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Quadratwurzeln und Kubikwurzeln

Spickzettel
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Quadratwurzel schätzen

Wenn du die Quadratwurzel einer Zahl schätzen sollst, so betrachte die Zahl alleine. Überlege, welche die nächstkleinere und welches die nächstgrößere Quadratzahl ist. Hierzu ist es sinnvoll, einige Quadratwurzeln auswendig zu kennen.
Berechne dann die Quadratwurzeln dieser beider Zahlen. Zwischen diesen beiden Quadratwurzeln liegt auch die Quadratwurzel unserer Zahl.

Beispiel

  • Schätze $\sqrt{7}$:
    $7$ liegt zwischen $4$ und $9$. Also liegt $\sqrt{7}$ zwischen $\sqrt{4}$ und $\sqrt{9}$.
    $\sqrt{4}=2\;\;$ und $\;\;\sqrt{9}=3$.
    Also liegt $\sqrt{7}$ zwischen $2$ und $3$, etwa bei $2,5$.
  • Schätze $\sqrt{80}$:
    $80$ liegt zwischen $64$ und $81$. Also liegt $\sqrt{80}$ zwischen $\sqrt{64}$ und $\sqrt{81}$.
    $\sqrt{64}=8\;\;$ und $\;\;\sqrt{81}=9$.
    Also liegt $\sqrt{80}$ zwischen $8$ und $9$, etwa bei $8,9$.

Kubikwurzel schätzen

Wenn du die Kubikwurzel einer Zahl schätzen sollst, so betrachte die Zahl alleine. Überlege, welche die nächstkleinere und welches die nächstgrößere Kubikzahl ist. Hierzu ist es sinnvoll, einige Kubikwurzeln auswendig zu kennen.
Berechne dann die Kubikwurzeln dieser beider Zahlen. Zwischen diesen beiden Kubikwurzeln liegt auch die Kubikwurzel unserer Zahl.

