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Logarithmen

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

a)
Unten siehst du, wie der Logarithmus ausgerechnet wird. Erkläre, wie bei der Rechnung vorgegangen wurde.
$\begin{array}[t]{rll} \color{#967117}{x}&=& \log_{\color{#2D6EC8}{2}}\color{#db2416}{16}\\[5pt] \color{#2D6EC8}{2}^{\color{#967117}{x}}&=& \color{#db2416}{16} \\[5pt] \color{#2D6EC8}{2}^{\color{#967117}{x}} &=& \color{#2D6EC8}{2}\cdot 8\\[5pt] \color{#2D6EC8}{2}^{\color{#967117}{x}} &=& \color{#2D6EC8}{2}\cdot \color{#2D6EC8}{2}\cdot 4 \\[5pt] \color{#2D6EC8}{2}^{\color{#967117}{x}} &=& \color{#2D6EC8}{2}\cdot\color{#2D6EC8}{2}\cdot \color{#2D6EC8}{2}\cdot \color{#2D6EC8}{2} \\[5pt] \color{#2D6EC8}{2}^{\color{#967117}{x}} &=&\color{#2D6EC8}{2}^{\color{#967117}{4}}\\[5pt] \color{#967117}{x} &=& \color{#967117}{4} \end{array}$
Es gilt also $x = \log_216 = 4$.
b)
Bestimme den fehlenden Exponenten. Gehe dabei vor wie in Aufgabenteil a).
$\begin{array}[t]{rll} 4^x&=& 64 &\quad\\[5pt] \end{array}$
c)
Berechne den Logarithmus mit dem Taschenrechner. Hierbei gilt: $\dfrac{\log \text{Potenzwert}}{\log \text{Basis}}$
$\begin{array}[t]{rll} \log_3 81 \end{array}$
d)
Logarithmen zur Basis $10$ nennt man Zehnerlogarithmen. Berechne den Zehnerlogarithmus ohne Taschenrechner.
$\begin{array}[t]{rll} \log_{10} 100 \end{array}$
e)
Berechne den Zehnerlogarithmus mit dem Taschenrechner und runde das Ergebnis auf drei Nachkommastellen. Überprüfe dein Ergebnis durch Potenzieren.
$\begin{array}[t]{rll} \log_{10} 50 \end{array}$
#logarithmus

Aufgabe 1

Bestimme den Logarithmus.
b)
$\log_2 1.024 $
d)
$\log_2 \left(\frac{1}{16}\right)$
f)
$\log_3 81$
h)
$\log_3 243$
j)
$\log_3 729$
l)
$\log_4 64$
n)
$\log_4 \left(\frac{1}{1.024}\right)$
#logarithmus

Aufgabe 2

Bestimme den Exponenten mit dem Taschenrechner. Schreibe dafür die Terme als Logarithmen wie in Aufgabenteil b) der Einführungsaufgabe. Kontrolliere im Anschluss dein Ergebnis, indem du die Probe durchführst.
b)
$4^x = 1.024$
d)
$9^x = 6.561$
f)
$10^x = 10.000$
h)
$5^x = 625$
#logarithmus

Aufgabe 3

Berechne den Logarithmus.
b)
$ \log_5 15.625$
d)
$ \log_2 256$
f)
$ \log_9 6.561$
h)
$ \log_7 49$
#logarithmus

Aufgabe 4

Bestimme die Zehnerlogarithmen ohne Taschenrechner.
b)
$ \log 1.000$
d)
$ \log 100.000$
f)
$ \log 0,1$
h)
$ \log 0,000001$
j)
$ \log \left(\frac{1}{100}\right)$
#logarithmus

Aufgabe 5

Berechne die Zehnerlogarithmen näherungsweise mit dem Taschenrechner und runde das Ergebnis auf drei Dezimalstellen. Kontrolliere im Anschluss dein Ergebnis durch Potenzieren.
b)
$ \log 35$
d)
$ \log 500$
f)
$ \log 0,2$
h)
$ \log 0,006$
j)
$ \log 9.500$
#logarithmus

Aufgabe 6

Berechne die Zehnerlogarithmen mit dem Taschenrechner. Vergleiche die Ergebnisse danach miteinander. Was fällt dir auf?
b)
$ \log 40$
d)
$ \log 4.000$
#logarithmus
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

