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Potenzen mit gleichem Exponenten

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

a)
Erkläre die Regel für das Multiplizieren und Dividieren von Potenzen mit gleichem Exponenten. Orientiere dich hierfür an den Beispielen.
$ 2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (3 \cdot 3 \cdot 3) = (2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 3) = (2 \cdot 3)^3 = 6^3 $
$ 4^4 \cdot 5^4 = (4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4) \cdot (5 \cdot 5 \cdot 5\cdot 5) = (4 \cdot 5) \cdot (4 \cdot 5) \cdot (4 \cdot 5) \cdot (4 \cdot 5) = (4 \cdot 5)^4 = 20^4 $
$ 2^{-2} \cdot 6^{-2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{(2 \, \cdot \, 6)^2} = (2 \cdot 6)^{-2} = 12^{-2} $
$ 10^2 : 5^2 = \frac{10 \, \cdot \, 10}{5 \, \cdot \, 5} = \frac{10}{5} \cdot \frac{10}{5} = \left(\frac{10}{5}\right)^2 = 2^2 $
$ 4^3 : 9^3 = \frac{4 \, \cdot \, 4 \, \cdot \, 4}{9 \, \cdot \, 9 \, \cdot \, 9} = \frac{4}{9} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{4}{9}= \left(\frac{4}{9}\right)^3 $
$ 21^{-2} : 7^{-2} = (21 : 7)^{-2} = 3^{-2} $
b)
Berechne die folgenden Terme. Benutze dafür die Regel, die du in Aufgabenteil a) aufgestellt hast.
(2)
$9^2 : 3^2$
c)
Vervollständige die Rechnungen.
$ x \cdot 3^2 \cdot x \cdot 4^2 = (3 \cdot 2)^2 \cdot x^{1 \, + \, 1} = \, ? $
$ 8x^2 : 4y^2 = (8 : 4) \cdot (x : y)^2 = \, ? $
#potenzgesetze#potenz

Aufgabe 1

Vereinfache die Terme und runde gegebenenfalls auf die zweite Nachkommastelle.
b)
$6^7 \cdot 4^7$
d)
$3^9 \cdot 2^9$
f)
$0,75^5 \cdot 5^5$
h)
$49^4 : 7^4$
j)
$81^6 : 3^6$
l)
$ 32^{-3} : 1,6^{-3} $
#potenz#potenzgesetze

Aufgabe 2

Schreibe als Potenz und berechne im Kopf.
b)
$10^3 \cdot 0,01^3 $
d)
$6^2 \cdot 0,3^2 $
f)
$0,1^3 \cdot 7^3 $
h)
$40^4 : 10^4 $
j)
$0,2^2 : 4^2 $
l)
$ 15,6^2 : 3^2 $
#potenz#potenzgesetze

Aufgabe 3

Ermittle das Ergebnis. Beachte alle Rechengesetze.
b)
$ d^{-5} \cdot 5^6 \cdot 2^6 \cdot d^7 $
d)
$ 6^{10} \cdot 5^4 \cdot 6^{-9} \cdot 2^4 \cdot 6^2 $
f)
$ 5^{-3} \cdot 3^6 \cdot 3^{-5} \cdot 0,2^{-3} \cdot 3^7 $
h)
$ 8^{32} \cdot q^{14} \cdot 8^{-27} \cdot p^{14} \cdot 8^{-5} $
#potenzgesetze#potenz

Aufgabe 4

Berechne die Terme. Beachte dabei die Rechengesetze für die Division von Potenzen.
b)
$27x^5 : 9w^5$
d)
$ (4^3 \cdot y^{-4}) : (4^{-3} \cdot z^{-4})$
f)
$ (24^2 \cdot s^2 ) : 24t^2$
#potenz#potenzgesetze

