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Zweiersystem

Spickzettel
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Es gibt unterschiedliche Stellenwertsysteme, in denen Zahlen dargestellt werden können. Das bekannteste ist das Zehnersystem, in dem die Zahlen mithilfe der Ziffern $0,$ $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $7,$ $8$ und $9$ geschrieben werden.
Im Zweiersystem werden alle Zahlen mithilfe der beiden Ziffern $0$ und $1$ dargestellt.
Zweiersystem
Beim Zweiersystem werden $2$ Einer schon zu einem Zweier, $2$ Zweier zu einem Vierer, $2$ Vierer zu einem Achter usw. zusammengefasst.
Die einzelnen Ziffern zeigen an, aus wie vielen Einern, Zweiern, Vierern usw. die Zahl zusammengesetzt werden muss.
$16$er $8$er$4$er$2$er$1$er
$1$$ 0$$0$$1$$1$
ergibt die Zahl:
$1\cdot 16 + 0\cdot 8 + 0\cdot 4 +1\cdot 2+1\cdot 1$ $ = 19$
Um deutlich zu machen, dass eine Zahl im Zweiersystem geschrieben wurde, schreibt man oft eine kleine zwei dahinter:
$10001_2$
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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

a)
Schreibe die ersten neun Stufenzahlen des Zweiersystems auf.
b)
Schreibe die Zahlen von $1$ bis $25$ im Zweiersystem auf.
c)
Schreibe die Zahlen vom Zweiersystem in das Zehnersystem um.
(2)
$101_2$
(4)
$1011_2$
d)
Was ist der Nachfolger (Vorgänger) der Zahl $101_2$?
e)
Schreibe die Zahlen vom Zehnersystem in das Zweiersystem um.
(2)
$84$
(4)
$55$

Aufgabe 1

Schreibe die Zahlen aus dem Zweiersystem in das Zehnersystem um.
b)
$1001_2$
d)
$1110111_2$
f)
$10101_2$

Aufgabe 2

Gib die nächsten fünf Zahlen im Zweiersystem an.
b)
$1100_2$
d)
$1001_2$
f)
$1111_2$

Aufgabe 3

Gib den Nachfolger und den Vorgänger der Zahlen im Zweiersystem an.
VorgängerZahlNachfolger
$ $$1000111_2 $$ $
$ $$10111_2 $$ $
$ $$11101_2 $$ $
$ $$1110_2 $$ $
$ $$1011_2 $$ $
$ $$100101_2 $$ $
$ $$1010111_2 $$ $
$ $$10101110011_2 $$ $

Aufgabe 4

Schreibe die Zahlen vom Zehnersystem in das Zweiersystem um.
b)
$364$
d)
$100$
f)
$511$

Aufgabe 5

Bildnachweise [nach oben]
[1]
Public Domain.
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