a)
Logarithmieren heißt, den gesuchten Exponenten zu bestimmen. Es ist damit die Umkehrung des Potenzierens:
$\log_{\color{#2D6EC8}{a}}\color{#db2416}{y} = \color{#967117}{x}\quad $ $\Leftrightarrow \quad$ $\color{#2D6EC8}{a}^\color{#967117}{x} = \color{#db2416}{y}$
$\log_{\color{#2D6EC8}{a}}\color{#db2416}{y} = \color{#967117}{x}\quad $ $\Leftrightarrow \quad$ $\color{#2D6EC8}{a}^\color{#967117}{x} = \color{#db2416}{y}$
Sprechweise: „$\color{#967117}{x}$ ist der Logarithmus von $\color{#db2416}{y}$ zur Basis $\color{#2D6EC8}{a}$.“
$\color{#db2416}{y}$ ist der Potenzwert.
Das Ergebnis $\color{#967117}{x}$ des Logarithmus ist also die Zahl, mit der du die Basis $\color{#2D6EC8}{a}$ potenzieren musst, um den Potenzwert $\color{#db2416}{y}$ zu erhalten.
Den Potenzwert kannst du berechnen, indem du den Logarithmus in die obige Potenzschreibweise umformst und die Potenz berechnest.
Du kannst den Logarithmus auch ohne Taschenrechner berechnen.
  • Bestimme durch Ausprobieren, wie oft die Basis $\color{#2D6EC8}{a}$ mit sich selbst multipliziert werden muss, um den entsprechenden Potenzwert zu erhalten.
  • Forme den Logarithmus in die oben erwähnte Potenzschreibweise um. Klammere die Basis $\color{#2D6EC8}{a}$ so oft im Potenzwert $\color{#db2416}{y}$ aus, bis du eine Darstellung der Form $\color{#2D6EC8}{a}^\color{#967117}{x} = \color{#2D6EC8}{a}\cdot \color{#2D6EC8}{a}\cdot … \cdot \color{#2D6EC8}{a} $ erhältst und fasse die rechte Seite zu einer Potenz zusammen.
b)
$\blacktriangleright$  Exponenten bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} 4^x&=& 64 &\quad\\[5pt] 4^x&=& 4 \cdot 16 &\quad\\[5pt] 4^x&=& 4 \cdot 4 \cdot 4 &\quad\\[5pt] 4^x&=& 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 1 &\quad\\[5pt] 4^x&=& 4^3 &\quad\\[5pt] x&=& 3 &\quad\\[5pt] \end{array}$
c)
$\blacktriangleright$  Logarithmus berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \log_3 81 &=& \dfrac{\log 81}{\log 3} &\quad \scriptsize \mid\; \text{logarithmiere} \\[5pt] &=& 4 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
d)
$\blacktriangleright$  Zehnerlogarithmus bestimmen
Ist die Basis $\color{#2D6EC8}{a = 10}$, wird oft folgende Schreibweise verwendet:
$\log_\color{#2D6EC8}{10} \color{#db2416}{y} = \log \color{#db2416}{y}$
$\log_\color{#2D6EC8}{10} \color{#db2416}{y} = \log \color{#db2416}{y}$
$\begin{array}[t]{rll} \log 100 &=& \log_{10} 100 \\[5pt] 100 &=& 10^x \end{array}$
Klammere jetzt die Basis aus und fasse die rechte Seite zusammen.
$\begin{array}[t]{rll} 10^x &=& 100 &\quad \\[5pt] 10^x &=& 10 \cdot 10 &\quad \\[5pt] 10^x &=& 10 \cdot 10 \cdot 1 &\quad \\[5pt] 10^x &=& 10^2 &\quad \\[5pt] x &=& 2 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$\log 100 = 2$
e)
$\blacktriangleright$  Logarithmus berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \log 50 &=& \log_{10} 50&\quad \scriptsize \mid\; \text{logarithmiere} \\[5pt] &\approx& 1,699 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Potenziere die Basis $10$ jetzt mit deinem Ergebnis. Die Lösung sollte sich der Potenz annähern.
$\begin{array}[t]{rll} 10^{1,699} &\approx& 50,003 &\quad \end{array}$

