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Potenzen mit gleicher Basis

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

a)
Ergänze die Aufgaben. Welche Regelmäßigkeit kannst du feststellen?
$2^3 : 2^2 = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{2 \, \cdot \, 2^0 \, \cdot \, 2^0}{2^0 \, \cdot \, 2^0} = \frac{2 \cdot 1 \cdot 1}{1 \cdot 1} = 2^{3-2} = 2^1 $
$3^5 : 3^2 = \frac{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}{3 \cdot 3 } = \frac{3 \, \cdot \, 3 \, \cdot \, 3^0 \, \cdot \, 3^0 \, \cdot \, 3^0}{3^0 \, \cdot \, 3^0} = \, ? $
$4^7 : 4^4 = \frac{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4}{4 \cdot 4} = \, ?$
$5^9 : 5^5 = \, ?$
b)
Vereinfache den Term, indem du die Standardschreibweise $a\cdot b^c$ benutzt.
$4,2 \cdot 10^3 : 1,6 \cdot 10^2$
c)
Berechne den Term. Gehe dabei so ähnlich vor wie bei Aufgabenteil b).
$4 \cdot x^4 : 2 \cdot x^2$
d)
Berechne den Potenzwert.
$ \dfrac{10 \cdot a^3 \cdot 4 \cdot b^4}{5 \cdot a^2 \cdot 2 \cdot b^3}$
e)
Finde heraus, ob die Potenzwerte größer $>$, kleiner $<$ oder $=$ sind. Kannst du eine Rechenregel dazu aufstellen?
$ 225^3 : 15^3 \; $ $ \; (225 : 15)^3$
#potenzschreibweise#vorzeichenregel#potenz#potenzgesetze

Aufgabe 1

Berechne die Potenz. Beachte auch hier die Vorzeichenregel!
b)
$8^4 \cdot 8^{-9}$
d)
$6^5 \cdot 6^{-8}$
f)
$12^4 : 12^4$
h)
$7^{8} : 7^{-6}$
#potenz#potenzgesetze#vorzeichenregel

Aufgabe 2

Welche Terme haben die gleichen Ergebnisse? Bestimme die Potenz und rechne danach den Potenzwert aus.
b)
$4^8 : 4^5$
d)
$\dfrac{1}{4^3}$
f)
$4^{-7} : 4^{-4}$
h)
$\dfrac{1}{64}$
j)
$4^{7 \, - \, 4}$
l)
$\dfrac{4 \cdot 4 \cdot 4}{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4}$
#potenz#vorzeichenregel#potenzgesetze

Aufgabe 3

Fasse die Potenzen so weit wie möglich zusammen und schreibe sie in der Standardschreibweise. Gehe dabei vor wie in Aufgabenteil b) der Einführungsaufgabe.
b)
$4,5 \cdot 10^{5} \cdot 3 \cdot 10^{-8}$
d)
$2,8 \cdot 10^{-2} \cdot 8,1 \cdot 10^5$
f)
$6,7 \cdot 10^{2} : 2,5 : 10^{-6}$
h)
$7,2 \cdot 10^{-5} \cdot 4,5 : 10^{-3}$
#potenzschreibweise#potenzgesetze#vorzeichenregel#potenz

Aufgabe 4

Berechne Terme mit einer Variable genau so, wie du es in der Einführungsaufgabe gelernt hast.
b)
$24s^5 : 8s^7$
d)
$121v^6 : 11v^{-4}$
f)
$54t^{-8} : 6t^{-3}$
h)
$72u^{-10} : 24u^{4}$
#potenzgesetze#potenz#vorzeichenregel

Aufgabe 5

Fasse die Potenzen, die die gleiche Basis haben, zusammen und kürze. Welche Regelmäßigkeit kannst du dabei feststellen?
b)
$\dfrac{6s^5 \cdot 18t^3 \cdot 36s^6}{12s^2 \cdot 9t^4}$
d)
$\dfrac{55u^3 \cdot 7,5v^7 \cdot 6v^3}{15u^5 \cdot 30u^2 \cdot 1,5v^4}$
f)
$\dfrac{42n^{-5} \cdot 17m^7 \cdot 80n^8}{14n^33 \cdot 16n^4 \cdot 17m^{-6}}$
#brüchekürzen#potenz#potenzgesetze

