}$

Aufgabe 1

a)
Die beiden Geraden, die du eingezeichnet hast, schneiden sich in genau einem Punkt. Dieser Schnittpunkt hat die Koordinaten $S (-\frac{2}{3} \mid \frac{7}{3})$. Dieses Zahlenpaar erfüllt also beide Gleichungen.
Das lineare Gleichungssystem hat genau eine Lösung: $\mathbb{L} =$ {$(-\frac{2}{3} \mid \frac{7}{3})$}.
b)
Die beiden Geraden, die du eingezeichnest hast, liegen parallel zueinander. Daher gibt es keinen Schnittpunkt und somit auch kein Zahlenpaar, das beide Gleichungen erfüllt.
Das lineare Gleichungessystem hat keine Lösung: $\mathbb{L}= \emptyset$
c)
Die beiden Geraden, die du eingezeichnest hast, sind identisch. Sie liegen aufeinander. Jedes Zahlenpaar, das die erste Gleichung erfüllt, erfüllt auch die zweite Gleichung und natürlich umgekehrt.
Das lineare Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen: $\mathbb{L}=${$(x \mid y) \mid y = x + 0,5$}
#schaubild

Aufgabe 2

Um die Probe durchzuführen, musst du den Punkt, den du als Lösungsmenge zeichnerisch ermittelt hast, in beide Gleichungen einsetzen. Die $x-$Koordinate des Punktes setzt du für $x$ in die Gleichungen ein und die $y-$Koordinate des Punktes setzt du für $y$ in die Gleichung ein.
b)
Lineare Gleichungssysteme: Zeichnerisch lösen
Abb. 5: LGS $2b)$
Lineare Gleichungssysteme: Zeichnerisch lösen
Abb. 5: LGS $2b)$
Das lineare Gleichungssystem hat genau eine Lösung: $\mathbb{L} =${$ (1 \mid 1)$}
Probe: $\begin{array}[t]{rll} 1&=& 5 \cdot 1 - 4 &\quad \scriptsize \\[5pt] 1&=& 1 &\quad \scriptsize \\[5pt] 1&=& 2,5 \cdot 1 -1,5&\quad \scriptsize \\[5pt] 1&=&1 \end{array}$
d)
Lineare Gleichungssysteme: Zeichnerisch lösen
Abb. 7: LGS $2d)$
Lineare Gleichungssysteme: Zeichnerisch lösen
Abb. 7: LGS $2d)$
Das lineare Gleichungssystem hat genau eine Lösung: $\mathbb{L} =${$ (-2 \mid 3)$}
Probe: $\begin{array}[t]{rll} 3&=& -2 + 5 &\quad \scriptsize \\[5pt] 3&=& 3 &\quad \scriptsize \\[5pt] 3&=& 4 \cdot (-2) + 11&\quad \scriptsize \\[5pt] 3&=&3 \end{array}$
f)
Lineare Gleichungssysteme: Zeichnerisch lösen
Abb. 9: LGS $2f)$
Lineare Gleichungssysteme: Zeichnerisch lösen
Abb. 9: LGS $2f)$
Die Geraden sind identisch. Das lineare Gleichungssystem hat keine Lösung: $\mathbb{L} = \emptyset$
h)
Lineare Gleichungssysteme: Zeichnerisch lösen
Abb. 11: LGS $2h)$
Lineare Gleichungssysteme: Zeichnerisch lösen
Abb. 11: LGS $2h)$
Das lineare Gleichungssystem hat genau eine Lösung: $\mathbb{L} =${$ (4\mid 1)$}
Probe: $\begin{array}[t]{rll} 1&=& -4+ 5 &\quad \scriptsize \\[5pt] 1&=& 1 &\quad \scriptsize \\[5pt] 1&=& 2 \cdot 4 - 7&\quad \scriptsize \\[5pt] 1&=&1 \end{array}$

