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Dichte berechnen

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Das Spiel „Boule“ kann mit verschiedenen Kugeln gespielt werden:
Mathe im Alltag: Dichte berechnen
Abb. 1: Boule-Kugeln
Mathe im Alltag: Dichte berechnen
Abb. 1: Boule-Kugeln
a)
Vergleiche die beiden Kugeln miteinander. Was fällt dir auf?
b)
Bilde den Quotienten aus Masse und Volumen. Was stellst du fest?
c)
Eine Figur aus Schokolade wiegt $50\,\text{g}$ und besitzt ein Volumen von $38\,\text{cm}^3$. Berechne die Dichte der Schokolade.
d)
Eine Kugel besitzt eine Masse von $ 3,9 \,\text{g} $ und ein Volumen von $3\,\text{cm}^3$. Schaue in der Tabelle nach, aus welchem Material die Kugel besteht.
MaterialGlasAluminiumEisGoldSchokolade
Dichte in $\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$2,82,70,919,31,3
MaterialDichte in $\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$
Glas2,8
Aluminium2,7
Eis0,9
Gold19,3
Schokolade1,3
e)
Die Dichte von Schokolade ist $1,3\,\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$. Welche Masse haben $500\,\text{cm}^3$ Schokolade?
f)
Welches Volumen hat eine Tafel Schokolade mit einer Masse von $100\,\text{g}$?
#masse#dichte#volumen

Aufgabe 1

Berechne die jeweilige Dichte.
b)
Beton
  • Masse: $m = 135\,\text{g} $
  • Volumen: $V= 50 \,\text{cm}^3$
d)
Wasser
  • Masse: $m = 500 \,\text{g} $
  • Volumen: $V= 500 \,\text{cm}^3$
f)
Cola Light
  • Masse: $m = 890 \,\text{g} $
  • Volumen: $V= 1.000 \,\text{cm}^3$
#dichte#volumen#masse

Aufgabe 2

Berechne die fehlende Größe und bestimme gegebenenfalls das zugehörige Material.
b)
Berechne die Masse und gib das Material an.
  • Masse: $V = 5 \,\text{cm}^3$
  • Dichte: $\rho = 19,3 \dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$
d)
Bestimme die Dichte und das Volumen.
  • Material: Schokolade
  • Masse: $m = 200\,\text{g}$
f)
Bestimme die Dichte und das Material.
  • Volumen: $V = 10\,\text{cm}^3$
  • Masse: $m = 28\,\text{g}$
#volumen#masse#dichte

Aufgabe 3

Vervollständige die Tabelle.
a)b)c)d)
MaterialSilberGold
Dichte$9\,\dfrac{\text{mg}}{\text{ml}}$
Volumen$4\,\text{mm}^3$$40\,\text{m}^3$$6\,l$
Masse$0,42\,\text{mg}$$108\,\text{t}$$135\,\text{g}$
$ $
#dichte#volumen#masse