Aufgabe 6

Finde heraus, ob die Werte größer $>$, kleiner $<$, oder gleich $=$ sind.
b)
$196^2 : 14^2 \;$ $ \; (196:14)^2$
d)
$12^{-2} : 6^2 \;$ $ \; 12^2 : 6^{-2} $
#potenzgesetze#potenz
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$  Rechnung ergänzen
Tipp
Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert.
$x^y \cdot x^z \, = \, x^{y \, + \, z}$
Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert.
$x^y : x^z \, = \, x^{y \, - \, z}$
Tipp
Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert.
$x^y \cdot x^z \, = \, x^{y \, + \, z}$
Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert.
$x^y : x^z \, = \, x^{y \, - \, z}$
$2^2 \cdot 2^3 = (2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2) = 2^{2 \, + \, 3} =2^5 $
$3^4 \cdot 3^5 = (3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3) = 3^{4 \, + \, 5} = 3^9 $
$4^6 \cdot 4^7 = (4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4) \, \cdot \, (4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4) = 4^{6 \, + \, 7} = 4^{13} $
$5^7 \cdot 5^8 = (5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5) \cdot (5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5) = 5^{7+8} = 5^{15}$
$2^3 : 2^2 = \frac{2 \, \cdot \, 2 \, \cdot \, 2}{2 \, \cdot \, 2} = \frac{2 \, \cdot \, 2^0 \, \cdot \, 2^0}{2^0 \, \cdot \, 2^0} = \frac{2 \, \cdot \, 1 \, \cdot \, 1}{1 \, \cdot \, 1} = 2^{3-2} = 2^1 $
$3^5 : 3^2 = \frac{3 \, \cdot \, 3 \, \cdot \, 3 \, \cdot \, 3 \, \cdot \, 3}{3 \, \cdot \, 3 } = \frac{3 \, \cdot \, 3 \, \cdot \, 3^0 \, \cdot \, 3^0 \, \cdot \, 3^0}{3^0 \, \cdot \, 3^0} = \frac{9 \, \cdot \, 1 \, \cdot \, 1 \, \cdot \, 1}{1 \, \cdot \, 1} = 3^{5 \, - \, 2} = 3^3 $
$4^7 : 4^4 = \frac{4 \, \cdot \, 4 \, \cdot \, 4 \, \cdot \, 4 \, \cdot \, 4 \, \cdot \, 4 \, \cdot \, 4}{4 \, \cdot \, 4 \, \cdot \, 4 \, \cdot \, 4} = \frac{4 \, \cdot \, 4 \, \cdot \, 4 \, \cdot \, 4^0 \, \cdot \, 4^0 \, \cdot \, 4^0 \, \cdot \, 4^0}{4^0 \, \cdot \, 4^0 \, \cdot \, 4^0 \, \cdot \, 4^0} = \frac{64 \, \cdot \, 1 \, \cdot \, 1 \, \cdot \, 1 \, \cdot \, 1}{1 \, \cdot \, 1 \, \cdot \, 1 \, \cdot \, 1} = 4^{7 \, - \, 4} = 4^3$
$5^9 : 5^5 = \frac{5 \, \cdot \, 5 \, \cdot \, 5 \, \cdot \, 5 \, \cdot \, 5 \, \cdot \, 5 \, \cdot \, 5 \, \cdot \, 5 \, \cdot \, 5}{5 \, \cdot \, 5 \, \cdot \, 5 \, \cdot \, 5 \, \cdot \, 5} = \frac{5 \, \cdot \, 5 \, \cdot \, 5 \, \cdot \, 5 \, \cdot \, 5^0 \, \cdot \, 5^0 \, \cdot \, 5^0 \, \cdot \, 5^0 \, \cdot \, 5^0}{5^0 \, \cdot \, 5^0 \, \cdot \, 5^0 \, \cdot \, 5^0 \, \cdot \, 5^0} = \frac{625 \, \cdot \, 1 \, \cdot \, 1 \, \cdot \, 1 \, \cdot \, 1 \, \cdot 1}{1 \, \cdot \, 1 \, \cdot \, 1 \, \cdot \, 1\, \cdot \, 1} = 5^{9 \, - \, 5} = 5^4 $
