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Modellierung

Spickzettel
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Willst du ein reales Problem mit einer Sinus oder Kosinusfunktion modellieren, musst du folgende Punkte beachten.
  • lege für jede gesuchte Größe eine Variable an,
  • stelle das Problem mit einer Sinus oder Kosinusfunktion dar,
  • berechne mithilfe der Sinus oder Kosinusfunktion die gesuchten Werte.
Beachte bei Textaufgaben immer prinzipiell folgendes Schaubild:
Sinus- und Kosinusfunktion: Modellierung
Sinus- und Kosinusfunktion: Modellierung
Gegeben ist immer eine reale Situation. Diese müssen wir so weit wie möglich vereinfachen, um dann ein reales Modell aufzustellen. Dieses Modell formulieren wir dann mathematisch, sodass wir ein mathematisches Modell erhalten. Mit diesem Modell können wir jetzt rechnen und das Problem mathematisch lösen. Es ist anschließend sehr wichtig die mathematische Lösung zu bewerten. Hierbei müssen wir uns nochmal die reale Situation anschauen und einen Antwortsatz formulieren.
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Aufgaben
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1.
Ein Fischer möchte wissen, wann er mit seinem Boot in See stechen kann. Er kann nur dann in See stechen, falls die Höhe des Meeresspiegels genau 5 Meter beträgt. Er weiß, dass der Meeresspiegel bei Ebbe auf 2 Meter sinkt und bei Flut auf 8 Meter anwächst. Nach genau 12 Stunden wiederholt sich Ebbe und Flut. Flut und Ebbe kann man hierbei näherungsweise als periodischen Vorgang darstellen. Morgens als der Fischer zu seinem Boot ging, betrug der Meeresspiegel 8 Meter.
a)
Wann kann der Fischer zum ersten Mal in See stechen?
b)
Der Fischer möchte erst 6 Stunden später in See stechen. Mit welchem Meeresspiegel muss der Fischer rechnen?
c)
Nach welcher Dauer beträgt der Meeresspiegel genau einen Meter?
2.
Eine ungedämpfte Schwingung eines Pendels kann näherungsweise durch einen periodischen Vorgang beschrieben werden. Zu Beginn der Messung besitzt das Pendel die maximale negative Auslenkung. Nach 20 Minuten hat das Pendel erneut die maximale negative Auslenkung erreicht. Die maximale Auslenkung des Pendels beträgt $ \pm 3$ Meter.
a)
Nach welcher Zeit besitzt das Pendel keine Auslenkung?
b)
Wie oft hat das Pendel nach einer Stunde die maximale positive Auslenkung erreicht?
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Lösungen
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1.
Bezeichne die Streckung in $y$-Richtung als $a$, die Streckung in $x$-Richtung als $b$ und die Verschiebung auf der $y$-Achse mit $c$. Die Höhe des Meeresspiegels beträgt zwischen $2$ und $8$ Meter. Der Meeresspiegel schwankt also insgesamt um 6 Meter, die reguläre Kosinusfunktion nimmt jedoch nur Werte innerhalb $[-1,1]$ an. Somit muss die Kosinusfunktion mit $a = 3$ in $y$-Richtung gestreckt werden. Außerdem beträgt die Dauer für genau eine Periode $12$ Stunden. Deshalb ist die Streckung in x-Richtung $b = 12$ Stunden. Zudem kann man aus dem Text herauslesen, dass die Kosinusfunktion auf der y-Achse um $5$ Meter nach oben verschoben ist.
Da man weiß, dass der periodische Vorgang bei der positiven Amplitude $8$ Meter beginnt, kann man sagen, dass es sich hierbei um eine Kosinusfunktion handeln muss.
Für die allgemeine Kosinusfunktion gilt:
$f(x)=a \cdot \cos\left(\frac{2 \cdot \pi}{b}x\right)+c$
Durch Einsetzen der Werte erhält man:
$f(x)=3\cdot \cos\left(\frac{2 \cdot \pi}{12}x\right)+5$
Somit kann man die Kosinusfunktion wie folgt darstellen:
Sinus- und Kosinusfunktion: Modellierung
Sinus- und Kosinusfunktion: Modellierung
a)
Man kann aus der Abbildung sofort ablesen, dass nach $3$ Stunden der Meeresspiegel $5$ Meter beträgt. Somit kann der Fischer nach 3 Stunden in See stechen.
b)
Der Fischer muss mit einem Meeresspiegel von $2$ Metern rechnen.
c)
Die Höhe des Meeresspiegels erreicht nie $1$ Meter.
2.
Du bezeichnest erneut die Streckung in $y$-Richtung als $a$ und die Streckung in $x$-Richtung als $b$. Nun kannst du aus dem Text herauslesen, dass $a = 3$ Meter und $b = 20$ Minuten betragen muss. Zudem lässt sich erkennen, dass die Funktion nicht in $y$-Richtung verschoben ist. Dies bedeutet $c = 0$.
Da man weiß, dass der periodische Vorgang bei der negativen Amplitude $-3$ Meter beginnt, kannst du sagen, dass es sich hierbei um eine negative Kosinusfunktion handeln muss.
Für die allgemeine negative Kosinusfunktion gilt:
$f(x)=-a*\cos\left(\frac{2*\pi}{b}x\right)$
Durch Einsetzen der Werte erhält man:
$f(x)=-3*\cos\left(\frac{2*\pi}{20}x\right)$
Somit kannst du die Kosinusfunktion wie folgt darstellen:
Sinus- und Kosinusfunktion: Modellierung
Sinus- und Kosinusfunktion: Modellierung
a)
Nach $5$ Minuten besitzt das Pendel keine Auslenkung. Und da es sich hier um eine periodische Funktion handelt. Besitzt das Pendel auch nach $5+ (t \cdot 10)$ Minuten für $t \in \{0,1,2,…\}$ keine Auslenkung.
b)
Da das Pendel während einer Periode von $20$ Minuten einmal die maximale positive Auslenkung erreicht, erreicht das Pendel nach einer Stunde, also 3 Perioden, 3-mal die maximale postive Auslenkung.
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