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Einheitskreis

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Sinus- und Kosinusfunktion: Einheitskreis
Sinus- und Kosinusfunktion: Einheitskreis

Beispiel

a)
Für $\alpha=60^\circ$ beträgt das Bogenmaß $x=\dfrac{60^\circ\cdot\pi}{180°}=\dfrac{\pi}{3}$
b)
Für die Länge $x=\pi$ berechnet sich der Winkel durch $\alpha=\dfrac{\pi\cdot180^\circ}{\pi}=180^\circ$
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Aufgaben
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1.
Sinus- und Kosinusfunktion: Einheitskreis
Sinus- und Kosinusfunktion: Einheitskreis
Abb. Zahl: Text
b)
$\alpha=25^\circ$
d)
$\alpha=105^\circ$
f)
$\alpha=215^\circ$
2.
Berechne für die gegebenen Bogenlängen $x$ die Größe des Winkels $\alpha$.
b)
$x=\frac{\pi}{3}$
d)
$x=5$
f)
$x=2,5$
3.
Der Scheibenwischer eines LKW (Länge 1 m) hat eine Spanne von circa $75^\circ$. Welche Strecke legt die oberste Spitze zurück, wenn der Wischer einmal vor und einmal zurück wischt?
4.
Das Pendel einer Standuhr hat die Länge 1 m.
a)
Es legt pro Schwingung vom höchsten Punkt bis zum höchsten Punkt der anderen Seite eine Strecke von 1,04 m zurück. In welchem Winkel schwingt es?
b)
Der Schwingungswinkel beträgt nun $20^\circ$. Welchen Weg legt die Spitze des Pendels zurück?
5.
Ein Schaf ist an einem Pflock mit einem 100 m langen Seil festgebunden. (100 m = 1 LE)
a)
Es kann nicht komplett um den Pflock herumlaufen, sondern nur in einem Winkel von $60^\circ$.
Wieviel Meter kann das Schaf bei gespannter Leine maximal an einem Stück laufen ohne umzukehren?
b)
Ein anderes Schaf kann eine Strecke von 200 m ablaufen. Welchen Winkel umfasst das Seil?
6.
Oliver mag den Rand seiner Pizza nicht. Er möchte berechnen wie lange der Rand seiner Pizza ist. Allerdings gibt er ein Viertel davon seiner Schwester, die den Rand gerne isst. Die Pizza hat einen Radius von 15 cm, was 1 LE entspricht.
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Lösungen
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1.
$\blacktriangleright$ Berechnung der Länge der Strecke
a)
$x=\dfrac{\alpha\cdot\pi}{180^\circ}\,\text{LE}$ $=\dfrac{30^\circ\cdot\pi}{180^\circ}\,\text{LE}$ $=\dfrac{1}{6}\pi$ LE
b)
$x=\dfrac{\alpha\cdot\pi}{180^\circ}\,\text{LE}$ $=\dfrac{25^\circ\cdot\pi}{180^\circ}\,\text{LE}$ $=\dfrac{5}{36}\pi$ LE
c)
$x=\dfrac{\alpha\cdot\pi}{180^\circ}\,\text{LE}$ $=\dfrac{65^\circ\cdot\pi}{180^\circ}\,\text{LE}$ $=\dfrac{13}{36}\pi$ LE
d)
$x=\dfrac{\alpha\cdot\pi}{180^\circ}\,\text{LE}$ $=\dfrac{105^\circ\cdot\pi}{180^\circ}\,\text{LE}$ $=\dfrac{7}{12}\pi$ LE
e)
$x=\dfrac{\alpha\cdot\pi}{180^\circ}\,\text{LE}$ $=\dfrac{175^\circ\cdot\pi}{180^\circ}\,\text{LE}$ $=\dfrac{35}{36}\pi$ LE
f)
$x=\dfrac{\alpha\cdot\pi}{180^\circ}\,\text{LE}$ $=\dfrac{215^\circ\cdot\pi}{180^\circ}\,\text{LE}$$=\dfrac{43}{36}\pi\,\text{LE}$ $=1\frac{7}{36}\pi$ LE
2.