b)
$\blacktriangleright$  Term vereinfachen
Die Standardschreibweise kennst du schon aus Klasse 9 aus dem Thema "Zehnerpotenz". Sie hat die Form $a \cdot b^c$. Um den Term in diese Form zu bringen, kannst du ihn zuerst in Klammern schreiben. Jetzt fasst du die Potenzen mit gleicher Basis zusammen und schreibst sie in einer Klammer. Da die Potenzen eine gleiche Basis haben, kannst du sie miteinander dividieren, indem du die Exponenten voneinander subtrahierst. Dividiere die Dezimalzahlen miteinander. Dann hast du den Term in die Standardschreibweise gebracht.
$\begin{array}[t]{rll} 4,2 \cdot 10^3 : 1,6 \cdot 10^2 &=& (4,2 : 1,6) \cdot (10^3 \cdot 10^2) &\quad \\[5pt] &=& 2,625 \cdot 10^{3 \, + \, 2} &\quad \\[5pt] &=& 2,625 \cdot 10^5 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
c)
$\blacktriangleright$  Term berechnen
Um den Term in diese Form zu berechnen, kannst du ihn zuerst in Klammern schreiben. Jetzt fasst du die Potenzen mit gleicher Basis zusammen und schreibst sie in einer Klammer. Berechne die linke Klammer. Da die Potenzen eine gleiche Basis haben, kannst du sie miteinander dividieren, indem du die Exponenten voneinander subtrahierst. Danach kannst du den Term berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} 4x^4 : 2x^2 &=& (4 : 2) \cdot (x^4 : x^2) &\quad \\[5pt] &=& 2 \cdot x^{4-2} &\quad \\[5pt] &=& 2 \cdot x^2 &\quad \\[5pt] &=& 2 x^2 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
d)
$\blacktriangleright$  Potenzwert berechnen
Ordne zuerst die Zahlen und die Variablen. So kannst du leichter kürzen. Es gelten die selben Regeln wie beim regulären Brüche kürzen. Hier gilt:
$\dfrac{x^8}{y^6} = \dfrac{x^2}{y^0} = \dfrac{x^2}{1} = x^2$
$\dfrac{x^8}{y^6} = \dfrac{x^2}{y^0} = \dfrac{x^2}{1} = x^2$
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{10 \cdot a^3 \cdot 4 \cdot b^4}{5 \cdot a^2 \cdot 2 \cdot b^3} &=& \dfrac{10 \cdot 4 \cdot a^3 \cdot b^4}{5 \cdot 2 \cdot a^2 \cdot b^3} &\quad \\[5pt] &=& \dfrac{2 \cdot 2 \cdot a^1 \cdot b^1}{1 \cdot 1 \cdot a^0 \cdot b^0} &\quad \\[5pt] &=& \dfrac{2 \cdot 2 \cdot a \cdot b}{1 \cdot 1} &\quad \\[5pt] &=& 4 \cdot a \cdot b &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
e)
$\blacktriangleright$  $<,> \text{oder} =?$
Beim Rechnen der Aufgabe kannst du immer gleich vorgehen. Dabei fällt dir auf, dass die Exponenten in der Teilaufgabe auf beiden Seiten gleich sind. Die Potenzwerte sind auch gleich! Es gilt also: $x^s : y^s = (x : y)^s$.
$ 225^3 : 15^3 \; $ $ \; (225 : 15)^3$
$ $
$ 11.390.625 : 3.375 \; $ $ \; (15)^3 $
$ $
$ 3.375 \;$ $=$$ \; 3.375 $
$ ERGEBNIS $

