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Potenzgleichungen lösen

Spickzettel
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Eine Potenzgleichung
$x^n=a$
$x^n=a$
löst du, indem du die n-te Wurzel ziehst.
Tipp: Prüfe, ob $n$ gerade oder ungerade und das $a$ größer oder kleiner Null ist. Für die Lösung der Potenzgleichung gilt:
$\boldsymbol{n}$ gerade$\boldsymbol{n}$ ungerade
$\boldsymbol{a\geq0}$$\boldsymbol{\pm\sqrt[n]{a}}$$\boldsymbol{\sqrt[n]{a}}$
$\boldsymbol{a<0}$keine Lösung$\boldsymbol{-\sqrt[n]{|a|}}$

Beispiele

  • $\begin{array}[t]{rll} x^4&=& 16 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt[4]{\;}\\[5pt] x&=&\pm\sqrt[4]{16}\\[5pt] x&=& \pm 2\\[5pt] x_1&=& + 2\\[5pt] x_2&=& -2\\[5pt] \end{array}$
  • $\begin{array}[t]{rll} x^6&=& -32 &\quad \scriptsize \text{keine Lösung} \end{array}$
    $\begin{array}[t]{rll} x^6&=& -32 & \end{array}$
  • $\begin{array}[t]{rll} x^3&=& 8 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt[3]{\;}\\[5pt] x&=&\sqrt[3]{8}\\[5pt] x&=& 2 \end{array}$
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1.
Berechne.
b)
$x^3=64$
d)
$x^4=81$
f)
$x^{\frac{1}{2}}=4$
2.
Löse nach $\boldsymbol{x}$ auf.
b)
$-60+x^2=4$
d)
$x^4+233=3$
f)
$x^{10}-461=563$
3.
Gib eine Potenzgleichung mit der folgenden Lösung an.
b)
$x=3$
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1.
Berechne.
b)
$\begin{array}[t]{llll} x^3&=64&\quad \scriptsize \mid\; \sqrt[3]{\;}\\ x&=\sqrt[3]{64}\\ x&=4 \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{llll} x^4&=81&\quad \scriptsize \mid\; \sqrt[4]{\;}\\ x&=\sqrt[4]{81}\\ x_{1,2}&=\pm3 \end{array}$
f)
$\begin{array}[t]{llll} x^{\frac{1}{2}}&=4&\quad \scriptsize \mid\; ^2\\ x^1&=4^2\\ x&=16 \end{array}$
2.
Löse nach $\boldsymbol{x}$ auf
b)
$\begin{array}[t]{llll} -60+x^2&=4&\quad \scriptsize \mid\; +60\\ x^2&=64&\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\ x_{1,2}&=\pm8 \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{llll} x^4+233&=3&\quad \scriptsize \mid\; -233\\ x^4&=-230&\quad \scriptsize \text{keine Lösung} \end{array}$
f)
$\begin{array}[t]{llll} x^{10}-461&=563&\quad \scriptsize \mid\; +461\\ x^{10}&=1024&\quad \scriptsize \mid\; \sqrt[10]{\;}\\ x_{1,2}&=\pm2 \end{array}$
3.
Gib eine Potenzgleichung an
a)
Damit eine Potenzgleichung nur die Lösung $x=-2$ hat, muss der Exponent ungerade und $a<0$ sein.
Eine Lösung ist also beispielsweise:
$\begin{array}[t]{rll} x^3&=& -8 \end{array}$
b)
Damit eine Potenzgleichung nur die Lösung $x=3$ hat, muss der Exponent ungerade und $a>0$ sein. Wäre der Exponent gerade, würde es zwei Lösungen geben.
Eine Lösung ist also beispielsweise:
$\begin{array}[t]{rll} x^3&=& 27 \end{array}$
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