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Vermischte Aufgaben

Aufgaben
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1.
Wo liegt der Fehler?
Karl behauptet „$5^{2^3}$ ist das gleiche wie $5^{3^2}$“. Emma holt den Taschenrechner und zeigt Karl, dass $5^{2^3}= 390.625$ und $5^{3^2} = 1.953.125$ ist. Was hat Karl falsch gemacht oder ist der Taschenrechner kaputt?
2.
Vereinfache.
b)
$\left(3x^{\frac{1}{2}}+2x^{\frac{1}{3}}\right)\cdot 4x^{\frac{3}{2}}$
d)
$12^x\cdot 3^{-x}$
f)
$\dfrac{\left(3x^4y^{-1}\right)^2}{\left(6x^{-2}y^{-3}\right)^{-1}}$
h)
$\left(2x^{\frac{-1}{2}}y + 3x^{\frac{3}{2}}y\right)^2$
3.
Entscheide, ob die Aussagen jeweils richtig oder falsch sind und begründe.
a)
„ Für alle Basen $a> 1$ und jeden Exponenten $ b > 1$ ist $a^{-b} < 1$.“
b)
„ Wenn $a^{-b} > 1$ und $b> 1$, dann ist $a> 1$.“
4.
Berechne.
b)
$5\cdot\left(\dfrac{5}{3}\right)^{-3}$
d)
$\dfrac{(2x^2)^{-5}}{(4y^2)^2} \cdot \dfrac{y^4\cdot 2^6}{\left(3x^5\right)^{-2}} $
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Lösungen
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1.
Wo liegt der Fehler?
Hier nocheinmal die Aussage von Karl: „$5^{2^3}$ ist das gleiche wie $5^{3^2}$“
Überlege dir welche Regel Karl hier angewendet haben könnte. Wahrscheinlich hat er die Regel für das Potenzieren von Potenzen benutzt und hat damit folgende Termumformungen vorgenommen:
$5^{2^3} = \left(5^2\right)^3 = 5^{2\cdot 3} = 5^{6} = 5^{3\cdot 2} = \left(5^3\right)^2 = 5^{3^2}$.
$5^{2^3} = 5^{3^2}$.
Karl hat beim ersten und letzten Gleichheitszeichen den Fehler gemacht die Klammersetzung nicht zu beachten. Denn eigentlich wären folgende Umformungen richtig:
$5^{2^3} = 5^{\left(2^3\right)} = 5^8\quad $ bzw. $5^{3^2} = 5^{\left(3^2\right)} = 5^9$
Insgesamt kannst du also Karl erklären, dass er den Fehler gemacht hat, die Klammern falsch zu setzen und somit die Regel zum Potenzieren von Potenzen angewendet hat obwohl sie hier nicht angebracht ist. Denn es gilt nicht $5^{2^3} = \left(5^2\right)^3$ sondern $5^{2^3} = 5^{\left(2^3\right)}$.
2.
Vereinfache.
