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Einfache Potenzen

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Für Potenzen gibt es verschiedene wichtige Regeln, die dir das Rechnen vereinfachen:
  1. Die Potenz $a^0$ ist für jede Basis $a \neq 0$ folgendermaßen definiert:
    $a^0=1$
    $a^0=1$
  2. Für jede Basis $a$ gilt:
    $a^1=a$
    $a^1=a$
  3. Die Formel für die Basis $0$ mit Exponent $b > 0$ lautet:
    $0^b=0$
    $0^b=0$
    Die Potenz $0^b$ ist für $b\leq0$ undefiniert.
  4. Die Formel für die Basis $1$ mit Exponent $b$ lautet:
    $1^b=1$
    $1^b=1$
  5. Für alle $a<0$ gilt:
    • Gerader Exponent: Ist $b$ gerade, dann ist $a^b$ positiv.
    • Ungerader Exponent: Ist $b$ ungerade, dann ist $a^b$ negativ.
    Für alle $a<0$ gilt:
    Gerader Exponent:
    Ist $b$ gerade, dann ist $a^b$ positiv.
    Ungerader Exponent:
    Ist $b$ ungerade, dann ist $a^b$ negativ.
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Einführung

Im Skript zur Einführung kannst du nachlesen, was eine Potenz ist, nämlich ein Term der Form $a^b$. Dabei bezeichnest du $a$ als die Basis und $b$ als den Exponenten. Der Exponent gibt dir an, wie oft du die Basis mit sich selbst multiplizierst.
Doch was machst du, wenn der Exponent gleich $0$ ist, du die Basis also „null Mal“ multiplizieren sollst? Dies und weitere Besonderheiten der Potenzen wirst du im Folgenden kennenlernen.

Erklärung

Für die Potenzen gibt es verschiedene wichtige Regeln, die dir das Rechnen vereinfachen. Dabei kann man unterscheiden zwischen Regeln für besondere Exponenten und besondere Basen.

Regeln für Exponenten

Für den Exponenten gibt es zwei Sonderfälle: Den angesprochenen Fall $b=0$ und den Fall $b=1$.

Fall $b=0$

Schau dir zuerst den Exponenten $b=0$ an. Das heißt für die Basis $a$ ist die Potenz von der Form $a^0$.
Wenn du die Potenzgesetze bereits kennst, kannst du für ein $a\neq 0$ Folgendes herleiten:
$a^0=a^{b-b}=a^b \cdot a^{-b}= a^b \cdot \dfrac{1}{a^b}=\dfrac{a^b}{a^b}=1$
$ a^0=1 $
Insgesamt erhältst du $a^0=1$. Damit die Potenzgesetze gelten, muss also $a^0=1$ gelten.
Die Potenz $a^0$ ist also für jede Basis $a \neq 0$ folgendermaßen definiert:
$a^0=1$
$a^0=1$
Für den Begriff $0^0$ gibt es keine einheitliche Definition, er wird entweder als $0^0=1$ definiert oder als undefiniert angesehen.
$\blacktriangleright$ Beispiele: $\,1^0=1$, $\,5^0=1$, $\,(-13)^0=1$,…

Fall $b=1$

Betrachten wir nun den Fall $b=1$. Das heißt für die Basis $a$ ist die Potenz von der Form $a^1$.
Aus der Einführung weißt du, wie du eine Potenz ausschreiben kannst. Für $b=1$ erhältst du damit:
$a^\color{#fa7d19}{1} $$=\underbrace{a}_{\color{#fa7d19}{1}\text{-mal}}$$=a$.
Also gilt für jede Basis $a$:
$a^1=a$
$a^1=a$
$\blacktriangleright$ Beispiele: $\,2^1=2$, $\,5^1=5$, $\,(-13)^1=-13$,…

Regeln für Basen

Bei den Basen gibt es wieder die zwei Sonderfälle $a=0$ und $a=1$. Weiter gibt es auch für negative Basen zwei Regeln.

Fall $a=0$

Hier geht es um den Ausdruck $0^b$ für Exponenten $b \neq 0$ (Der Sonderfall $0^0$ wurde für $b=0$ bereits behandelt).
Über die $0$ weißt du, dass ein Produkt mit dem Faktor $0$ immmer gleich $0$ ist, also $0 \cdot x=0$ für alle Zahlen $x$. Also gilt insbesondere für die Potenz $0^b$ für ein $b > 0$:
$0^b $$ =\underbrace{0\cdot … \cdot 0}_{b\text{-mal}} $$ = 0$
Für negative Exponenten $b < 0$ ist $0^b=0$ undefiniert, da die Division durch $0$ nicht definiert ist.
Somit lautet die Formel für die Basis $0$ mit Exponent $b > 0$:
$0^b=0$
$0^b=0$
$\blacktriangleright$ Beispiele: $\,0^1=0$, $\,0^{10}=0$, $\,0^{4}=0$,…

