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Wahrscheinlichkeiten

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Statistik: Wahrscheinlichkeiten
Abb. 1: Glücksrad
Statistik: Wahrscheinlichkeiten
Abb. 1: Glücksrad
c)
Das Glücksrad wird an einem Tag 40 mal gedreht. Wie oft erscheint voraussichtlich die Zahl $3$?
d)
Das Glücksrad wurde acht mal gedreht. Kannst du genau sagen, wie oft die Zahl $3$ gedreht wurde? Begründe deine Antwort.
e)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine $9$?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine Zahl zwischen $1$ und $8$?
#wahrscheinlichkeit

Aufgabe 1

In einer Tüte Bonbons befinden sich
  • $3$ mit Erdbeergeschmack
  • $2$ mit Waldmeistergeschmack
  • $3$ mit Zitronengeschmack
  • $4$ mit Apfelgeschmack
Die Beschriftung der Bonbons ist unleserlich geworden. Du nimmst ein Bonbon aus der Tüte. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten:
b)
$E_2: $ Du ziehst eins mit Zitronengeschmack
d)
$E_4: $ Dein Bonbon scmeckt nicht nach Zitrone.
f)
$E_6: $ Das Bonbon schmeckt nicht nach Apfel.
#wahrscheinlichkeit

Aufgabe 2

Bei einem Würfel wurde die Augenzahl $1$ durch eine weitere $6$ ersetzt. Es wird einmal gewürfelt. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten.
b)
$E_2: $ Eine $1$ wird gewürfelt.
d)
$E_4: $ Es wird keine 5 gewürfelt.
f)
$E_6: $ Eine Primzahl wird gewürfelt.
#wahrscheinlichkeit

Aufgabe 3

Kannst du bei dem Würfel aus Aufgabe 2 weitere Augenzahlen austauschen, sodass die Wahrscheinlichkeit für eine $6$ auf $50\,\%$ steigt?
#wahrscheinlichkeit

Aufgabe 4

a)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine Reise innerhalb Deutschlands zu buchen?
b)
Bei welchem Land ist die Wahrscheinlichkeit am höchsten und bei welchem am geringsten?
c)
Wie viele von $30$ Reisenden werden im Schnitt eine Reise nach Schweden bekommen?
d)
Gegen einen Aufpreis von $5\,€$ kann ein bestimmtes Land als Reiseziel ausgeschlossen werden.
Du möchtest unbedingt eine Reise nach Spanien bekommen und bist bereit diesen Aufpreis von $5\,€$ zu zahlen. Welches Land solltest du bei der Buchung ausschließen, damit die Wahrscheinlichkeit für Spanien möglichst hoch ist?
#wahrscheinlichkeit

Aufgabe 5

a)
Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird an diesem Montag ein Action-Film gezeigt?
b)
In einem anderen Kino „NewCinema“ zahlt man den gleichen Preis für die Sneak Preview. Dort stehen weniger Filme zur Verfügung:
  • $2$ Action-Filme
  • $1$ Liebeskomödie
In welches Kino solltest du gehen, wenn du gerne einen Action-Film sehen möchtest?
c)
Berechne für beide Kinos die Wahrscheinlichkeit für eine Dokumentation.
d)
Die Liebeskomödie, die im zweiten Kino „NewCinema“ gezeigt werden sollte, ist nicht rechtzeitig angekommen. Dieser Film stand auch im ersten Kino zur Verfügung und fällt dort jetzt ebenfalls aus.
Berechne für beide Kinos die neue Wahrscheinlichkeit für einen Action-Film.
#wahrscheinlichkeit

Aufgabe 6

a)
Bei welcher der $4$ Urnen ist die Wahrscheinlichkeit am höchsten, eine grüne Kugel zu ziehen?
b)
Bei einer Urne beträgt die Wahrscheinlichkeit für eine orangene Kugel $25\,\%$. Um welche Urne handelt es sich?
c)
In eine der Urnen soll eine zusätzliche lilafarbene Kugel gelegt werden. Bei welcher Urne würde die Wahrscheinlichkeit für eine lilafarbene Kugel dadurch auf $50\,\%$ steigen?
d)
Welche der Aussagen stimmen? Begründe deine Antwort.
  • Bei der dritten Urne ist die Wahrscheinlichkeit für eine orangene Kugel $100\,\%$.
  • Bei der vierten Urne ist die Wahrscheinlichkeit für eine orangene Kugel genauso groß wie für eine grüne Kugel.
  • Wenn in die erste Urne eine weitere grüne Kugel gelegt wird, ist die Wahrscheinlichkeit für eine grüne Kugel $50\,\%$.
e)
Formuliere ein sicheres und ein unmögliches Ereignis für das einmalige Ziehen aus Urne $3$.
#wahrscheinlichkeit#sicheresereignis#unmöglichesereignis