Aufgabe 1

Verfahre genau so wie du es in der Einführungsaufgabe gelernt hast.
a)
$\blacktriangleright$  Potenz berechnen
$\begin{array}[t]{rll} 4^3 \cdot 4^6&=& 4^{3 \, + \, 6} &\quad \\[5pt] &=& 4^9 \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$  Potenz berechnen
$\begin{array}[t]{rll} 8^4 \cdot 8^{-9} &=& 8^{4 \, + \, (-9)} &\quad \\[5pt] &=& 4^{-5} \end{array}$
c)
$\blacktriangleright$  Potenz berechnen
$\begin{array}[t]{rll} 5^{-2} \cdot 5^7 &=& 5^{-2 \, + \, 7} &\quad \\[5pt] &=& 5^{5} \end{array}$
d)
$\blacktriangleright$  Potenz berechnen
$\begin{array}[t]{rll} 6^5 \cdot 6^{-8} &=& 6^{5 \, + \, (-8)} &\quad \\[5pt] &=& 6^{-3} \end{array}$
e)
$\blacktriangleright$  Potenz berechnen
$\begin{array}[t]{rll} 2^{10} : 2^8 &=& 2^{10 \, - \, 8} &\quad \\[5pt] &=& 2^{2} \end{array}$
f)
$\blacktriangleright$  Potenz berechnen
$\begin{array}[t]{rll} 12^4 : 12^4 &=& 12^{4 \, - \, 4} &\quad \\[5pt] &=& 12^{0} \end{array}$
g)
$\blacktriangleright$  Potenz berechnen
$\begin{array}[t]{rll} 18^{-14} : 18^{-10} &=& 18^{-14 \, - \, (-10)} &\quad \\[5pt] &=& 18^{-4} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
h)
$\blacktriangleright$  Potenz berechnen
$\begin{array}[t]{rll} 7^{8} : 7^{-6} &=& 7^{8 \, - \, (-6)} &\quad \\[5pt] &=& 7^{14} \end{array}$

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Potenz bestimmen und Potenzwert berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4}{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4} &=& 4 \cdot 4 \cdot 4 &\quad \\[5pt] &=& 4^3 &\quad \\[5pt] &=& 64 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
b)
$\blacktriangleright$  Potenz bestimmen und Potenzwert berechnen
$\begin{array}[t]{rll} 4^8 : 4^5 &=& 4^{8-5} &\quad \\[5pt] &=& 4^3 &\quad \\[5pt] &=& 64 \end{array}$
c)
$\blacktriangleright$  Potenz bestimmen und Potenzwert berechnen
$\begin{array}[t]{rll} 4^4 : 4^7 &=& 4^{4-7} &\quad \\[5pt] &=& 4^{-3} &\quad \\[5pt] &=& \dfrac{1}{64} \end{array}$
d)
$\blacktriangleright$  Potenz bestimmen und Potenzwert berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1}{4^3} &=& \dfrac{1}{64} \end{array}$
e)
$\blacktriangleright$  Potenz bestimmen und Potenzwert berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{4^5}{4^3 \cdot 4^5} &=& \dfrac{1}{4^3} &\quad \\[5pt] &=& \dfrac{1}{64} \end{array}$
f)
$\blacktriangleright$  Potenz bestimmen und Potenzwert berechnen
$\begin{array}[t]{rll} 4^{-7} : 4^{-4} &=& 4^{-7 \, - \, (-4)} &\quad \\[5pt] &=& 4^{-3} &\quad \\[5pt] &=& \dfrac{1}{64} \end{array}$
g)
$\blacktriangleright$  Potenz bestimmen und Potenzwert berechnen
$\begin{array}[t]{rll} 64 &=& 64 \end{array}$
h)
$\blacktriangleright$  Potenz bestimmen und Potenzwert berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1}{64} &=& \dfrac{1}{64} \end{array}$
i)
$\blacktriangleright$  Potenz bestimmen und Potenzwert berechnen
$\begin{array}[t]{rll} 4^{7} : 4^{-4} &=& 4^{7 \, - \, (-4)} &\quad \\[5pt] &=& 4^{11} &\quad \\[5pt] &=& 4.194.304 \end{array}$
j)
$\blacktriangleright$  Potenz bestimmen und Potenzwert berechnen
$\begin{array}[t]{rll} 4^{7 \, - \, 4} &=& 4^3 &\quad \\[5pt] &=& 64 \end{array}$
k)
$\blacktriangleright$  Potenz bestimmen und Potenzwert berechnen
$\begin{array}[t]{rll} 4^{7} : 4^{4} &=& 4^{7 - 4} &\quad \\[5pt] &=& 4^3 &\quad \\[5pt] &=& 64 \end{array}$
l)
$\blacktriangleright$  Potenz bestimmen und Potenzwert berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{4 \cdot 4 \cdot 4}{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4} &=& \dfrac{1}{4 \cdot 4 \cdot 4} &\quad \\[5pt] &=& \dfrac{1}{64} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Terme aus a), b), g), j), und k) haben alle das Ergebnis $64$. Die Terme aus c), d), e), f), h) und l) haben alle das gleiche Ergebnis $\frac{1}{64}$. Das Ergebnis aus Term i) $ 4.194.304$ gibt es nur ein Mal.

