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Näherungswerte von Quadratwurzeln

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Bestimme die Werte näherungsweise. Gib hierbei zwei Nachkommastellen an und kontrolliere durch die Umkehraufgabe.
b)
$\sqrt{28}$
d)
$\sqrt{20}$
f)
$\sqrt{76}$
#näherungswert#quadratwurzel#probe

Aufgabe 1

Gib an, zwischen welchen ganzen Zahlen die Wurzeln jeweils liegen.
b)
$\sqrt{150}$
d)
$\sqrt{1.000}$
f)
$\sqrt{115}$
h)
$\sqrt{198}$
#quadratwurzel

Aufgabe 2

Bestimme die Seitenlängen der Quadrate bis auf zwei Nachkommastellen. Die gegebenen Werte beschreiben die Flächeninhalte der Quadrate.
b)
$133\;\text{cm}^2$
d)
$156\;\text{km}^2$
#runden#quadratwurzel

Aufgabe 3

Gib alle Zahlen zwischen $0$ und $400$ an, bei denen die Quadratwurzel eine natürliche Zahl ist.
#quadratwurzel

Aufgabe 4

In bestimmten Situationen verwendet man für $\sqrt{5}$ zum Beispiel $2,2$ oder $2,24$ oder $2,236$ an. Beweise, dass diese Werte nur Näherungswerte sind.
#näherungswert#quadratwurzel
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Einführungsaufgabe