Aufgabe 7

#wahrscheinlichkeit
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$  Ergebnisse aufzählen
Betrachte das Glücksrad. Es gibt 8 gleichgroße Felder, die mit den Zahlen von $1$ bis $8$ beschriftet sind. Das Glücksrad kann also eine der Zahlen zwischen $1$ und $8$ anzeigen. Die möglichen Ergebnisse sind:
$1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$ und $8$
b)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
In einem Ereignis können mehrere Ergebnisse zusammengefasst werden. Die Wahrscheinlichkeit $P$ eines Ergeignisses $E$ kannst du mit der folgenden Formel berechnen:
$P(E) = \dfrac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}}$
$P(E) = \dfrac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}}$
$ P(E) = … $
Zähle also zuerst alle Ergebnisse die möglich sind. Bei dem Glücksrad gibt es $8$ Zahlen, die auftreten können. Also ist
$\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse} = 8$.
$ \text{Anzahl der möglichen …} $
Zähle anschließend alle günstigen Ergebnisse. Das sind die Ergebnisse, die zu dem Ereignis gehören, dessen Wahrscheinlichkeit du berechnen sollst.
Zuerst sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass das Glücksrad eine $3$ anzeigt.
Dies tritt nur dann ein, wenn eine $3$ gedreht wird. Also ist
$\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse} = 1$
$ \text{Anzahl der günstigen …} $
Setze dies in die Formel ein:
$\begin{array}[t]{rll} P(3)&=& \dfrac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{8}\\[5pt] &=&0,125 \\[5pt] &=& 12,5\,\% \\[5pt] \end{array}$
$ P(3) = 12,5\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $12,5\,\%$ wird eine $1$ gedreht.
Nun sollst du die Wahrscheinlichkeit für eine gerade Zahl berechnen. Zähle dazu wieder alle günstigen Ergebnisse. Die günstigen Ergebnisse sind alle geraden Zahlen, also
$2$, $4$, $6$ und $8$
Also ist
$\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse} = 4$
$ \text{Anzahl der günstigen …} $
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{gerade Zahl}) &=& \dfrac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}} \\[5pt] &=& \dfrac{4}{8} \\[5pt] &=& 0,5 \\[5pt] &=& 50\,\%\\[5pt] \end{array}$
$ P(\text{gerade Zahl}) = 50\,\% $
Die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu drehen, beträgt $50\,\%$.
Für die dritte Wahrscheinlichkeit musst du alle Ergebnisse zählen, bei denen die Zahl kleiner als $7$ ist:
$1$, $2$, $3$, $4$, $5$ und $6$
$\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse} = 6$
$ \text{Anzahl der günstigen …} $
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{kleiner als } 7)&=& \dfrac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}} \\[5pt] &=& \dfrac{6}{8} \\[5pt] &=& 0,75\\[5pt] &=& 75\,\% \\[5pt] \end{array}$
$ P(\text{kleiner als } 7) = 75\,\%$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $75\,\%$ wird eine Zahl kleiner als $7$ angezeigt.
c)
$\blacktriangleright$  Anzahl bestimmen
Du weißt, dass die Zahl $3$ mit einer Wahrscheinlichkeit von $12,5\,\%$ gedreht wird. Das heißt, dass im Schnitt bei $12,5\,\%$ aller Drehungen die Zahl $3$ erscheint.
Das Rad wird $40$-mal gedreht. Berechne also, wie viel $12,5\,\%$ von $40$ Drehungen sind.
Der Grundwert ist $G= 40$, der Prozentsatz $ p\,\%= 12,5\,\%$ und der Prozentwert $W$ wird gesucht.
$\begin{array}[t]{rll} W&=&G\cdot \dfrac{p\,\%}{100\,\%} \\[5pt] W&=& 40 \,\text{Drehungen}\cdot \dfrac{12,5\,\%}{100\,\%} \\[5pt] &=& 40\,\text{Drehungen}\cdot 0,125 \\[5pt] &=& 5 \,\text{Drehungen} \end{array}$
$ W= 5 \,\text{Drehungen} $
Bei $40$ Drehungen ist zu erwarten, dass $5$ mal die Zahl $3$ angezeigt wird.
d)
$\blacktriangleright$  Vorhersage begründen
Du weißt, dass im Schnitt in $12,5\,\%$ der Fälle die Zahl $3$ erscheint. Das ist aber nur eine mathematische Prognose. Welche Zahlen in der Realität dann wirklich gedreht werden, hängt von vielen verschiedenen Faktoren ab. Du kannst sie daher nicht vorhersagen.
Nein, du kannst nicht vorhersagen, wie oft die Zahl $3$ gedreht wird. Das liegt daran, dass es sich bei Wahrscheinlichkeiten um mathematische Modelle handelt. Diese legen nicht fest, was in der Realität tatsächlich eintritt. Sie geben nur Richtwerte dafür an, was passieren kann.
e)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten bestimmen
Betrachtest du das Glücksrad genauer, kannst du sehen, dass es kein Feld mit der Zahl $9$ gibt. Das Ereignis, dass eine $9$ gedreht wird, kann also gar nicht eintreten.
Ein solches Ereignis, das gar nicht eintreten kann, heißt unmögliches Ereignis. Die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist immer $0\,\%$.
Umgekehrt sind alle Felder mit Zahlen zwischen $1$ und $8$ beschriftet. Es muss also in jedem Dreh eine Zahl zwischen $1$ und $8$ auftreten. Solche Ereignisse, die sicher auf treten müssen, heißen sichere Ereignisse. Die Wahrscheinlichkeit eines sicheren Ereignisses ist immer $100\,\%$.