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$  Standardschreibweise anwenden
$\begin{array}[t]{rll} 3,4 \cdot 10^2 \cdot 2 \cdot 10^3 &=& (3,4 \cdot 2) \cdot \left(10^2 \cdot 10^3\right) &\quad \\[5pt] &=& 6,8 \cdot \left(10^{2+3}\right) &\quad \\[5pt] &=& 6,8 \cdot 10^5 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
b)
$\blacktriangleright$  Standardschreibweise anwenden
$\begin{array}[t]{rll} 4,5 \cdot 10^{5} \cdot 3 \cdot 10^{-8} &=& (4,5 \cdot 3) \cdot \left(10^5 \cdot 10^{-8}\right) &\quad \\[5pt] &=& 13,5 \cdot \left(10^{5\, + \, (-8)}\right) &\quad \\[5pt] &=& 13,5\cdot 10^{-3} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
c)
$\blacktriangleright$  Standardschreibweise anwenden
$\begin{array}[t]{rll} 1,2 \cdot 10^{-6} \cdot 2 \cdot 10^{-4} &=& (1,2 \cdot 2) \cdot \left(10^{-6} \cdot 10^{-4}\right) &\quad \\[5pt] &=& 2,4 \cdot \left(10^{-6 \, + \, (-8)}\right) &\quad \\[5pt] &=& 2,4 \cdot 10^{-14} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
d)
$\blacktriangleright$  Standardschreibweise anwenden
$\begin{array}[t]{rll} 2,8 \cdot 10^{-2} \cdot 8,1 \cdot 10^5 &=& (2,8 \cdot 8,1) \cdot \left(10^{-2} \cdot 10^{5}\right) &\quad \\[5pt] &=& 22,68 \cdot \left(10^{-2 \, + \, 5}\right) &\quad \\[5pt] &=& 22,68 \cdot 10^{3} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
e)
$\blacktriangleright$  Standardschreibweise anwenden
$\begin{array}[t]{rll} 5,6 \cdot 10^{-3} : 5 : 10^{7} &=& (5,6 : 5) \cdot \left(10^{-3} : 10^{7}\right) &\quad \\[5pt] &=& 1,12 \cdot \left(10^{-3 \, - \, 7}\right) &\quad \\[5pt] &=& 1,12 \cdot 10^{-10} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
f)
$\blacktriangleright$  Standardschreibweise anwenden
$\begin{array}[t]{rll} 6,7 \cdot 10^{2} : 2,5 : 10^{-6} &=& (6,7 : 2,5) \cdot \left(10^{2} : 10^{-6}\right) &\quad \\[5pt] &=& 2,68 \cdot \left(10^{2 \, - \, (-6)}\right) &\quad \\[5pt] &=& 2,68 \cdot 10^{8} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
g)
$\blacktriangleright$  Standardschreibweise anwenden
$\begin{array}[t]{rll} 9,5 \cdot 10^4 : 5 \cdot 10^{7} &=& (9,5 : 5) \cdot \left(10^{4} \cdot 10^{7}\right) &\quad \\[5pt] &=& 1,9 \cdot \left(10^{4 \, + \, 7}\right) &\quad \\[5pt] &=& 1,9 \cdot 10^{11} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
h)
$\blacktriangleright$  Standardschreibweise anwenden
$\begin{array}[t]{rll} 7,2 \cdot 10^{-5} \cdot 4,5 : 10^{-3} &=& (7,2 \cdot 4,5) \cdot \left(10^{-5} : 10^{-3}\right) &\quad \\[5pt] &=& 1,6 \cdot \left(10^{-5 \, + \, (-3)}\right) &\quad \\[5pt] &=& 1,6 \cdot 10^{-8} \end{array}$
$ ERGEBNIS $