Beispiel

  • Schätze $\sqrt[3]{10}$:
    $10$ liegt zwischen $8$ und $27$. Also liegt $\sqrt[3]{10}$ zwischen $\sqrt[3]{8}$ und $\sqrt[3]{27}$.
    $\sqrt[3]{8}=2\;\;$ und $\;\;\sqrt[3]{27}=3$.
    Also liegt $\sqrt[3]{10}$ zwischen $2$ und $3$, etwa bei $2,1$.
  • Schätze $\sqrt[3]{-35}$:
    $-35$ liegt zwischen $-64$ und $-27$. Also liegt $\sqrt[3]{-35}$ zwischen $\sqrt[3]{-64}$ und $\sqrt[3]{-27}$.
    $\sqrt[3]{-64}=-4\;\;$ und $\;\;\sqrt[3]{-27}=-3$.
    Also liegt $\sqrt[3]{-35}$ zwischen $-4$ und $-3$, etwa bei $-3,3$.
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Aufgaben
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1.
Berechne die Quadratwurzel im Kopf.
Achtung: Einige Aufgaben haben keine Lösung!
b)
$\sqrt{25}$
d)
$\sqrt{16}$
f)
$\sqrt{36}$
h)
$\sqrt{49}$
j)
$\sqrt{-81}$
l)
$\sqrt{4}$
n)
$\sqrt{196}$
p)
$\sqrt{400}$
r)
$\sqrt{361}$
t)
$\sqrt{64}$
v)
$\sqrt{144}$
x)
$\sqrt{-1}$
2.
Gib für die Wurzel zunächst einen Schätzwert an.
Berechne dann den exakten Wert mit dem Taschenrechner.
b)
$\sqrt{17}$
d)
$\sqrt{10}$
f)
$\sqrt{31}$
h)
$\sqrt{65}$
j)
$\sqrt{250}$
l)
$\sqrt{7}$
n)
$\sqrt{75}$
3.
Berechne die Kubikwurzel im Kopf.
b)
$\sqrt[3]{64}$
d)
$\sqrt[3]{0}$
f)
$\sqrt[3]{125}$
h)
$\sqrt[3]{-125}$
4.
Gib für die Wurzel zunächst einen Schätzwert an.
Berechne dann den exakten Wert mit dem Taschenrechner.
b)
$\sqrt[3]{100}$
d)
$\sqrt[3]{180}$
f)
$\sqrt[3]{-81}$
h)
$\sqrt[3]{300}$
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Lösungen
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1.
b)
$5$
d)
$4$
f)
$6$
h)
$7$
j)
keine Lösung
l)
$2$
n)
$14$
p)
$20$
r)
$19$
t)
$8$
v)
$12$
x)
keine Lösung
2.
a)
$5$ liegt zwischen $4$ und $9$. Also liegt auch $\sqrt{5}$ zwischen $\sqrt{4}$ und $\sqrt{9}$.
$\sqrt{4}=2\;\;\;\sqrt{9}=3$
$\sqrt{5}$ liegt zwischen $2$ und $3$, etwa bei $2,2$.
Mit dem Taschenrechner ergibt sich der Wert $\sqrt{5}\approx 2,236$.
b)
$17$ liegt zwischen $16$ und $25$. Also liegt auch $\sqrt{17}$ zwischen $\sqrt{16}$ und $\sqrt{25}$.
$\sqrt{16}=4\;\;\;\sqrt{25}=5$
$\sqrt{17}$ liegt zwischen $4$ und $5$, etwa bei $4,1$.
Mit dem Taschenrechner ergibt sich der Wert $\sqrt{17}\approx 4,1231$.
c)
$20$ liegt zwischen $16$ und $25$. Also liegt auch $\sqrt{20}$ zwischen $\sqrt{16}$ und $\sqrt{25}$.
$\sqrt{16}=4\;\;\;\sqrt{25}=5$
$\sqrt{20}$ liegt zwischen $4$ und $5$, etwa bei $4,5$.
Mit dem Taschenrechner ergibt sich der Wert $\sqrt{20}\approx 4,4721$.
d)
$10$ liegt zwischen $9$ und $16$. Also liegt auch $\sqrt{10}$ zwischen $\sqrt{9}$ und $\sqrt{16}$.
$\sqrt{9}=3\;\;\;\sqrt{16}=4$
$\sqrt{10}$ liegt zwischen $3$ und $4$, etwa bei $3,1$.
Mit dem Taschenrechner ergibt sich der Wert $\sqrt{10}\approx 3,1623$.
e)
$90$ liegt zwischen $81$ und $100$. Also liegt auch $\sqrt{90}$ zwischen $\sqrt{81}$ und $\sqrt{100}$.
