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Einführung

Spickzettel
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In einem vorherigen Kapitel hast du das Rechnen mit Potenzen kennengelernt.
Wenn du also zum Beispiel die Gleichung $x = a^2$ hast und für $a = 3$ einsetzt, erhältst du $x = 3^2 = 9$. Nur was machst du, wenn du $a^2 =9$ als Gleichung gegeben hast, und du $a$ wissen möchtest?
Lösung: Du musst auf beiden Seiten das sogenannte Wurzel ziehen anwenden.
Wurzeln: Einführung
Wurzeln: Einführung
Eine Wurzel ist die Umkehrung der Potenzierung. Diese brauchst du, um Gleichungen zu lösen. Dazu bedienst du dich spezieller Rechenregeln, welche du in den folgenden Kapiteln kennen lernen wirst.
Eine Wurzel ist die Umkehrung der Potenzierung. Diese brauchst du, um Gleichungen zu lösen. Dazu bedienst du dich spezieller Rechenregeln, welche du in den folgenden Kapiteln kennen lernen wirst.
Es gibt drei wichtige Begriffe an der Wurzel, die du dir merken solltest: die Radikand (Basis), der Wurzelexponent und der Wurzelwert.
Wurzeln: Einführung
Wurzeln: Einführung
Die Quadratwurzel ist eine Wurzel mit dem Exponenten „2“.
Mit Hilfe der Quadratwurzel kannst du die Quadrierung einer Zahl rückgängig machen.
Wichtig: Aus negativen Radikanden (z.B.$\sqrt{-4}$) kannst du keine Quadratwurzel ziehen! Somit ist $a \geq 0$.
Wurzeln: Einführung
Wurzeln: Einführung
Tipp: Wird in einer Aufgabe der Exponent der Wurzel nicht angegeben, handelt es sich immer um die Quadratwurzel.
$\sqrt{a} = \sqrt[2]{a}$

Beispiele

  • $\sqrt[2]{169}=13$, da $13^2 = 169$
  • $\sqrt[2]{49}=7$, da $7^2 = 49$
  • $\sqrt[2]{625}=25$, da $25^2 = 625$
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Aufgaben
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1.
Erkläre.
Erkläre, weshalb man bei negativen (-) Radikanden keine Quadratwurzel ziehen kann.
2.
Ziehe wenn möglich die Quadratwurzel ohne Verwendung des Taschenrechners (= Radiziere).
b)
$\begin{array}[t]{llll} \sqrt{\sqrt{16}}\\ \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{llll} \sqrt{1}\\ \end{array}$
f)
$\begin{array}[t]{llll} -\sqrt{\sqrt{625}}\\ \end{array}$
3.
Löse die Sachaufgabe ohne Verwendung des Taschenrechners.
Familie Meier will ein neues Haus bauen und kauft sich dazu ein quadratisches Grundstück mit einer Fläche von 900 m$^2$. Berechne für Familie Meier wie breit das Haus maximal sein darf.
4.
Vervollständige die Tabelle wenn möglich.
$a$
$\frac{1}{16}$
0,25
- 0,1
$\sqrt{a}$
11
0,3
$\frac{1}{6}$
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Lösungen
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1.
Erkläre.
Die Wurzel aus einer negativen Zahl kann nicht gezogen (= radiziert) werden, da das Quadrat einer Zahl niemals negativ werden kann.
Merke: Minus mal Minus ergibt Plus!
Beispiel: $(-1)^2 = (-1)\cdot(-1) = 1 $
2.
Ziehe wenn möglich die Quadratwurzel.
b)
$\begin{array}[t]{llll} \sqrt{\sqrt{16}}= \sqrt{4} = 2\\ \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{llll} \sqrt{1}= 1\\ \end{array}$
f)
$\begin{array}[t]{llll} \sqrt{\sqrt{625}} =\sqrt{25} = 5\\ \end{array}$
3.
Löse die Sachaufgabe.
In dieser Aufgabe sollst du die maximale Breite des Hauses berechnen. Dies entspricht der Seitenlänge eines Quadrates.
Der Flächeninhalt eines Quadrates wird berechnet, indem die Seitenlänge $a$ quadriert wird: $A= a^2$.
Wurzeln: Einführung
Wurzeln: Einführung
Ergebnis: Das Haus darf maximal 30 m breit sein.
4.
Vervollständige die Tabelle wenn möglich.
$a$
$\frac{1}{16}$
121
0,25
0,09
- 0,1
$\frac{1}{36}$
$\sqrt{a}$
$\frac{1}{4}$
11
0,5
0,3
$\frac{1}{6}$
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