Aufgabe 1

Klammere die Basis $a$ so oft in der Potenz $y$ aus, bis du eine Darstellung der Form $a^x = a\cdot a\cdot a\cdot … \cdot 1$ erhältst. Fasse dann die linke Seite zu einer Potenz zusammen.
a)
$\blacktriangleright$  Logarithmus berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \log_2 256 &=& x \\[5pt] 256 &=& 2^x \end{array}$
Klammere jetzt die Basis aus und fasse die rechte Seite zu einer Potenz zusammen.
$\begin{array}[t]{rll} 2^x &=& 256 &\quad \\[5pt] 2^x &=& 2 \cdot 128 &\quad \\[5pt] 2^x &=& 2 \cdot 2 \cdot 64 &\quad \\[5pt] 2^x &=& 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 32 &\quad \\[5pt] 2^x &=& 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 16 &\quad \\[5pt] 2^x &=& 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 8 &\quad \\[5pt] 2^x &=& 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4 &\quad \\[5pt] 2^x &=& 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 &\quad \\[5pt] 2^x &=& 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 &\quad \\[5pt] 2^x &=& 2^8 &\quad \\[5pt] x &=& 8 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
$\log_2 256 = 8$
b)
$\blacktriangleright$  Logarithmus berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \log_2 1.024 &=& x \\[5pt] 1.024 &=& 2^x \end{array}$
Klammere jetzt die Basis aus und fasse die rechte Seite zu einer Potenz zusammen.
$\begin{array}[t]{rll} 2^x &=& 1.024 &\quad \\[5pt] 2^x &=& 2 \cdot 512 &\quad \\[5pt] 2^x &=& 2 \cdot 2 \cdot 256 &\quad \\[5pt] 2^x &=& 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 128 &\quad \\[5pt] 2^x &=& 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 64 &\quad \\[5pt] 2^x &=& 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 32 &\quad \\[5pt] 2^x &=& 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 16 &\quad \\[5pt] 2^x &=& 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 8 &\quad \\[5pt] 2^x &=& 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4 &\quad \\[5pt] 2^x &=& 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 &\quad \\[5pt] 2^x &=& 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 &\quad \\[5pt] 2^x &=& 2^{10} &\quad \\[5pt] x &=& 10 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
$\log_2 1.024 = 10$
c)
$\blacktriangleright$  Logarithmus berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \log_2 0,125 &=& x \\[5pt] 0,125 &=& 2^x \end{array}$
Klammere die Basis aus. Schreibe dazu als Bruch und fasse die rechte Seite zu einer Potenz zusammen.
$\begin{array}[t]{rll} 2^x &=& \dfrac{1}{8} &\quad \\[5pt] 2^{x} &=& \dfrac{1}{2 \cdot 4} &\quad \\[5pt] 2^{x} &=& \dfrac{1}{2 \cdot 2 \cdot 2} &\quad \\[5pt] 2^{x} &=& \dfrac{1}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1} &\quad \\[5pt] 2^{x} &=& \dfrac{1}{2^3} &\quad \\[5pt] 2^{x} &=& 2^{-3} &\quad \\[5pt] x &=& -3 &\quad \\[5pt] \end{array}$
Hier gilt:
$\log_2 0,125 = -3$
d)
$\blacktriangleright$  Logarithmus berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \log_2 \left(\dfrac{1}{16}\right) &=& x \\[5pt] \dfrac{1}{16} &=& 2^x \end{array}$
Klammere die Basis aus. Schreibe dazu als Bruch und fasse die rechte Seite zu einer Potenz zusammen.
$\begin{array}[t]{rll} 2^x &=& \dfrac{1}{16} &\quad \\[5pt] 2^{x} &=& \dfrac{1}{2 \cdot 48} &\quad \\[5pt] 2^{x} &=& \dfrac{1}{2 \cdot 2 \cdot 4} &\quad \\[5pt] 2^{x} &=& \dfrac{1}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} &\quad \\[5pt] 2^{x} &=& \dfrac{1}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1} &\quad \\[5pt] 2^{x} &=& \dfrac{1}{2^4} &\quad \\[5pt] 2^{x} &=& 2^{-4} &\quad \\[5pt] x &=& -4 &\quad \\[5pt] \end{array}$