Bei den nachfolgenden Aufgaben musst du die Werte näherungsweise bestimmen. Hierbei solltest du einzelne Schritte beachten, die im Folgenden genauer erklärt werden.
a)
$\blacktriangleright$ Benachbarte Quadratzahlen ganzer Zahlen suchen
$\sqrt{4}<\sqrt{6}<\sqrt{9}$
$2<\sqrt{6}<3$
$\blacktriangleright$ 1. Nachkommastelle ausprobieren
Nachdem nun bekannt ist, dass die gesuchte Zahl zwischen $2$ und $3$ liegt, sollte man nun die Mitte beider Zahlen, nämlich $2,5$,ausprobieren.
$2,5^2=2,5\cdot2,5=6,25$
$\rightarrow\sqrt{6}<2,5$
Da du nun weißt, dass die gesuchte Zahl kleiner als $2,5$ ist, solltest du die nächstkleinere Zahl, also $2,4$ ausprobieren.
$2,4^2=2,4\cdot2,4=5,76$
$\rightarrow2,4<\sqrt{6}<2,5$
$\blacktriangleright$ 2. Nachkommastelle ausprobieren
Die gesuchte Zahl liegt zwischen $2,4$ und $2,5$, sodass du auch hier wieder die Mitte, also $2,45$, zuerst ausprobierst, damit du die Tendenz abschätzen kannst.
$2,45^2=2,45\cdot2,45=6,0025$
$\rightarrow\sqrt{6}<2,45$
Da du nun weißt, dass die gesuchte Zahl kleiner als $2,45$ ist, solltest du die nächstkleinere Zahl, also $2,44$ ausprobieren.
$2,44^2=2,44\cdot2,44=5,9536$
$\rightarrow2,44<\sqrt{6}<2,45$
b)
$\blacktriangleright$ Benachbarte Quadratzahlen ganzer Zahlen suchen
$\sqrt{25}<\sqrt{28}<\sqrt{36}$
$5<\sqrt{28}<6$
$\blacktriangleright$ 1. Nachkommastelle ausprobieren
Nachdem nun bekannt ist, dass die gesuchte Zahl zwischen $5$ und $6$ liegt, sollte man nun die Mitte beider Zahlen, nämlich $5,5$, ausprobieren.
$5,5^2=5,5\cdot5,5=30,25$
$\rightarrow\sqrt{28}<5,5$
Da du nun weißt, dass die gesuchte Zahl kleiner als $5,5$ ist, solltest du die nächstkleinere Zahl, also $5,4$ ausprobieren, dann $5,3$, u.s.w.
$5,4^2=5,4\cdot5,4=29,16$
$\sqrt{28}<5,4$
$5,3^2=5,3\cdot5,3=28,09$
$\sqrt{28}<5,3$
$5,2^2=5,2\cdot5,2=27,04$
$\rightarrow5,2<\sqrt{28}<5,3$
$\blacktriangleright$ 2. Nachkommastelle ausprobieren
Die gesuchte Zahl liegt zwischen $5,2$ und $5,3$, sodass du auch hier wieder die Mitte, also $5,25$, zuerst ausprobierst, damit du die Tendenz abschätzen kannst.
$5,25^2=5,25\cdot5,25=27,5625$
$\rightarrow\sqrt{28}>5,25$
Da du nun weißt, dass die gesuchte Zahl größer als $5,25$ ist, solltest du die nächstgrößeren Zahlen ausprobieren.
$5,29^2=5,29\cdot5,29=27,9841$
$5,30^2=5,30\cdot5,30=28,09$
$\rightarrow5,29<\sqrt{28}<5,30$
c)
$\blacktriangleright$ Benachbarte Quadratzahlen ganzer Zahlen suchen
$\sqrt{9}<\sqrt{15}<\sqrt{16}$
$3<\sqrt{15}<4$
$\blacktriangleright$ 1. Nachkommastelle ausprobieren
Nachdem nun bekannt ist, dass die gesuchte Zahl zwischen $3$ und $4$ liegt, sollte man nun die Mitte beider Zahlen, nämlich $3,5$, ausprobieren.
$3,5^2=3,5\cdot3,5=12,25$
$\rightarrow\sqrt{15}>12,25$
Da du nun weißt, dass die gesuchte Zahl größer als $3,5$ ist, solltest du die nächstgrößeren Zahlen ausprobieren.
$3,8^2=3,8\cdot3,8=14,44$
$\sqrt{15}>3,8$
$3,9^2=3,9\cdot3,9=15,21$
$\rightarrow3,8<\sqrt{15}<3,9$
$\blacktriangleright$ 2. Nachkommastelle ausprobieren
Die gesuchte Zahl liegt zwischen $3,8$ und $3,9$, sodass du auch hier wieder die Mitte, also $3,85$, zuerst ausprobierst, damit du die Tendenz abschätzen kannst.
$3,85^2=3,85\cdot3,85=14,8225$
$\rightarrow\sqrt{15}>3,85$
Da du nun weißt, dass die gesuchte Zahl größer als $3,85$ ist, solltest du die nächstgrößeren Zahlen ausprobieren.
$3,87^2=3,87\cdot3,87=14,9769$