Fall $a=1$

Betrachte nun den Fall $1^b$ für alle Exponenten $b$.
Über die $1$ weißt du, dass ein Produkt durch den Faktor $1$ nicht verändert wird, also $1 \cdot x = x$ für alle Zahlen $x$. Also gilt insbesondere für die Potenz $1^b$ für jedes $b$:
$1^b $$ = \underbrace{1\cdot … \cdot 1}_{b\text{-mal}} $$ = 1$
Somit lautet die allgemeine Formel für die Basis $1$ mit Exponent $b$:
$1^b=1$
$1^b=1$
$\blacktriangleright$ Beispiele: $\,1^0=1$, $\,1^5=1$, $\,1^{-10}=1$,…

Negative Basis

Eine kurze Wiederholung über das Rechnen mit negativen Zahlen hilft dir beim letzten Sonderfall. Multiplizierst du zwei negative Zahlen, so erhältst du eine positive Zahl. Multiplizierst du drei negative Zahlen, so ist das Produkt negativ. Multiplizierst du vier negative Zahlen, erhältst du wieder eine positive Zahl.
Damit lassen sich folgende Regeln formulieren (unter der Voraussetzung, dass kein Faktor $0$ ist):
  • Ein Produkt mit einer geraden Anzahl an negativen Faktoren ist positiv.
  • Ein Produkt mit einer ungeraden Anzahl an negativen Faktoren ist negativ.
Aus diesen beiden Regeln folgen die Regeln für negative Basen. Die Potenz $a^b$ ist ein Produkt aus $b$ Faktoren. Ist die Basis negativ, ist $a^b$ ein Produkt aus $b$ negativen Faktoren. Damit kannst du die Fälle $b$ gerade und $b$ ungerade unterscheiden:
Für alle $a<0$ gilt:
  • Gerader Exponent: Ist $b$ gerade, dann ist $a^b$ positiv.
  • Ungerader Exponent: Ist $b$ ungerade, dann ist $a^b$ negativ.
Für alle $a<0$ gilt:
Gerader Exponent:
Ist $b$ gerade, dann ist $a^b$ positiv.
Ungerader Exponent:
Ist $b$ ungerade, dann ist $a^b$ negativ.
$\blacktriangleright$ Beispiele:
$(-2)^4=(-2) \cdot (-2)\cdot (-2) \cdot (-2) = 4 \cdot 4 = 16 = 2^4$
$ (-2)^4 = 16 = 2^4$
$(-2)^5=(-2) \cdot (-2)\cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16 \cdot (-2) = -32 = -\left(2^5\right)$
$ (-2)^5 = -32 = -\left(2^5\right) $
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Aufgaben
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1.
Berechne die besonderen Hochzahlen und Basen.
b)
$22^1$
d)
$428^1$
f)
$0^1$
h)
$122^0$
2.
Berechne die Potenzen mit negativer Basis. Achte dabei auf das Vorzeichen.
b)
$(-4)^3$
d)
$(-2)^7$
f)
$(-7)^2$
h)
$(-13)^2$
3.
Vereinfache die folgenden Ausdrücke soweit wie möglich.
b)
$(-y)^3$
d)
$a^1$
f)
$(-1)^4$
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Lösungen
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1.
Potenzen berechnen
Eine Zahl hoch 0 ist immer 1. Eine Zahl hoch 1 entspricht immer der Zahl selbst. Damit kannst du nun die Potenzen ausrechnen.
b)
$22^1=22$
d)
$428^1=428$
f)
$0^1=0$
h)
$122^0=1$
2.
Potenzen berechnen
Bei geraden Exponenten fällt beim Ausrechnen das Minus als Vorzeichen weg, da Minus mal Minus Plus ergibt. Bei ungeraden Exponenten hingegen heben sich die negativen Vorzeichen nicht alle gegenseitig weg, sodass ein Minus als Vorzeichen verbleibt.
b)
$(-4)^3=(-4)\cdot(-4)\cdot(-4)=-64$
d)
$(-2)^7=-2^7=-128$
f)
$(-7)^2=(-7)\cdot(-7)=49$
h)
$(-13)^2=(-13)\cdot(-13)=169$
3.
Vereinfachen
Mit dem Wissen aus den vorherigen Aufgaben kannst du die nachfolgen Ausdrücke vereinfachen.
b)
$(-y)^3=-y^3$
d)
$a^1=a$
f)
$(-1)^4=1$
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