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Potenzen potenzieren

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Man spricht vom Potenzieren einer Potenz, wenn die Basis eine Potenz ist.
Potenzierst du eine Potenz, so multiplizierst du die beiden Exponenten miteinander. Die Regel lautet für die Potenz $a^b$ und den Exponenten $n$:
$\left(a^b\right)^n=a^{b \cdot n}$
$\left(a^b\right)^n=a^{b \cdot n}$
Beim Potenzieren einer Potenz musst du jedoch mit der Klammersetzung aufpassen. Es macht einen Unterschied ob die Basis oder der Exponent eine Potenz ist.
$\left(a^b\right)^n=a^{b \cdot n}\neq a^{b^n}=a^\left(b^n\right)$
$\left(a^b\right)^n=a^{b \cdot n}$
Neben der Klammersetzung musst du bei negativen Zahlen auf das Minus achten und wo es steht.
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Einführung

Rechnen mit Potenzen: Potenzen potenzieren
Abb. 1: Programm der Freizeit.
Rechnen mit Potenzen: Potenzen potenzieren
Abb. 1: Programm der Freizeit.
Dabei kann jeder Teilnehmer selbst entscheiden, an welchem Programm er teilnimmt. Jeden Tag kann Lisa tagsüber und abends aus drei Programmpunkten wählen. „Das klingt nach einer Menge Möglichkeiten“, denkt sich Lisa. Wie viele Möglichkeiten der Programmgestaltung gibt es für Lisa insgesamt?

Erklärung

Lisa beginnt damit, die Möglichkeiten pro Tag zu berechnen. Jeden Tag kann sie tagsüber und abends aus drei Vorschlägen auswählen. Das ergibt $3 \cdot 3 = 3^2 (=9)$ verschiedene Gestaltungsmöglichkeiten. Über drei Tage hinweg kann sie aus diesen $3^2$ Programmen auswählen, also ergibt das insgesamt folgende Möglichkeiten:
$3^2 \cdot 3^2 \cdot 3^2 = 3^{2+2+2} = 3^6.$
Dieses Produkt kannst du aber auch zu einer Potenz zusammenfassen:
$\underbrace{3^2 \cdot 3^2 \cdot 3^2}_{\color{#87c800}{3}-\text{mal}} = \left(3^2\right)^\color{#87c800}{3}.$
Diese beiden Gleichungen kannst du gleichsetzen und erhältst: $\left(3^2\right)^3=3^6$.
Diese Gleichung kannst du zu einer Rechenregel für Potenzen verallgemeinern. Es handelt sich hierbei um das Potenzieren einer Potenz, das heißt die Basis ist eine Potenz. Für eine Potenz $a^b$ und einen Exponenten $n$ kannst du Folgendes herleiten:
$\begin{array}[t]{rll} \left(a^\color{#fa7d19}{b}\right)^\color{#87c800}{n} &=& \underbrace{\left(a^\color{#fa7d19}{b}\right) \cdot … \cdot \left(a^\color{#fa7d19}{b}\right)}_{\color{#87c800}{n}-\text{mal}} \\[5pt] &=& \underbrace{\underbrace{(a \cdot … \cdot a)}_{\color{#fa7d19}{b}-\text{mal}} \cdot … \cdot \underbrace{(a \cdot … \cdot a)}_{\color{#fa7d19}{b}-\text{mal}}}_{\color{#87c800}{n}-\text{mal Klammern mit } \color{#fa7d19}{b}\text{-mal }a} \\[5pt] &=& \underbrace{a \cdot … \cdot a \cdot … \cdot a \cdot … \cdot a}_{\color{#fa7d19}{b} \cdot {\color{#87c800}{n}}-\text{mal}} \\[5pt] &=& a^{\color{#fa7d19}{b} \cdot {\color{#87c800}{n}}} \end{array}$
$ \left(a^\color{#fa7d19}{b}\right)^\color{#87c800}{n}= a^{\color{#fa7d19}{b} \cdot {\color{#87c800}{n}}} $
Potenzierst du eine Potenz, so multiplizierst du die beiden Exponenten miteinander. Die Regel lautet für die Potenz $a^b$ und den Exponenten $n$:
$\left(a^b\right)^n=a^{b \cdot n}$
$\left(a^b\right)^n=a^{b \cdot n}$
Beim Potenzieren einer Potenz musst du jedoch mit der Klammersetzung aufpassen. Es macht einen Unterschied, ob die Basis oder der Exponent eine Potenz ist.
Allgemeine FormBeispiel
Potenz $a^b$ als Basis mit Exponent $n$$\left(a^b\right)^n=a^{b \cdot n}$$\left(3^2\right)^3=3^{2 \cdot 3}=3^6=729$
Basis $a$ mit Potenz $b^n$ als Exponent$a^\left(b^n\right)=a^{b^n}$$3^\left(2^3\right)=3^{2 \cdot 2 \cdot 2} = 3^8=6.561$
Potenz $a^b$ als Basis mit Exponent $n$
$\left(a^b\right)^n=a^{b \cdot n}$
$\left(3^2\right)^3=3^{2 \cdot 3}=3^6=729$
Basis $a$ mit Potenz $b^n$ als Exponent
$a^\left(b^n\right)=a^{b^n}$
$3^\left(2^3\right)=3^{2 \cdot 2 \cdot 2} = 3^8=6.561$
Die Potenzen $\left(a^b\right)^n$ und $a^\left(b^n\right)$ sind bis auf wenige Ausnahme nicht gleich.
Neben der Klammersetzung musst du bei negativen Zahlen auf das Minus achten und wo es steht, wie das folgende Beispiel verdeutlicht:
$\left(\left( -2 \right) ^2\right)^3 = \left(-2\right)^{2 \cdot 3} = \left(-2\right)^6 = 64,$$\,$ aber $\,$$\left(-2^2\right)^3= -2^{2\cdot3} = -2^6 = -64.$
Zusammen erhalten wir: $\,$$\left(\left( -2 \right) ^2\right)^3 \neq \left(-2^2\right)^3.$

