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Bogenmaß

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Erklärung

Das Bogenmaß ist neben dem uns bereits bekannten Gradmaß, eine andere Möglichkeit einen Winkel anzugeben. Speziell bei periodische Vorgänge, wie beispielsweise eine Sinus- oder Kosinusfunktion zu zeichnen, ist das Bogenmaß sehr hilfreich. Das Bogenmaß besitzt die Einheit radiant (rad), oft schreibt man aber auch das Bogenmaß ohne Einheit. Für das Bogenmaß gilt folgendes:
  • $360^\circ \mathrel{\widehat{=}} 2\cdot \pi$.
  • $ 180^\circ \mathrel{\widehat{=}} \pi$
Somit gilt für die Umrechnung von Gradmaß in Bogenmaß folgende Formel:
$ \alpha_{bog} = \dfrac{2 \cdot \pi}{\displaystyle 360^\circ} \cdot \alpha $
$ \alpha_{bog} = \dfrac{2 \cdot \pi}{\displaystyle 360^\circ} \cdot \alpha $
Für das Umrechnen von Bogenmaß in Gradmaß gilt entsprechend diese Formel:
$ \alpha = \dfrac{\displaystyle 360^\circ}{2 \cdot \pi} \cdot \alpha_{bog} $
$ \alpha = \dfrac{\displaystyle 360^\circ}{2 \cdot \pi} \cdot \alpha_{bog} $

Beispiele

$ \alpha = 90^\circ \Rightarrow \alpha_{bog} = \dfrac{2 \cdot \pi}{\displaystyle 360^\circ} \cdot 90^\circ = \dfrac{\pi}{2} $
$\alpha_{bog} = \dfrac {\pi}{4} \Rightarrow \alpha= \dfrac{\displaystyle 360^\circ}{2 \cdot \pi} \cdot \dfrac {\pi}{4} = 45^\circ$
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Aufgaben

1.
Rechne in Bogenmaß um.
b)
$135^\circ$
d)
$60^\circ$
f)
$ 720^\circ $
h)
$1440^\circ$
2.
Rechne in Gradmaß um.
b)
$\dfrac{\pi}{16}$
d)
$8 \cdot \pi$
f)
$6 \cdot \dfrac{\pi}{4}$
h)
$\dfrac{\pi}{2}$
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1.
Rechne in Bogenmaß um.
b)
$ \begin{array}[t]{rl} \alpha = 135^\circ \Rightarrow{} \alpha_{bog} &= \dfrac{2 \cdot \pi}{\displaystyle 360^\circ} \cdot 135^\circ\\ &=\dfrac{3}{4} \cdot \pi \end{array} $
d)
$ \begin{array}[t]{rl} \alpha = 60^\circ \Rightarrow{} \alpha_{bog} &= \dfrac{2 \cdot \pi}{\displaystyle 360^\circ} \cdot 60^\circ\\ &=\dfrac{1}{3} \cdot \pi \end{array} $
f)
$ \begin{array}[t]{rl} \alpha = 720^\circ \Rightarrow{} \alpha_{bog} &= \dfrac{2 \cdot \pi}{\displaystyle 360^\circ} \cdot 720^\circ\\ &=4 \cdot \pi \end{array} $
h)
$ \begin{array}[t]{rl} \alpha = 1440^\circ \Rightarrow{} \alpha_{bog} &= \dfrac{2 \cdot \pi}{\displaystyle 360^\circ} \cdot 1440^\circ\\ &= 8 \cdot \pi \end{array} $
2.
Rechne in Gradmaß um.
b)
$ \begin{array}[t]{rl} \alpha_{bog} = \dfrac{\pi}{16} \Rightarrow{} \alpha &= \dfrac{\displaystyle 360^\circ}{2 \cdot \pi} \cdot \dfrac{\pi}{16} \\ &= 11,25^\circ \end{array} $
d)
$ \begin{array}[t]{rl} \alpha_{bog} = 8 \cdot \pi \Rightarrow{} \alpha &= \dfrac{\displaystyle 360^\circ}{2 \cdot \pi} \cdot 8 \cdot \pi \\ &= 1440^\circ \end{array} $
f)
$ \begin{array}[t]{rl} \alpha_{bog} = 6 \cdot \dfrac{\pi}{4} \Rightarrow{} \alpha &= \dfrac{\displaystyle 360^\circ}{2 \cdot \pi} \cdot 6 \cdot \dfrac{\pi}{4} \\ &= 270^\circ \end{array} $
h)
$ \begin{array}[t]{rl} \alpha_{bog} = \dfrac{\pi}{2} \Rightarrow{} \alpha &= \dfrac{\displaystyle 360^\circ}{2 \cdot \pi} \cdot \dfrac{\pi}{2} \\ &= 90^\circ \end{array} $
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