Aufgabe 5

Potenzen und Wurzeln: Potenzen mit gleichem Exponenten
Abb. 1: Würfelförmiges Gebäude
Potenzen und Wurzeln: Potenzen mit gleichem Exponenten
Abb. 1: Würfelförmiges Gebäude
#potenz#potenzgesetze
Bildnachweise [nach oben]
[1]
https://goo.gl/B27Ea9; IMG_0320, Thomas Cloer, CC BY-SA.
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$  Rechenregel aufstellen
Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert. Der Exponent wird beibehalten.
$x^c \cdot y^c = (x \cdot y)^c$
Potenzen mit gleichem Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert. Der Exponent wird beibehalten.
$x^c : y^c = (x : y)^c $
Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert. Der Exponent wird beibehalten.
$x^c \cdot y^c = (x \cdot y)^c$
Potenzen mit gleichem Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert. Der Exponent wird beibehalten.
$x^c : y^c = (x : y)^c $
b)
$\blacktriangleright$  Term berechnen
(1)
$\begin{array}[t]{rll} 3^3 \cdot 4^3 &=& (3 \cdot 4)^3 &\quad \\[5pt] &=& 12^3 &\quad \\[5pt] &=& 1.728 \end{array}$
(2)
$\begin{array}[t]{rll} 9^2 : 3^2 &=& (9 : 3)^2 &\quad \\[5pt] &=& 3^2 &\quad \\[5pt] &=& 9 \end{array}$
c)
$\blacktriangleright$  Rechnung vervollständigen
$ x \cdot 3^2 \cdot x \cdot 4^2 = (3 \cdot 2)^2 \cdot x^{1 \, + \, 1} = 6^2 \cdot x^2 = 36 \cdot x^2 $
$ ERGEBNIS $
$ 8x^2 : 4y^2 = (8 : 4) \cdot (x : y)^2 = 2 \cdot (x:y)^2 $
$ ERGEBNIS $

Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Term vereinfachen
$\begin{array}[t]{rll} 5^3 \cdot 7^3 &=& (5 \cdot 7)^3 &\quad \\[5pt] &=&35^3 &\quad \\[5pt] &=&42.875 \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$  Term vereinfachen
$\begin{array}[t]{rll} 6^7 \cdot 4^7 &=& (6 \cdot 4)^7 &\quad \\[5pt] &=&24^7 &\quad \\[5pt] &=& 4.586.471.424 \end{array}$
c)
$\blacktriangleright$  Term vereinfachen
$\begin{array}[t]{rll} 0,4^8 \cdot 4^8 &=& (0,4 \cdot 4)^8 &\quad \\[5pt] &=&1,6^8 &\quad \\[5pt] &\approx& 42,95 \end{array}$
d)
$\blacktriangleright$  Term vereinfachen
$\begin{array}[t]{rll} 3^9 \cdot 2^9 &=& (3 \cdot 2)^9 &\quad \\[5pt] &=&6^9 &\quad \\[5pt] &=& 10.077.696 \end{array}$
e)
$\blacktriangleright$  Term vereinfachen
$\begin{array}[t]{rll} 4^{-3} \cdot 7^{-3} &=& (4 \cdot 7)^{-3} &\quad \\[5pt] &=&28^{-3} &\quad \\[5pt] &=&\dfrac{1}{21.952} &\quad \\[5pt] &\approx& 0,00 \end{array}$
f)
$\blacktriangleright$  Term vereinfachen
$\begin{array}[t]{rll} 0,75^5 \cdot 5^5 &=& (0,75 \cdot 5)^5 &\quad \\[5pt] &=&3,75^5 &\quad \\[5pt] &\approx& 741,58 \end{array}$
g)
$\blacktriangleright$  Term vereinfachen
$\begin{array}[t]{rll} 20^5 : 10^5 &=& (20 : 5)^{5} &\quad \\[5pt] &=&4^{5} &\quad \\[5pt] &=& 1.024 \end{array}$
h)
$\blacktriangleright$  Term vereinfachen
$\begin{array}[t]{rll} 49^4 : 7^4 &=& (49: 7)^4 &\quad \\[5pt] &=&7^4 &\quad \\[5pt] &=& 2.401 \end{array}$
i)
$\blacktriangleright$  Term vereinfachen
$\begin{array}[t]{rll} 0,8^{-7} : 4^{-7} &=& (0,8 : 4)^{-7} &\quad \\[5pt] &=&0,2^{-7} &\quad \\[5pt] &=& 78.125 \end{array}$
j)
$\blacktriangleright$  Term vereinfachen
$\begin{array}[t]{rll} 81^6 : 3^6 &=& (81 : 3)^6 &\quad \\[5pt] &=&27^4 &\quad \\[5pt] &=& 531.441 \end{array}$
k)
$\blacktriangleright$  Term vereinfachen
$\begin{array}[t]{rll} 4,8^3 : 2,4^3 &=& (4,8 : 2,4)^{3} &\quad \\[5pt] &=&2^{3} &\quad \\[5pt] &=& 8 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
l)
$\blacktriangleright$  Term vereinfachen
$\begin{array}[t]{rll} 32^{-3} : 1,6^{-3} &=& (32 : 1,6)^{-3} &\quad \\[5pt] &=&20^{-3} &\quad \\[5pt] &=&\dfrac{1}{8000} &\quad \\[5pt] &\approx& 0,00 \end{array}$
$ ERGEBNIS $