Aufgabe 1

Du sollst die Wahrscheinlichkeit von verschiedenen Ereignissen berechnen. Du kannst dazu wie im Aufgabenteil b) der Einführungsaufgabe vorgehen:
  1. Zähle die Anzahl der möglichen Ergebnisse.
  2. Zähle die Anzahl der günstigen Ergebnisse.
  3. Setze die Zahlen in die Formel für die Wahrscheinlichkeit ein.
a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für ein Bonbon mit Erdbeergeschmack. Berechne zuerst die Gesamtanzahl der Bonbons in der Tüte.
$\text{Anzahl möglicher Ergebnisse} = 3 + 2 +3 + 4 = 12$.
$ \text{Anzahl möglicher … } $
Es befinden sich insgesamt $12$ Bonbons in der Tüte. Davon sind $3$ mit Erdbeergeschmack:
$\text{Anzahl günstiger Ergebnisse} = 3$
$ \text{Anzahl günstiger …} $
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{Erdbeer})&=&\dfrac{\text{Anzahl günstiger Ergebnisse}}{\text{Anzahl möglicher Ergebnisse}} \\[5pt] &=& \dfrac{3}{12} \\[5pt] &=& 0,25 \\[5pt] &=& 25\,\%\\[5pt] \end{array}$
$P(\text{Erdbeer}) = 25\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $25\,\%$ ziehst du ein Erdbeerbonbon.
b)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für ein Bonbon mit Zitronengeschmack.
Es befinden sich insgesamt $12$ Bonbons in der Tüte.
$\text{Anzahl möglicher Ergebnisse} = 12$
$ \text{Anzahl möglicher …} $
Davon sind $3$ mit Zitronengeschmack:
$\text{Anzahl günstiger Ergebnisse} = 3$
$ \text{Anzahl günstiger …} $
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{Zitrone})&=&\dfrac{\text{Anzahl günstiger Ergebnisse}}{\text{Anzahl möglicher Ergebnisse}} \\[5pt] &=& \dfrac{3}{12} \\[5pt] &=& 0,25 \\[5pt] &=& 25\,\%\\[5pt] \end{array}$
$ P(\text{Zitrone}) = 25\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $25\,\%$ ziehst du ein Zitronenbonbon.
c)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für ein Bonbon mit Waldmeister- oder Zitronengeschmack.
Es befinden sich insgesamt $12$ Bonbons in der Tüte.
$\text{Anzahl möglicher Ergebnisse} = 12$
$ \text{Anzahl möglicher …} $
Davon sind $3$ mit Zitronengeschmack und $2$ mit Waldmeistergeschmack:
$\text{Anzahl günstiger Ergebnisse} = 3 + 2 = 5$
$ \text{Anzahl günstiger …} $
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{Zitrone oder Waldmeister})&=&\dfrac{\text{Anzahl günstiger Ergebnisse}}{\text{Anzahl möglicher Ergebnisse}} \\[5pt] &=& \dfrac{5}{12} \\[5pt] &\approx& 0,42 \\[5pt] &=& 42\,\%\\[5pt] \end{array}$
$P(\text{Zitrone oder …}) $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr $42\,\%$ ziehst du ein Waldmeister- oder Zitronenbonbon.
d)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für ein Bonbon ohne Zitronengeschmack.
Es befinden sich insgesamt $12$ Bonbons in der Tüte.
$\text{Anzahl möglicher Ergebnisse} = 12$
$ \text{Anzahl möglicher …} $
Davon sind $3$ mit Zitronengeschmack. Es gibt also $9$ Bonbons, die nicht nach Zitrone schmecken.
$\text{Anzahl günstiger Ergebnisse} = 9$
$ \text{Anzahl günstiger …}$
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{nicht Zitrone})&=&\dfrac{\text{Anzahl günstiger Ergebnisse}}{\text{Anzahl möglicher Ergebnisse}} \\[5pt] &=& \dfrac{9}{12} \\[5pt] &=& 0,75 \\[5pt] &=& 75\,\%\\[5pt] \end{array}$
$ P(\text{nicht Zitrone}) = 75\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $75\,\%$ ziehst du kein Zitronenbonbon.
e)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für ein Bonbon mit Apfel- oder Erdbeergeschmack.
Es befinden sich insgesamt $12$ Bonbons in der Tüte.
$\text{Anzahl möglicher Ergebnisse} = 12$
$ \text{Anzahl möglicher …} $
Davon sind $4$ mit Apfelgeschmack und $3$ mit Erdbeergeschmack:
$\text{Anzahl günstiger Ergebnisse} = 4 + 3 = 7$
$ \text{Anzahl günstiger …} $
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{Zitrone})&=&\dfrac{\text{Anzahl günstiger Ergebnisse}}{\text{Anzahl möglicher Ergebnisse}} \\[5pt] &=& \dfrac{7}{12} \\[5pt] &\approx& 0,583 \\[5pt] &=& 58,3\,\%\\[5pt] \end{array}$
$P(\text{Zitrone}) \approx 58,3\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr $58,3\,\%$ ziehst du ein Erdbeer- oder Apfelbonbon.
f)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für ein Bonbon ohne Apfelgeschmack.
Es befinden sich insgesamt $12$ Bonbons in der Tüte.
$\text{Anzahl möglicher Ergebnisse} = 12$
$ \text{Anzahl möglicher …} $
Davon sind $4$ mit Apfelgeschmack. Es gibt also $8$ Bonbons, die nicht nach Apfel schmecken.
$\text{Anzahl günstiger Ergebnisse} = 8$
$ \text{Anzahl günstiger …}$
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{nicht Apfel})&=&\dfrac{\text{Anzahl günstiger Ergebnisse}}{\text{Anzahl möglicher Ergebnisse}} \\[5pt] &=& \dfrac{8}{12} \\[5pt] &\approx& 0,667 \\[5pt] &=& 66,7\,\%\\[5pt] \end{array}$
$ P(\text{nicht Apfel}) \approx 66,7\,\%$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $66,7\,\%$ ziehst du kein Apfelbonbon.
#unmöglichesereignis#sicheresereignis

