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Rechnen mit Flächeninhalten und Volumina

Aufgaben
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Aufgabe 1

Bestimme den Flächeninhalt der folgenden Figuren.
Gehe davon aus, dass ein Kästchen einem Zentimeter entspricht.
#flächeninhalt

Aufgabe 2

Marie betreibt ein kleines Restaurant in der Innenstadt.
Im Sommer möchte sie selbstgemachte Limonade anbieten und hat dafür quaderförmige Krüge im Internet bestellt.
a)
Nun möchte sie im Voraus wissen, wie viele Krüge sie mit einem großen Topf Limonade ausschenken kann.
Der große Topf fasst $4,5\text{ Liter}$.
Ein Krug ist $6\text{ cm}$ breit, $4\text{ cm}$ lang und $12,5\,\text{cm}$ hoch.
b)
In den gleichen Krügen möchte Marie auch Eisschokolade servieren.
Die Eisschokolade besteht aus einer Kugel Vanilleeis und wird mit kaltem Kakao aufgefüllt.
Eine Kugel Eis hat ein Volumen von $75\text{ cm}^3$.
Wie viel Liter Kakao muss Marie täglich vorbereiten, wenn sie damit rechnet, dass $12$ Gäste eine Eisschokolade trinken?
c)
Aus Marketingzwecken überlegt sich Marie, die Vorderseite der Krüge mit ihrem Logo bedrucken zu lassen.
Welchen Flächeninhalt dürfte das Logo höchstens haben?
#volumen#flächeninhalt

Aufgabe 3

a)
Wie viel Geld spart man in einem Jahr, wenn man im Durchschnitt von $3$ Wäschen pro Woche ausgeht.
Tipp
Geh davon aus, dass ein Jahr $52$ Wochen hat.
Tipp
Geh davon aus, dass ein Jahr $52$ Wochen hat.
b)
Die neue Waschmaschine hat $585\,€$ gekostet.
Nach wie vielen Jahren hat sich ihre Anschaffung gelohnt?
#volumen

Aufgabe 4

a)
Mannheim hat ca. $300.000\text{ Einwohner}$.
Wie viele Liter Müll sind somit pro Einwohner angefallen?
b)
Ein Reinigungsfahrzeug schafft $60\text{ m}^3$ Müll pro Stunde.
Wie viele Reinigungsfahrzeuge werden benötigt, wenn das Aufräumen innerhalb von $5\text{ Stunden}$ erledigt sein soll?
#volumen

Aufgabe 5

Welche Maße besitzt der angehobene Teil des Beckens und welche Länge muss die Trennkette mindestens haben?
#flächeninhalt

Aufgabe 6

a)
Wie viele Tafeln Schokolade werden pro Minute produziert?
b)
Die fertigen Schokoladentafeln sind $16\text{ cm}$ lang, $8\text{ cm}$ breit und $1,2\text{ cm}$ hoch.
Bevor sie in Kartons verpackt werden, werden sie in goldenes Papier eingewickelt.
Berechne den Flächeninhalt, den das Papier mindestens haben muss.
c)
Die Tafeln werden anschließend in Kartons verpackt und in einem Lager verstaut.
Die Kartons sind $32\text{ cm}$ lang, $24\text{ cm}$ breit und $12\text{ cm}$ hoch.
Wie schwer ist ein Karton?
#volumen#flächeninhalt
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Lösungen
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Aufgabe 1

$\blacktriangleright$  Flächeninhalt bestimmen
Da jedes Kästchen die Seitenlängen $1\text{ cm}$ hat, hat jedes Kästchen den Flächeninhalt von $1\text{ cm}^2$ und jedes halbe Kästchen den halben Flächeninhalt, also $\text 0,5\text { cm}^2$.
Durch abzählen der Kästchen kannst du nun den Flächeninhalt ermitteln:
$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{ Figur } 1}&=& 25 \text{ Kästchen} &=& 25 \text{ cm} ^2 \\[5pt] A_{\text{ Figur } 2}&=& 21 \text{ Kästchen} &=& 21 \text{ cm} ^2 \\[5pt] A_{\text{ Figur } 3}&=& 37,5 \text{ Kästchen} &=& 37,5 \text{ cm} ^2 \\[5pt] A_{\text{ Figur } 4}&=& 44,5 \text{ Kästchen} &=& 44,5 \text{ cm} ^2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{ Figur } 1}&=& … \\[5pt] A_{\text{ Figur } 2}&=& … \\[5pt] A_{\text{ Figur } 3}&=& … \\[5pt] A_{\text{ Figur } 4}&=& … \end{array}$