Aufgabe 4

a)
MaterialDichte
Schaumstoff$35\,\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$
Holz $670 \,\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$
Granit$2.600\,\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$
b)
Das Material wird mit einem LKW transportiert. Wie viele $\text{m}^3$ Schaumstoff kann ein LKW mit einem Ladegewicht von $5,5\,\text{t}$ transportieren? Wie viele Würfel können daraus hergestellt werden?
c)
Dreizehn Würfel wiegen zusammen $1.881,36\,\text{kg}$. Aus welchem Material wurden die Würfel hergestellt?
#dichte#volumen#würfel#masse
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$  Kugeln vergleichen
Vergleiche die Maßen der beiden Kugeln. Das Volumen ist bei beiden gleich, sie sind also gleich groß. Die Masse unterscheidet sich aber.
Die Kugel aus Holz ist also leichter als die Kugel aus Metall, obwohl beide gleich groß sind.
b)
$\blacktriangleright$  Quotienten bilden
Teile für jede Kugel die Masse $m$ durch das Volumen $V$ und vergleiche beide Werte.
$\dfrac{m_{\text{Metall}}}{V_{\text{Metall}}} = \dfrac{1.400\,\text{g}}{697\,\text{mm}^3} \approx 2\, \dfrac{\text{g}}{\text{mm}^3}$
$\dfrac{m_{\text{Holz}}}{V_{\text{Holz}}} = \dfrac{1.600\,\text{g}}{697\,\text{mm}^3} \approx 2,3 \,\dfrac{\text{g}}{\text{mm}^3}$
Der Quotient aus Masse und Volumen ist bei der Kugel aus Holz größer als bei der Kugel aus Metall.
c)
$\blacktriangleright$  Dichte berechnen
Die Dichte $\rho$ eines Stoffes ist der Quotient aus Masse $m$ und Volumen $V$. Sie gibt an, wie die Masse eines Stoffes im Verhältnis zum Volumen steht.
$\rho = \dfrac{m}{V}$
$\rho = \dfrac{m}{V}$
In der Aufgabenstellung ist dir gegeben:
  • $m = 50\,\text{g}$
  • $V = 38\,\text{cm}^3$
Setze diese Angaben in die Formel ein, um die Dichte zu berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \rho_{\text{Schokolade}}&=& \dfrac{m}{V} \\[5pt] &=& \dfrac{50\,\text{g}}{38\,\text{cm}^3} \\[5pt] &\approx & 1,3 \,\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} \end{array}$
Die Schokolade hat eine Dichte von ungefähr $1,3 \,\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} $.
d)
$\blacktriangleright$  Material bestimmen
In der Tabelle sind verschiedene Materialien und die zugehörige Dichte dargestellt. In der Aufgabe ist gefragt, aus welchem Material die Kugel besteht. Berechne dazu die Dichte der Kugel und vergleiche sie mit den Dichten aus der Tabelle.
Aus der Aufgabenstellung kannst du die Größen ablesen und in die Formel einsetzen:
  • $m_{\text{Kugel}} = 3,9 \,\text{g}$
  • $V_{\text{Kugel}} = 3 \,\text{cm}^3$
$\begin{array}[t]{rll} \rho_{\text{Kugel}} &=& \dfrac{m_{\text{Kugel}}}{V_{\text{Kugel}}} \\[5pt] &=& \dfrac{3,9 \,\text{g}}{3 \,\text{cm}^3} \\[5pt] &=& 1,3\,\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} \\[5pt] \end{array}$
In der Tabelle kannst du ablesen, dass Schokolade eine Dichte von $1,3\,\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$ besitzt. Die Kugel besteht also aus Schokolade.
e)
$\blacktriangleright$  Masse berechnen
In der Aufgabenstellung ist nach der Masse gefragt. Gegeben ist die Dichte und das Volumen:
  • $\rho = 1,3\,\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$
  • $V = 500 \,\text{cm}^3$
Setze diese Werte in die Formel für die Dichte ein. Du erhältst eine Gleichung, die du nach der Masse $m$ lösen kannst.
$\begin{array}[t]{rll} \rho&=& \dfrac{m}{V} \\[5pt] 1,3\,\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} &=& \dfrac{m}{500 \,\text{cm}^3} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 500 \,\text{cm}^3 \\[5pt] 1,3 \,\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} \cdot 500 \,\text{cm}^3&=& m \\[5pt] 1,3\cdot 500 \, \dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}\cdot\,\text{cm}^3 &=& m \\[5pt] 650\,\text{g}&=& m \\[5pt] \end{array}$
$ m = 650\,\text{g}$
$500\,\text{cm}^3$ Schokolade wiegen $650\,\text{g}$.
f)
$\blacktriangleright$  Volumen berechnen
Gesucht ist das Volumen der Tafel Schokolade. Aus der Aufgabenstellung kennst du die Masse und weißt, dass es sich um Schokolade handelt. Daher kennst du auch die Dichte:
  • $\rho = 1,3\,\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$
  • $ m = 100\,\text{g} $
Setze diese Werte wie oben in die Formel für die Dichte ein. Diesmal musst du die Gleichung nach dem Volumen $V$ lösen:
$\begin{array}[t]{rll} \rho&=& \dfrac{m}{V} \\[5pt] 1,3\,\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}&=& \dfrac{100\,\text{g}}{V}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot V \\[5pt] 1,3\,\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}\cdot V&=& 100\,\text{g} &\quad \scriptsize \mid\; :1,3\,\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} \\[5pt] V &=& 100\,\text{g} : 1,3\,\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} \\[5pt] V &=& 100\,\text{g} : 1,3\,\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} \\[5pt] V &=& \dfrac{100}{1,3} \, \text{g} \cdot\dfrac{\text{cm}^3}{\text{g}} \\[5pt] V &\approx& 77\,\text{cm}^3 \end{array}$
$ V\approx 77\,\text{cm}^3 $
$100\,\text{g}$ Schokolade haben ein Volumen von ungefähr $77\,\text{cm}^3$.