Natürliche Zahlen: Zweiersystem
a)
$\blacktriangleright$  Stufenzahlen aufschreiben
Die erste Stufenzahl ist $1.$ Für jeden weiteren Schritt musst du mit $2$ multiplizieren.
  • $1$
  • $2$
  • $4$
  • $8$
  • $16$
  • $32$
  • $64$
  • $128$
  • $256$
b)
$\blacktriangleright$  Zahlen im Zweiersystem aufschreiben
  • $1=1_2$
  • $2 = 1\cdot 2+ 0\cdot 1 = 10_2 $
  • $3 =1\cdot 2 +1\cdot 1 = 11_2$
  • $4 = 1\cdot 4 +0\cdot 2+0\cdot 1 = 100_2$
  • $5 = 1\cdot 4 +0\cdot 2 +1\cdot 1 = 101_2$
  • $6= 1\cdot 4 +1\cdot 2 +0\cdot 1 = 110_2$
  • $7=1\cdot 4 +1\cdot 2 +1\cdot 1 = 111_2$
  • $8= 1\cdot 8 +0\cdot 4+ 0\cdot 2+0\cdot 1 = 1000_2$
  • $9 = 1\cdot 8 +0\cdot 4 +0\cdot 2 +1\cdot 1 = 1001_2$
  • $10 = 1\cdot 8 + 0\cdot 4 + 1\cdot 2 + 0\cdot 1 = 1010_2$
  • $11 = 1\cdot 8 + 0\cdot 4 +1\cdot 2 +1\cdot 1 = 1011_2$
  • $12 = 1\cdot 8 + 1\cdot 4 +0\cdot 2+0\cdot 1 = 1100_2$
  • $13 = 1\cdot 8 +1\cdot 4+0\cdot 2 +1\cdot 1 = 1101_2$
  • $14 = 1\cdot 8 +1\cdot 4 +1\cdot 2 +0\cdot 1 =1110_2$
  • $15 = 1\cdot 8 + 1\cdot 4 +1\cdot 2 +1\cdot 1 = 1111_2$
  • $16 = 1\cdot 16 +0\dot 8 +0\cdot 4+0\cdot 2 +0\cdot 1 = 10000_2$
  • $17= 1\cdot 16 +0\cdot 8 +0\cdot 4+ 0\cdot 2+1\cdot 1 = 10001_2$
  • $18 = 1\cdot 16 +0\cdot 8+0\cdot 4 +1\cdot 2 +0\cdot 1 = 10010_2$
  • $19 = 1\cdot 16 +0\cdot 8 +0\cdot 4+1\cdot 2+1\cdot 1 = 10011_2$
  • $20 = 1\cdot 16 +0\cdot 8 +1\cdot 4 +0\cdot 2 +0\cdot 1 = 10100_2$
  • $21 = 1\cdot 16 +0\cdot 8 +1\cdot 4 +0\dot 2 +1\cdot 1 = 10101_2$
  • $22 = 1\cdot 16 +0\cdot 8 +1\cdot 4 +1\cdot 2 +0\cdot 1 = 10110_2$
  • $23 = 1\cdot 16 +0\cdot 8 +1\cdot 4 +1\cdot 2 +1\cdot 1 = 10111_2$
  • $24 = 1\cdot 16 +1\cdot 8 +0\cdot 4 +0\cdot 2+0\cdot 1 = 11000_2$
  • $25 = 1\cdot 16 +1\cdot 8 +0\cdot 4 +0\cdot 2+1\cdot 1 = 11001_2$
  • $1=1_2$
  • $10_2 $
  • $11_2$
  • $100_2$
  • $101_2$
  • $110_2$
  • $111_2$
  • $1000_2$
  • $ 1001_2$
  • $ 1010_2$
  • $ 1011_2$
  • $ 1100_2$
  • $ 1101_2$
  • $1110_2$
  • $1111_2$
  • $ 10000_2$
  • $ 10001_2$
  • $10010_2$
  • $10011_2$
  • $ 10100_2$
  • $ 10101_2$
  • $10110_2$
  • $ 10111_2$
  • $ 11000_2$
  • $11001_2$
c)
$\blacktriangleright$  Zahlen in das Zehnersystem umschreiben
Beim Umschreiben in das Zehnersystem kann es dir helfen, die Zahl im Zweiersystem in eine Stellentafel zu schreiben. Anschließend kannst du die einzelnen Stellenwerte addieren.
(1)
$4$er$2$er$1$er
$1$$1$$0$
$110_2 = 1\cdot 4 + 1\cdot 2 +0\cdot 1 = 6$
(2)
$4$er$2$er$1$er
$1$$0$$1$
$101_2 = 1\cdot 4 + 0\cdot 2 +1\cdot 1 = 5$
(3)
$4$er$2$er$1$er
$1$$1$$1$
$111_2 = 1\cdot 4 + 1\cdot 2 +1\cdot 1 = 7$
(4)
$8$er$4$er$2$er$1$er
$1$$0$$1$$1$
$1011_2 = 1\cdot 8 + 0\cdot 4 + 1\cdot 2 +1\cdot 1 = 11$
$ 1011_2 =11 $
d)
$\blacktriangleright$  Vorgänger und Nachfolger angeben
Um den Vorgänger anzugeben, musst du $1$ abziehen.
Es ist: $101_2 = 1\cdot 4+ 0\cdot 2 +1\cdot 1 $
Der Vorgänger ist also: $1\cdot 4 + 0\cdot 2 +\color{#87c800}{0}\cdot 1 = 10\color{#87c800}{0}_2$
Für den Nachfolger muss $+1$ gerechnet werden. Die Stelle mit dem Stellenwert $1$ ist aber schon besetzt. Du musst also den Stellenwert $2$ hinzufügen und $1$ wieder abziehen:
Der Nachfolger von $101_2$ ist also $1\cdot 4 +\color{#87c800}{1}\cdot 2 +\color{#87c800}{0}\cdot 1 = 1\color{#87c800}{10}_2$