Hier gilt:
$\log_2 \left(\dfrac{1}{16}\right) = -4$
e)
$\blacktriangleright$  Logarithmus berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \log_2 2 &=& x \\[5pt] 2 &=& 2^x \end{array}$
Klammere jetzt die Basis aus und fasse die rechte Seite zu einer Potenz zusammen.
$\begin{array}[t]{rll} 2^x &=& 2 &\quad \\[5pt] 2^x &=& 2 \cdot 1 &\quad \\[5pt] 2^{x} &=& 2^1 &\quad \\[5pt] x &=& 1 &\quad \\[5pt] \end{array}$
Hier gilt:
$\log_2 2 = 1$
f)
$\blacktriangleright$  Logarithmus berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \log_3 81 &=& x \\[5pt] 81 &=& 3^x \end{array}$
Klammere jetzt die Basis aus und fasse die rechte Seite zu einer Potenz zusammen.
$\begin{array}[t]{rll} 3^x &=& 81 &\quad \\[5pt] 3^x &=& 3 \cdot 27 &\quad \\[5pt] 3^x &=& 3 \cdot 3 \cdot 9 &\quad \\[5pt] 3^x &=& 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 &\quad \\[5pt] 3^x &=& 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 1 &\quad \\[5pt] 3^{x} &=& 3^4 &\quad \\[5pt] x &=& 4 &\quad \\[5pt] \end{array}$
Hier gilt:
$\log_3 81 = 4$
g)
$\blacktriangleright$  Logarithmus berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \log_3 2.187 &=& x \\[5pt] 2.187 &=& 3^x \end{array}$
Klammere jetzt die Basis aus und fasse die rechte Seite zu einer Potenz zusammen.
$\begin{array}[t]{rll} 3^x &=& 2.187 &\quad \\[5pt] 3^x &=& 3 \cdot 729 &\quad \\[5pt] 3^x &=& 3 \cdot 3 \cdot 243 &\quad \\[5pt] 3^x &=& 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 81 &\quad \\[5pt] 3^x &=& 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 27 &\quad \\[5pt] 3^x &=& 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 9 &\quad \\[5pt] 3^x &=& 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 &\quad \\[5pt] 3^x &=& 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 1 &\quad \\[5pt] 3^{x} &=& 3^7 &\quad \\[5pt] x &=& 7 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Hier gilt:
$\log_3 2.187 = 7$
h)
$\blacktriangleright$  Logarithmus berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \log_3 243 &=& x \\[5pt] 243 &=& 3^x \end{array}$
Klammere jetzt die Basis aus und fasse die rechte Seite zu einer Potenz zusammen.
$\begin{array}[t]{rll} 3^x &=& 243 &\quad \\[5pt] 3^x &=& 3 \cdot 81 &\quad \\[5pt] 3^x &=& 3 \cdot 3 \cdot 27 &\quad \\[5pt] 3^x &=& 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 9 &\quad \\[5pt] 3^x &=& 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 &\quad \\[5pt] 3^x &=& 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 1 &\quad \\[5pt] 3^{x} &=& 3^5 &\quad \\[5pt] x &=& 5 &\quad \\[5pt] \end{array}$
Hier gilt:
$\log_3 243 = 5$
i)
$\blacktriangleright$  Logarithmus berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \log_3 \left(\dfrac{1}{81}\right) &=& x \\[5pt] \dfrac{1}{81} &=& 3^x \end{array}$
Klammere die Basis aus. Schreibe dazu als Bruch und fasse die rechte Seite zu einer Potenz zusammen.
$\begin{array}[t]{rll} 3^x &=& \dfrac{1}{81} &\quad \\[5pt] 3^x &=& \dfrac{1}{3 \cdot 27} &\quad \\[5pt] 3^{x} &=& \dfrac{1}{3 \cdot 3 \cdot 9} &\quad \\[5pt] 3^{x} &=& \dfrac{1}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} &\quad \\[5pt] 3^{x} &=& \dfrac{1}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 1} &\quad \\[5pt] 3^{x} &=& \dfrac{1}{3^4} &\quad \\[5pt] 3^{x} &=& 3^{-4} &\quad \\[5pt] x &=& -4 &\quad \\[5pt] \end{array}$
Hier gilt:
$\log_3 \left(\dfrac{1}{81}\right) = -4$
j)