Aufgabe 1

Berechne die Dichte wie in der Einführungsaufgabe. Setze die Masse und das Volumen in die Formel ein.
b)
$\blacktriangleright$  Dichte berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \rho_{\text{Beton}}&=& \dfrac{m_{\text{Beton}}}{V_{\text{Beton}}} \\[5pt] &=& \dfrac{135\,\text{g}}{50\,\text{cm}^3}\\[5pt] &=& 2,7\,\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}\\[5pt] \end{array}$
d)
$\blacktriangleright$  Dichte berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \rho_{\text{Wasser}}&=& \dfrac{m_{\text{Wasser}}}{V_{\text{Wasser}}} \\[5pt] &=& \dfrac{500\,\text{g}}{500\,\text{cm}^3}\\[5pt] &=& 1\,\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}\\[5pt] \end{array}$
f)
$\blacktriangleright$  Dichte berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \rho_{\text{Cola Light}}&=& \dfrac{m_{\text{Cola Light}}}{V_{\text{Cola Light}}} \\[5pt] &=& \dfrac{890\,\text{g}}{100\,\text{cm}^3}\\[5pt] &=& 1.000\,\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}\\[5pt] \end{array}$

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$ Volumen berechnen und Material bestimmen
Du hast die Dichte in der Aufgabenstellung gegeben. Vergleiche diese also mit den Dichten in der Tabelle aus der Einführungsaufgabe. Du siehst, dass Aluminium eine Dichte von $2,7\, \dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$ hat. Es handelt sich also um Aluminium.
Gesucht ist nun das Volumen $V$. Du kannst also wie im Aufgabenteil f) der Einführungsaufgabe vorgehen. Setze die gegebenen Werte in die Formel für die Dichte ein und löse nach $V$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} \rho&=& \dfrac{m}{V} \\[5pt] 2,7 \,\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}&=&\dfrac{16,2\,\text{g}}{V} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot V \\[5pt] 2,7 \,\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} \cdot V&=&16,2\,\text{g} &\quad \scriptsize \mid\; : 2,7 \,\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} \\[5pt] V&=& 16,2\,\text{g} : 2,7 \,\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} \\[5pt] &=& 6 \, \text{g} \cdot \dfrac{\text{cm}^3}{\text{g}} \\[5pt] &=& 6\,\text{cm}^3\\[5pt] \end{array}$
$ V = 6\,\text{cm}^3 $
Das Volumen beträgt $6\,\text{cm}^3$.
b)
$\blacktriangleright$  Masse berechnen und Material bestimmen
Du hast die Dichte in der Aufgabenstellung gegeben. Vergleiche diese also mit den Dichten in der Tabelle aus der Einführungsaufgabe. Du siehst, dass Gold eine Dichte von $19,3\, \dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$ hat. Es handelt sich also um Gold.
Gesucht ist nun die Masse $m$. Du kannst also wie im Aufgabenteil e) der Einführungsaufgabe vorgehen. Setze die gegebenen Werte in die Formel für die Dichte ein und löse nach $m$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} \rho&=& \dfrac{m}{V} \\[5pt] 19,3 \dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}&=& \dfrac{m}{5\,\text{cm}^3}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot 5\,\text{cm}^3 \\[5pt] 19,3 \dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} \cdot 5\,\text{cm}^3&=& m \\[5pt] 96,5\,\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} \cdot \text{cm}^3&=& m \\[5pt] 96,5 \,\text{g}&=& m \end{array}$
$ m = 96,5 \,\text{g} $
Die Masse beträgt $96,5\,\text{g}$.
c)
$\blacktriangleright$  Dichte berechnen und Material bestimmen
Du hast die Masse und das Volumen in der Aufgabenstellung gegeben. Berechne zuerst die Dichte mit der Formel. Vergleiche diese dann mit den Dichten in der Tabelle aus der Einführungsaufgabe.
Du kannst wie im Aufgabenteil c) der Einführungsaufgabe vorgehen. Setze $m$ und $V$ in die Formel für die Dichte ein.
$\begin{array}[t]{rll} \rho&=& \dfrac{m}{V} \\[5pt] \rho&=& \dfrac{130\,\text{g}}{46,4\,\text{cm}^3} \\[5pt] \rho&=& 2,8\,\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} \\[5pt] \end{array}$