Aufgabe 1

Gehe die Zahlen immer von rechts nach links durch und rechne die Stellenwerte zusammen.
a)
$\blacktriangleright$  Zahl in das Zehnersystem umschreiben
$8$er$4$er$2$er$1$er
$ 1$$1$$0$$1$
$1101_2 = 1\cdot 8 +1\cdot 4 + 0\cdot 2 +1\cdot 1 = 13$
$ … = 13$
b)
$\blacktriangleright$  Zahl in das Zehnersystem umschreiben
$8$er$4$er$2$er$1$er
$ 1$$0$$0$$1$
$1001_2 = 1\cdot 8 +0\cdot 4 + 0\cdot 2 +1\cdot 1 = 9$
$ …=9 $
c)
$\blacktriangleright$  Zahl in das Zehnersystem umschreiben
$128$er $64$er $32$er$16$er $8$er$4$er$2$er$1$er
$ 1$$ 0$$1$$1$$1$$0$$0$$1$
$10111001_2 = 1\cdot 128+ 0\cdot 64+ 1\cdot 32 + 1\cdot 16 + 1\cdot 8 +0\cdot 4 + 0\cdot 2 +1\cdot 1 = 185$
$ … = 185$
d)
$\blacktriangleright$  Zahl in das Zehnersystem umschreiben
$64$er $32$er$16$er $8$er$4$er$2$er$1$er
$ 1$$1$$1$$0$$1$$1$$1$
$1110111_2 = 1\cdot 64+ 1\cdot 32 + 1\cdot 16 + 0\cdot 8 +1\cdot 4 + 1\cdot 2 +1\cdot 1 = 119$
$ … = 119 $
e)
$\blacktriangleright$  Zahl in das Zehnersystem umschreiben
$16$er $8$er$4$er$2$er$1$er
$1$$0$$1$$1$$1$
$10111_2 = 1\cdot 16 + 0\cdot 8 +1\cdot 4 + 1\cdot 2 +1\cdot 1 = 23$
$ … = 23 $
f)
$\blacktriangleright$  Zahl in das Zehnersystem umschreiben
$16$er $8$er$4$er$2$er$1$er
$1$$0$$1$$0$$1$
$10101_2 = 1\cdot 16 + 0\cdot 8 +1\cdot 4 + 0\cdot 2 +1\cdot 1 = 21$
$ … = 21 $

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Nachfolger im Zweiersystem angeben
  • $10_2$
  • $1\color{#87c800}{1}_2$
  • $\color{#87c800}{100}_2$
  • $10\color{#87c800}{1}_2$
  • $1\color{#87c800}{10}_2$
  • $11\color{#87c800}{1}_2$
b)
$\blacktriangleright$  Nachfolger im Zweiersystem angeben
  • $1100_2$
  • $110\color{#87c800}{1}_2$
  • $11\color{#87c800}{10}_2$
  • $111\color{#87c800}{1}_2$
  • $1\color{#87c800}{0000}_2$
  • $1000\color{#87c800}{1}_2$
c)
$\blacktriangleright$  Nachfolger im Zweiersystem angeben
  • $1011_2$
  • $1\color{#87c800}{100}_2$
  • $110\color{#87c800}{1}_2$
  • $11\color{#87c800}{10}_2$
  • $111\color{#87c800}{1}_2$
  • $1000\color{#87c800}{1}_2$
d)
$\blacktriangleright$  Nachfolger im Zweiersystem angeben
  • $1001_2$
  • $10\color{#87c800}{10}_2$
  • $101\color{#87c800}{1}_2$
  • $1\color{#87c800}{100}_2$
  • $110\color{#87c800}{1}_2$
  • $11\color{#87c800}{10}_2$
e)
$\blacktriangleright$  Nachfolger im Zweiersystem angeben
  • $1110_2$
  • $111\color{#87c800}{1}_2$
  • $\color{#87c800}{10000}_2$
  • $1000\color{#87c800}{1}_2$
  • $100\color{#87c800}{10}_2$
  • $1001\color{#87c800}{1}_2$
f)
$\blacktriangleright$  Nachfolger im Zweiersystem angeben
  • $1111_2$
  • $\color{#87c800}{10000}_2$
  • $1000\color{#87c800}{1}_2$
  • $100\color{#87c800}{10}_2$
  • $1001\color{#87c800}{1}_2$
  • $10\color{#87c800}{100}_2$