$\blacktriangleright$  Logarithmus berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \log_3 729 &=& x \\[5pt] 729 &=& 3^x \end{array}$
Klammere jetzt die Basis aus und fasse die rechte Seite zu einer Potenz zusammen.
$\begin{array}[t]{rll} 3^x &=& 729 &\quad \\[5pt] 3^x &=& 3 \cdot 243 &\quad \\[5pt] 3^{x} &=& 3 \cdot 3 \cdot 81 &\quad \\[5pt] 3^{x} &=& 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 27 &\quad \\[5pt] 3^{x} &=& 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 9 &\quad \\[5pt] 3^{x} &=& 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 &\quad \\[5pt] 3^{x} &=& 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 1 &\quad \\[5pt] 3^{x} &=& 3^6 &\quad \\[5pt] x &=& 6 &\quad \\[5pt] \end{array}$
Hier gilt:
$\log_3 729 = 6$
k)
$\blacktriangleright$  Logarithmus berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \log_4 4.096 &=& x \\[5pt] 4.096 &=& 4^x \end{array}$
Klammere jetzt die Basis aus und fasse die rechte Seite zu einer Potenz zusammen.
$\begin{array}[t]{rll} 4^x &=& 4.096 &\quad \\[5pt] 4^x &=& 4 \cdot 1.024 &\quad \\[5pt] 4^{x} &=& 4 \cdot 4 \cdot 256 &\quad \\[5pt] 4^{x} &=& 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 64 &\quad \\[5pt] 4^{x} &=& 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 16 &\quad \\[5pt] 4^{x} &=& 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 &\quad \\[5pt] 4^{x} &=& 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 1 &\quad \\[5pt] 4^{x} &=& 4^6 &\quad \\[5pt] x &=& 6 &\quad \\[5pt] \end{array}$
Hier gilt:
$\log_4 4.096 = 6$
l)
$\blacktriangleright$  Logarithmus berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \log_4 64 &=& x \\[5pt] 64 &=& 4^x \end{array}$
Klammere jetzt die Basis aus und fasse die rechte Seite zu einer Potenz zusammen.
$\begin{array}[t]{rll} 4^x &=& 64 &\quad \\[5pt] 4^x &=& 4 \cdot 16 &\quad \\[5pt] 4^{x} &=& 4 \cdot 4 \cdot 4 &\quad \\[5pt] 4^{x} &=& 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 1 &\quad \\[5pt] 4^{x} &=& 4^3 &\quad \\[5pt] x &=& 3 &\quad \\[5pt] \end{array}$
Hier gilt:
$\log_4 64= 3$
m)
$\blacktriangleright$  Logarithmus berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \log_4 \left(\dfrac{1}{16}\right) &=& x \\[5pt] \dfrac{1}{16} &=& 4^x \end{array}$
Klammere die Basis aus. Schreibe dazu als Bruch und fasse die rechte Seite zu einer Potenz zusammen.
$\begin{array}[t]{rll} 4^x &=& \dfrac{1}{16} &\quad \\[5pt] 4^x &=& \dfrac{1}{4 \cdot 4} &\quad \\[5pt] 4^{x} &=& \dfrac{1}{4 \cdot 4 \cdot 1} &\quad \\[5pt] 4^{x} &=& \dfrac{1}{4^2} &\quad \\[5pt] 4^{x} &=& 4^{-2} &\quad \\[5pt] x &=& -2 &\quad \\[5pt] \end{array}$
Hier gilt:
$\log_4 \left(\dfrac{1}{16}\right) = -2$
n)
$\blacktriangleright$  Logarithmus berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \log_4 \left(\dfrac{1}{1.024}\right) &=& x \\[5pt] \dfrac{1}{1.024} &=& 4^x \end{array}$
Klammere die Basis aus. Schreibe dazu als Bruch und fasse die rechte Seite zu einer Potenz zusammen.
$\begin{array}[t]{rll} 4^x &=& \dfrac{1}{1.024} &\quad \\[5pt] 4^x &=& \dfrac{1}{4 \cdot 256} &\quad \\[5pt] 4^{x} &=& \dfrac{1}{4 \cdot 4 \cdot 64} &\quad \\[5pt] 4^{x} &=& \dfrac{1}{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 16} &\quad \\[5pt] 4^{x} &=& \dfrac{1}{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4} &\quad \\[5pt] 4^{x} &=& \dfrac{1}{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 1} &\quad \\[5pt] 4^{x} &=& \dfrac{1}{4^5} &\quad \\[5pt] 4^{x} &=& 4^{-5} &\quad \\[5pt] x &=& -5 &\quad \\[5pt] \end{array}$
Hier gilt:
$\log_4 \left(\dfrac{1}{1.024}\right) = -5$