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} 14x^{-3} : 7x^{3} &=& (14 : 7) \cdot \left(x^{-3} : x^{3}\right) &\quad \\[5pt] &=& 2 \cdot \left(x^{-3 \, - \, 3}\right) &\quad \\[5pt] &=& 2 \cdot x^{-6} &\quad \\[5pt] &=& 2 x^{-6} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
b)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} 24s^5 : 8s^7 &=& (24 : 8) \cdot \left(s^{5} : s^{7}\right) &\quad \\[5pt] &=& 4 \cdot \left(s^{5 \, - \, 7}\right) &\quad \\[5pt] &=& 4 \cdot s^{-2} &\quad \\[5pt] &=& 4 s^{-2} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
c)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} 36y^{5} : 12y^{-2} &=& (36 : 12) \cdot \left(y^{5} : y^{-2}\right) &\quad \\[5pt] &=& 3 \cdot \left(y^{5 \, - \, (-2)}\right) &\quad \\[5pt] &=& 3 \cdot y^{7} &\quad \\[5pt] &=& 3 y^{7} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
d)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} 121v^6 : 11v^{-4} &=& (121 : 11) \cdot \left(v^{6} : v^{-4}\right) &\quad \\[5pt] &=& 11 \cdot \left(v^{6 \, - \, (-4)}\right) &\quad \\[5pt] &=& 11 \cdot v^{10} &\quad \\[5pt] &=& 11 v^{10} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
e)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} 81m^{-9} : 3m^{-10} &=& (81 : 3) \cdot \left(m^{-9} : m^{-10}\right) &\quad \\[5pt] &=& 27 \cdot \left(m^{-9 \, - \, (-10)}\right) &\quad \\[5pt] &=& 27 \cdot m^{1} &\quad \\[5pt] &=& 27 m^{1} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
f)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} 54t^{-8} : 6t^{-3} &=& (54 : 6) \cdot \left(t^{-8} : t^{-3}\right) &\quad \\[5pt] &=& 8 \cdot \left(t^{-8 \, - \, (-3)}\right) &\quad \\[5pt] &=& 8 \cdot t^{-5} &\quad \\[5pt] &=& 8 t^{-5} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
g)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} 225z^{8} : 15z^{9} &=& (225 : 15) \cdot \left(z^{8} : z^{9}\right) &\quad \\[5pt] &=& 15 \cdot \left(z^{8 \, - \, 9}\right) &\quad \\[5pt] &=& 15 \cdot z^{-1} &\quad \\[5pt] &=& 15 z^{-1} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
h)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} 72u^{-10} : 24u^{4} &=& (72 : 24) \cdot \left(u^{-10} : u^{4}\right) &\quad \\[5pt] &=& 3 \cdot \left(u^{-10 \, - \, 4}\right) &\quad \\[5pt] &=& 3 \cdot u^{-14} &\quad \\[5pt] &=& 3 u^{-14} \end{array}$
$ ERGEBNIS $

