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Streckung und Stauchung

Spickzettel
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In x-Richtung
  • Allgemeine Form: $f(x)=\sin(bx)$ bzw. $f(x)=\cos(bx)$
  • Streckung: $\;|b|\lt 1\;$ Stauchung $\;|b|>1\;$
  • Periode: $p=\dfrac{2\pi}{|b|}$
  • Spiegelung: Ist $b\lt 0$ wird der Graph der Funktion an der $y$-Achse gespiegelt
Schaubild 2
Schaubild 2

Beispiel

a)
$f(x)=\sin(2x) $$\Rightarrow$$ b=2 $$\Rightarrow$$ p=\dfrac{2\pi}{|b|}=\dfrac{2\pi}{2}=\pi$.
Die Funktion hat eine Periode von $\pi$ (siehe Schaubild 1).
b)
$f(x)=\sin(\frac{\pi}{4}x) $$\Rightarrow$$ b=\frac{\pi}{4} $$\Rightarrow$$ p=\dfrac{2\pi}{\frac{\pi}{4}}=8$.
Die Funktion hat eine Periode von 8 (siehe Schaubild 2).
In y-Richtung
  • Allg. Form: $f(x)=a\cdot \sin(x)$ bzw. $f(x)=a\cdot\cos(x)$
  • Streckung: $|a|>1\;$ Stauchung $|a|\lt1\;$
  • Amplitude $|a|$: maximale Auslenkung der Kurve von der $x$–Achse
  • Spiegelung: Ist $a\lt 0$ wird der Graph der Funktion an der $x$-Achse gespiegelt
Schaubild 2   $f(x)=\frac{1}{2}\cos(x)$
Schaubild 2   $f(x)=\frac{1}{2}\cos(x)$

Beispiel

a)
$f(x)=2\cdot\sin(x) $$\Rightarrow$$ |a|=2 $$\Rightarrow$$ \mathbb{W}=\left[-2;2\right]$.
Die Funktion hat eine Amplitude von $2$ (siehe Schaubild 1).
b)
$f(x)=\dfrac{1}{2}\cdot\cos(x) $$\Rightarrow$$ |a|=\frac{1}{2} $$\Rightarrow$$ \mathbb{W}=\left[-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right]$.
Die Funktion hat eine Amplitude von $\frac{1}{2}$ (siehe Schaubild 2).
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Aufgaben
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1.
Berechne die Periode der angegebenen Funktionen.
b)
$f(x)=\mathrm {cos}(\pi x)$
2.
Gib den Wertebereich der Funktionen an.
b)
$f(x)=\frac{3}{4}\cdot\cos(x)$
3.
Berechne die Periode der Funktionen und skizziere das Schaubild im angegebenen Intervall.
b)
$f(x)=\mathrm {sin}(\pi x)$   $\left[0;6\right]$
4.
Skizziere die Funktion im Intervall $\left[-\pi;2\pi\right]$.
b)
$f(x)=\frac{2}{3}\cdot\sin(x)$
5.
Lies die Periode der gezeichneten Funktion ab, und bestimme den Funktionsterm.
a)
b)
6.
Lies die Amplitude der gezeichneten Funktion ab, und bestimme den Funktionsterm.
a)
b)
7.
Gegeben sind die Funktionen $f_a(x)=\mathrm {sin}(ax)$ und $g_b=\mathrm {cos}(bx)$.
a)
Zeichne die Funktion $f_a$ für die Werte $a=1$, $a=2$, $a=0,5$ in ein Koordinatensystem im Intervall $\left[-2\pi;2\pi\right]$.
b)
Zeichne die Funktion $g_b$ für die Werte $b=\pi$, $b=2\pi$, $b=\frac{\pi}{2}$ in ein Koordinatensystem im Intervall $\left[-\pi;\pi\right]$
8.
Wie muss man den Streckfaktor $b$ wählen, um die gewünschte Periode $p$ zu bekommen?
b)
$p=\pi$
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Lösungen
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1.
$\blacktriangleright$ Berechnen der Periode
a)
$f(x)=\sin(3x) $$\Rightarrow$$ |b|=3 $$\Rightarrow$$ p=\dfrac{2\pi}{|b|}=\dfrac{2\pi}{3}$
b)
$f(x)=\cos(\pi x) $$\Rightarrow$$ |b|=\pi $$\Rightarrow$$ p=\dfrac{2\pi}{|b|}=\dfrac{2\pi}{\pi}=2$
2.
$\blacktriangleright$ Berechnen des Wertebereichs
a)
$f(x)=2\cdot\sin(x)\Rightarrow$ Amplitude: $|a|=2 $$\Rightarrow$$ \mathbb{W}=\left[-2;2\right]$
b)
$f(x)=\frac{3}{4}\cdot\cos(x) \Rightarrow$ Amplitude: $|a|=\frac{3}{4} $$\Rightarrow$$ \mathbb{W}=\left[-\frac{3}{4};\frac{3}{4}\right]$
3.
$\blacktriangleright$ Berechnen der Periode und Skizze der Schaubilder
a)
b)
4.
$\blacktriangleright$ Skizze der Schaubilder
5.
$\blacktriangleright$ Lies die Periode der gezeichneten Funktion ab, und bestimme den Funktionsterm.
a)
Am Schaubild kann man ablesen, dass die Funktion sich nach genau $\dfrac{\pi}{2}$ Längeneinheiten wiederholt. Daher wissen wir, dass $p=\dfrac{\pi}{2}$. Berechne nun $b$, um den Funktionsterm anzugeben.
$p=\dfrac{2\pi}{|b|}\Rightarrow |b|=\dfrac{2\pi}{p}=\dfrac{2\pi}{\frac{\pi}{2}}=4$
Die Funktion geht durch den Punkt $(0;0)$. Daran kannst du erkennen, dass es die Sinusfunktion ist.
Der Funktionsterm lautet somit: $f(x)=\sin(4x)$.
b)
Am Schaubild kann man ablesen, dass die Funktion sich nach genau $\pi$ Längeneinheiten wiederholt. Daher wissen wir, dass $p=\pi$. Berechne nun $b$, um den Funktionsterm anzugeben.
$p=\dfrac{2\pi}{|b|}\Rightarrow |b|=\dfrac{2\pi}{p}=\dfrac{2\pi}{\pi}=2$
Die Funktion geht durch den Punkt $(0;1)$. Daran kannst du erkennen, dass es die Cosinusfunktion ist.
Der Funktionsterm lautet somit: $f(x)=\cos(2x)$.
6.
$\blacktriangleright$ Ablesen der Amplitude und Angeben des Funktionsterms
a)
Die Amplitude ist $2,5$ und die Funktion ist eine Sinusfunktion.
Daher ist der Funktionsterm: $f(x)=2,5\cdot\sin(x)$.
b)
Die Amplitude ist $0,5$ und die Funktion ist eine Cosinusfunktion.
Daher ist der Funktionsterm: $f(x)=0,5\cdot\cos(x)$.
7.
8.
$\blacktriangleright$ Berechnen des Streckfaktors
a)
Es gilt $p=\dfrac{2\pi}{|b|}\Rightarrow |b|=\dfrac{2\pi}{p}$.
Berechne daher: $p=2\Rightarrow |b|=\dfrac{2\pi}{2}=\pi$
b)
$p=\pi\Rightarrow |b|=\dfrac{2\pi}{\pi}=2$
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