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Exponenten bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} 2^x &=& 4.096 &\quad \scriptsize \mid\; \text{schreibe in Logarithmusform} \\[5pt] x &=& \log_2 4.096 &\quad \scriptsize \mid\; \dfrac{\log \text{Potenzwert}}{\log \text{Basis}}\\[5pt] x &=&\dfrac{\log 4.096}{\log 2} &\quad \scriptsize \mid\; \text{logarithmieren} \\[5pt] x &=& 12 &\quad \scriptsize \mid\; \text{führe die Probe durch} \\[5pt] 2^{12} &=& 4.096 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
b)
$\blacktriangleright$  Exponenten bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} 4^x &=& 1.024 &\quad \scriptsize \mid\; \text{schreibe in Logarithmusform} \\[5pt] x &=& \log_4 1.024 &\quad \scriptsize \mid\; \dfrac{\log \text{Potenzwert}}{\log \text{Basis}}\\[5pt] x &=&\dfrac{\log 1.024}{\log 4} &\quad \scriptsize \mid\; \text{logarithmieren} \\[5pt] x &=& 5 &\quad \scriptsize \mid\; \text{führe die Probe durch} \\[5pt] 4^{5} &=& 1.024 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
c)
$\blacktriangleright$  Exponenten bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} 7^x &=& 2.401 &\quad \scriptsize \mid\; \text{schreibe in Logarithmusform} \\[5pt] x &=& \log_7 2.401 &\quad \scriptsize \mid\; \dfrac{\log \text{Potenzwert}}{\log \text{Basis}}\\[5pt] x &=&\dfrac{\log 2.401}{\log 7} &\quad \scriptsize \mid\; \text{logarithmieren} \\[5pt] x &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; \text{führe die Probe durch} \\[5pt] 7^{4} &=& 2.401 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
d)
$\blacktriangleright$  Exponenten bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} 9^x &=& 6.561 &\quad \scriptsize \mid\; \text{schreibe in Logarithmusform} \\[5pt] x &=& \log_9 6.561 &\quad \scriptsize \mid\; \dfrac{\log \text{Potenzwert}}{\log \text{Basis}}\\[5pt] x &=&\dfrac{\log 6.561}{\log 9} &\quad \scriptsize \mid\; \text{logarithmieren} \\[5pt] x &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; \text{führe die Probe durch} \\[5pt] 9^{4} &=& 6.561 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
e)
$\blacktriangleright$  Exponenten bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} 8^x &=& 262.144 &\quad \scriptsize \mid\; \text{schreibe in Logarithmusform} \\[5pt] x &=& \log_8 262.144 &\quad \scriptsize \mid\; \dfrac{\log \text{Potenzwert}}{\log \text{Basis}}\\[5pt] x &=&\dfrac{\log 262.144}{\log 8} &\quad \scriptsize \mid\; \text{logarithmieren} \\[5pt] x &=& 6 &\quad \scriptsize \mid\; \text{führe die Probe durch} \\[5pt] 8^{6} &=& 262.144 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
f)
$\blacktriangleright$  Exponenten bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} 10^x &=& 10.000 &\quad \scriptsize \mid\; \text{schreibe in Logarithmusform} \\[5pt] x &=& \log_10 10.000 &\quad \scriptsize \mid\; \dfrac{\log \text{Potenzwert}}{\log \text{Basis}}\\[5pt] x &=&\dfrac{\log 10.000}{\log 10} &\quad \scriptsize \mid\; \text{logarithmieren} \\[5pt] x &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; \text{führe die Probe durch} \\[5pt] 10^{4} &=& 10.000 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
g)
$\blacktriangleright$  Exponenten bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} 3^x &=& 59.049 &\quad \scriptsize \mid\; \text{schreibe in Logarithmusform} \\[5pt] x &=& \log_3 59.049 &\quad \scriptsize \mid\; \dfrac{\log \text{Potenzwert}}{\log \text{Basis}}\\[5pt] x &=&\dfrac{\log 59.049}{\log 3} &\quad \scriptsize \mid\; \text{logarithmieren} \\[5pt] x &=& 10 &\quad \scriptsize \mid\; \text{führe die Probe durch} \\[5pt] 3^{10} &=& 59.049 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
h)
$\blacktriangleright$  Exponenten bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} 5^x &=& 625 &\quad \scriptsize \mid\; \text{schreibe in Logarithmusform} \\[5pt] x &=& \log_5 625 &\quad \scriptsize \mid\; \dfrac{\log \text{Potenzwert}}{\log \text{Basis}}\\[5pt] x &=&\dfrac{\log 625}{\log 5} &\quad \scriptsize \mid\; \text{logarithmieren} \\[5pt] x &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; \text{führe die Probe durch} \\[5pt] 5^{4} &=& 625 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$  Logarithmus berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \log_4 16.384 &=& \dfrac{\log 16.384}{\log 4} &\quad \scriptsize \mid\; \text{logarithmiere} \\[5pt] &=& 7 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
b)
$\blacktriangleright$  Logarithmus berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \log_5 15.625 &=& \dfrac{\log 15.625}{\log 5} &\quad \scriptsize \mid\; \text{logarithmiere} \\[5pt] &=& 6 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
c)
$\blacktriangleright$  Logarithmus berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \log_3 243 &=& \dfrac{\log 243}{\log 3} &\quad \scriptsize \mid\; \text{logarithmiere} \\[5pt] &=& 5 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
d)
$\blacktriangleright$  Logarithmus berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \log_2 256 &=& \dfrac{\log 256}{\log 2} &\quad \scriptsize \mid\; \text{logarithmiere} \\[5pt] &=& 8 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
e)
$\blacktriangleright$  Logarithmus berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \log_8 512 &=& \dfrac{\log 512}{\log 8} &\quad \scriptsize \mid\; \text{logarithmiere} \\[5pt] &=& 3 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
f)
$\blacktriangleright$  Logarithmus berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \log_9 6.561 &=& \dfrac{\log 6.561}{\log 9} &\quad \scriptsize \mid\; \text{logarithmiere} \\[5pt] &=& 4 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
g)
$\blacktriangleright$  Logarithmus berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \log_6 7.776 &=& \dfrac{\log 7.776}{\log 6} &\quad \scriptsize \mid\; \text{logarithmiere} \\[5pt] &=& 5 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
h)
$\blacktriangleright$  Logarithmus berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \log_7 49 &=& \dfrac{\log 49}{\log 7} &\quad \scriptsize \mid\; \text{logarithmiere} \\[5pt] &=& 2 \end{array}$
$ ERGEBNIS $