Aufgabe 3

VorgängerZahlNachfolger
$\color{#87c800}{1000110_2} $$1000111_2 $$ \color{#87c800}{1001000_2} $
$ \color{#87c800}{10110_2} $$10111_2 $$ \color{#87c800}{11000_2} $
$\color{#87c800}{ 11100_2} $$11101_2 $$\color{#87c800}{ 11110_2 }$
$ \color{#87c800}{1101_2} $$1110_2 $$\color{#87c800}{1111_2} $
$ \color{#87c800}{1010_2 } $$1011_2 $$\color{#87c800}{1100_2} $
$\color{#87c800}{100100_2} $$100101_2 $$\color{#87c800}{100110_2 }$
$\color{#87c800}{ 1010110_2} $$1010111_2 $$\color{#87c800}{1011000_2} $
$ \color{#87c800}{10101110010_2 }$$10101110011_2 $$\color{#87c800}{10101110100_2 }$

Aufgabe 4

Bei dieser Aufgabe helfen dir die Stufenzahlen, die du in der Einführungsaufgabe aufgeschrieben hast. Zerlege die Zahl zunächst in die Stufenzahlen, indem du mit der größten beginnst, die hineinpasst.
a)
$\blacktriangleright$  Zahl in das Zweiersystem umschreiben
$\begin{array}[t]{rll} 196&=& 1\cdot 128 + 68 \\[5pt] &=& 1\cdot 128 + 1\cdot 64 + 4 \\[5pt] &=& 1\cdot 128 +1\cdot 64 + 0\cdot 32 + 0\cdot 16 +0\cdot 8 +1\cdot 4 + 0\cdot 2 +0\cdot 1 \\[5pt] &=& 11000100_2 \\[5pt] \end{array}$
$ 196 = 11000100_2 $
b)
$\blacktriangleright$  Zahl in das Zweiersystem umschreiben
$\begin{array}[t]{rll} 364&=& 1\cdot 256 + 108 \\[5pt] &=& 1\cdot 256 +0\cdot 128 + 1\cdot 64 + 44 \\[5pt] &=& 1\cdot 256 +0\cdot 128 + 1\cdot 64 + 1\cdot 32 + 12 \\[5pt] &=& 1\cdot 256 +0\cdot 128 + 1\cdot 64 + 1\cdot 32 + 0\cdot 16 + 1\cdot 8 + 4 \\[5pt] &=& 1\cdot 256 +0\cdot 128 + 1\cdot 64 + 1\cdot 32 + 0\cdot 16 + 1\cdot 8 + 1\cdot 4 +0\cdot 2 + 0\cdot 1\\[5pt] &=& 101101100_2 \\[5pt] \end{array}$
$ 364 = 101101100_2 $
c)
$\blacktriangleright$  Zahl in das Zweiersystem umschreiben
$\begin{array}[t]{rll} 253&=& 1\cdot 128 + 125 \\[5pt] &=& 1\cdot 128 + 1\cdot 64 + 61 \\[5pt] &=& 1\cdot 128 + 1\cdot 64 + 1\cdot 32 + 29 \\[5pt] &=& 1\cdot 128 + 1\cdot 64 + 1\cdot 32 + 1\cdot 16 +13 \\[5pt] &=& 1\cdot 128 + 1\cdot 64 + 1\cdot 32 + 1\cdot 16 + 1\cdot 8 + 5 \\[5pt] &=& 1\cdot 128 + 1\cdot 64 + 1\cdot 32 + 1\cdot 16 + 1\cdot 8 + 1\cdot 4 +1 \\[5pt] &=& 1\cdot 128 + 1\cdot 64 + 1\cdot 32 + 1\cdot 16 + 1\cdot 8 + 1\cdot 4 + 0\cdot 2 +1\cdot 1 \\[5pt] &=& 11111101_2 \\[5pt] \end{array}$