Aufgabe 2

Du sollst die Wahrscheinlichkeit von verschiedenen Ereignissen berechnen. Du kannst dazu wie im Aufgabenteil b) der Einführungsaufgabe vorgehen:
  1. Zähle die Anzahl der möglichen Ergebnisse.
  2. Zähle die Anzahl der günstigen Ergebnisse.
  3. Setze die Zahlen in die Formel für die Wahrscheinlichkeit ein.
a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für eine $6$. Bestimme zuerst die Gesamtanzahl der möglichen Ergebnisse.
$\text{Anzahl möglicher Ergebnisse} = 6 $.
$ \text{Anzahl möglicher …} $
Der Würfel hat insgesamt $6$ Seiten. Davon sind $2$ mit einer $6$ beschriftet:
$\text{Anzahl günstiger Ergebnisse} = 2$
$ \text{Anzahl günstiger …} $
$\begin{array}[t]{rll} P(6)&=&\dfrac{\text{Anzahl günstiger Ergebnisse}}{\text{Anzahl möglicher Ergebnisse}} \\[5pt] &=& \dfrac{2}{6} \\[5pt] &\approx& 0,333 \\[5pt] &=& 33,3\,\%\\[5pt] \end{array}$
$ P(6) \approx 33,3\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr $33,3\,\%$ wird eine $6$ gewürfelt.
b)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für eine $1$. Bestimme zuerst die Gesamtanzahl der möglichen Ergebnisse.
$\text{Anzahl möglicher Ergebnisse} = 6 $.
$ \text{Anzahl möglicher …} $
Der Würfel hat insgesamt $6$ Seiten. Die $1$ wurde durch eine weitere $6$ ersetzt. Es gibt also keine Seite mehr mit der Augenzahl $1$.
$\text{Anzahl günstiger Ergebnisse} = 0$
$ \text{Anzahl günstiger …} $
$\begin{array}[t]{rll} P(1)&=&\dfrac{\text{Anzahl günstiger Ergebnisse}}{\text{Anzahl möglicher Ergebnisse}} \\[5pt] &=& \dfrac{0}{6} \\[5pt] &=& 0 \\[5pt] &=& 0\,\%\\[5pt] \end{array}$
$ P(1) = 0 $
Eine $1$ kann nicht gewürfelt werden, die Wahrscheinlichkeit beträgt $0\,\%$.
c)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass keine $6$ gewürfelt wird. Bestimme zuerst die Gesamtanzahl der möglichen Ergebnisse.
$\text{Anzahl möglicher Ergebnisse} = 6 $
$ \text{Anzahl möglicher …} $
.
Der Würfel hat insgesamt $6$ Seiten. Davon sind $2$ mit einer $6$ beschriftet. Also sind $4$ Seiten nicht mit einer $6$ beschriftet.
$\text{Anzahl günstiger Ergebnisse} = 4$
$ \text{Anzahl günstiger …} $
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{keine } 6)&=&\dfrac{\text{Anzahl günstiger Ergebnisse}}{\text{Anzahl möglicher Ergebnisse}} \\[5pt] &=& \dfrac{4}{6} \\[5pt] &\approx& 0,667 \\[5pt] &=& 66,7\,\%\\[5pt] \end{array}$
$ P(\text{keine } 6) = 66,7\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr $66,7\,\%$ wird keine $6$ gewürfelt.
d)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass keine $5$ gewürfelt wird. Bestimme zuerst die Gesamtanzahl der möglichen Ergebnisse.
$\text{Anzahl möglicher Ergebnisse} = 6 $.
$ \text{Anzahl möglicher …} $
Der Würfel hat insgesamt $6$ Seiten. Davon ist $1$ mit einer $5$ beschriftet. Also sind $5$ Seiten nicht mit einer $5$ beschriftet.
$\text{Anzahl günstiger Ergebnisse} = 5$
$\text{Anzahl günstiger …} $
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{keine } 5)&=&\dfrac{\text{Anzahl günstiger Ergebnisse}}{\text{Anzahl möglicher Ergebnisse}} \\[5pt] &=& \dfrac{5}{6} \\[5pt] &\approx& 0,833 \\[5pt] &=& 83,3\,\%\\[5pt] \end{array}$
$ P(\text{keine } 5)\approx 83,3\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr $83,3\,\%$ wird keine $5$ gewürfelt.
e)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für eine gerade Zahl. Bestimme zuerst die Gesamtanzahl der möglichen Ergebnisse.
$\text{Anzahl möglicher Ergebnisse} = 6 $.
$ \text{Anzahl möglicher …}$
Der Würfel hat insgesamt $6$ Seiten. Es gibt folgende Augenzahlen:
$2$, $3$, $4$, $5$, $6$ und $6$
Gerade Zahlen sind $2$, $4$, $6$ und $6$.
Also sind $4$ Seiten mit einer geraden Augenzahl beschriftet.
$\text{Anzahl günstiger Ergebnisse} = 4$
$ \text{Anzahl günstiger …} $
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{gerade Zahl})&=&\dfrac{\text{Anzahl günstiger Ergebnisse}}{\text{Anzahl möglicher Ergebnisse}} \\[5pt] &=& \dfrac{4}{6} \\[5pt] &\approx& 0,667 \\[5pt] &=& 66,7\,\%\\[5pt] \end{array}$
$ P(\text{gerade Zahl})\approx 66,7\,\%$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr $66,7\,\%$ wird eine gerade Zahl gewürfelt.
f)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für eine Primzahl. Bestimme zuerst die Gesamtanzahl der möglichen Ergebnisse.
$\text{Anzahl möglicher Ergebnisse} = 6 $
$ \text{Anzahl möglicher …} $
.
Der Würfel hat insgesamt $6$ Seiten. Es gibt folgende Augenzahlen:
$2$, $3$, $4$, $5$, $6$ und $6$
Primzahlen davon sind $3$ und $5$.
Also sind $2$ Seiten mit einer Primzahl beschriftet.
$\text{Anzahl günstiger Ergebnisse} = 2$
$ \text{Anzahl günstiger …} $
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{Primzahl } )&=&\dfrac{\text{Anzahl günstiger Ergebnisse}}{\text{Anzahl möglicher Ergebnisse}} \\[5pt] &=& \dfrac{2}{6} \\[5pt] &\approx& 0,333 \\[5pt] &=& 33,3\,\%\\[5pt] \end{array}$
$ P(\text{Primzahl } ) \approx 33,3\,\%$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr $33,3\,\%$ wird eine Primzahl gewürfelt.

