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Erklärung

Ein Vorgang in der Mathematik ist periodisch, wenn ein bestimmter Bereich immer wieder wiederholt wird. Diesen Bereich nennt man Periode. Diese periodische Vorgänge lassen sich in der Mathematik oft mit einer Sinus- oder Kosinusfunktion darstellen.
Für die Sinusfunktion $\boldsymbol{\sin(x)}$ und Kosinusfunktion $\boldsymbol{\cos(x)}$ gilt Folgendes:
  • Wertebereich: $\mathbb{W}=\left[-1;1\right]$;   Definitionsbereich: $\mathbb{D}=\mathbb{R}$
  • Periodische Vorgänge: Einführung
    Periodische Vorgänge: Einführung
    Die allgemeine Sinus- bzw. Kosinusfunktion lautet:
    $a \cdot sin(b \cdot x +c)+d $ und $a \cdot cos(b \cdot x +c)+d$
    $a \cdot sin(b \cdot x +c)+d $ und $a \cdot cos(b \cdot x +c)+d$
    Hierbei ist
  • $a$ die Amplitude,
  • $b$ ein Streckungsfaktor,
  • $c$ Verschiebung in $x$-Achsenrichtung und
  • $d$ Verschiebung in $y$-Achsenrichtung
  • Für die Periode einer Sinus- bzw. Kosinusfunktion gilt:
    $p=\dfrac{2\cdot pi}{b} $
    $p=\dfrac{2\cdot pi}{b} $
    Um einen Winkel in Gradmaß in Bogenmaß bzw. von Bogenmaß in Gradmaß, umzurechnen, kannst du folgende Formeln verwenden:
    $\alpha_{bog} = \dfrac{2 \cdot \pi}{\displaystyle 360^\circ} \cdot \alpha $ bzw $\alpha = \dfrac{\displaystyle 360^\circ}{2 \cdot \pi} \cdot \alpha_{bog} $
    $\alpha_{bog} = \dfrac{2 \cdot \pi}{\displaystyle 360^\circ} \cdot \alpha $ bzw $\alpha = \dfrac{\displaystyle 360^\circ}{2 \cdot \pi} \cdot \alpha_{bog} $
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    1.
    Berechne die Periode der angegebenen Funktionen.
    b)
    $f(x)=\mathrm {cos}(2\pi x)$
    d)
    $f(x)=\mathrm {cos}(\dfrac{1}{2} x)$
    2.
    Skizziere die Funktion im Intervall $\left[-\pi;2\pi\right]$.
    b)
    $f(x)= \frac{1}{2}\cdot\sin(x) + 2$
    3.
    Lies die Periode und die Amplitude der gezeichneten Funktion ab, und bestimme den Funktionsterm.
    a)
    Periodische Vorgänge: Einführung
    Periodische Vorgänge: Einführung
    b)
    Periodische Vorgänge: Einführung
    Periodische Vorgänge: Einführung
    4.
    Rechne in Bogenmaß um.
    b)
    $9^\circ$
    d)
    $144^\circ$
    5.
    Rechne in Gradmaß um.
    b)
    $\dfrac{\pi}{6}$
    d)
    $\dfrac{\pi}{12}$
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    1.
    Berechne die Periode der angegebenen Funktionen.
    b)
    $ \begin{array}[t]{rl} f(x)=\mathrm {cos}(2\pi x) \Rightarrow{} p &= \dfrac{2 \cdot \pi}{b} \\ &=\dfrac{2\cdot \pi}{2\cdot \pi} \\ &=1 \end{array} $
    d)
    $ \begin{array}[t]{rl} f(x)=\mathrm {cos}\left(\dfrac{1}{2} x\right) \Rightarrow{} p &= \dfrac{2 \cdot \pi}{b} \\ &=\dfrac{2\cdot \pi}{\frac{1}{2}} \\ &=4 \cdot \pi \end{array} $
    2.
    Skizziere die Funktion im Intervall $\left[-\pi;2\pi\right]$.
    a)
    Periodische Vorgänge: Einführung
    Periodische Vorgänge: Einführung
    b)
    Periodische Vorgänge: Einführung
    Periodische Vorgänge: Einführung
    3.
    Lies die Periode und die Amplitude der gezeichneten Funktion ab, und bestimme den Funktionsterm.
    a)
    Am Schaubild kann man ablesen, dass die Funktion sich nach genau $\pi$ Längeneinheiten wiederholt und dass die Amplitude $\pm2$ ist. Daher wissen wir, dass $p=\pi$ und $a = 2$ ist. Berechne nun $b$, um den Funktionsterm anzugeben.
    $p=\pi \Rightarrow b=\dfrac{2\pi}{p}=\dfrac{2\pi}{\pi}=2$
    Die Funktion geht durch den Punkt $(0;0)$ und steigt danach an. Daran kannst du erkennen, dass es die Sinusfunktion ist.
    Der Funktionsterm lautet somit: $f(x)=2\cdot \sin(2x)$.
    b)
    Am Schaubild kann man ablesen, dass die Funktion sich nach genau $4\cdot \pi$ Längeneinheiten wiederholt und dass die Amplitude $\pm0,5$ ist. Daher wissen wir, dass $p=4 \cdot \pi$ und $a = \dfrac{1}{2}$ ist. Berechne nun $b$, um den Funktionsterm anzugeben.
    $p=4 \cdot \pi \Rightarrow b=\dfrac{2\pi}{p}=\dfrac{2\pi}{4 \cdot \pi}=\dfrac{1}{2}$
    Die Funktion geht durch den Punkt $(0;0)$ und steigt danach an. Daran kannst du erkennen, dass es die Sinusfunktion ist.
    Der Funktionsterm lautet somit: $f(x)= \dfrac{1}{2} \cdot \sin\left(\dfrac{1}{2} \cdot x\right)$.
    4.
    Rechne in Bogenmaß um.
    b)
    $ \begin{array}[t]{rl} \alpha = 9^\circ \Rightarrow{} \alpha_{bog} &= \dfrac{2 \cdot \pi}{\displaystyle 360^\circ} \cdot 9^\circ\\ &=\dfrac{1}{20} \cdot \pi \end{array} $
    d)
    $ \begin{array}[t]{rl} \alpha = 144^\circ \Rightarrow{} \alpha_{bog} &= \dfrac{2 \cdot \pi}{\displaystyle 360^\circ} \cdot 144^\circ\\ &=\dfrac{4}{5} \cdot \pi \end{array} $
    5.
    Rechne in Gradmaß um.
    b)
    $ \begin{array}[t]{rl} \alpha_{bog} = \dfrac{\pi}{6} \Rightarrow{} \alpha &= \dfrac{\displaystyle 360^\circ}{2 \cdot \pi} \cdot \dfrac{\pi}{6} \\ &= 30^\circ \end{array} $
    d)
    $ \begin{array}[t]{rl} \alpha_{bog} = \dfrac{\pi}{12} \Rightarrow{} \alpha &= \dfrac{\displaystyle 360^\circ}{2 \cdot \pi} \cdot \dfrac{\pi}{12} \\ &= 15^\circ \end{array} $
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