$ 253 = 11111101_2 $
d)
$\blacktriangleright$  Zahl in das Zweiersystem umschreiben
$\begin{array}[t]{rll} 100&=& 1\cdot 64 + 36 \\[5pt] &=& 1\cdot 64 +1 \cdot 32 + 4 \\[5pt] &=& 1\cdot 64 +1 \cdot 32 + 0\cdot 16 +0\cdot 8 +1\cdot 4 +0\cdot 2 +0\cdot 1 \\[5pt] &=& 1100100_2 \\[5pt] \end{array}$
$ 100 = 1100100_2 $
e)
$\blacktriangleright$  Zahl in das Zweiersystem umschreiben
$\begin{array}[t]{rll} 472&=& 1\cdot 256 + 216 \\[5pt] &=& 1\cdot 256 +1 \cdot 128 + 88 \\[5pt] &=& 1\cdot 256 +1 \cdot 128 + 1\cdot 64 + 24\\[5pt] &=& 1\cdot 256 +1 \cdot 128 + 1\cdot 64 + 0\cdot 32 + 24 \\[5pt] &=& 1\cdot 256 +1 \cdot 128 + 1\cdot 64 + 0\cdot 32 + 1\cdot 16 + 8 \\[5pt] &=& 1\cdot 256 +1 \cdot 128 + 1\cdot 64 + 0\cdot 32 + 1\cdot 16 + 1\cdot 8 +0\cdot 4 +0\dot 2 + 0\cdot 1 \\[5pt] &=& 111011000_2 \\[5pt] \end{array}$
$ 472 = 111011000_2 $
f)
$\blacktriangleright$  Zahl in das Zweiersystem umschreiben
$\begin{array}[t]{rll} 511&=& 1\cdot 256 + 255 \\[5pt] &=& 1\cdot 256 + 1 \cdot 128 + 127 \\[5pt] &=& 1\cdot 256 +1 \cdot 128 + 1\cdot 64 + 63 \\[5pt] &=& 1\cdot 256 +1 \cdot 128 + 1\cdot 64 + 1\dot 32 + 31 \\[5pt] &=& 1\cdot 256 +1 \cdot 128 + 1\cdot 64 + 1\dot 32 + 1\cdot 16 + 15 \\[5pt] &=& 1\cdot 256 +1 \cdot 128 + 1\cdot 64 + 1\dot 32 +1\cdot 16 + 1\cdot 8 +7 \\[5pt] &=& 1\cdot 256 +1 \cdot 128 + 1\cdot 64 + 1\dot 32 +1\cdot 16 + 1\cdot 8 + 1\cdot 4 + 3 \\[5pt] &=& 1\cdot 256 +1 \cdot 128 + 1\cdot 64 + 1\dot 32 +1\cdot 16 + 1\cdot 8 + 1\cdot 4 + 1\cdot 2 +1\cdot 1 \\[5pt] &=& 111111111_2 \\[5pt] \end{array}$
$ 511 = 111111111_2 $

Aufgabe 5

Im Zweiersystem beginnen die Zahlen immer mit einer $1.$ Es ist also $X=1$ und $-=0.$
$X- = 10_2 = 1\cdot 2 +0\cdot 1 = 2$
$ X- = 2 $
$X-X = 101_2 = 1\cdot 4 +0\cdot 2 +1\cdot 1 = 5$
$ X-X=5 $
$X---X = 10001_2 = 1\cdot 16 +0\cdot 8 +0\cdot 4+0\cdot 2 +1\cdot 1 = 17$
$ X---X = 17 $
$XXXXX-- = 1111100_2 = 1\cdot 64+1\cdot 32+1\cdot 16 +1\cdot 8 + 1\cdot 4 +0\cdot 2+0\cdot 1 = 124$
$ XXXXX-- = 124 $
Du musst also am 2.5. um 17 Uhr in der Kaiserstraße 124b sein, um dein Smartphone abzuholen.
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