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$  Zehnerlogarithmen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} \log 10 &=& \log_{10} 10 \\[5pt] 10 &=& 10^x \end{array}$
Klammere die Basis aus und fasse die rechte Seite zu einer Potenz zusammen.
$\begin{array}[t]{rll} 10^x &=& 10 \cdot 1 &\quad \\[5pt] 10^x &=& 10^1 &\quad \\[5pt] x &=& 1 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$\log 10 = 1$
b)
$\blacktriangleright$  Zehnerlogarithmen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} \log 1.000 &=& \log_{10} 1.000 \\[5pt] 1.000 &=& 10^x \end{array}$
Klammere die Basis aus und fasse die rechte Seite zu einer Potenz zusammen.
$\begin{array}[t]{rll} 10^x &=& 1.000 &\quad \\[5pt] 10^x &=& 10 \cdot 100 &\quad \\[5pt] 10^x &=& 10 \cdot 10 \cdot 10 &\quad \\[5pt] 10^x &=& 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 1 &\quad \\[5pt] 10^x &=& 10^3 &\quad \\[5pt] x &=& 3 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$\log 1.000 = 3$
c)
$\blacktriangleright$  Zehnerlogarithmen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} \log 10.000 &=& \log_{10} 10.000 \\[5pt] 10.000 &=& 10^x \end{array}$
Klammere die Basis aus und fasse die rechte Seite zu einer Potenz zusammen.
$\begin{array}[t]{rll} 10^x &=& 10.000 &\quad \\[5pt] 10^x &=& 10 \cdot 1.000 &\quad \\[5pt] 10^x &=& 10 \cdot 10 \cdot 100 &\quad \\[5pt] 10^x &=& 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 &\quad \\[5pt] 10^x &=& 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 1 &\quad \\[5pt] 10^x &=& 10^4 &\quad \\[5pt] x &=& 4 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$\log 10.000 = 4$
d)
$\blacktriangleright$  Zehnerlogarithmen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} \log 100.000 &=& \log_{10} 100.000 \\[5pt] 100.000 &=& 10^x \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Klammere die Basis aus und fasse die rechte Seite zu einer Potenz zusammen.
$\begin{array}[t]{rll} 10^x &=& 100.000 &\quad \\[5pt] 10^x &=& 10 \cdot 10.000 &\quad \\[5pt] 10^x &=& 10 \cdot 10 \cdot 1.000 &\quad \\[5pt] 10^x &=& 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 100 &\quad \\[5pt] 10^x &=& 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 &\quad \\[5pt] 10^x &=& 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 1 &\quad \\[5pt] 10^x &=& 10^5 &\quad \\[5pt] x &=& 5 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
$\log 100.000 = 5$
e)
$\blacktriangleright$  Zehnerlogarithmen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} \log 10^6 &=& \log_{10} 10^6 \\[5pt] 10^6 &=& 10^x \end{array}$
Hier brauchst du die Basis nicht ausklammern. Beim näheren Betrachten der vorangegangen Rechnung fällt auf, dass der Exponent schon bekannt ist. Es gilt also:
$\log 10^6 = 6$
f)
$\blacktriangleright$  Zehnerlogarithmen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} \log 0,1 &=& \log_{10} 0,1 \\[5pt] 0,1 &=& 10^x \end{array}$
Beim Logarithmieren von Dezimalzahlen kann es helfen, wenn du die Zahl in einen Bruch umwandelst. Klammere dann im Nenner die Basis aus und fasse zu einer Potenz zusammen.
$\begin{array}[t]{rll} 10^x &=& \dfrac{1}{10} &\quad \\[5pt] 10^x &=& \dfrac{1}{10 \cdot 1} &\quad \\[5pt] 10^x &=& \dfrac{1}{10^1} &\quad \\[5pt] 10^x &=& 10^{-1} &\quad \\[5pt] x &=& -1 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$\log 0,1 = -1$
g)
$\blacktriangleright$  Zehnerlogarithmen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} \log 0,01 &=& \log_{10} 0,01 \\[5pt] 0,01 &=& 10^x \end{array}$
Beim Logarithmieren von Dezimalzahlen kann es helfen, wenn du die Zahl in einen Bruch umwandelst. Klammere dann im Nenner die Basis aus und fasse zu einer Potenz zusammen.
$\begin{array}[t]{rll} 10^x &=& \dfrac{1}{100} &\quad \\[5pt] 10^x &=& \dfrac{1}{10 \cdot 10} &\quad \\[5pt] 10^x &=& \dfrac{1}{10 \cdot 10 \cdot 1} &\quad \\[5pt] 10^x &=& \dfrac{1}{10^2} &\quad \\[5pt] 10^x &=& 10^{-2} &\quad \\[5pt] x &=& -2 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$\log 0,01 = -2$
h)
$\blacktriangleright$  Zehnerlogarithmen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} \log 0,000001 &=& \log_{10} 0,000001 \\[5pt] 0,000001 &=& 10^x \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Beim Logarithmieren von Dezimalzahlen kann es helfen, wenn du die Zahl in einen Bruch umwandelst. Klammere dann im Nenner die Basis aus und fasse zu einer Potenz zusammen.
$\begin{array}[t]{rll} 10^x &=& \dfrac{1}{1.000.000} &\quad \\[5pt] 10^x &=& \dfrac{1}{10 \cdot 100.000} &\quad \\[5pt] 10^x &=& \dfrac{1}{10 \cdot 10 \cdot 10.000} &\quad \\[5pt] 10^x &=& \dfrac{1}{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 1.000} &\quad \\[5pt] 10^x &=& \dfrac{1}{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 100} &\quad \\[5pt] 10^x &=& \dfrac{1}{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10} &\quad \\[5pt] 10^x &=& \dfrac{1}{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 1} &\quad \\[5pt] 10^x &=& \dfrac{1}{10^6} &\quad \\[5pt] 10^x &=& 10^{-6} &\quad \\[5pt] x &=& -6 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
$\log 0,000001 = -6$
i)
$\blacktriangleright$  Zehnerlogarithmen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} \log \left(\dfrac{1}{10}\right) &=& \log_{10} \left(\dfrac{1}{10}\right) \\[5pt] \dfrac{1}{10} &=& 10^x \end{array}$
Klammere die Basis im Nenner aus und fasse die rechte Seite zu einer Potenz zusammen.
$\begin{array}[t]{rll} 10^x &=& \dfrac{1}{10} &\quad \\[5pt] 10^x &=& \dfrac{1}{10 \cdot 1} &\quad \\[5pt] 10^x &=& \dfrac{1}{10^1} &\quad \\[5pt] 10^x &=& 10^{-1} &\quad \\[5pt] x &=& -1 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$\log \left(\dfrac{1}{10}\right) = -1$
j)
$\blacktriangleright$  Zehnerlogarithmen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} \log \left(\dfrac{1}{100}\right) &=& \log_{10} \left(\dfrac{1}{100}\right) \\[5pt] \dfrac{1}{100} &=& 10^x \end{array}$
Klammere die Basis im Nenner aus und fasse die rechte Seite zu einer Potenz zusammen.
$\begin{array}[t]{rll} 10^x &=& \dfrac{1}{100} &\quad \\[5pt] 10^x &=& \dfrac{1}{10 \cdot 10} &\quad \\[5pt] 10^x &=& \dfrac{1}{10 \cdot 10 \cdot 1} &\quad \\[5pt] 10^x &=& \dfrac{1}{10^2} &\quad \\[5pt] 10^x &=& 10^{-2} &\quad \\[5pt] x &=& -2 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$\log \left(\dfrac{1}{100}\right) = -2$