$\blacktriangleright$ Berechnung der Winkel
a)
$\alpha=\dfrac{180^\circ\cdot x}{\pi}$ $=\dfrac{180^\circ\cdot \pi}{\pi}$ $=180^\circ$
b)
$\alpha=\dfrac{180^\circ\cdot x}{\pi}$ $=\dfrac{180^\circ\cdot \frac{\pi}{3}}{\pi}$ $=\dfrac{180^\circ}{3}=60^\circ$
c)
$\alpha=\dfrac{180^\circ\cdot x}{\pi}$ $=\dfrac{180^\circ\cdot 3,8}{\pi}$ $\approx217,72^\circ$
d)
$\alpha=\dfrac{180^\circ\cdot x}{\pi}$ $=\dfrac{180^\circ\cdot 5}{\pi}$ $\approx286,48^\circ$
e)
$\alpha=\dfrac{180^\circ\cdot x}{\pi}$ $=\dfrac{180^\circ\cdot 6,2}{\pi}$ $\approx355,23^\circ$
f)
$\alpha=\dfrac{180^\circ\cdot x}{\pi}$ $=\dfrac{180^\circ\cdot 2,5}{\pi}$ $\approx143,24^\circ$
3.
$\blacktriangleright$ Berechnung der zurückgelegten Strecke der Scheibenwischerspitze
Da der Scheibenwischer die Länge 1 m hat, und einen Winkel von $\alpha=75^\circ$ einschließt, kann man die Bogenlänge mit der Formel $x=\dfrac{\alpha\cdot\pi}{180^\circ}$ berechnen.
$x=\dfrac{75^\circ\cdot\pi}{180^\circ}\,\text{m}$ $=\dfrac{5}{12}\pi\,\text{m}$ $\approx1,31$ m.
Da der Wischer jedoch einmal hin und einmal her wischt, muss man die ausgerechnete Strecke verdoppeln. Damit ergibt sich das Endergebnis $x\approx2,62$ m.
4.
a)
$\blacktriangleright$ Berechnung der Schwingungslänge
Um den Winkel auszurechnen in welchem das Pendel schwingt, muss man die Formel $\alpha=\dfrac{180^\circ\cdot x}{\pi}$ benutzen.
Somit ergibt sich: $\alpha=\dfrac{180^\circ\cdot1,04}{\pi} $$ \approx59,59^\circ$.
Sinus- und Kosinusfunktion: Einheitskreis
Sinus- und Kosinusfunktion: Einheitskreis
b)
$\blacktriangleright$ Berechnung des Wegs
Um den Weg der Pendelspitze auszurechnen, benutzt du die Formel $x=\dfrac{\alpha\cdot\pi}{180^\circ}$. Somit ergibt sich:
$x=\dfrac{20^\circ\cdot\pi}{180^\circ}\text{ m} $ $=\dfrac{1}{9}\pi\text{ m}$ $\approx0,35\text{ m}=35$ cm.
5.
a)
$\blacktriangleright$ Berechnung der Strecke des Schafs
Um die Strecke auszurechnen die das Schaf gehen kann, muss man die Formel $x=\dfrac{\alpha\cdot\pi}{180^\circ}$ benutzen. Somit ergibt sich:
$x=\dfrac{60^\circ\cdot\pi}{180^\circ}\text{ LE}$ $=\dfrac{1}{3}\pi\text{ LE}$ $\approx1,05\text{ LE}=105$ m.
b)
$\blacktriangleright$ Berechnung des Winkels
Um den Winkel auszurechnen, in welchem sich das zweite Schaf bewegen kann, benutzt du die Formel $\alpha=\dfrac{180^\circ\cdot x}{\pi}$. Es ergibt sich:
$\alpha=\dfrac{180^\circ\cdot 2}{\pi}$$\approx114,6^\circ$.
6.
$\blacktriangleright$ Berechnung der Länge des Pizzarands
Der Radius der Pizza ist 1 Längeneinheit, weswegen man den Rand der Pizza als Einheitskreis betrachten kann. Da er ein Viertel der Pizza abgibt, berechnen wir die Außenlänge eines Dreiviertel–Kreises.
Der Winkel entspricht somit $\dfrac{3}{4}\cdot 180^\circ$$=270^\circ$.
Einsetzen in die Formel ergibt:
$x=\dfrac{270^\circ\cdot\pi}{180^\circ}\text{ LE}$ $\approx4,71\text{ LE}$ $\mathrel{\widehat{\approx}}70,69$
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