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Als Potenz schreiben und ausrechnen
$\begin{array}[t]{rll} 3^2 \cdot 4^2 &=& (3 \cdot 4)^2 &\quad \\[5pt] &=& 12^2 &\quad \\[5pt] &=& 144 \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$  Als Potenz schreiben und ausrechnen
$\begin{array}[t]{rll} 10^3 \cdot 0,01^3 &=& (10 \cdot 0,01)^3 &\quad \\[5pt] &=& \left(\dfrac{1}{10}\right)^3 &\quad \\[5pt] &=& \dfrac{1}{1.000} \end{array}$
c)
$\blacktriangleright$  Als Potenz schreiben und ausrechnen
$\begin{array}[t]{rll} 0,25^8 \cdot 4^8 &=& (0,25 \cdot 4)^8 &\quad \\[5pt] &=& 1^8 &\quad \\[5pt] &=& 1 \end{array}$
d)
$\blacktriangleright$  Als Potenz schreiben und ausrechnen
$\begin{array}[t]{rll} 6^2 \cdot 0,3^2 &=& (6 \cdot 0,3)^2 &\quad \\[5pt] &=& 1,8^2 &\quad \\[5pt] &=& 3,24 \end{array}$
e)
$\blacktriangleright$  Als Potenz schreiben und ausrechnen
$\begin{array}[t]{rll} 1,8^3 \cdot 2^3 &=& (1,8 \cdot 2)^3 &\quad \\[5pt] &=& 3,6^3 &\quad \\[5pt] &=& 46,656 \end{array}$
f)
$\blacktriangleright$  Als Potenz schreiben und ausrechnen
$\begin{array}[t]{rll} 0,1^3 \cdot 7^3 &=& (0,1 \cdot 7)^3 &\quad \\[5pt] &=& 0,7^3 &\quad \\[5pt] &=& 0,343 \end{array}$
g)
$\blacktriangleright$  Als Potenz schreiben und ausrechnen
$\begin{array}[t]{rll} 56^3 : 8^3 &=& (56 : 8)^3 &\quad \\[5pt] &=& 7^3 &\quad \\[5pt] &=& 343 \end{array}$
h)
$\blacktriangleright$  Als Potenz schreiben und ausrechnen
$\begin{array}[t]{rll} 40^4 : 10^4 &=& (40 : 10)^4 &\quad \\[5pt] &=& 4^4 &\quad \\[5pt] &=& 256 \end{array}$
i)
$\blacktriangleright$  Als Potenz schreiben und ausrechnen
$\begin{array}[t]{rll} 72^5 : 36^5 &=& (72 : 36)^5 &\quad \\[5pt] &=& 2^5 &\quad \\[5pt] &=& 32 \end{array}$
j)
$\blacktriangleright$  Als Potenz schreiben und ausrechnen
$\begin{array}[t]{rll} 0,2^2 : 4^2 &=& (0,2 : 4)^2 &\quad \\[5pt] &=& 0,05^2 &\quad \\[5pt] &=& 0,0025 \end{array}$
k)
$\blacktriangleright$  Als Potenz schreiben und ausrechnen
$\begin{array}[t]{rll} 32,4^4 : 16,2^4 &=& (32,4 : 16,2)^4 &\quad \\[5pt] &=& 2^4 &\quad \\[5pt] &=& 16 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
l)
$\blacktriangleright$  Als Potenz schreiben und ausrechnen
$\begin{array}[t]{rll} 15,6^2 : 3^2 &=& (15,6 : 3)^2 &\quad \\[5pt] &=& 5,2^2 &\quad \\[5pt] &=& 27,04 \end{array}$