Aufgabe 3

Bei dem Würfel wurde die $1$ durch eine weitere $6$ ersetzt. Er hat also folgende Augenzahlen:
$2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $6$
Du sollst nun weitere Augenzahlen ersetzen, sodass die Wahrscheinlichkeit für eine $6$ auf $50\,\%$ steigt.
Da der Würfel $6$ Seiten hat, bleibt die Anzahl der möglichen Ergebnisse $6$. Du musst die Anzahl der günstigen Ergebnisse berechnen, sodass die Wahrscheinlichkeit $50\,\%$ beträgt.
Setze in die Formel für die Wahrscheinlichkeit ein:
$\begin{array}[t]{rll} P(6) &=& \dfrac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}} &\quad \scriptsize \mid\; P(6) = 50\,\% \\[5pt] 50\,\%&=& \dfrac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{6} \\[5pt] 0,5&=& \dfrac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{6} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 6 \\[5pt] 0,5\cdot 6&=&\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse} \\[5pt] 3&=& \text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}\\[5pt] \end{array}$
$\text{Anzahl der günstigen …} $
Damit die Wahrscheinlichkeit für eine $6$ $50\,\%$ beträgt, müssen $3$ Seiten die Augenzahl $6$ haben.
$2$ Seiten tragen bereits die Augenzahl $6$. Du musst also eine der Zahlen $2$, $3$, $4$ oder $5$ durch eine weitere $6$ ersetzen.

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Du sollst die Wahrscheinlichkeit für ein Reiseziel in Deutschland berechnen. Nutze dazu die Formel für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses.
Insgesamt stehen $20$ Reiseziele zur Verfügung. Davon befinden sich $6$ in Deutschland.
$\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse} = 6\quad $ $\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse} = 20$
$ \text{Anzahl der günstigen …} $
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{Deutschland})&=& \dfrac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}} \\[5pt] &=& \dfrac{6}{20} \\[5pt] &=& 0,3 \\[5pt] &=& 30\,\% \end{array}$
$ P(\text{Deutschland}) =30\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $30\,\%$ bekommt man eine Reise nach Deutschland.
b)
$\blacktriangleright$  Land mit der größten und kleinsten Wahrscheinlichkeit angeben Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses steigt mit der Anzahl der günstigen Ergebnisse. Je mehr günstige Ergebnisse zu einem Ereignis führen, desto höher ist die Wahrscheinlichkeit.
Das Land mit den meisten Reisezielen im Angebot hat also die größte Wahrscheinlichkeit. Umgekehrt hat das Land mit den wenigsten Reisezielen die geringste Wahrscheinlichkeit.
In Deutschland liegen die meisten Reiseziele. Das Land mit der höchsten Wahrscheinlichkeit ist also Deutschland.
In Frankreich liegen am wenigsten Reiseziele. Das Land mit der geringsten Wahrscheinlichkeit ist also Frankreich.
c)
$\blacktriangleright$  Anzahl der Schwedenreisen berechnen
Du weißt, wie viele der $20$ Reiseziele in Schweden liegen. Daraus kannst du die Wahrscheinlichkeit für eine Schwedenreise berechnen. Dann kannst du wie in Aufgabenteil c) der Einführungsaufgabe vorgehen.
Von den $20$ Reisezielen liegen $4$ in Schweden:
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{Schweden})&=& \dfrac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}} \\[5pt] &=& \dfrac{4}{20} \\[5pt] &=& 0,2 \\[5pt] &=& 20\,\% \\[5pt] \end{array}$
$ P(\text{Schweden}) = 20\,\% $
Du kennst nun also den Prozentsatz $p\,\% = 20\,\%$ der Reiseziele in Schweden. Der Grundwert ist $30$. Gesucht ist der Prozentwert:
$\begin{array}[t]{rll} W&=& G \cdot \dfrac{p\,\%}{100\,\%} \\[5pt] &=& 30\cdot \dfrac{20\,\%}{100\,\%} \\[5pt] &=& 30\cdot 0,2 \\[5pt] &=& 6\\[5pt] \end{array}$
$ W= 6 $
Bei $30$ Reisenden kann man erwarten, dass im Schnitt $30$ Reisen nach Schweden gebucht wurden.