Aufgabe 5

Um den Term zusammenfassen zu können, kann es hilfreich sein, zuerst die Zahlen und Variablen mit dem Exponenten zu trennen. Da im Zähler und im Nenner alle Zahlen und Variablen durch ein Malzeichen miteinander verbunden sind, ist dies möglich! Dann sortierst du die Zahlen und die Variablen mit dem Exponenten im Zähler und im Nenner. So kannst du den Bruch einfacher kürzen.
Tipp
$\frac{x^5}{x^3} = \frac{x^2}{x^0} = x^2$
Tipp
$\frac{x^5}{x^3} = \frac{x^2}{x^0} = x^2$
a)
$\blacktriangleright$  Term zusammenfassen und kürzen
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{14x^3 \cdot 18y^4}{10x^2 \cdot 12y^3} &=& \dfrac{14 \cdot 18 \cdot x^3 \cdot y^4}{10 \cdot 12 \cdot x^2 \cdot y^3} &\quad \\[5pt] &=& \dfrac{7 \cdot 9 \cdot x \cdot y}{5 \cdot 6 \cdot x^0 \cdot y^0} &\quad \\[5pt] &=& \dfrac{7 \cdot 3 \cdot x \cdot y}{5 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1} &\quad \\[5pt] &=& \dfrac{21 \cdot xy}{10} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
b)
$\blacktriangleright$  Term zusammenfassen und kürzen
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{6s^5 \cdot 18t^3 \cdot 36s^6}{12s^2 \cdot 9t^4} &=& \dfrac{6 \cdot 18 \cdot 36 \cdot s^5 \cdot t^3 \cdot s^6}{12 \cdot 9 \cdot s^2 \cdot t^4}&\quad \\[5pt] &=& \dfrac{ 2 \cdot 36 \cdot s^3 \cdot t^0 \cdot s^6}{2 \cdot s^0 \cdot t}&\quad \\[5pt] &=& \dfrac{36 \cdot s^3 \cdot 1 \cdot s^6}{1 \cdot t}&\quad \\[5pt] &=& \dfrac{36 \cdot s^{3 \, + \, 6}}{t}&\quad \\[5pt] &=& \dfrac{36 \cdot s^9}{t} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
c)
$\blacktriangleright$  Term zusammenfassen und kürzen
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{49b^{14} \cdot 7,2a^{10} \cdot 12a^7}{2,4a^{18} \cdot 7b^8 \cdot 98b^3} &=& \dfrac{49 \cdot 7,2 \cdot 12 \cdot a^{10} \cdot a^7 \cdot b^{14}}{2,4 \cdot 7 \cdot 98 \cdot a^{18} \cdot b^8 \cdot b^3}&\quad \\[5pt] &=& \dfrac{7 \cdot 3 \cdot 6 \cdot a^0 \cdot a^7 \cdot b^6}{1 \cdot 1 \cdot 49 \cdot a^8 \cdot b^0 \cdot b^3}&\quad \\[5pt] &=& \dfrac{1 \cdot 3 \cdot 6 \cdot 1 \cdot a^0 \cdot b^3}{7 \cdot a \cdot 1 \cdot b^0}&\quad \\[5pt] &=& \dfrac{18 \cdot 1 \cdot b^3}{7 \cdot a \cdot 1}&\quad \\[5pt] &=& \dfrac{18 \cdot b^3}{7 \cdot a} &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
d)
$\blacktriangleright$  Term zusammenfassen und kürzen
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{55u^3 \cdot 7,5v^7 \cdot 6v^3}{15u^5 \cdot 30u^2 \cdot 1,5v^4} &=& \dfrac{55 \cdot 7,5 \cdot 6 \cdot u^3 \cdot v^7 \cdot v^3}{15 \cdot 30 \cdot 1,5 \cdot u^5 \cdot u^2 \cdot v^4} &\quad \\[5pt] &=& \dfrac{11 \cdot 1 \cdot 4 \cdot u^0 \cdot v^7 \cdot v^0}{3 \cdot 4 \cdot 1 \cdot u^2 \cdot u^2 \cdot v} &\quad \\[5pt] &=& \dfrac{11 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot v^6 \cdot 1}{3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot u^{2+2} \cdot v^0} &\quad \\[5pt] &=& \dfrac{11 \cdot v^6}{3 \cdot u^4 \cdot 1} &\quad \\[5pt] &=& \dfrac{11 \cdot v^6}{3 \cdot u^4} &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
e)
$\blacktriangleright$  Term zusammenfassen und kürzen
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{24c^5 \cdot 32c^{-4} \cdot 48d^5}{16c^{-2} \cdot 12d^{-3} \cdot 6d^6}&=& \dfrac{24 \cdot 32 \cdot 48 \cdot c^5 \cdot c^{-4} \cdot d^5}{16 \cdot 12 \cdot 6 \cdot c^{-2} \cdot d^{-3} d^6} &\quad \\[5pt] &=& \dfrac{2 \cdot 2 \cdot 8 \cdot c^7 \cdot c^{-4} \cdot d^8}{1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot c^0 \cdot d^0 \cdot d^6} &\quad \\[5pt] &=& \dfrac{32 \cdot c^{7-4} \cdot d^2 }{1 \cdot 1 \cdot d^0} &\quad \\[5pt] &=& \dfrac{32 \cdot c^3 \cdot d^2}{1} &\quad \\[5pt] &=& 32 \cdot c^3 \cdot d^2 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
f)
$\blacktriangleright$  Term zusammenfassen und kürzen
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{42n^{-5} \cdot 17m^7 \cdot 80n^8}{14n^3 \cdot 16n^4 \cdot 17m^{-6}} &=& \dfrac{3 \cdot 1 \cdot 5 \cdot n^{-8} \cdot m^{13} \cdot n^4}{1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot n^0 \cdot n^0 \cdot m^0} &\quad \\[5pt] &=& \dfrac{3 \cdot 5 \cdot n^{-8} \cdot m^{13} \cdot n^4}{1 \cdot 1 \cdot 1} &\quad \\[5pt] &=& 15 \cdot n^{(-8 \, + \, 4)} \cdot m^{13} &\quad \\[5pt] &=& 15 \cdot n^{-4} \dot m^{13} &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $

Aufgabe 6

a)
$\blacktriangleright$  $<,> \text{oder} =?$
$ (5:4)^2 \; $ $ \; 4^2 : 5^2$
$ $
$ \left(\frac{5}{4}\right)^2 \;$ $ \; 16 : 25$
$ $
$ \frac{25}{16} \;$ $>$$ \; \frac{16}{25} $
b)
$\blacktriangleright$  $<,> \text{oder} =?$
$196^2 : 14^2 \;$ $ \; (196:14)^2$
$ $
$ 38.416 : 196 \;$ $ \; (14)^2$
$ $
$ 196 \;$ $=$$ \; 196 $
c)
$\blacktriangleright$  $<,> \text{oder} =?$
$ 5 \cdot (18:9)^2 \; $ $ \; 5 \cdot 18^2 : 9^2$
$ $
$ 5 \cdot (2)^2 \; $ $ \; 1.620 : 81 $
$ $
$ 20 \;$ $=$$ \; 20 $
d)
$\blacktriangleright$  $<,> \text{oder} =?$
$ 12^{-2} : 6^2 \;$ $ \; 12^2 : 6^{-2}$
$ $
$ \frac{1}{144} : 36 \; $ $ \; 144 : \frac{1}{36} $
$ $
$ \frac{1}{5.184} \;$ $<$$ \; 5.184 $
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