Beispiel

„Wow, 729 verschiedene Programme, das sind ja echt eine Menge Möglichkeiten!“, staunt Lisa. Keine zwei Minuten später schreibt ihre Freundin Lea, dass ein Betreuer nicht mitfahren kann und es zu den verschiedenen Tageszeiten nur zwei Auswahlmöglichkeiten gibt. Wie ändert sich die Rechnung mit diesem Ergebnis?
Lisa hat jetzt nur noch zwei Möglichkeiten, also nur noch $2^2$ Möglichkeiten pro Tag. Insgesamt ergibt das $\left(2^2\right)^3$ Möglichkeiten. Diese Zahl kannst du mit den Potenzregeln berechnen:
$\left(2^2\right)^3=2^{2\cdot 3}= 2^6 = 64.$
„Das macht ja einen riesen Unterschied, 64 ist aber trotzdem noch eine Menge!“, sagt Lisa verwundert. Am Ende der Freizeit erfährt Lisa, dass im Sommer eine weitere Freizeit stattfindet, die eine Woche lang dauert. Dort sind wieder alle Betreuer dabei und es können wieder drei Aktivitäten angeboten werden. Wie viele Möglichkeiten der Gestaltung hat Lisa im Sommer?
Lisa hat im Sommer jeweils drei Möglichkeiten pro Tag, also wieder $3^2$ Möglichkeiten insgesamt. Einen Tag gehen alle Teilnehmer zusammen auf eine Stadttour, also hat sie sechs Tage lang $3^2$ Möglichkeiten:
$\left(3^2\right)^6=3^{2\cdot 6}= 3^{12} = 531.441$
Auf der Sommerfreizeit hat sie also insgesamt mehr als eine halbe Millionen Auswahlmöglichkeiten für ihre Freizeitgestaltung.
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Berechne.
b)
$\left(2^{-3}\right)^{-2}$
d)
$\left((-2)^{2}\right)^{5}$
f)
$\left(4^{-2}\right)^{-2}$
h)
$-\left(-2^{1}\right)^{5}$
2.
Wende das Potenzgesetz an und berechne.
b)
$\left(\sqrt{3}\right)^{8}$
d)
$-\left(\sqrt{3}\right)^{12}$
f)
$\left(-\sqrt{7}\right)^{4}$
3.
Berechne.
b)
$\left(-2^1\right)^3+\left(3^2\right)^2$
d)
$\left(\sqrt{8}\right)^{4}+\left(2^6\right)^1$
f)
$\left(-\sqrt{2}\right)^{8}-\left(\sqrt{2}\right)^{6}$
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Berechne.
b)
$\begin{array}[t]{llll} \left(2^{-3}\right)^{-2}&=2^{-3\cdot(-2)}\\ &=2^{6}\\ &=64 \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{llll} \left((-2)^{2}\right)^{5}&=(-2)^{2\cdot5}\\ &=(-2)^{10}\\ &=1024 \end{array}$
f)
$\begin{array}[t]{llll} \left(4^{-2}\right)^{-2}&=4^{-2\cdot(-2)}\\ &=4^{4}\\ &=256 \end{array}$
h)
$\begin{array}[t]{llll} -\left(-2^{1}\right)^{5}&=-(-2)^{1\cdot5}\\ &=-(-2)^{5}\\ &=-(-32)\\ &=32 \end{array}$
2.
Wende das Potenzgesetz an und berechne.
b)
$\begin{array}[t]{llll} \left(\sqrt{3}\right)^{8}&=\left(\sqrt{3}\right)^{2\cdot4}\\ &=\left(\sqrt{3}^2\right)^{4}\\ &=3^{4}\\ &=81 \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{llll} -\left(\sqrt{3}\right)^{12}&=-\left(\sqrt{3}\right)^{2\cdot6}\\ &=-\left(\sqrt{3}^2\right)^{6}\\ &=-3^{6}\\ &=-729 \end{array}$
f)
$\begin{array}[t]{llll} \left(-\sqrt{7}\right)^{4}&=\left(-\sqrt{7}\right)^{2\cdot2}\\ &=\left(\left(-\sqrt{7}\right)^2\right)^{2}\\ &=7^{2}\\ &=49 \end{array}$
3.
Berechne.
b)
$\begin{array}[t]{llll} \left(-2^1\right)^3+\left(3^2\right)^2&=\left(-2\right)^{1\cdot3}+3^{2\cdot2}\\ &=\left(-2\right)^{3}+3^{4}\\ &=-8+81\\ &=73 \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{llll} \left(\sqrt{8}\right)^{4}+\left(2^6\right)^1&=\left(\sqrt{8}\right)^{2\cdot2}+2^{6\cdot1}\\ &=\left(\sqrt{8}^2\right)^{2}+2^{6}\\ &=8^{2}+64\\ &=64+64\\ &=128 \end{array}$
f)
$\begin{array}[t]{llll} \left(-\sqrt{2}\right)^{8}-\left(\sqrt{2}\right)^{6}&=\left(-\sqrt{2}\right)^{2\cdot4}-\left(\sqrt{2}\right)^{2\cdot3}\\ &=\left(\left(-\sqrt{2}\right)^2\right)^{4}-\left(\sqrt{2}^2\right)^{3}\\ &=2^4-2^3\\ &=16-8\\ &=8 \end{array}$
$ \left(-\sqrt{2}\right)^{8}-\left(\sqrt{2}\right)^{6}=8 $
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