Aufgabe 5

a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für einen Action-Film. Nutze die Formel für die Wahrscheinlichkeit. Dazu musst du zählen, wie viele Filme insgesamt zur Verfügung stehen.
$\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse} = \text{Anzahl der Filme} = 3+4+1+4 = 12$
$ \text{Anzahl der möglichen …} $
Insgesamt gibt es $12$ Filme. Darunter sind $4$ Action-Filme:
$\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse} = 4$
$ \text{Anzahl der günstigen …} $
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{Action-Film})&=& \dfrac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}} \\[5pt] &=& \dfrac{4}{12} \\[5pt] &\approx& 0,333 \\[5pt] &=&33,3\,\% \end{array}$
$ P(\text{Action-Film}) \approx 33,3\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr $33,3\,\%$ wird diesen Montag ein Action-Film gezeigt.
b)
$\blacktriangleright$  Kino auswählen
Du hast bereits die Wahrscheinlichkeit berechnet, im ersten Kino einen Action-Film zu sehen. Gehe genauso für das zweite Kino vor.
$\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse} = 2 + 1 = 3\quad $ $\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse} = 2$
$ \text{Anzahl der möglichen …} $
$\begin{array}[t]{rll} P_2(\text{Action-Film})&=& \dfrac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}} \\[5pt] &=&\dfrac{2}{3} \\[5pt] &\approx&0,667 \\[5pt] &=& 66,7\,\%\\[5pt] \end{array}$
$ P_2(\text{Action-Film}) \approx 66,7\,\%$
Im ersten Kino „CinemaDeluxe“ ist die Wahrsheinlichkeit für einen Action-Film ungefähr $33,3\,\%$. Im zweiten Kino „NewCinema“ ist die Wahrscheinlichkeit ungefähr $66,7\,\%$.
Im zweiten Kino ist die Wahrscheinlichkeit höher, dass ein Action-Film gezeigt wird. Du solltest also ins zweite Kino gehen.
c)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für eine Dokumentation berechnen
Im ersten Kino gibt es insgesamt $12$ Filme. Dabei ist eine Dokumentation.
$\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}_1 = 12\quad $ $\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}_1 = 1$
$ \text{Anzahl der möglichen …} $
$\begin{array}[t]{rll} P_1(\text{Dokumentation})&=& \dfrac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}_1}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}_1} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{12}\\[5pt] &\approx& 0,083 \\[5pt] &=& 8,3\,\%\\[5pt] \end{array}$
$ P_1(\text{Dokumentation}) \approx 8,3\,\% $
Im ersten Kino wird mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr $8,3\,\%$ eine Dokumentation gezeigt.
Beim zweiten Kino stehen keine Dokumentationen zur Verfügung. Es kann also auch keine gezeigt werden. Es handelt sich um ein unmögliches Ereignis. Die Wahrscheinlichkeit $P_2(\text{Dokumentation})$ beträgt $0\,\%$.
d)
$\blacktriangleright$  Geänderte Wahrscheinlichkeiten berechnen
In beiden Kinos fällt eine Liebes-Komödie aus. Berechne die geänderte Wahrscheinlichkeit für einen Action-Film erneut, ohne diesen Liebes-Film.
Im ersten Kino gibt es jetzt nur noch $11$ Filme, im zweiten noch $2$.
$\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}_1 = 11\quad $ $\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}_2 = 2$
$ \text{Anzahl der möglichen …} $
Im ersten Kino gibt es $4$ Action-Filme:
$\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}_1 = 4$
$ \text{Anzahl der günstigen …}$
$\begin{array}[t]{rll} P_1(\text{Action-Film})&=& \dfrac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}_1}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}_1} \\[5pt] &=& \dfrac{4}{11} \\[5pt] &\approx& 0,364\\[5pt] &=& 36,4\,\% \\[5pt] \end{array}$
$ P_1(\text{Action-Film}) \approx 36,4\,\%$
Im ersten Kino wird ein Action-Film jetzt mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr $36,4\,\%$ gezeigt.
Im zweiten Kino ist der einzige Film ausgefallen, der kein Action-Film ist. Hier gibt es also nur Action-Filme. Es muss also ein Action-Film gezeigt werden. Es handelt sich um ein sicheres Ereignis. Die Wahrscheinlichkeit für einen Action-Film im zweiten Kino beträgt jetzt $100\,\%$.