Die Dichte beträgt $2,8\,\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$. Vergleiche diese Dichte mit den Dichten in der Tabelle. In der Tabelle hat Glas eine Dichte von $2,8\,\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$. Es handelt sich also um Glas.
d)
$\blacktriangleright$  Dichte und Volumen berechnen
Du hast das Material in der Aufgabenstellung gegeben. Lies in der Tabelle aus der Einführungsaufgabe die Dichte ab. Du siehst, dass Schokolade eine Dichte von $1,3 \,\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$ hat. Die Dichte beträgt also $1,3\, \dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$.
Gesucht ist nun das Volumen $m$. Du kannst also wie im Aufgabenteil f) der Einführungsaufgabe vorgehen. Setze die gegebenen Werte in die Formel für die Dichte ein und löse nach $V$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} \rho&=& \dfrac{m}{V} \\[5pt] 1,3\, \dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}&=& \dfrac{200\,\text{g}}{V} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot V \\[5pt] 1,3\, \dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} \cdot V&=& 200\,\text{g} &\quad \scriptsize \mid\; : 1,3 \dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} \\[5pt] V&=& 200\,\text{g} : 1,3\, \dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} \\[5pt] V&\approx& 153,8\, \text{g}\cdot \dfrac{\text{cm}^3}{\text{g}} \\[5pt] V&\approx& 153,8\, \text{cm}^3\\[5pt] \end{array}$
$ V\approx 153,8\, \text{cm}^3 $
Das Volumen beträgt ungefähr $153,8\, \text{cm}^3$.
e)
$\blacktriangleright$  Masse berechnen und Material bestimmen
Du hast das Material in der Aufgabenstellung gegeben. Lies in der Tabelle aus der Einführungsaufgabe die Dichte ab. Du siehst, dass Eis eine Dichte von $0,9\, \dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$ hat. Die Dichte beträgt also $0,9 \dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$.
Gesucht ist nun die Masse $m$. Du kannst also wie im Aufgabenteil e) der Einführungsaufgabe vorgehen. Setze die gegebenen Werte in die Formel für die Dichte ein und löse nach $m$ auf. Achte auf die Einheiten: Hier ist das Volumen in $\text{m}^3$ gegeben. Die Dichte ist aber in $\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$ angegeben. Rechne also zuerst das Volumen in $\text{cm}^3$ um.
$\begin{array}[t]{rll} \rho&=& \dfrac{m}{V} \\[5pt] 0,9\, \dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} &=& \dfrac{m}{1\,\text{m}^3} &\quad \scriptsize \mid\; 1\,\text{m}^3 = 1.000.000\,\text{cm}^3 \\[5pt] 0,9\, \dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} &=& \dfrac{m}{1.000.000\,\text{cm}^3} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 1.000.000\,\text{cm}^3 \\[5pt] 0,9\, \dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} \cdot 1.000.000\,\text{cm}^3 &=& m \\[5pt] 900.000 \,\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} \cdot \,\text{cm}^3 &=& m \\[5pt] 900.000 \, \text{g}&=& m \\[5pt] \end{array}$
$ m = 900.000\,\text{g} $
Die Masse beträgt also $900.000\, \text{g}$.
f)
$\blacktriangleright$  Dichte berechnen und Material bestimmen
Du kannst hier wie in Aufgabenteil c) vorgehen. Berechne zuerst die Dichte mit der Formel. Vergleiche diese dann mit den Dichten in der Tabelle aus der Einführungsaufgabe.
Setze die gegebenen Werte in die Formel für die Dichte ein:
$\begin{array}[t]{rll} \rho&=& \dfrac{m}{V} \\[5pt] \rho&=& \dfrac{28\,\text{g}}{10\,\text{cm}^3} \\[5pt] &=& 2,8\,\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} \end{array}$
Die Dichte beträgt $2,8\,\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$. In der Tabelle findest du Glas mit einer Dichte von $2,8\,\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$. Es handelt sich also um Glas.

