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Vermischte Aufgaben

Eigenschaften

Spickzettel
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  • Wir betrachten die Funktion $f(x)=\sin(x)$
  • Wertebereich: $\mathbb{W}=\left[-1;1\right]$;   Definitionsbereich: $\mathbb{D}=\mathbb{R}$
  • $\sin(x+2m\pi)=\sin(x)$, wobei $m\in\mathbb{Z}$, das heißt hier fängt der Durchlauf von vorne an.
  • $\sin(-x)=-\sin(x)$
  • $\sin(x)=0$ für $m\pi$, wobei $m\in\mathbb{Z}$
Sinus- und Kosinusfunktion: Eigenschaften
Sinus- und Kosinusfunktion: Eigenschaften

Beispiel

a)
$\sin(x)=0$ gilt für $x=0$, $x=\pi$, $x=-\pi$, $x=2\pi$, $x=-2\pi$, usw.
b)
$\sin(2+x)=0$ gilt für $x=-2$, $x=\pi-2$, usw. (setze $2+x=0$ bzw. $2+x=\pi$)
  • Wir betrachten die Funktion $f(x)=\cos(x)$, wobei wir die selben Wertebereiche wie beim Sinus betrachten.
  • Wertebereich: $\mathbb{W}=\left[-1;1\right]$;   Definitionsbereich: $\mathbb{D}=\mathbb{R}$
  • $\cos(x+2m\pi)=\cos(x)$, wobei $m\in\mathbb{Z}$, das heißt hier fängt der Durchlauf auch von vorne an.
  • $\cos(-x)=-\cos(x)$
  • $\cos(x)=0$ für $\dfrac{m\pi}{2}$, wobei $m$ ungerade ist.
Sinus- und Kosinusfunktion: Eigenschaften
Sinus- und Kosinusfunktion: Eigenschaften

Beispiel

a)
$\cos(x)=0$ gilt für $x=-\frac{3\pi}{2}$, $x=-\frac{\pi}{2}$, $x=\frac{\pi}{2}$, $x=\frac{3\pi}{2}$, $x=\frac{5\pi}{2}$, usw.
b)
Es gilt: $\cos(\frac{\pi}{2})=\cos(\frac{\pi}{2}+2m\pi)$ $ =\cos(\frac{5\pi}{2})=\cos(\frac{9\pi}{2})$ $=\cos(\frac{13\pi}{2})$ usw.
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Aufgaben
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1.
Berechne die folgenden Terme und zeige daran, dass $\mathrm {sin}(x)=\mathrm {sin}(x+2m\pi)$ ist.
b)
$\sin(\frac{9\pi}{2})$
d)
$\sin(\frac{\pi}{6})$
2.
Berechne die folgenden Terme und zeige, dass $\cos(x)=\cos(x+2m\pi)$.
b)
$\cos(\frac{7\pi}{2})$
d)
$\cos(0)$
3.
Finde jeweils mindestens 3 weitere Terme, die den gleichen Wert haben.
b)
$\cos(\frac{\pi}{2})$
d)
$\cos(\frac{4\pi}{3})$
4.
Berechne alle Nullstellen der Funktion im angegebenen Intervall.
$3\cdot\sin(x)$;   $\left[-2\pi;2\pi\right]$
5.
Löse folgende Gleichungen im angegebenen Intervall
b)
$\frac{1}{2}+\sin(x)=\frac{1}{2}$;  $\left[-2\pi;\pi\right]$
d)
$\frac{1}{2}+\cos(x)=\frac{1}{2}$;  $\left[-2\pi;\pi\right]$
6.
Gegeben ist die Funktion $f_a(x)=2+3\cdot\sin(ax)$ auf dem Intervall $\left[\pi;2\pi\right]$.
a)
Für welche Werte von $a$ liegt der Punkt $P(\frac{\pi}{2};2)$ auf der Funktion?
b)
Die Funktion $f_a$ hat an der Stelle $x=\pi$ den Wert 2. Welchen Wert hat die Funktion an der Stelle $x=3\pi$?
7.
Gegeben ist die Funktion $f_a(x)=\mathrm {sin}(x)+a$ auf dem Intervall $\left[\pi;2\pi\right]$. Für welche Werte von $a$ treffen folgende Aussagen zu?
a)
Die Funktion hat keine Nullstellen.
b)
Die Funktionswerte von $f_a$ liegen im Intervall $\left[-1;-3\right]$.
c)
Die Funktion berührt die Gerade $g(x)=-4$.