$\sqrt{81}=9\;\;\;\sqrt{100}=10$
$\sqrt{90}$ liegt zwischen $9$ und $10$, etwa bei $9,4$.
Mit dem Taschenrechner ergibt sich der Wert $\sqrt{90}\approx 9,4868$.
f)
$31$ liegt zwischen $25$ und $36$. Also liegt auch $\sqrt{31}$ zwischen $\sqrt{25}$ und $\sqrt{36}$.
$\sqrt{25}=5\;\;\;\sqrt{36}=6$
$\sqrt{31}$ liegt zwischen $5$ und $6$, etwa bei $5,5$.
Mit dem Taschenrechner ergibt sich der Wert $\sqrt{31}\approx 5,5678$.
g)
$55$ liegt zwischen $49$ und $64$. Also liegt auch $\sqrt{55}$ zwischen $\sqrt{49}$ und $\sqrt{64}$.
$\sqrt{49}=7\;\;\;\sqrt{64}=8$
$\sqrt{55}$ liegt zwischen $7$ und $8$, etwa bei $7,5$.
Mit dem Taschenrechner ergibt sich der Wert $\sqrt{55}\approx 7,4162$.
h)
$65$ liegt zwischen $64$ und $81$. Also liegt auch $\sqrt{65}$ zwischen $\sqrt{64}$ und $\sqrt{81}$.
$\sqrt{64}=8\;\;\;\sqrt{81}=9$
$\sqrt{65}$ liegt zwischen $8$ und $9$, etwa bei $8,1$.
Mit dem Taschenrechner ergibt sich der Wert $\sqrt{65}\approx 8,0623$.
i)
$150$ liegt zwischen $144$ und $169$. Also liegt auch $\sqrt{150}$ zwischen $\sqrt{144}$ und $\sqrt{169}$.
$\sqrt{144}=12\;\;\;\sqrt{169}=13$
$\sqrt{150}$ liegt zwischen $12$ und $13$, etwa bei $12,2$.
Mit dem Taschenrechner ergibt sich der Wert $\sqrt{150}\approx 12,2474$.
j)
$250$ liegt zwischen $225$ und $256$. Also liegt auch $\sqrt{250}$ zwischen $\sqrt{225}$ und $\sqrt{256}$.
$\sqrt{225}=15\;\;\;\sqrt{256}=16$
$\sqrt{250}$ liegt zwischen $15$ und $16$, etwa bei $15,7$.
Mit dem Taschenrechner ergibt sich der Wert $\sqrt{250}\approx 15,8114$.
k)
$3$ liegt zwischen $1$ und $4$. Also liegt auch $\sqrt{3}$ zwischen $\sqrt{1}$ und $\sqrt{4}$.
$\sqrt{1}=1\;\;\;\sqrt{4}=2$
$\sqrt{3}$ liegt zwischen $1$ und $2$, etwa bei $1,7$.
Mit dem Taschenrechner ergibt sich der Wert $\sqrt{3}\approx 1,7321$.
l)
$7$ liegt zwischen $4$ und $9$. Also liegt auch $\sqrt{7}$ zwischen $\sqrt{4}$ und $\sqrt{9}$.
$\sqrt{4}=2\;\;\;\sqrt{9}=3$
$\sqrt{7}$ liegt zwischen $2$ und $3$, etwa bei $2,7$.
Mit dem Taschenrechner ergibt sich der Wert $\sqrt{7}\approx 2,6458$.
m)
$40$ liegt zwischen $36$ und $49$. Also liegt auch $\sqrt{40}$ zwischen $\sqrt{36}$ und $\sqrt{49}$.
$\sqrt{36}=6\;\;\;\sqrt{49}=7$
$\sqrt{40}$ liegt zwischen $6$ und $7$, etwa bei $6,4$.
Mit dem Taschenrechner ergibt sich der Wert $\sqrt{40}\approx 6,3246$.
n)
$75$ liegt zwischen $64$ und $81$. Also liegt auch $\sqrt{75}$ zwischen $\sqrt{64}$ und $\sqrt{81}$.
$\sqrt{64}=8\;\;\;\sqrt{81}=9$
$\sqrt{75}$ liegt zwischen $8$ und $9$, etwa bei $8,5$.
Mit dem Taschenrechner ergibt sich der Wert $\sqrt{75}\approx 8,6603$.
o)
$35$ liegt zwischen $25$ und $36$. Also liegt auch $\sqrt{35}$ zwischen $\sqrt{25}$ und $\sqrt{36}$.
$\sqrt{25}=5\;\;\;\sqrt{36}=6$
$\sqrt{35}$ liegt zwischen $5$ und $6$, etwa bei $5,9$.