Aufgabe 3

Du sollst hier die jeweils fehlende Größe und gegebenenfalls das Material ergänzen. Achte dabei auf die Einheiten. Oft musst du diese zuerst umrechnen damit du mit der Tabelle aus der Einführungsaufgabe vergleichen kannst.
a)
$\blacktriangleright$  Dichte berechnen
Du hast hier das Material bereits gegeben. Du kennst die Masse $m$ und das Volumen $m$. Berechne die Dichte mit der Formel.
$\begin{array}[t]{rll} \rho&=&\dfrac{m}{V} \\[5pt] &=& \dfrac{0,42\,\text{mg}}{4\,\text{mm}^3} \\[5pt] &=& 10,5\,\dfrac{\text{mg}}{\text{mm}^3} \\[5pt] \end{array}$
Die Dichte beträgt $10,5\,\dfrac{\text{mg}}{\text{mm}^3}$.
b)
$\blacktriangleright$  Dichte und Material bestimmen
Berechne zuerst die Dichte und mit der Formel. Dann kannst du die Dichte mit der Tabelle vergleichen und das Material bestimmen.
In der Tabelle ist die Dichte in $\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$ angegeben. Rechne also zunächst die Masse in $\text{g}$ und das Volumen in $\text{cm}^3$ um.
  • $\begin{array}[t]{rll} m &=& 108\,\text{t} \\[5pt] &=& 108.000\,\text{kg}\\[5pt] &=& 108.000.000\,\text{g}\\[5pt] \end{array}$
  • $\begin{array}[t]{rll} V&=& 40\,\text{m}^3 \\[5pt] &=& 40.000.000\,\text{cm}^3 \\[5pt] \end{array}$
Setze die umgerechneten Werte in die Formel für die Dichte ein:
$\begin{array}[t]{rll} \rho &=& \dfrac{m}{V} \\[5pt] \rho&=&\dfrac{108.000.000\,\text{g}}{40.000.000\,\text{cm}^3} \\[5pt] &=& 2,7 \,\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} \\[5pt] \end{array}$
Die Dichte beträgt $2,7\,\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$. In der Tabelle kannst du ablesen, dass Aluminium eine Dichte von $2,7\,\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$ hat. Es handelt sich also um Aluminium.
c)
$\blacktriangleright$  Dichte und Masse bestimmen
Du weißt, dass es sich um Gold handelt. Lies die Dichte aus der Tabelle ab. Gold hat eine Dichte von $19,3\,\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$. Du kennst nun also die Dichte und das Volumen. Die Dichte ist dir in $\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$ gegeben. Das Volumen ist aber in $l$ angegeben. Rechne also zunächst $l$ in $\text{cm}^3$ um:
$6\, l = 6\, \text{dm}^3 = 6.000\,\text{cm}^3$
Setze dies zusammen mit der Dichte in die Formel für die Dichte ein. Du kannst die Gleichung dann nach $m$ lösen:
$\begin{array}[t]{rll} \rho &=& \dfrac{m}{V} \\[5pt] 19,3\,\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}&=& \dfrac{m}{6.000\,\text{cm}^3} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 6.000\,\text{cm}^3\\[5pt] 19,3\,\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}\cdot 6.000\,\text{cm}^3 &=& m \\[5pt] 115.800\,\text{g} &=& m \end{array}$
$ m = 115.800\,\text{g}$
Die Masse beträgt $115.800\,\text{g}$.
d)
$\blacktriangleright$  Material und Volumen bestimmen
Du hast die Dichte in $\dfrac{\text{mg}}{\text{ml}}$ gegeben. Damit du mit der Tabelle aus der Einführungsaufgabe vergleichen kannst, rechne zunächst die Dichte in $\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$ um.
$\begin{array}[t]{rll} 9\,\dfrac{\text{mg}}{\text{ml}}&=&9 \cdot \dfrac{0,1\,\text{g}}{\text{ml}} &\quad \scriptsize 1\,\text{mg} = 0,1\,\text{g} \\[5pt] &=&0,9\, \dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}&\quad \scriptsize 1 \,\text{ml} = 1\,\text{cm}^3 \\[5pt] \end{array}$
$ 9\,\dfrac{\text{mg}}{\text{ml}} = 0,9\, \dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} $
Der Tabelle kannst du entnehmen, dass Eis eine Dichte von $0,9\, \dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}$ hat. Es handelt sich also um Eis.
Setze jetzt die Masse und die Dichte in die Formel für die Dichte ein und löse die Gleichung nach $V$:
$\begin{array}[t]{rll} \rho&=& \dfrac{m}{V}\\[5pt] 0,9\, \dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}&=& \dfrac{135\,\text{g}}{V} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot V \\[5pt] 0,9\, \dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} \cdot V&=&135\,\text{g} &\quad \scriptsize \mid\; :0,9\, \dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} \\[5pt] V&=& 135\,\text{g} :0,9\, \dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} \\[5pt] &=& 150 \,\text{g}\cdot \dfrac{\text{cm}^3}{\text{g}} \\[5pt] &=&150\,\text{cm}^3 \end{array}$
$ V = 150\,\text{cm}^3$
Das Volumen beträgt $150\,\text{cm}^3$.
Trage alle Ergebnisse in die Tabelle ein:
a)b)c)d)
MaterialSilberAluminiumGoldEis
Dichte$\color{#87c800}{10,5\,\dfrac{\text{mg}}{\text{mm}^3}}$$\color{#87c800}{2,7 \,\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}}$$\color{#87c800}{19,3\,\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}}$$9\,\dfrac{\text{mg}}{\text{ml}}$
Volumen$4\,\text{mm}^3$$40\,\text{m}^3$$6\,l$$\color{#87c800}{150\,\text{cm}^3}$
Masse$0,42\,\text{mg}$$108\,\text{t}$$\color{#87c800}{115.800\,\text{g}}$$135\,\text{g}$
$ $