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Anzahl der Krüge berechnen
Um herauszufinden, wie viele Krüge Marie ausschenken kann, musst du das Volumen eines Kruges berechnen und anschließend das Volumen des Topfes durch das Volumen des Kruges teilen.
Da das Volumen des Topfes jedoch in Liter angegeben ist, musst du eine der beiden Angaben umrechnen.
1. Schritt: Volumen eines Kruges berechnen
Da die Krüge quaderförmig sind, berechnest du das Volumen über folgende Formel:
$V = a \cdot b \cdot c$
$\begin{array}[t]{rll} \text{ V}_\text{Krug}&=&6\text{ cm} \cdot 4 \text{ cm} \cdot 12,5 \text{ cm} \\[5pt] &=& 300 \text{ cm}^3 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &\text{ V}_\text{Krug}\\[5pt] =&6\text{ cm} \cdot 4 \text{ cm} \cdot 12,5 \text{ cm} \\[5pt] =& 300 \text{ cm}^3 \end{array}$
Das Volumen eines Kruges beträgt $300\text{ cm}^3$.
2. Schritt: Angaben umrechnen
$\begin{array}[t]{rll} 1\text{ cm}^3 &=& 1\text{ ml} \\[15pt] 1\text{l} &=& 1.000\text{ ml} \\[5pt] 4,5\text{ l} &=& 4.500\text{ ml} \\[15pt] 4.500\text{ ml}&=& 4.500\text{ cm}^3 \end{array}$
Der Topf fasst somit $4.500\text{ cm}^3$.
3. Schritt: Anzahl der Krüge bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} \text{ Anzahl der Krüge}&=&\text{ V}_\text{ Topf} : \text{ V}_\text{ Krug} \\[5pt] &=& 4.500\text{ cm}^3 : 300\text{ cm}^3 \\[5pt] &=& 15 \text{ [Krüge]} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &\text{ Anzahl der Krüge} \\[5pt] =&\text{ V}_\text{ Topf} : \text{ V}_\text{ Krug} \\[5pt] =& 4.500\text{ cm}^3 : 300\text{ cm}^3 \\[5pt] =& 15 \text{ [Krüge]} \end{array}$
Mit einem Topf Limonade kann Marie $15$ Krüge Limonade ausschenken.
b)
$\blacktriangleright$  Benötigten Kakao für $\boldsymbol{12}$ Gäste berechnen
1. Schritt: Benötigten Kakao pro Krug berechnen
Ein Krug fasst $300\text{ cm}^3$, eine Eiskugel hat ein Volumen von $75\text{ cm}^3$.
$\begin{array}[t]{rll} \text{V}_\text{Kakao pro Krug}&=&\text{V}_\text{Krug} - \text{V}_\text{Eiskugel} \\[5pt] &=& 300\text{ cm}^3 - 75\text{ cm}^3 \\[5pt] &=&225\text{ cm}^3 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &\text{V}_\text{Kakao pro Krug}\\[5pt] =&\text{V}_\text{Krug} - \text{V}_\text{Eiskugel} \\[5pt] =& 300\text{ cm}^3 - 75\text{ cm}^3 \\[5pt] =&225\text{ cm}^3 \end{array}$
Pro Krug werden $225\text{ cm}^3$ Kakao benötigt.
2. Schritt: Gesamten benötigten Kakao berechnen
Marie rechnet täglich mit $12$ Krügen Eisschokolade.
$225\text{ cm}^3 \cdot 12 = 2.700\text{ cm}^3$
Insgesamt benötigt Marie $2.700\text{ cm}^3$ Kakao.
3. Schritt: in Liter umrechnen
$\begin{array}[t]{rll} 1\text { cm}^3 &=&1\text{ ml} \\[5pt] 2.700\text { cm}^3 &=&2.700\text{ ml} \\[15pt] 1.000\text { ml} &=&1\text{ l} \\[5pt] 2.700\text{ ml}&=&2,7\text{ l} \end{array}$
Marie muss jeden Tag $2,7\text { Liter}$ Kakao vorbereiten.
c)
$\blacktriangleright$  Maximale Logogröße bestimmen
Den Flächeninhalt einer Seitenfläche des Krugs berechnest du wie folgt:
$A = a \cdot b$
Der Krug hat Seitenflächen in zwei unterschiedlichen Größen, die beide bedruckt werden können.
Die Höhe entspricht immer $12,5\text{ cm}$, die Seitenlänge einmal $6\text{ cm}$ und einmal $4\text{ cm}$.
1. Schritt: Flächeninhalt von Fläche $\boldsymbol{1}$ berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \text{A}_\text{ Fläche 1} &=& 6\text{ cm} \cdot 12,5\text{ cm} \\[5pt] &=& 75\text{ cm}^2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &\text{A}_\text{ Fläche 1}\\[5pt] =& 6\text{ cm} \cdot 12,5\text{ cm} \\[5pt] =& 75\text{ cm}^2 \end{array}$
Auf die erste Fläche kann ein Logo mit einem maximalen Flächeninhalt von $75\text{ cm}^2$ gedruckt werden.
2. Schritt: Flächeninhalt Fläche $\boldsymbol{2}$ berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \text{A}_\text{ Fläche 2} &=& 4\text{ cm} \cdot 12,5\text{ cm} \\[5pt] &=& 50\text{ cm}^2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &\text{A}_\text{ Fläche 2} \\[5pt] =& 4\text{ cm} \cdot 12,5\text{ cm} \\[5pt] =& 50\text{ cm}^2 \end{array}$
Auf die zweite Fläche kann ein Logo mit einem maximalen Flächeninhalt von $50\text{ cm}^2$ gedruckt werden.
3. Schritt: maximale Logogröße bestimmen
$ 50\text{ cm}^2 < 75\text{ cm}^2$
Das Logo kann einen maximalen Flächeninhalt von $75\text{ cm}^2$ haben.