Aufgabe 6

a)
$\blacktriangleright$  Urne mit der höchsten Wahrscheinlichkeit auswählen
Du sollst die Urne auswählen, bei der die Wahrscheinlichkeit für eine grüne Kugel am höchsten ist. Du kannst entweder für jede Urne die Wahrscheinlichkeit berechnen oder das Verhältnis der grünen Kugeln zu den andersfarbigen Kugeln betrachten.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Wahrscheinlichkeiten berechnen
Zähle für jede Urne die Anzahl der grünen Kugeln und die Gesamtanzahl der Kugeln. Dann kannst du die Wahrscheinlichkeit wie in den Aufgaben zuvor berechnen.
$\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}_1 $ $= \text{Anzahl der grünen Kugeln}_1 = 3$
$ \text{Anzahl der günstigen …}$
$\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}_1$ $= \text{Anzahl aller Kugeln}_1 = 8$
$ \text{Anzahl der möglichen …}$
$\begin{array}[t]{rll} P_1(\text{grün})&=& \dfrac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}_1}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}_1} \\[5pt] &=& \dfrac{3}{8} \\[5pt] &=& 0,375 \\[5pt] &=& 37,5\,\% \end{array}$
$ P_1(\text{grün}) = 37,5\,\% $
$\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}_2 $ $= \text{Anzahl der grünen Kugeln}_2 = 3$
$ \text{Anzahl der günstigen …} $
$\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}_2$ $= \text{Anzahl aller Kugeln}_2 = 6$
$ \text{Anzahl der möglichen …} $
$\begin{array}[t]{rll} P_2(\text{grün})&=& \dfrac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}_2}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}_2} \\[5pt] &=& \dfrac{3}{6} \\[5pt] &=& 0,5 \\[5pt] &=& 50\,\% \end{array}$
$ P_2(\text{grün}) = 50\,\% $
$\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}_3 $ $= \text{Anzahl der grünen Kugeln}_3 = 3$
$ \text{Anzahl der günstigen …} $
$\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}_3$ $= \text{Anzahl aller Kugeln}_3 = 5$
$ \text{Anzahl der möglichen …} $
$\begin{array}[t]{rll} P_3(\text{grün})&=& \dfrac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}_3}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}_3} \\[5pt] &=& \dfrac{3}{5} \\[5pt] &=& 0,6 \\[5pt] &=& 60\,\% \end{array}$
$ P_3(\text{grün}) = 60\,\%$
$\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}_4 $ $= \text{Anzahl der grünen Kugeln}_4 = 2$
$ \text{Anzahl der günstigen …} $
$\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}_4$ $= \text{Anzahl aller Kugeln}_4 = 5$
$ \text{Anzahl der möglichen …} $
$\begin{array}[t]{rll} P_4(\text{grün})&=& \dfrac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}_4}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}_4} \\[5pt] &=& \dfrac{2}{5} \\[5pt] &=& 0,4 \\[5pt] &=& 40\,\% \end{array}$
$ P_4(\text{grün}) = 40\,\% $
Die höchste Wahrscheinlichkeit ist $P_3(\text{grün}) = 60\,\%$. Bei der dritten Urne ist also die Wahrscheinlichkeit für eine grüne Kugel am höchsten.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Verhältnis betrachten
Betrachte bei allen Urnen das Verhältnis der grünen Kugeln im Vergleich zu der Anzahl der Kugeln mit anderen Farben.
  • $\text{Anzahl der grünen Kugeln}_1 = 3$
  • $\text{Anzahl der andersfarbigen Kugeln}_1 = 5$
  • $\text{Anzahl der grünen …}$
  • $\text{Anzahl der anders…} $
  • $\text{Anzahl der grünen Kugeln}_2 = 3$
  • $\text{Anzahl der andersfarbigen Kugeln}_2 = 3$
  • $\text{Anzahl der grünen …}$
  • $\text{Anzahl der anders…} $
  • $\text{Anzahl der grünen Kugeln}_3 = 3$
  • $\text{Anzahl der andersfarbigen Kugeln}_3 = 2$
  • $\text{Anzahl der grünen …}$
  • $\text{Anzahl der anders…} $
  • $\text{Anzahl der grünen Kugeln}_4 = 2$
  • $\text{Anzahl der andersfarbigen Kugeln}_4 = 3$
  • $\text{Anzahl der grünen …}$
  • $\text{Anzahl der anders…} $
In Urne $1$ und $4$ gibt es weniger grüne Kugeln als Kugeln mit anderen Farben. Hier ist die Wahrscheinlichkeit eine grüne Kugel zu ziehen also am geringsten.
In der zweiten Urne befinden sich genauso viele grüne Kugeln wie Kugeln mit anderen Farben.
Nu in der dritten Urne befinden sich mehr grüne Kugeln als Kugeln mit anderen Farben. Hier ist also die Wahrscheinlichkeit am höchsten eine grüne Kugel zu ziehen.
b)
$\blacktriangleright$  Urne mit der passenden Wahrscheinlichkeit bestimmen
Gesucht ist die Urne, bei der die Wahrscheinlichkeit für eine orangene Kugel $25\,\%$ beträgt. Dazu kannst du für jede Urne die Wahrscheinlichkeit für eine orangene Kugel bestimmen.
$\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}_1 $ $= \text{Anzahl orangener Kugeln} = 2$
$ \text{Anzahl der günstigen …} $
$\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}_1 $ $= \text{Gesamtanzahl der Kugeln}_1 = 8$
$ \text{Anzahl der möglichen …} $
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{orange})&=& \dfrac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}_1}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}_1} \\[5pt] &=& \dfrac{2}{8} \\[5pt] &=& 0,25\\[5pt] &=& 25\,\%\\[5pt] \end{array}$
$ P(\text{orange}) = 25\,\%$
Bei der ersten Urne beträgt die Wahrscheinlichkeit für eine orangene Kugel bereits $25\,\%$. Du musst die Wahrscheinlichkeiten für die anderen Urnen also nicht mehr berechnen.
c)
$\blacktriangleright$  Urne auswählen, bei der eine Kugel hinzugefügt werden soll
In eine Urne soll eine zusätzliche lilafarbene Kugel gelegt werden. Die Wahrscheinlichkeit für eine lilafarbene Kugel soll dadurch auf $50\,\%$ steigen.
Damit die Wahrscheinlichkeit $50\,\%$ beträgt, müssen genauso viele lilafarbene Kugeln in der Urne sein wie Kugeln von anderen Farben.
Bevor die zusätzliche Kugel hineingelegt wird, muss also eine lilafarbene Kugel weniger in der Urne sein als Kugeln mit anderen Farben.
In der ersten Urne liegen $2$ lilafarbene Kugeln weniger als Kugeln anderer Farben. In der zweiten liegen $4$ lilafarbene Kugeln weniger. In der dritten Urne liegen $2$ lilafarbene Kugeln und drei andersfarbige Kugeln. Wenn du hier eine zusätzliche lilafarbene Kugel hineinlegst, ist das Verhältnis ausgeglichen. Hier beträgt die Wahrscheinlichkeit für eine lilafarbene Kugel dann $50\,\%$.
d)
$\blacktriangleright$  Aussagen überprüfen
„Bei der dritten Urne ist die Wahrscheinlichkeit für eine orangene Kugel $100\,\%$.“
Betrachte die dritte Urne. Darin befindet sich keine orangene Kugel. Es kann also keine orangene Kugel gezogen werden. Es handelt sich um ein unmögliches Ereignis. Die Wahrscheinlichkeit für eine orangene Kugel beträgt also $0\,\%$.
Die Aussage stimmt nicht.
„Bei der vierten Urne ist die Wahrscheinlichkeit für eine orangene Kugel so groß wie für eine grüne.“
Die wahrscheinlichkeit für eine grüne Kugel ist dann genau so groß wie für eine orangene, wenn genauso viele grüne Kugeln in der Urne liegen wie orangene. Dies ist in der vierten Urne der Fall.
Diese Aussage stimmt.
„Wenn in die erste Urne eine weitere grüne Kugel gelegt wird, ist die Wahrscheinlichkeit für eine grüne Kugel $50\,\%$.“
Berechne die geänderte Wahrscheinlichkeit:
$\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}$ $= \text{Anzahl der grünen Kugeln} = 3+1 = 4 $
$ \text{Anzahl der günstigen …} $
$\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}$ $= \text{Anzahl aller Kugeln} = 8 + 1 = 9$
$ \text{Anzahl der möglichen …} $
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{grün})&=& \dfrac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}} \\[5pt] &=& \dfrac{4}{9} \\[5pt] &\approx& 0,444 \\[5pt] &=& 44,4\,\% \end{array}$
$ P(\text{grün}) \approx 44,4\,\%$
Wenn eine zusätzliche grüne Kugel in die erste Urne gelegt wird, beträgt die Wahrscheinlichkeit für eine grüne Kugel ungefähr $44,4\,\%$.
Diese Aussage stimmt nicht.
e)
$\blacktriangleright$  Ereignisse formulieren
Du sollst ein sicheres und ein unmögliches Ereignis für die dritte Urne formulieren.
Überlege dir also zuerst, was bei jedem Zug aus der Urne zutrifft. Bei jedem Zug wird zum Beispiel eine Kugel gezogen. Da es keine orangene Kugel gibt, muss auf jeden Fall eine grüne oder eine lilafarbene Kugel gezogen werden. Ein sicheres Ereignis wäre also zum Beispiel:
$E_1: $ Es wird eine grüne oder eine lilafarbene Kugel gezogen.
Ein unmögliches Ereignis ist ein Ereignis, das nicht eintreten kann. Da in der dritten Urne keine orangene Kugel liegt, kann zum Beispiel keine orangene Kugel gezogen werden.
$E_2: $ Es wird eine orangene Kugel gezogen.