$3,88^2=3,88\cdot3,88=15,0544$
$\rightarrow3,87<\sqrt{15}<3,88$
d)
$\blacktriangleright$ Benachbarte Quadratzahlen ganzer Zahlen suchen
$\sqrt{16}<\sqrt{20}<\sqrt{25}$
$4<\sqrt{20}<5$
$\blacktriangleright$ 1. Nachkommastelle ausprobieren
Nachdem nun bekannt ist, dass die gesuchte Zahl zwischen $4$ und $5$ liegt, sollte man nun die Mitte beider Zahlen, nämlich $4,5$, ausprobieren.
$4,5^2=4,5\cdot4,5=20,25$
$\rightarrow\sqrt{20}<4,5$
Da du nun weißt, dass die gesuchte Zahl kleiner als $4,5$ ist, solltest du die nächstkleineren Zahlen ausprobieren.
$4,4^2=4,4\cdot4,4=19,36$
$\rightarrow4,4<\sqrt{20}<4,5$
$\blacktriangleright$ 2. Nachkommastelle ausprobieren
Die gesuchte Zahl liegt zwischen $4,4$ und $4,5$, sodass du auch hier wieder die Mitte, also $4,45$, zuerst ausprobierst, damit du die Tendenz abschätzen kannst.
$4,45^2=4,45\cdot4,45=19,8025$
$\rightarrow\sqrt{20}>4,45$
Da du nun weißt, dass die gesuchte Zahl größer als $4,45$ ist, solltest du die nächstgrößeren Zahlen ausprobieren.
$4,47^2=4,47\cdot4,47=19,9809$
$4,48^2=4,48\cdot4,48=20,0704$
$\rightarrow4,47<\sqrt{20}<4,48$
e)
$\blacktriangleright$ Benachbarte Quadratzahlen ganzer Zahlen suchen
$\sqrt{36}<\sqrt{42}<\sqrt{49}$
$6<\sqrt{42}<7$
$\blacktriangleright$ 1. Nachkommastelle ausprobieren
Nachdem nun bekannt ist, dass die gesuchte Zahl zwischen $6$ und $7$ liegt, sollte man nun die Mitte beider Zahlen, nämlich $6,5$, ausprobieren.
$6,5^2=6,5\cdot6,5=42,25$
$\rightarrow\sqrt{42}<6,5$
Da du nun weißt, dass die gesuchte Zahl kleiner als $6,5$ ist, solltest du die nächstkleineren Zahlen ausprobieren.
$6,4^2=6,4\cdot6,4=40,96$
$\rightarrow\sqrt{42}>6,4$
$\rightarrow6,4<\sqrt{42}<6,5$
$\blacktriangleright$ 2. Nachkommastelle ausprobieren
Die gesuchte Zahl liegt zwischen $6,4$ und $6,5$, sodass du auch hier wieder die Mitte, also $6,45$, zuerst ausprobierst, damit du die Tendenz abschätzen kannst.
$6,45^2=6,45\cdot6,45=41,6025$
$\rightarrow\sqrt{42}>6,45$
Da du nun weißt, dass die gesuchte Zahl größer als $6,45$ ist, solltest du die nächstgrößeren Zahlen ausprobieren.
$6,48^2=6,48\cdot6,48=41,9904$
$6,49^2=6,49\cdot6,49=42,1201$
$\rightarrow6,48<\sqrt{42}<6,49$
f)
$\blacktriangleright$ Benachbarte Quadratzahlen ganzer Zahlen suchen
$\sqrt{64}<\sqrt{76}<\sqrt{81}$
$8<\sqrt{76}<9$
$\blacktriangleright$ 1. Nachkommastelle ausprobieren
Nachdem nun bekannt ist, dass die gesuchte Zahl zwischen $8$ und $9$ liegt, sollte man nun die Mitte beider Zahlen, nämlich $8,5$, ausprobieren.
$8,5^2=8,5\cdot8,5=72,25$
$\rightarrow\sqrt{76}>8,5$
Da du nun weißt, dass die gesuchte Zahl größer als $8,5$ ist, solltest du die nächstgrößeren Zahlen ausprobieren.
$8,7^2=8,7\cdot8,7=75,69$
$\rightarrow\sqrt{76}>8,7$
$8,8^2=8,8\cdot8,8=77,44$
$\rightarrow8,7<\sqrt{76}<8,8$
$\blacktriangleright$ 2. Nachkommastelle ausprobieren
Die gesuchte Zahl liegt zwischen $8,7$ und $8,8$, sodass du auch hier wieder die Mitte, also $8,75$, zuerst ausprobierst, damit du die Tendenz abschätzen kannst.
$8,75^2=8,75\cdot8,75=76,5625$
$\rightarrow\sqrt{76}<8,75$
Da du nun weißt, dass die gesuchte Zahl kleiner als $8,75$ ist, solltest du die nächstkleineren Zahlen ausprobieren.
$8,72^2=8,72\cdot8,72=76,0384$
$8,71^2=8,71\cdot8,71=75,8641$
$\rightarrow8,71<\sqrt{76}<8,72$
#probe#quadratwurzel#näherungswert#benachbartequadratzahl