a)
$\begin{array}[t]{rll} x^{\frac{3}{2}}\cdot x^{\frac{1}{2}}&=&x^{\frac{3}{2} + \frac{1}{2}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&x^2&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
b)
$\begin{array}[t]{rll} \left(3x^{\frac{1}{2}}+2x^{\frac{1}{3}}\right)\cdot 4x^{\frac{3}{2}}&=& 3x^{\frac{1}{2}}\cdot 4x^{\frac{3}{2}} +2x^{\frac{1}{3}}\cdot 4x^{\frac{3}{2}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 3\cdot 4 \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{3}{2}} + 2\cdot 4\cdot x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{3}{2}}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 12\cdot x^{\frac{1}{2}+\frac{3}{2}} + 8\cdot x^{\frac{1}{3}+\frac{3}{2}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 12x^2+8x^{\frac{11}{6}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \left(3x^{\frac{1}{2}}+2x^{\frac{1}{3}}\right)\cdot 4x^{\frac{3}{2}}&=…\end{array}$
c)
$\begin{array}[t]{rll} xy^2\left(\dfrac{5}{x^3y^2}\right)^{\frac{1}{3}}&=& xy^2 \cdot \dfrac{5^{\frac{1}{3}}}{\left(x^3y^2\right)^{\frac{1}{3}}}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& xy^2 \cdot \dfrac{5^{\frac{1}{3}}}{\left(x^3\right)^{\frac{1}{3}}\cdot \left(y^2\right)^{\frac{1}{3}}}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& xy^2 \cdot \dfrac{5^{\frac{1}{3}}}{x^{3\cdot\frac{1}{3}}\cdot y^{2\cdot \frac{1}{3}}}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& xy^2 \cdot \dfrac{5^{\frac{1}{3}}}{x\cdot y^{\frac{2}{3}}}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{xy^2 \cdot5^{\frac{1}{3}}}{x\cdot y^{\frac{2}{3}}}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& y^{2-\frac{2}{3}}\cdot 5^{\frac{1}{3}}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& y^{\frac{4}{3}}\cdot 5^{\frac{1}{3}}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\left(5y^4\right)^{\frac{1}{3}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} xy^2\left(\dfrac{5}{x^3y^2}\right)^{\frac{1}{3}}&=&\left(5y^4\right)^{\frac{1}{3}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{rll} 12^x\cdot 3^{-x}&=&12^x\cdot \dfrac{1}{3^x} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{12^x}{3^x}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \left(\dfrac{12}{3}\right)^x&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 4^x&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
e)
$\begin{array}[t]{rll} x^{k+1}\cdot (x-1)^{k+1}&=&(x\cdot (x-1))^{k+1} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\left(x^2-x\right)^{k+1} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll}x^{k+1}\cdot (x-1)^{k+1}&=…\end{array}$
f)
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\left(3x^4y^{-1}\right)^2}{\left(6x^{-2}y^{-3}\right)^{-1}}&=&\dfrac{3^2(x^4)^2(y^{-1})^2}{6^{-1}(x^{-2})^{-1}(y^{-3})^{-1}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{9x^8y^{-2}}{\frac{1}{6}x^2y^3} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&9\cdot 6x^{8-2}y^{-2-3}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&54\cdot \dfrac{x^6}{y^5} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\left(3x^4y^{-1}\right)^2}{\left(6x^{-2}y^{-3}\right)^{-1}}&=&54\cdot \dfrac{x^6}{y^5} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
g)
$\begin{array}[t]{rll} \left(x^{-1}y+xy^{-1}\right)\left(x^{-1}y-xy^{-1}\right)&=& \left(x^{-1}y\right)^2 - \left(xy^{-1}\right)^2&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& x^{-2}y^2 - x^2y^{-2} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{y^2}{x^2} - \dfrac{x^2}{y^2} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \left(\dfrac{y}{x}\right)^2 - \left(\dfrac{x}{y}\right)^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll}\left(x^{-1}y+xy^{-1}\right)\left(x^{-1}y-xy^{-1}\right)=…\end{array}$
h)
$\begin{array}[t]{rll} \left(2x^{\frac{-1}{2}}y + 3x^{\frac{3}{2}}y\right)^2&=&\left(2x^{\frac{-1}{2}}y \right)^2 + 2\cdot 2x^{\frac{-1}{2}}y\cdot 3x^{\frac{3}{2}}y +\left(3x^{\frac{3}{2}}y\right)^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 4x^{-1}y^2 + 12\cdot x^{\frac{-1}{2}}x^{\frac{3}{2}}y^2 +9x^3y^2&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 4x^{-1}y^2 + 12\cdot xy^2 +9x^3y^2&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& y^2(4x^{-1} +12x +9x^3) &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \left(2x^{\frac{-1}{2}}y + 3x^{\frac{3}{2}}y\right)^2&=…\end{array}$
3.