8.
Stelle den Cosinusterm durch einen gleichwertigen Sinusterm dar.
a)
$\cos(x)$
b)
$\cos(3+x)$
9.
Löse folgende Gleichungen $f_a(x)=2\cdot\cos(ax+\pi)-3$ im angegebenen Intervall.
a)
Für welchen Wert von $a$ liegt der Punkt $P(\pi;-1)$ auf der Funktion?
b)
Die Funktion $f_a$ hat an der Stelle $x=0$ den Wert $-3$. Welchen Wert hat die Funktion an der Stelle $x=4\pi$?
10.
Gegeben ist die Funktion $f_a(x)=\cos(x)+a$ auf dem Intervall $\left[\pi;2\pi\right]$. Für welche Werte von $a$ treffen folgende Aussagen zu?
a)
Die Funktion hat keine Nullstellen.
b)
Die Funktionswerte von $f_a$ liegen im Intervall $\left[-4;-2\right]$.
c)
Die Funktion berührt die Gerade $g(x)=4$.
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Lösungen
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1.
$\blacktriangleright$ Berechnen der Werte
b)
$\sin(\frac{9\pi}{2})=\sin(\frac{\pi}{2}+2\pi)=1$
d)
$\sin(\frac{\pi}{6})=0,5$
Man kann feststellen, dass die Sinusfunktion periodisch ist, das heißt, dass $\sin(x+2m\pi)=\sin(x)$ ist.
2.
$\blacktriangleright$ Berechnen der Werte
b)
$\cos(\frac{7\pi}{2})=\cos(\frac{\pi}{2}+2\pi)=0$
d)
$\cos(0)=1$
Man kann feststellen, dass die Cosinusfunktion periodisch ist, das heißt, dass $\cos(x+2m\pi)=\cos(x)$ ist.
3.
$\blacktriangleright$ Berechnen der Werte
a)
$\sin(\frac{\pi}{3})=\sin(\frac{\pi}{3}+2m\pi)$
Wähle $m=1,2,3$ und berechne die Terme, die gleichwertig sind durch Einsetzen von $m$.
$\Rightarrow$ Terme mit gleichem Wert sind:
$\sin(\frac{7\pi}{3})=\sin(\frac{13\pi}{3})=\sin(\frac{19\pi}{3})$
b)
$\cos(\frac{\pi}{2})=\cos(\frac{\pi}{2}+2m\pi)$
Wähle $m=1,2,3$ und berechne die Terme, die gleichwertig sind durch Einsetzen von $m$.
$\Rightarrow$ Terme mit gleichem Wert sind:
$\cos(\frac{5\pi}{2})=\cos(\frac{9\pi}{2})=\cos(\frac{13\pi}{2})$
c)
$\sin(\frac{3\pi}{4})=\sin(\frac{3\pi}{4}+2m\pi)$
Wähle $m=1,2,3$ und berechne die Terme, die gleichwertig sind durch Einsetzen von $m$.
$\Rightarrow$ Terme mit gleichem Wert sind:
$\sin(\frac{11\pi}{4})=\sin(\frac{19\pi}{4})=\sin(\frac{27\pi}{4})$
d)
$\cos(\frac{4\pi}{3})=\cos(\frac{4\pi}{3}+2m\pi)$
Wähle $m=1,2,3$ und berechne die Terme, die gleichwertig sind durch Einsetzen von $m$.
$\Rightarrow$ Terme mit gleichem Wert sind:
$\cos(\frac{10\pi}{3})=\cos(\frac{16\pi}{3})=\cos(\frac{22\pi}{3})$
4.
$\blacktriangleright$ Berechnen der Nullstellen
$\begin{array}{rcll} 3\cdot\sin(x)&=&0&\scriptsize{\mid:3}\\[5pt] \sin(x)&=&0 \end{array}$
$\begin{array}{rcll} 3\cdot\sin(x)&=&0&\\[5pt] \sin(x)&=&0 \end{array}$
$\sin(x)$ hat im Intervall $\left[-2\pi;2\pi\right]$ Nullstellen für $x\in\{-2\pi; -\pi;0;\pi;2\pi\}$.
Der Term $3\cdot\sin(x)$ hat demnach auch Nullstellen bei $x\in\{-2\pi; -\pi;0;\pi;2\pi\}$.