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$  Ersparnis pro Jahr berechnen
1. Schritt: Wasserersparnis pro Waschgang berechnen
Die alte Waschmaschine hat einen Wasserverbrauch von $64\text{ Liter}$ pro Waschgang.
Die neue Waschmaschine hat einen Wasserverbrauch von $49\text{ Liter}$ pro Waschgang.
$\begin{array}[t]{rll} \text{ Wasserersparnis}&=& 64\text{ Liter} - 49\text{ Liter} \\[5pt] &=&15\text{ Liter} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &\text{ Wasserersparnis}\\[5pt] =& 64\text{ Liter} - 49\text{ Liter} \\[5pt] =&15\text{ Liter} \end{array}$
Die Wasserersparnis pro Waschgang liegt bei $15\text{ Liter}$.
2. Schritt: Kostenersparnis pro Waschgang
$1 \text{ Liter}$ Wasser kostet $5\text{ ct}$.
$5\text{ ct}=0,05\,€$
Pro Waschgang spart man $15\text{ Liter}$ Wasser.
$15 \cdot 0,05\,€ = 0,75\,€$
Man spart pro Waschgang $0,75\,€$.
3. Schritt: Kostenersparnis pro Woche berechnen
Pro Woche geht man von $3\text{ Waschgängen}$ aus.
$3\cdot 0,75 \,€ = 2,25\,€ $
Man spart pro Woche $2,25\,€$ an Wasserkosten.
4. Schritt: Kostenersparnis pro Jahr berechnen
Ein Jahr hat $52\text{ Wochen}$.
$52 \cdot 2,25\,€ = 117\,€$
Mit einer neuen Waschmaschine spart man pro Jahr $117\,€$.
b)
$\blacktriangleright$  berechnen, wann die Waschmaschine sich gelohnt hat
Die Waschmaschine kostet neu $585\,€$.
Pro Jahr hat man durch die neue Waschmaschine eine Kostenersparnis von $117\,€$.
$585 : 117 = 5\text{ [Jahre]}$
Nach $5\text{ Jahren}$ hat sich der Kauf einer neuen Waschmaschine gelohnt.