Aufgabe 3

Sortiere den Term zuerst. Bündele Potenzen mit gleicher Basis und Potenzen mit gleichem Exponenten.
a)
$\blacktriangleright$  Ergebnis ermitteln
$\begin{array}[t]{rll} 3^3 \cdot a^4 \cdot 8^3 \cdot a^5 &=& 3^3 \cdot 8^3 \cdot a^4 \cdot a^5 &\quad \\[5pt] &=& (3 \cdot 8)^3 \cdot a^{4 \, + \, 5} &\quad \\[5pt] &=& 24^3 \cdot a^9 &\quad \\[5pt] &=& 13.824 \cdot a^9&\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
b)
$\blacktriangleright$  Ergebnis ermitteln
$\begin{array}[t]{rll} d^{-5} \cdot 5^6 \cdot 2^6 \cdot d^7 &=& d^{-5} \cdot d^7 \cdot 5^6 \cdot 2^6 &\quad \\[5pt] &=& d^{-5 \, + \, 7} \cdot (5 \cdot 2)^6 &\quad \\[5pt] &=& d^2 \cdot 10^6 &\quad \\[5pt] &=& d^2 \cdot 1.000.000&\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
c)
$\blacktriangleright$  Ergebnis ermitteln
$\begin{array}[t]{rll} 10^{-2} \cdot 4^2 \cdot 4^4 \cdot 3^{-2} &=& 10^{-2} \cdot 3^{-2} \cdot 4^2 \cdot 4^4 &\quad \\[5pt] &=& (10 \cdot 3)^{-2} \cdot 4^{2 \, + \, 4} &\quad \\[5pt] &=& 30^{-2} \cdot 4^6&\quad \\[5pt] &=& \dfrac{1}{900} \cdot 4.096 &\quad \\[5pt] &=& \dfrac{1.024}{225} &\quad \\[5pt] &\approx& 4,55 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
d)
$\blacktriangleright$  Ergebnis ermitteln
$\begin{array}[t]{rll} 6^{10} \cdot 5^4 \cdot 6^{-9} \cdot 2^4 \cdot 6^2 &=& 6^{10} \cdot 6^2 \cdot 6^{-9} \cdot 5^4 \cdot 2^4 &\quad \\[5pt] &=& 6^{10 \, + \, 2 \, + \, (-9)} \cdot (5 \cdot 2)^{4} &\quad \\[5pt] &=& 6^3 \cdot 10^4&\quad \\[5pt] &=& 216 \cdot 10.000 &\quad \\[5pt] &=& 2.160.000 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
e)
$\blacktriangleright$  Ergebnis ermitteln
$\begin{array}[t]{rll} t^{5} \cdot 4^{15} \cdot 0,25^{15} \cdot t^{-5} &=& t^5 \cdot t^{-5} \cdot 4^{15} \cdot 0,25^{15} &\quad \\[5pt] &=& t^{5 \, + \, (-5)} \cdot (4 \cdot 0,25)^{15} &\quad \\[5pt] &=& t^0 \cdot 1^{15} &\quad \\[5pt] &=& 1 \cdot 1 &\quad \\[5pt] &=& 1 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
f)
$\blacktriangleright$  Ergebnis ermitteln
$\begin{array}[t]{rll} 5^{-3} \cdot 3^6 \cdot 3^{-5} \cdot 0,2^{-3} \cdot 3^7 &=& 5^{-3} \cdot 0,2^{-3} \cdot 3^6 \cdot 3^{-5} \cdot 3^7 &\quad \\[5pt] &=& (5 \cdot 0,2)^{-3} \cdot 3^{6 \, + \, (-5) \, + 7} &\quad \\[5pt] &=& 1^{-3} \cdot 3^{8} &\quad \\[5pt] &=& 1 \cdot 6.561 &\quad \\[5pt] &=& 6.561 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
g)
$\blacktriangleright$  Ergebnis ermitteln
Hier brauchst du die Potenzen nicht zuerst sortieren, da die Potenzen alle die gleiche Basis haben.
$\begin{array}[t]{rll} 4^2 \cdot 4^{-2} \cdot 4^2 \cdot 4^2 \cdot 4^{-2} \cdot 4^{-2} &=& 4^{(2 \, + \, (-2) \, + \, 2 \, + \, 2 \, + \, (-2) \, + \, (-2))} &\quad \\[5pt] &=& 4^0 &\quad \\[5pt] &=& 1 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
h)
$\blacktriangleright$  Ergebnis ermitteln
Hier brauchst du die Potenzen nicht zuerst sortieren, da die Potenzen alle die gleiche Basis haben.
$\begin{array}[t]{rll} 8^{32} \cdot q^{14} \cdot 8^{-27} \cdot p^{14} \cdot 8^{-5} &=& 8^{32} \cdot 8^{-27} \cdot 8^{-5} \cdot q^{14} \cdot p^{14} &\quad \\[5pt] &=& 8^{32 \, + \, (-27) \, + \, (-5)} \cdot (q \cdot p)^{14} &\quad \\[5pt] &=& 8^0 \cdot qp^{14} &\quad \\[5pt] &=& 1 \cdot qp^{14} &\quad \\[5pt] &=& qp^{14} &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$  Term berechnen
$\begin{array}[t]{rll} 15a^4 :5b^4 &=& (15 : 5) \cdot (a : b)^4 &\quad \\[5pt] &=& 3 \cdot (a:b)^4 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
b)
$\blacktriangleright$  Term berechnen
$\begin{array}[t]{rll} 27x^5 : 9w^5 &=& (27 : 9) \cdot (x : w)^5 &\quad \\[5pt] &=& 3 \cdot (x:w)^5 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
c)
$\blacktriangleright$  Term berechnen
$\begin{array}[t]{rll} 72m^{-11} : 36n^{-11} &=& (72 : 36) \cdot (m : n)^{-11} &\quad \\[5pt] &=& 2 \cdot (m:n)^{-11} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
d)
$\blacktriangleright$  Term berechnen
$\begin{array}[t]{rll} (4^3 \cdot y^{-4}) : (4^{-3} \cdot z^{-4}) &=& (4^3 : 4^{-3}) \cdot (y^{-4} : z^{-4}) &\quad \\[5pt] &=& 4^{3 \, + \, (-4)} \cdot (y : z)^{-4} &\quad \\[5pt] &=& 4^{-1} \cdot \left(\dfrac{y}{z}\right)^{-4} &\quad \\[5pt] &=& \dfrac{1}{4} \cdot \left(\dfrac{z}{y}\right)^4 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
e)
$\blacktriangleright$  Term berechnen
$\begin{array}[t]{rll} (20^5 \cdot t^3) : (5^5 \cdot t^2) &=& (20^5 : 5^5) \cdot (t^3 : t^2) &\quad \\[5pt] &=& (20 : 5)^5 \cdot t^{3-2} &\quad \\[5pt] &=& 4^5 \cdot t^1 &\quad \\[5pt] &=& 1.024 \cdot t \end{array}$
$ ERGEBNIS $
f)
$\blacktriangleright$  Term berechnen
$\begin{array}[t]{rll} (24^2 \cdot s^2 ) : 24t^2 &=& \dfrac{24^2 \cdot s^2}{24t^2} &\quad \\[5pt] &=& \dfrac{24 \cdot s^2}{t^2} &\quad \\[5pt] &=& 24 \cdot \left(\dfrac{s}{t}\right)^2 \end{array}$
$ ERGEBNIS $