Aufgabe 5

a)
$\blacktriangleright$  Zehnerlogarithmen mit Taschenrechner berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \log 20 &=& \log_{10} 20&\quad \scriptsize \mid\; \text{logarithmiere} \\[5pt] &\approx& 1,301 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Potenziere die Basis $10$ jetzt mit deinem Ergebnis. Die Lösung sollte sich der Potenz annähern.
$\begin{array}[t]{rll} 10^{1,301} &\approx& 19,998 &\quad \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$  Zehnerlogarithmen mit Taschenrechner berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \log 35 &=& \log_{10} 35&\quad \scriptsize \mid\; \text{logarithmiere} \\[5pt] &\approx& 1,544 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Potenziere die Basis $10$ jetzt mit deinem Ergebnis. Die Lösung sollte sich der Potenz annähern.
$\begin{array}[t]{rll} 10^{1,544} &\approx& 34,995 &\quad \end{array}$
c)
$\blacktriangleright$  Zehnerlogarithmen mit Taschenrechner berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \log 41 &=& \log_{10} 41&\quad \scriptsize \mid\; \text{logarithmiere} \\[5pt] &\approx& 1,612 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Potenziere die Basis $10$ jetzt mit deinem Ergebnis. Die Lösung sollte sich der Potenz annähern.
$\begin{array}[t]{rll} 10^{1,612} &\approx& 40,926 &\quad \end{array}$
d)
$\blacktriangleright$  Zehnerlogarithmen mit Taschenrechner berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \log 500 &=& \log_{10} 500&\quad \scriptsize \mid\; \text{logarithmiere} \\[5pt] &\approx& 2,699 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Potenziere die Basis $10$ jetzt mit deinem Ergebnis. Die Lösung sollte sich der Potenz annähern.
$\begin{array}[t]{rll} 10^{1,612} &\approx& 40,926 &\quad \end{array}$
e)
$\blacktriangleright$  Zehnerlogarithmen mit Taschenrechner berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \log 3.000 &=& \log_{10} 3.000&\quad \scriptsize \mid\; \text{logarithmiere} \\[5pt] &\approx& 3,477 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Potenziere die Basis $10$ jetzt mit deinem Ergebnis. Die Lösung sollte sich der Potenz annähern.
$\begin{array}[t]{rll} 10^{3,477} &\approx& 2999,163 &\quad \end{array}$
f)
$\blacktriangleright$  Zehnerlogarithmen mit Taschenrechner berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \log 0,2 &=& \log_{10} 0,2&\quad \scriptsize \mid\; \text{logarithmiere} \\[5pt] &\approx& -0,699 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Potenziere die Basis $10$ jetzt mit deinem Ergebnis. Die Lösung sollte sich der Potenz annähern.
$\begin{array}[t]{rll} 10^{-0,699} &\approx& 0,199 &\quad \end{array}$
g)
$\blacktriangleright$  Zehnerlogarithmen mit Taschenrechner berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \log 0,08 &=& \log_{10} 0,08&\quad \scriptsize \mid\; \text{logarithmiere} \\[5pt] &\approx& -1,097 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Potenziere die Basis $10$ jetzt mit deinem Ergebnis. Die Lösung sollte sich der Potenz annähern.
$\begin{array}[t]{rll} 10^{-1,097} &\approx& 0,08 &\quad \end{array}$
h)
$\blacktriangleright$  Zehnerlogarithmen mit Taschenrechner berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \log 0,006 &=& \log_{10} 0,006&\quad \scriptsize \mid\; \text{logarithmiere} \\[5pt] &\approx& -2,222 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Potenziere die Basis $10$ jetzt mit deinem Ergebnis. Die Lösung sollte sich der Potenz annähern.
$\begin{array}[t]{rll} 10^{-2,222} &\approx& 0,006&\quad \end{array}$
i)
$\blacktriangleright$  Zehnerlogarithmen mit Taschenrechner berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \log 77 &=& \log_{10} 77&\quad \scriptsize \mid\; \text{logarithmiere} \\[5pt] &\approx& 1,887 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Potenziere die Basis $10$ jetzt mit deinem Ergebnis. Die Lösung sollte sich der Potenz annähern.
$\begin{array}[t]{rll} 10^{1,887} &\approx& 77,09&\quad \end{array}$
j)
$\blacktriangleright$  Zehnerlogarithmen mit Taschenrechner berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \log 9.500 &=& \log_{10} 9.500 &\quad \scriptsize \mid\; \text{logarithmiere} \\[5pt] &\approx& 3,977 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Potenziere die Basis $10$ jetzt mit deinem Ergebnis. Die Lösung sollte sich der Potenz annähern.
$\begin{array}[t]{rll} 10^{3,977} &\approx& 9484,184&\quad \end{array}$

Aufgabe 6

$\blacktriangleright$  Logarithmen berechnen
a)
$\begin{array}[t]{rll} \log 4 &\approx& 0,602059 &\quad \end{array}$
b)
$\begin{array}[t]{rll} \log 40 &\approx& 1,602059 &\quad \end{array}$
c)
$\begin{array}[t]{rll} \log 400 &\approx& 2,602059 &\quad \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{rll} \log 4.000 &\approx& 3,602059 &\quad \end{array}$
$\blacktriangleright$  Ergebnisse vergleichen
Es fällt auf, dass die Ergebnisse immer um genau $1$ größer werden.
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