Entscheide, ob die Aussagen jeweils richtig oder falsch sind und begründe.
a)
„ Für alle Basen $a> 1$ und jeden Exponenten $ b > 1$ ist $a^{-b} < 1$“
Formuliere die Aussage zunächst als Term und forme ihn soweit um, bis du entweder genau die Behauptung erhältst oder etwas das der Behauptung widerspricht.
$\begin{array}[t]{rll} a^{-b}&=&\dfrac{1}{a^b} &\quad \scriptsize\\[5pt] \end{array}$
Wenn jetzt $a$ und $b$ größer als $1$ sind, dann ist auch $a^b> 1$. Damit ist dann $\dfrac{1}{a^b} < 1$. Also stimmt die Aussage.
b)
„ Wenn $a^{-b} > 1$ und $b> 1$, dann ist $a> 1$“
In eine Ungleichung überführt heißt das:
$\begin{array}[t]{rll} a^{-b}& >&1 &\quad \scriptsize \\[5pt] \dfrac{1}{a^b}& >& 1 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot a^b\\[5pt] 1&>& a^b &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Wenn jetzt $a$ größer als $1$ wäre, dann wäre auch $a^b$ größer als $1$. Also muss $a$ kleiner als $1$ sein. Daher stimmt die Behauptung also nicht.
4.
Berechne.
a)
$\begin{array}[t]{rll} 3\cdot 4^{-2}&=& 3\cdot \dfrac{1}{4^2}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 3\cdot \dfrac{1}{16}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{3}{16}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
b)
$\begin{array}[t]{rll} 5\cdot\left(\dfrac{5}{3}\right)^{-3}&=& 5\cdot \dfrac{5^{-3}}{3^{-3}}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 5\cdot \dfrac{3^{3}}{5^{3}}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{3^{3}}{5^{2}}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{27}{25}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
c)
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{(2\cdot 3)^6}{\left(3\cdot 2^{5}\right)^{2}} : \dfrac{\left(2\cdot 3^3\right)^{2}}{\left( 9\cdot 2^{-3}\right)^{-2}}&=&\dfrac{(2\cdot 3)^6}{\left(3\cdot 2^{5}\right)^2} \cdot \dfrac{\left( 9\cdot 2^{-3}\right)^{-2}}{\left(2\cdot 3^3\right)^{2}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{2^6\cdot 3^6}{3^2\cdot 2^{10}} \cdot \dfrac{ 9^{-2}\cdot 2^{6}}{2^2\cdot 3^6} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{2^6\cdot 3^6\cdot 9^{-2}\cdot 2^{6}}{3^2\cdot 2^{10} \cdot 2^2\cdot 3^6} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{2^{12}\cdot 3^6\cdot 9^{-2}}{3^8\cdot 2^{12}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{2^{0}\cdot 9^{-2}}{3^2}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{ 9^{-2}}{9}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{ 1}{9^2\cdot 9}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{ 1}{81\cdot 9}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{ 1}{729}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll}\dfrac{(2\cdot 3)^6}{\left(3\cdot 2^{5}\right)^{2}} : \dfrac{\left(2\cdot 3^3\right)^{2}}{\left( 9\cdot 2^{-3}\right)^{-2}}&=\end{array}$…
d)
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{(2x^2)^{-5}}{(4y^2)^2} \cdot \dfrac{y^4\cdot 2^6}{\left(3x^5\right)^{-2}} &=&\dfrac{2^{-5}\cdot x^{-10}\cdot y^4\cdot 2^6}{4^2y^4 \cdot 3^{-2}\cdot x^{-10}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{2^{-5}\cdot 2^6}{4^2\cdot 3^{-2}}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{2}{4^2\cdot 3^{-2}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{2\cdot 3^{2}}{16}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{9}{8}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{(2x^2)^{-5}}{(4y^2)^2} \cdot \dfrac{y^4\cdot 2^6}{\left(3x^5\right)^{-2}} &=& \dfrac{9}{8}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
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