Aufgabe 5

$\blacktriangleright$  Anzahl Quadrate berechnen
Um die Aufgabenstellung besser zu verstehen, kannst du dir eine Skizze anfertigen. Da es nur um eine Fläche des Würfels geht, brauchst du auch nur eine quadratische Fläche zeichnen. Jede Seitenlänge ist $32$ $\text{m}$ lang. Überlege dir, wie oft die jeweiligen Quadrate in die Fläche passen.
Potenzen und Wurzeln: Potenzen mit gleichem Exponenten
Abb. 1: Fläche 1
Potenzen und Wurzeln: Potenzen mit gleichem Exponenten
Abb. 1: Fläche 1
Potenzen und Wurzeln: Potenzen mit gleichem Exponenten
Abb. 2: Fläche 2
Potenzen und Wurzeln: Potenzen mit gleichem Exponenten
Abb. 2: Fläche 2
Potenzen und Wurzeln: Potenzen mit gleichem Exponenten
Abb. 3: Fläche 3
Potenzen und Wurzeln: Potenzen mit gleichem Exponenten
Abb. 3: Fläche 3
Potenzen und Wurzeln: Potenzen mit gleichem Exponenten
Abb. 4: Fläche 4
Potenzen und Wurzeln: Potenzen mit gleichem Exponenten Abb. 4: Fläche 4
Bildnachweise [nach oben]
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