Aufgabe 7

a)
$\blacktriangleright$  Glücksrad auswählen
Gesucht sind die Glücksräder, bei denen die Wahrscheinlichkeit für eine $2$ größer als $20\,\%$ ist. Bei jedem Glücksrad gibt es $5$ Felder. Die Anzahl der möglichen Ergebnisse ist also $5$. Berechne die Anzahl der günstigen Ergebnisse, die nötig sind um $20\,\$% Wahrscheinlichkeit zu haben. Verwende dafür die Formel für die Wahrscheinlichkeit.
$\begin{array}[t]{rll} P(E)&=& \dfrac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}} \\[5pt] 20\,\%&=& \dfrac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{5} \\[5pt] 0,2&=& \dfrac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{5} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 5 \\[5pt] 1&=& \text{Anzahl der günstigen Ergebnisse} \end{array}$
$ \text{Anzahl der günstigen …} $
Es muss also ein Feld mit $2$ beschriftet werden, damit die Wahrscheinlichkeit $20\,\%$ beträgt.
Die Wahrscheinlichkeit soll aber größer als $20\,\%$ sein. Also müssen mindestens zwei Felder mit $2$ beschriftet sein.
Die Glücksräder $1$ und $2$ haben jeweils zweimal ein Feld $2$. Bei den Glücksrädern $1$ und $2$ ist die Wahrscheinlichkeit für eine $2$ größer als $20\,\%$.
b)
$\blacktriangleright$  Glücksrad auswählen
Gesucht ist das Glücksrad, bei dem die Wahrscheinlichkeit für ein grünes Feld am geringsten ist. Alle Glücksräder haben die gleiche Anzahl an Gesamtfeldern. Das gesuchte Glücksrad ist also das mit der geringsten Anzahl an grünen Feldern.
Bei allen Glücksrädern sind $2$ der $5$ Felder grün, außer beim dritten Glücksrad. Dort ist nur eins der $5$ Felder grün. Die Wahrscheinlichkeit für ein grünes Feld ist also beim dritten Glücksrad am geringsten.
c)
$\blacktriangleright$  Glücksrad auswählen
Gesucht ist das Glücksrad mit der höchsten beziehungsweise geringsten Wahrscheinlichkeit für eine blaue $1$. Zähle also nach, bei welchem Glücksrad am häufigsten bzw. seltensten eine $1$ auf einem blauen Feld steht.
Die Zahl $1$ steht nur beim dritten Glücksrad auf einem blauen Feld. Dort ist die Wahrscheinlichkeit für eine blaue $1$ also am größten.
Beim ersten und zweiten Glücksrad steht die $1$ nicht auf einem blauen Feld. Es kann also keiner blaue $1$ gedreht werden. Damit ist die Wahrscheinlichkeit für eine blaue $1$ dort am geringsten.
d)
$\blacktriangleright$  Häufigkeit eines Ergebnisses bestimmen
In der Regel wird die Farbe am seltensten gedreht, die auf dem Glücksrad am seltensten vorkommt.
Beim ersten Glücksrad sind $2$ Felder grün und $2$ Felder orange, aber nur ein Feld blau. Die Farbe blau hat also die geringste Wahrscheinlichkeit und tritt erwartungsgemäß am seltensten auf.
Die Anzahl der erwarteten Drehungen mit einem blauen Feld kannst du wie in Aufgabenteil c) der Einführungsaufgabe berechnen. Berechne dazu zuerst die Wahrscheinlichkeit für ein blaues Feld:
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{blau})&=& \dfrac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{5} \\[5pt] &=& 0,2 \\[5pt] &=& 20\,\% \end{array}$
$ P(\text{blau}) = 20\,\% $
Der Prozentsatz ist also $p\,\% = 20\,\%$, der Grundwert ist $G = 300$, gesucht ist der Prozentwert $W$:
$\begin{array}[t]{rll} W&=& G\cdot \dfrac{p\,\%}{100\,\%} \\[5pt] W&=& 300\cdot \dfrac{20\,\%}{100\,\%} \\[5pt] &=& 300\cdot 0,2 \\[5pt] &=& 60\\[5pt] \end{array}$
$ W = 60 $
Bei $300$ Durchgängen kann man damit rechnen, dass $60$-mal ein blaues Feld erscheint.
e)
$\blacktriangleright$  Glücksrad beschriften
Du sollst das Glücksrad mit den Zahlen $1$, $2$, $3$ und $4$ beschriften und dabei drei Bedingungen beachten.
Das Glücksrad hat fünf Felder. Du sollst aber nur vier verschiedene Zahlen verwenden. Eine Zahl muss also doppelt verwendet werden, damit das übrige Feld gefüllt werden kann.
Eine Bedingung ist, dass die Zahl $4$ die höchste Wahrscheinlichkeit hat. Die Zahl $4$ ist also die Zahl, die zweimal vorkommen muss.
Außerdem dürfen die Zahlen $1$ und $4$ nicht auf einem grünen Feld stehen. Also müssen die beiden grünen Felder mit $2$ und $3$ beschriftet sein.
Wenn du dies berücksichtigst, erhältst du eine ähnliche Beschriftung wie auf der Abbildung.
Bildnachweise [nach oben]
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