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$  Müll pro Einwohner berechnen
1. Schritt: Angefallenen Müll in Liter umrechnen
$\begin{array}[t]{rll} 1\text{ dm}^3 &=&1 \text{l} \\[15pt] 1\text{ m}^3 &=& 1.000 \text{ dm}^3 \\[5pt] 2.400\text{ m}^3 &=&2.400.000\text{ dm}^3 \\[15pt] 2.400.000\text{ dm}^3 &=& 2.400.000\text{ l} \\[5pt] \end{array}$
$ 2.400\text{ m}^3 = 2.400.000\text{ l} $
Insgesamt sind in Mannheim $2.400.000\text{ l}$ Müll angefallen.
2. Schritt: Müll pro Einwohner berechnen
Mannheim hat $300.000\text{ Einwohner}$.
Insgesamt sind $2.400.000\text{ l}$ Müll angefallen.
$2.400.000\text{ l} : 300.000\text{ Einwohner} = 8\text{ l/Einwohner}$
$ … = 8\text{ l/Einwohner} $
Für jeden Einwohner sind in Mannheim $8\text{ Liter}$ Müll angefallen.
b)
$\blacktriangleright$  Anzahl der benötigten Reinigungsfahrzeuge berechnen
1. Schritt: Zu entfernenden Müll pro Stunde berechnen
Insgesamt müssen die Reinigungsfahrzeuge $2.400\text{ m}^3$ Müll entfernen.
Dafür sollen sie $5\text{ Stunden}$ brauchen.
$2.400\text{ m}^3 : 5\text{ h} = 480\text{ m}^3\text{/h}$
$ …= 480\text{ m}^3\text{/h} $
Die Reinigungsfahrzeuge müssen pro Stunde $480\text{ m}^3$ Müll entfernen.
2. Schritt: Anzahl der benötigten Reinigungsfahrzeuge berechnen
Ein Reinigungsfahrzeug schafft pro Stunde $60\text{ m}^3$ Müll.
$460\text{ m}^3\text{/h} : 60\text{ m}^3\text{/h} = 8 \text{ [Reinigungsfahrzeuge]} $
$ …= 8 \text{ [Reinigungsfahrzeuge]} $
Um den gesamten Müll in $5\text{ Stunden}$ beseitigen zu können, muss die Stadt Mannheim $8\text{ Reinigungsfahrzeuge}$ einsetzen.

Aufgabe 5

$\blacktriangleright$  Maße des vorderen Beckenteiles bestimmen
Das Becken hat einen Flächeninhalt von $250\text{ m}^2$ und eine Seitenlänge von $25\text{ m}$.
Somit lässt sich die fehlende Breite über folgende Formel bestimmen:
Breite = Flächeninhalt : Seitenlänge
$250\text{ m}^2 : 25\text{ m} = 10\text{ m}$
Das Schwimmbecken ist $10\text{ m}$ breit.
Da der angehobene Teil nur der Hälfte des gesamten Schwimmbeckens entspricht, ist er auch nur halb so lang.
$25\text{ m} : 2 = 12,5\text{ m}$
Der vordere Teil hat somit die Flächenmaße $12,5 \text{ x } 10\text{ m}$ und die Trennkette muss mindestens $10\text{ m}$ lang sein.