5.
$\blacktriangleright$ Lösen der Gleichungen
a)
$\sin(x)=1$
$\sin(x)$ schneidet die Funktion $x=1$ im Intervall $\left[0;\pi\right]$ bei $x=\dfrac{\pi}{2}$
b)
$\begin{array}{rcll} \frac{1}{2}+\sin(x)&=&\frac{1}{2}&\scriptsize{\mid-\frac{1}{2}}\\[5pt] \sin(x)&=&0 \end{array}$
$\sin(x)$ schneidet die Funktion $x=0$ im Intervall $\left[-2\pi;-\pi\right]$ für $x\in\{-2\pi, -\pi\}$
c)
$\cos(x)=1$ $\cos(x)$ schneidet die Funktion $x=1$ im Intervall $\left[0;\pi\right]$ bei $x=0$
d)
$\begin{array}{rll} \frac{1}{2}+\cos(x)=&\frac{1}{2}&\scriptsize{\mid-\frac{1}{2}}\\[5pt] \cos(x)=&0\\ \end{array}$
$\cos(x)$ schneidet die Funktion $x=0$ im Intervall $\left[-2\pi;-\pi\right]$ für $x=-\dfrac{3\pi}{2}$
6.
a)
$\blacktriangleright$ Berechnen des Wertes von $a$
Um den Wert von $a$ zu berechnen, setzen wir den Punkt $P(\frac{\pi}{2};2)$ in die Funktion
$f_a(x)=2+3\cdot\sin(ax)$ ein und formen die Gleichung um.
$\begin{array}{rcll} f_a(\frac{\pi}{2})&=&2+3\cdot\sin(a\cdot\frac{\pi}{2})\\[5pt] 2+3\cdot\sin(a\cdot\frac{\pi}{2})&=&2&\\[5pt] 3\cdot\sin(a\cdot\frac{\pi}{2})&=&0&\\[5pt] \sin(a\cdot\frac{\pi}{2})&=&0 \end{array}$
$\begin{array}{rcll} \sin(a\cdot\frac{\pi}{2})&=&0 \end{array}$
Durch das geschickte Umformen wird der Term einfacher. Bestimme nun nur noch die Nullstellen dieser Funktion in unserem gegebenen Intervall.
Die Funktion $\sin(x)$ hat im Intervall $\left[\pi;2\pi\right]$ Nullstellen für $x\in\left\{\pi;2\pi\right\}$.
Setze daher $a\cdot\frac{\pi}{2}=\pi\Rightarrow$ Nullstelle für $a=2$.
Setze $a\cdot\frac{\pi}{2}=2\pi\Rightarrow$ Nullstelle für $a=4$.
Für die Werte $a=2$ und $a=4$ liegt der Punkt $P(\frac{\pi}{2};2)$ auf der Funktion $f_a(x)$.
b)
$\blacktriangleright$ Berechnen des Wertes bei $x=3\pi$
Die Sinusfunktion ist periodisch und es gilt $\sin(x)=\sin(x+2m\pi)$.
Es gilt $3\pi=\pi+2\pi$, daher sind die Werte an den Stellen $x=\pi$ und $x=3\pi$ gleich. Somit hat die Funktion an der Stelle $x=3\pi$ auch den Wert 2.
7.
a)
$\blacktriangleright$ Berechnen von $a$ (Nullstellen)
Die Sinusfunktion hat den Wertebereich $\left[-1;1\right]$, das heißt, damit die Funktion $f_a(x)=\sin(x)+a$ keine Nullstellen hat, muss sie in $y$–Richtung nach oben, bzw. unten verschoben sein. Das bedeutet falls $a>1$ bzw. $a<;-1$ ist, hat die Funktion keine Nullstellen mehr. Beispielsweise schneidet die Funktion $\sin(x)+1,5$ die $x$–Achse nicht mehr.
b)
$\blacktriangleright$ Berechnen von $a$ (Intervall)
Damit die Funktion $f_a(x)=\sin(x)+a$ den Wertebereich $\left[-1;-3\right]$ hat, muss sie um 2 Einheiten nach unten verschoben werden. Daraus ergibt sich der Wert $a=-2$.
c)
$\blacktriangleright$ Berechnen von $a$ (Berühren der Gerade)
Damit die Funktion $f_a(x)=\sin(x)+a$ die Gerade $g(x)=-4$ berührt, muss diese genau der untere, oder der obere Rand des Wertebereichs sein. Es ergeben sich also entweder der Wertebereich $\left[-6;-4\right]$ oder der Wertebereich $\left[-4;-2\right]$. Das bedeutet, die Sinusfunktion wurde entweder um 5 Einheiten, oder um 3 Einheiten in $y$–Richtung nach unten verschoben. Daraus ergeben sich die Werte $a=-3$ bzw. $a=-5$.