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$  Gewichte berechnen
Du sollst das Gewicht, also die Masse $m$ eines Würfels für drei verschiedene Materialien berechnen. Die Dichte der Materialien kannst du aus der Tabelle in der Aufgabenstellung ablesen. Das Volumen $V$ kannst du über die angegebene Kantenlänge $a$ berechnen. Die Formel für das Volumen eines Würfels lautet:
$V_{\text{Würfel}} = a^3$
$V_{\text{Würfel}} = a^3$
Berechne zuerst das Volumen des Würfels. Dann kannst du das Volumen und die jeweilige Dichte der Materialien in die Formel für die Dichte einsetzen und nach $m$ lösen.
$V = a^3 $$= (60\,\text{cm})^3 $$= (0,6\,\text{m})^3 $$= 0,216\,\text{m}^3 $
Aus der Tabelle erfährst du, dass Schaumstoff eine Dichte von $35\,\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$ hat. Setze das zusammen mit dem Volumen in die Formel für die Dichte ein:
$\begin{array}[t]{rll} \rho_{\text{Schaumstoff}}&=& \dfrac{m_{\text{Schaumstoff}}}{V} \\[5pt] 35\,\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}&=& \dfrac{m_{\text{Schaumstoff}}}{0,216\,\text{m}^3}&\quad \scriptsize \mid\;\cdot 0,216\,\text{m}^3 \\[5pt] 35\,\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}\cdot 0,216\,\text{m}^3&=&m_{\text{Schaumstoff}} \\[5pt] 7,56\,\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}\cdot\text{m}^3 &=& m_{\text{Schaumstoff}} \\[5pt] 7,56\,\text{kg}&=& m_{\text{Schaumstoff}} \\[5pt] \end{array}$
$ m_{\text{Schaumstoff}} = 7,56\,\text{kg} $
Der Würfel aus Schaumstoff würde $7,56\,\text{kg}$ wiegen.
Die Dichte von Holz ist $670\,\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$.
$\begin{array}[t]{rll} \rho_{\text{Holz}}&=& \dfrac{m_{\text{Holz}}}{V} \\[5pt] 670\,\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}&=& \dfrac{m_{\text{Holz}}}{0,216\,\text{m}^3}&\quad \scriptsize \mid\;\cdot 0,216\,\text{m}^3 \\[5pt] 670\,\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}\cdot 0,216\,\text{m}^3&=&m_{\text{Holz}} \\[5pt] 144,72\,\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}\cdot\text{m}^3 &=& m_{\text{Holz}} \\[5pt] 144,72\,\text{kg}&=& m_{\text{Holz}} \\[5pt] \end{array}$
$ m_{\text{Holz}} = 144,72\,\text{kg} $
Der Würfel aus Holz wiegt $144,72\,\text{kg}$.
Die Dichte von Granit ist $2.600\,\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$.
