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Potenzen potenzieren

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Man spricht vom Potenzieren einer Potenz, wenn die Basis eine Potenz ist.
Potenzierst du eine Potenz, so multiplizierst du die beiden Exponenten miteinander. Die Regel lautet für die Potenz $a^b$ und den Exponenten $n$:
$\left(a^b\right)^n=a^{b \cdot n}$
$\left(a^b\right)^n=a^{b \cdot n}$
Beim Potenzieren einer Potenz musst du jedoch mit der Klammersetzung aufpassen. Es macht einen Unterschied ob die Basis oder der Exponent eine Potenz ist.
$\left(a^b\right)^n=a^{b \cdot n}\neq a^{b^n}=a^\left(b^n\right)$
$\left(a^b\right)^n=a^{b \cdot n}$
Neben der Klammersetzung musst du bei negativen Zahlen auf das Minus achten und wo es steht.
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1.
Berechne.
b)
$\left(2^{-3}\right)^{-2}$
d)
$\left((-2)^{2}\right)^{5}$
f)
$\left(4^{-2}\right)^{-2}$
h)
$-\left(-2^{1}\right)^{5}$
2.
Wende das Potenzgesetz an und berechne.
b)
$\left(\sqrt{3}\right)^{8}$
d)
$-\left(\sqrt{3}\right)^{12}$
f)
$\left(-\sqrt{7}\right)^{4}$
3.
Berechne.
b)
$\left(-2^1\right)^3+\left(3^2\right)^2$
d)
$\left(\sqrt{8}\right)^{4}+\left(2^6\right)^1$
f)
$\left(-\sqrt{2}\right)^{8}-\left(\sqrt{2}\right)^{6}$
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1.
Berechne.
b)
$\begin{array}[t]{llll} \left(2^{-3}\right)^{-2}&=2^{-3\cdot(-2)}\\ &=2^{6}\\ &=64 \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{llll} \left((-2)^{2}\right)^{5}&=(-2)^{2\cdot5}\\ &=(-2)^{10}\\ &=1024 \end{array}$
f)
$\begin{array}[t]{llll} \left(4^{-2}\right)^{-2}&=4^{-2\cdot(-2)}\\ &=4^{4}\\ &=256 \end{array}$
h)
$\begin{array}[t]{llll} -\left(-2^{1}\right)^{5}&=-(-2)^{1\cdot5}\\ &=-(-2)^{5}\\ &=-(-32)\\ &=32 \end{array}$
2.
Wende das Potenzgesetz an und berechne.
b)
$\begin{array}[t]{llll} \left(\sqrt{3}\right)^{8}&=\left(\sqrt{3}\right)^{2\cdot4}\\ &=\left(\sqrt{3}^2\right)^{4}\\ &=3^{4}\\ &=81 \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{llll} -\left(\sqrt{3}\right)^{12}&=-\left(\sqrt{3}\right)^{2\cdot6}\\ &=-\left(\sqrt{3}^2\right)^{6}\\ &=-3^{6}\\ &=-729 \end{array}$
f)
$\begin{array}[t]{llll} \left(-\sqrt{7}\right)^{4}&=\left(-\sqrt{7}\right)^{2\cdot2}\\ &=\left(\left(-\sqrt{7}\right)^2\right)^{2}\\ &=7^{2}\\ &=49 \end{array}$
3.
Berechne.
b)
$\begin{array}[t]{llll} \left(-2^1\right)^3+\left(3^2\right)^2&=\left(-2\right)^{1\cdot3}+3^{2\cdot2}\\ &=\left(-2\right)^{3}+3^{4}\\ &=-8+81\\ &=73 \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{llll} \left(\sqrt{8}\right)^{4}+\left(2^6\right)^1&=\left(\sqrt{8}\right)^{2\cdot2}+2^{6\cdot1}\\ &=\left(\sqrt{8}^2\right)^{2}+2^{6}\\ &=8^{2}+64\\ &=64+64\\ &=128 \end{array}$
f)
$\begin{array}[t]{llll} \left(-\sqrt{2}\right)^{8}-\left(\sqrt{2}\right)^{6}&=\left(-\sqrt{2}\right)^{2\cdot4}-\left(\sqrt{2}\right)^{2\cdot3}\\ &=\left(\left(-\sqrt{2}\right)^2\right)^{4}-\left(\sqrt{2}^2\right)^{3}\\ &=2^4-2^3\\ &=16-8\\ &=8 \end{array}$
$ \left(-\sqrt{2}\right)^{8}-\left(\sqrt{2}\right)^{6}=8 $
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