Mit dem Taschenrechner ergibt sich der Wert $\sqrt{35}\approx 5,9161$.
3.
b)
$4$
d)
$0$
f)
$5$
h)
$-5$
4.
a)
$20$ liegt zwischen $8$ und $27$. Also liegt auch $\sqrt[3]{20}$ zwischen $\sqrt[3]{8}$ und $\sqrt[3]{27}$.
$\sqrt[3]{8}=2\;\;\;\sqrt[3]{27}=3$
$\sqrt[3]{20}$ liegt zwischen $2$ und $3$, etwa bei $2,6$.
Mit dem Taschenrechner ergibt sich der Wert $\sqrt[3]{20}\approx 2,7144$.
b)
$100$ liegt zwischen $64$ und $125$. Also liegt auch $\sqrt[3]{100}$ zwischen $\sqrt[3]{64}$ und $\sqrt[3]{125}$.
$\sqrt[3]{64}=4\;\;\;\sqrt[3]{125}=5$
$\sqrt[3]{100}$ liegt zwischen $4$ und $5$, etwa bei $4,5$.
Mit dem Taschenrechner ergibt sich der Wert $\sqrt[3]{100}\approx 4,6416$.
c)
$50$ liegt zwischen $27$ und $64$. Also liegt auch $\sqrt[3]{50}$ zwischen $\sqrt[3]{27}$ und $\sqrt[3]{64}$.
$\sqrt[3]{27}=3\;\;\;\sqrt[3]{64}=4$
$\sqrt[3]{50}$ liegt zwischen $3$ und $4$, etwa bei $3,7$.
Mit dem Taschenrechner ergibt sich der Wert $\sqrt[3]{50}\approx 3,6840$.
d)
$180$ liegt zwischen $125$ und $216$. Also liegt auch $\sqrt[3]{180}$ zwischen $\sqrt[3]{125}$ und $\sqrt[3]{216}$.
$\sqrt[3]{125}=5\;\;\;\sqrt[3]{216}=6$
$\sqrt[3]{180}$ liegt zwischen $5$ und $6$, etwa bei $5,6$.
Mit dem Taschenrechner ergibt sich der Wert $\sqrt[3]{180}\approx 5,6462$.
e)
$-60$ liegt zwischen $-64$ und $-27$. Also liegt auch $\sqrt[3]{-60}$ zwischen $\sqrt[3]{-64}$ und $\sqrt[3]{-27}$.
$\sqrt[3]{-64}=-4\;\;\;\sqrt[3]{-27}=-3$
$\sqrt[3]{-60}$ liegt zwischen $-4$ und $-3$, etwa bei $-3,9$.
Mit dem Taschenrechner ergibt sich der Wert $\sqrt[3]{-60}\approx -3,9149$.
f)
$-81$ liegt zwischen $-125$ und $-64$. Also liegt auch $\sqrt[3]{-81}$ zwischen $\sqrt[3]{-125}$ und $\sqrt[3]{-64}$.
$\sqrt[3]{-125}=-5\;\;\;\sqrt[3]{-64}=-4$
$\sqrt[3]{-81}$ liegt zwischen $-5$ und $-4$, etwa bei $-4,4$.
Mit dem Taschenrechner ergibt sich der Wert $\sqrt[3]{-81}\approx -4,3267$.
g)
$900$ liegt zwischen $729$ und $1000$. Also liegt auch $\sqrt[3]{900}$ zwischen $\sqrt[3]{729}$ und $\sqrt[3]{1000}$.
$\sqrt[3]{729}=9\;\;\;\sqrt[3]{1000}=10$
$\sqrt[3]{900}$ liegt zwischen $9$ und $10$, etwa bei $9,7$.
Mit dem Taschenrechner ergibt sich der Wert $\sqrt[3]{900}\approx 9,6549$.
h)
$300$ liegt zwischen $216$ und $343$. Also liegt auch $\sqrt[3]{300}$ zwischen $\sqrt[3]{216}$ und $\sqrt[3]{343}$.
$\sqrt[3]{216}=6\;\;\;\sqrt[3]{343}=7$
$\sqrt[3]{300}$ liegt zwischen $6$ und $7$, etwa bei $6,6$.
Mit dem Taschenrechner ergibt sich der Wert $\sqrt[3]{300}\approx 6,6943$.
i)
$-11$ liegt zwischen $-27$ und $-8$. Also liegt auch $\sqrt[3]{-11}$ zwischen $\sqrt[3]{-27}$ und $\sqrt[3]{-8}$.
$\sqrt[3]{-27}=-3\;\;\;\sqrt[3]{-8}=-2$
$\sqrt[3]{-11}$ liegt zwischen $-3$ und $-2$, etwa bei $-2,2$.
Mit dem Taschenrechner ergibt sich der Wert $\sqrt[3]{-11}\approx -2,224$.
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