$\begin{array}[t]{rll} \rho_{\text{Granit}}&=& \dfrac{m_{\text{Granit}}}{V} \\[5pt] 2.600\,\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}&=& \dfrac{m_{\text{Granit}}}{0,216\,\text{m}^3}&\quad \scriptsize \mid\;\cdot 0,216\,\text{m}^3 \\[5pt] 2.600\,\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}\cdot 0,216\,\text{m}^3&=&m_{\text{Granit}} \\[5pt] 561,6\,\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}\cdot\text{m}^3 &=& m_{\text{Granit}} \\[5pt] 561,6\,\text{kg}&=& m_{\text{Granit}} \\[5pt] \end{array}$
$ m_{\text{Granit}} = 561,6\,\text{kg} $
Der Würfel aus Granit wiegt $561,6\,\text{kg}$.
b)
$\blacktriangleright$  Volumen des Schaumstoffs berechnen
Der LKW darf $5,5\,\text{t}$ Material transportieren. Du kennst also die Masse des Schaumstoffs und sollst das Volumen berechnen. Setze die Masse und die Dichte in die Formel für die Dichte ein und löse die Gleichung nach dem Volumen $V$ auf.
Dazu musst du die Masse zuerst in $\text{kg}$ umrechnen.
$m = 5,5\,\text{t} = 5.500\,\text{kg}$
$\begin{array}[t]{rll} \rho&=& \dfrac{m}{V} \\[5pt] 35\,\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}&=&\dfrac{5.500\,\text{kg}}{V} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot V \\[5pt] 35\,\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot V&=& 5.500\,\text{kg} &\quad \scriptsize \mid\; : 35\,\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \\[5pt] V &=& 5.500\,\text{kg} : 35\,\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} \\[5pt] &\approx& 157 \,\text{kg} \cdot \dfrac{\text{m}^3}{\text{kg}} \\[5pt] &=& 157\,\text{m}^3 \\[5pt] \end{array}$
$ V\approx 157\,\text{m}^3 $
Ein LKW kann ungefähr $157\,\text{m}^3$ Schaumstoff transportieren.
$\blacktriangleright$  Anzahl Würfel berechnen
Du weißt jetzt, wie viel $\text{m}^3$ Schaumstoff ein LKW transportieren kann. Das Volumen eines Würfels hast du ebenfalls berechnet: $V = 0,216\,\text{m}^3$
Die Anzahl der Würfel berechnest du, indem du das Volumen des Schaumstoffs durch das Volumen pro Würfel teilst:
$ 157\,\text{m}^3 : 0,216\,\text{m}^3 \approx 726,9 $
Mit einer LKW-Ladung Schaumstoff können ca. $726$ Würfel hergestellt werden.
c)
$\blacktriangleright$  Material bestimmen
Du hast das Gewicht der dreizehn Würfel gegeben. Gesucht ist das Material. Berechne dazu, wie viel einer der dreizehn Würfel wiegt. Das Gewicht kannst du dann mit deinen Ergebnissen aus a) vergleichen.
$1.881,36\,\text{kg} : 13 \approx 144,72\,\text{kg}$
Einer der Würfel wiegt ca. $144,72\,\text{kg}$. Die Würfel bestehen also wahrscheinlich aus Schaumstoff.
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