8.
$\blacktriangleright$ Berechnen der gleichwertigen Sinusterme
a)
$\cos(x)=\sin(x+\frac{\pi}{2})$
b)
$\cos(3+x)=\sin(3+x+\frac{\pi}{2})$
9.
a)
$\blacktriangleright$ Berechnen des Wertes von $\boldsymbol{a}$
Um den Wert von $a$ zu berechnen, setzen wir den Punkt $P(\pi;-1)$ in die Funktion
$f_a(x)=2\cdot\cos(ax+\pi)-3$ ein und formen die Gleichung um.
$\begin{array}{rll} f_a(\pi)=&2\cdot\cos(a\cdot\pi+\pi)-3\\[5pt] 2\cdot\cos(a\cdot\pi+\pi)-3=&-1&\scriptsize{\mid+3}\\[5pt] 2\cdot\cos(a\cdot\pi+\pi)=&2&\scriptsize{\mid:2}\\[5pt] \cos(a\cdot\pi+\pi)=&1 \end{array}$
$\begin{array}{rll} \cos(a\cdot\pi+\pi)=&1 \end{array}$
Durch das geschickte Umformen wird der Term einfacher. Bestimme nun nur noch den Schnittpunkt dieser Funktion mit $y=1$ in unserem gegebenen Intervall.
Die Funktion $\cos(x)$ schneidet im Intervall $\left[0;2\pi\right]$ die Funktion $y=1$ für $x\in\left\{0;2\pi\right\}$.
$a\pi+\pi$ kann allerdings nicht 0 werden, egal was man für $a$ einsetzen würde. Daher betrachte nur noch den Schnittpunkt bei $2\pi$.
$a\pi+\pi=2\pi$ gilt für $a=1$.
Das bedeutet, wenn man $a=1$ setzt, liegt der Punkt $P(\pi;-1)$ auf der Funktion $f_a$.
b)
$\blacktriangleright$ Berechnen des Wertes bei $\boldsymbol{x=4\pi}$
Die Cosinusfunktion ist periodisch und es gilt $\cos(x)=\cos(x+2m\pi)$.
Es gilt $4\pi=0+2\cdot2\pi$, daher sind die Werte an den Stellen $x=0$ und $x=4\pi$ gleich. Somit hat die Funktion an der Stelle $x=4\pi$ auch den Wert $-3$.
10.
a)
$\blacktriangleright$ Berechnen von $\boldsymbol{a}$ (Nullstellen)
Die Cosinusfunktion hat den Wertebereich $\left[-1;1\right]$, das heißt, damit die Funktion $f_a(x)=\cos(x)+a$ keine Nullstellen hat, muss sie in $y$–Richtung nach oben, bzw. unten verschoben sein. Das bedeutet falls $a>1$ bzw. $a< ;-1$ ist, hat die Funktion keine Nullstellen mehr. Beispielsweise schneidet die Funktion $\cos(x)+1,5$ die $x$–Achse nicht mehr.
b)
$\blacktriangleright$ Berechnen von $\boldsymbol{a}$ (Intervall)
Damit die Funktion $f_a(x)=\cos(x)+a$ den Wertebereich $\left[-4;-2\right]$ hat, muss sie um 3 Einheiten nach unten verschoben werden. Daraus ergibt sich der Wert $a=-3$.
c)
$\blacktriangleright$ Berechnen von $\boldsymbol{a}$ (Berühren der Gerade)
Damit die Funktion $f_a(x)=\cos(x)+a$ die Gerade $g(x)=4$ berührt, muss diese genau der untere, oder der obere Rand des Wertebereichs sein. Es ergeben sich also entweder der Wertebereich $\left[4;6\right]$ oder der Wertebereich $\left[2;4\right]$. Das bedeutet, die Cosinusfunktion wurde entweder um 5 Einheiten, oder um 3 Einheiten in $y$–Richtung nach oben verschoben. Daraus ergeben sich die Werte $a=3$ bzw. $a=5.$
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