Aufgabe 6

a)
$\blacktriangleright$  Produktionsvolumen pro Minute berechnen
Die Maschine verarbeitet pro Minute $20\text{ kg}$ Schokolade.
$\begin{array}[t]{rll} 1\text{ kg}&=&1.000\text{ g} \\[5pt] 20\text{ kg}&=&20.000\text{ g} \end{array}$
Eine Schokoladentafel hat ein Gewicht von $100\text{ g}$.
$20.000\text{ g} : 100\text{ g} = 200\text{ [Tafeln]}$
Die Maschine stellt pro Minute $200\text{ Tafeln Schokolade}$ her.
b)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt des goldenen Papiers berechnen
Um den Flächeninhalt des goldenen Papiers bestimmen zu können, musst du die Oberfläche einer Tafel Schokolade berechnen.
Dabei hilft dir folgende Formel:
$\text{ O}=2 \cdot \text{ a} \cdot \text{ b} + 2 \cdot \text{ a} \cdot \text{ c} +2 \cdot \text{ b} \cdot \text{ c}$
$ \text{O} = … $
$\begin{array}[t]{rll} \text{ O}&=&2 \cdot \text{ a} \cdot \text{ b} + 2 \cdot \text{ a} \cdot \text{ c} +2 \cdot \text{ b} \cdot \text{ c} \\[15pt] \text{ O}_\text{Tafel}&=& 2 \cdot 16\text{ cm} \cdot 8\text{ cm} + 2 \cdot 16\text{ cm} \cdot 1,2\text{ cm} + 2 \cdot 8\text{ cm} \cdot 1,2\text{ cm} \\[5pt] &=& 256\text{ cm}^2 + 38,4\text{ cm}^2 + 19,2\text{ cm}^2 \\[5pt] &=& 313,6\text{ cm}^2 \end{array}$
$ \text{ O}_\text{Tafel} = 313,6\text{ cm}^2 $
Das goldene Papier muss mindestens einen Flächeninhalt von $313,6\text{ cm}^2$ haben.
c)
$\blacktriangleright$  Gewicht pro Karton berechnen
Um das Gewicht eines Kartons bestimmen zu können, musst du zuerst berechnen, wie viele Tafeln Schokolade in einen Karton passen.
1. Schritt: Schokoladentafeln in der Länge
Eine Tafel Schokolade ist $16\text{ cm}$ lang.
Ein Karton ist $32\text{ cm}$ lang.
$ 32\text{ cm} : 16\text{ cm} = 2 \text{ [Tafeln]}$
In der Länge eines Kartons passen $2\text{ Schokoladentafeln}$ hintereinander.
2. Schritt: Schokoladentafeln in der Breite
Eine Tafel Schokolade ist $8\text{ cm}$ breit.
Ein Karton ist $24\text{ cm}$ breit.
$ 24\text{ cm} : 8\text{ cm} = 3 \text{ [Tafeln]}$
In der Breite eines Kartons passen $3\text{ Schokoladentafeln}$ nebeneinander.
3. Schritt: Schokoladentafeln in der Höhe
Eine Tafel Schokolade ist $1,2\text{ cm}$ hoch.
Ein Karton ist $12\text{ cm}$ hoch.
$ 12\text{ cm} : 1,2\text{ cm} = 10 \text{ [Tafeln]}$
In der Höhe eines Kartons passen $10\text{ Schokoladentafeln}$ übereinander.
4. Schritt: Schokoladentafeln pro Karton berechnen
$2 \cdot 3 \cdot 10 = 60 \text{ [Tafeln]}$
In einen Karton passen $60\text{ Schokoladentafeln}$.
5. Schritt: Gewicht eines Kartons berechnen
In einen Karton passen $60\text{ Schokoladentafeln}$.
Eine Schokoladentafel wiegt $100\text{ g}$.
$\begin{array}[t]{rll} \text{ Gewicht}_\text{ Karton}&=& 60 \cdot 100\text{ g} \\[5pt] &=&6.000\text{ g} &=& 6\text{ kg} \\[5pt] \end{array}$
$ \text{ Gewicht}_\text{ Karton} = 6\text{ kg} $
Ein Karton wiegt $6\text{ kg}$.
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