Aufgabe 3

a)
Lineare Gleichungssysteme: Zeichnerisch lösen
Abb. 12: LGS $3a)$
Lineare Gleichungssysteme: Zeichnerisch lösen
Abb. 12: LGS $3a)$
b)
Lineare Gleichungssysteme: Zeichnerisch lösen
Abb. 13: LGS $3b)$
Lineare Gleichungssysteme: Zeichnerisch lösen
Abb. 13: LGS $3b)$
c)
Lineare Gleichungssysteme: Zeichnerisch lösen
Abb. 14: LGS $3c)$
Lineare Gleichungssysteme: Zeichnerisch lösen
Abb. 14: LGS $3c)$

Aufgabe 4

a)
Damit die Lösungsmenge aus genau einem Zahlenpaar besteht kannst du nahezu jede beliebige Zahl für die Variablen einsetzen. Du musst nur darauf achten, dass die $2$ Geraden durch das Einsetzen nicht parallel zueinander oder identisch werden.
1. $\begin{array}{} \text{I}\quad&y&=&3x+5 \quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&y&=&2 \cdot x+ 3\quad\\ \end{array}$
2. $\begin{array}{} \text{I}\quad&y&=&- \frac{3}{2}x \quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&y&=&3 \cdot x+6\quad\\ \end{array}$
3. $\begin{array}{} \text{I}\quad&y&=&1,5x-2 \quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&2y&=&6 \cdot x\quad\\ \end{array}$
b)
Damit es unendlich viele Lösungen gibt, müssen die $2$ Geraden identisch sein. Setze für die Variablen Zahlen ein, die dafür sorgen, dass die $2$ Geradengleichungen gleich sind.
1. $\begin{array}{} \text{I}\quad&y&=&7x+2 \quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&y&=&7x+2\quad\\ \end{array}$
2. $\begin{array}{} \text{I}\quad&y&=&12x + 18 \quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&3y&=&36 \cdot x + 45\quad\\ \end{array}$
3. $\begin{array}{} \text{I}\quad&2y&=&4 \cdot x + 5 \quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&y&=&2 \cdot x + 2,5\quad\\ \end{array}$
c)
Damit die Lösungsmenge leer ist, müssen die $2$ Geraden parallel zueinander sein. Achte darauf, dass sie die gleiche Steigung (also denselben Faktor vor dem $x$) und einen unterschiedlichen $y-$Achsenabschnitt haben.
1. $\begin{array}{} \text{I}\quad&y&=&-3x + 2 \quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&y&=&-3 \cdot x + 4\quad\\ \end{array}$
2. $\begin{array}{} \text{I}\quad&y&=&7x + 2 \quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&y&=&7 \cdot x + 5\quad\\ \end{array}$
3. $\begin{array}{} \text{I}\quad&y&=&5x+3 \quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&2 \cdot y&=&10x + 1\quad\\ \end{array}$

Aufgabe 5

a)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&y&=&5x - 2,5 \quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&y&=&5 (x-0,5)\quad\\ \end{array}$
$\mathbb{L}=${$(x \mid y) \mid y = 5x - 2,5$}
b)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&y&=&3x+2 \quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&y&=&2x+3\quad\\ \end{array}$
$\mathbb{L}=${$(1 \mid 5)$}
c)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&y&=&4x + 0,5 \quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&y&=&4x+3\quad\\ \end{array}$
$\mathbb{L}= \emptyset$

Aufgabe 6

a)
Lineare Gleichungssysteme: Zeichnerisch lösen
Abb. 15: LGS $6a)$
Lineare Gleichungssysteme: Zeichnerisch lösen
Abb. 15: LGS $6a)$
b)
Lineare Gleichungssysteme: Zeichnerisch lösen
Abb. 16: LGS $6b)$
Lineare Gleichungssysteme: Zeichnerisch lösen
Abb. 16: LGS $6b)$
c)
Lineare Gleichungssysteme: Zeichnerisch lösen
Abb. 17: LGS $6c)$
Lineare Gleichungssysteme: Zeichnerisch lösen
Abb. 17: LGS $6c)$
d)
Lineare Gleichungssysteme: Zeichnerisch lösen
Abb. 18: LGS $6d)$
Lineare Gleichungssysteme: Zeichnerisch lösen
Abb. 18: LGS $6d)$
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