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Verschiebung

Spickzettel
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Ist die Sinusfunktion in dieser Form gegeben:
$f(x)=a\cdot \sin(b \cdot (x-c))+d$
$f(x)=a\cdot \sin(b \cdot (x-c))+d$
kannst du den Graphen der Funktion durch anpassen der Parameter $c$ und $d$ verschieben.

Verschiebung in $x$-Richtung

Mit dem Parameter $c$ kannst du den Graphen der Sinusfunktion oder Kosinusfunktion in $x$-Richtung verschieben. Ist $\boldsymbol{c\gt 0}$, wird der Graph in positive $x$-Richtung verschoben. Ist $\boldsymbol{c\lt 0}$, wird der Graph in negative $x$-Richtung verschoben.
Da die Graph der Sinusfunktion und der Kosinusfunktion periodisch sind, ändert sich die Graphen nicht, wenn die Graphen um eine ganze Periode $p$ in $x$-Richtung verschoben wird.
Der Graph der Kosinusfunktion geht aus dem Graphen der Sinusfunktion hervor, wenn du die Sinusfunktion um $\frac{\pi}{2}$ in negative $x$-Richtung verschiebst:
$\cos(x)=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$
$\cos(x)=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$

Verschiebung in $y$-Richtung

Mit dem Parameter $d$ kannst du den Graphen der Sinusfunktion oder Kosinusfunktion in $y$-Richtung verschieben. Ist $\boldsymbol{d\gt 0}$, wird der Graph in positive $y$-Richtung verschoben. Ist $\boldsymbol{d \lt 0}$, wird der Graph in negative $y$-Richtung verschoben.

Beispiel

Der Graph der Funktion $g(x)=\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)+1$ geht aus dem Graphen der Sinusfunktion $f(x)=\sin(x)$ hervor. Es ist der um $\frac{\pi}{2}$ Einheiten in positive $x$-Richung und um $1$ Einheit in positve $y$-Richtung verschobene Graph.
Sinus- und Kosinusfunktion: Verschiebung
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Aufgaben
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1.
Gegeben ist die Funktion $f(x)=\sin(x)$.
a)
Bilde die Funktionsgleichung der Funktion $g$. Der Graph der Funktion $g$ soll aus dem Graphen der Funktion $f$ hervorgehen und um $2$ Einheiten in Richtung der positiven $y$-Achse verschoben sein.
b)
Bilde die Funktionsgleichung der Funktion $h$. Der Graph der Funktion $h$ soll aus dem Graphen der Funktion $f$ hervorgehen und um $1$ Einheit in Richtung der positiven $y$-Achse und um $\pi$ Einheiten in Richtung der negativen $x$-Achse verschoben sein.
c)
Zeichne die Graphen der drei Funktion $f$, $g$ und $h$ in ein Koordinatensystem.
2.
Gezeichnet ist die Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung $f(x)=\sin(x)$.Ebenso sind die Graphen der Funktionen $i$ und $k$ gezeichnet. Finde jeweils eine Funktionsgleichung der Funktion $i$ und $k$ ausgehend von der Funktion $f$.
Sinus- und Kosinusfunktion: Verschiebung
Sinus- und Kosinusfunktion: Verschiebung
3.
Verschiebe den Graphen der Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung $f(x)=\sin(x)$ um $\frac{\pi}{2}$ Einheiten in Richtung der negativen $x$-Achse und finde einen möglichst kurzen Funktionsterm für die Funktion des neuen Graphen.
4.
Verschiebe den Graph der angegebenen Funktion so wie angegeben.
FunktionstermVerschiebung
$\sin(x)$$2$ Einheiten in Richtung der postiven $y$-Achse
$2\cos(x)$$\pi$ Einheiten in Richtung der negativen $x$-Achse
$\sin(3x)$$1,5$ Einheiten in Richtung der positiven $x$-Achse
$0,5\cdot \cos(2x)$$1$ Einheit in Richtung der positven $y$-Achse
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Lösungen
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1.
$\blacktriangleright$ a)
Verwende die allgemeine Form $\sin(x-c)+d$. Hier ist $c=0$, da es keine Verschiebung in Richtung der $x$-Achse gibt. Für $d$ gilt $d=2$, da eine Verschiebung um $2$ Einheiten in Richtung der positiven $y$-Achse.
$g(x)=\sin(x)+2$
$\blacktriangleright$ b)
Verwende auch hier die allgemeine Form $\sin(x-c)+d$. Hier ist $c=(-\pi)$, da um $\pi$ Einheiten in Richtung der negativen $x$-Achse verschoben werden soll. Für die Verschiebung um $1$ Einheit in Richtung der postiven $y$-Achse muss $d=1$ gelten.
$h(x) $$ =\sin(x-(-\pi))+1 $$ =\sin(x+\pi)+1$
$\blacktriangleright$ c)
Die gezeichneten Graphen sollen so aussehen:
Sinus- und Kosinusfunktion: Verschiebung
Sinus- und Kosinusfunktion: Verschiebung
2.
$\blacktriangleright$ Suche markante Punkte des Graphen, zum Beispiel Hoch- oder Tiefpunkte. Bestimme anhand dieser Punkte die Verschiebung:
Sinus- und Kosinusfunktion: Verschiebung
Sinus- und Kosinusfunktion: Verschiebung
Hier kannst du sehen, dass der Graph der Funktion $i$ um $1$ Einheit in Richtung der positiven $y$-Achse und um $\frac{\pi}{2}$ Einheiten in Richtung der positven $x$-Achse verschoben ist. Die Funktionsgleichung ist $i(x)=\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)+1$.
Der Graph der Funktion $k$ ist um $1$ Einheit in Richtung der negativen $y$-Achse verschoben und um $\pi$ Einheiten in Richtung der positven $x$-Achse verschoben. Da die Verschiebung in $x$-Richtung genau die halbe Periode ist, kann man auch sagen, dass der Graph um $\pi$ Einheiten in Richtung der negativen $x$-Achse verschoben ist. Die Funktionsgleichung ist $k(x)=\sin\left(x-\pi\right)-1=\sin\left(x+\pi\right)-1$.
3.
$\blacktriangleright$ Setze den Faktor $c=-\frac{\pi}{2}$. Der Funktionsterm ist dann $l(x) $$ =\sin\left(x-\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) $$ =\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$. Allerdings weißt du bereits, dass das die Kosinusfunktion ist. Ein kürzerer Funktionsterm ist demnach $l(x)=\cos(x)$.
4.
$\blacktriangleright$ Die Lösungen sind in der Tabelle eingetragen. Achte darauf, dass bei einer Verschiebung in $x$-Richtung $c$ in einer Klammer mit $x$ steht.
FunktionstermVerschiebungneuer Funktionsterm
$\sin(x)$$2$ Einheiten in Richtung der postiven $y$-Achse$\sin(x)+2$
$2\cos(x)$$\pi$ Einheiten in Richtung der negativen $x$-Achse$2\cos(x+\pi)$
$\sin(3x)$$1,5$ Einheiten in Richtung der positiven $x$-Achse$\sin(3\cdot (x-1,5))$
$0,5\cdot \cos(2x)$$1$ Einheit in Richtung der positven $y$-Achse$0,5\cdot \cos(2x)+1$
Funktionsterm
$\sin(x)$
$2\cos(x)$
$\sin(3x)$
$0,5\cdot \cos(2x)$
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