Aufgabe 1

$\blacktriangleright$  ganze Zahlen angeben
Bei der nachfolgenden Aufgabe geht es darum, dass du die ganzen Zahlen findest, zwischen denen die Quadratwurzel liegt. Mache dir am besten zuerst eine Liste mit Quadratzahlen von $1$ bis $20$, diese hilft dir dabei, die gesuchten Zahlen zu finden.
b)
$\sqrt{144}<\sqrt{150}<\sqrt{169}$
$12<\sqrt{210}<13$
d)
$\sqrt{961}<\sqrt{1.300}<\sqrt{1.024}$
$31<\sqrt{1.000}<32$
f)
$\sqrt{100}<\sqrt{115}<\sqrt{121}$
$10<\sqrt{115}<11$
h)
$\sqrt{196}<\sqrt{198}<\sqrt{225}$
$14<\sqrt{198}<15$
#benachbartequadratzahl#näherungswert#quadratwurzel

Aufgabe 2

Bei den nachfolgenden Aufgaben musst du die Werte näherungsweise bestimmen. Hierbei solltest du die Schritte, die dir in der Einführungsaufgabe vorgestellt wurden, anwenden.
a)
$\blacktriangleright$ Benachbarte Quadratzahlen ganzer Zahlen suchen
$\sqrt{36}<\sqrt{43}<\sqrt{49}$
$6<\sqrt{43}<7$
$\blacktriangleright$ 1. Nachkommastelle ausprobieren
$6,5^2=6,5\cdot6,5=42,25$
$\rightarrow\sqrt{43}>6,5$
$6,6^2=6,6\cdot6,6=43,56$
$\rightarrow6,5<\sqrt{43}<6,6$
$\blacktriangleright$ 2. Nachkommastelle ausprobieren
$6,55^2=6,55\cdot6,55=42,9025$
$\rightarrow\sqrt{43}>6,55$
$6,56^2=6,56\cdot6,56=43,0336$
$\rightarrow6,55\;\text{m}<\sqrt{43\;\text{m}^2}<6,56\;\text{m}$
b)
$\blacktriangleright$ Benachbarte Quadratzahlen ganzer Zahlen suchen
$\sqrt{121}<\sqrt{133}<\sqrt{144}$
$11<\sqrt{133}<12$
$\blacktriangleright$ 1. Nachkommastelle ausprobieren
$11,5^2=11,5\cdot11,5=132,25$
$\rightarrow\sqrt{133}>11,5$
$11,6^2=11,6\cdot11,6=134,56$
$\rightarrow11,5<\sqrt{133}<11,6$
$\blacktriangleright$ 2. Nachkommastelle ausprobieren
$11,55^2=11,55\cdot11,55=133,4025$
$\rightarrow\sqrt{133}>11,55$
$11,54^2=11,54\cdot11,54=133,1716$
$\rightarrow\sqrt{133}<11,54$
$11,53^2=11,53\cdot11,53=132,9409$
$\rightarrow11,53\;\text{cm}<\sqrt{133\;\text{cm}^2}<11,54\;\text{cm}$
c)
$\blacktriangleright$ Benachbarte Quadratzahlen ganzer Zahlen suchen
$\sqrt{64}<\sqrt{72}<\sqrt{81}$
$8<\sqrt{72}<9$
$\blacktriangleright$ 1. Nachkommastelle ausprobieren
$8,5^2=8,5\cdot8,5=72,25$
$\rightarrow\sqrt{72}<8,5$
$8,4^2=8,4\cdot8,4=70,56$
$\rightarrow8,4<\sqrt{72}<8,5$
$\blacktriangleright$ 2. Nachkommastelle ausprobieren
$8,45^2=8,45\cdot8,45=71,4025$
$\rightarrow\sqrt{72}>8,45$
$8,48^2=8,48\cdot8,48=71,9104$
$\rightarrow\sqrt{72}>8,48$
$8,49^2=8,49\cdot8,49=72,0801$
$\rightarrow8,48\;\text{dm}<\sqrt{72\;\text{dm}^2}<8,49\;\text{dm}$
d)
$\blacktriangleright$ Benachbarte Quadratzahlen ganzer Zahlen suchen
$\sqrt{144}<\sqrt{156}<\sqrt{169}$
$12<\sqrt{156}<13$
$\blacktriangleright$ 1. Nachkommastelle ausprobieren
$12,5^2=12,5\cdot12,5=156,25$
$\rightarrow\sqrt{156}<12,5$
$12,4^2=12,4\cdot12,4=153,76$
$\rightarrow12,4<\sqrt{156}<12,5$
$\blacktriangleright$ 2. Nachkommastelle ausprobieren
$12,45^2=12,45\cdot12,45=155,0025$
$\rightarrow\sqrt{156}>12,45$
$12,48^2=12,48\cdot12,48=155,7504$
$\rightarrow\sqrt{156}>12,48$
$12,49^2=12,49\cdot12,49=156,0001$
$\rightarrow12,48\;\text{km}<\sqrt{156\;\text{km}^2}<12,49\;\text{km}$
#quadratwurzel#benachbartequadratzahl#näherungswert

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$  Zahlen angeben
In der folgenden Aufgabe sollst du alle Zahlen zwischen $0$ und $400$ angeben, bei denen die Quadratwurzel eine natürliche Zahl ist. Hierfür musst du alle ganzen Zahlen bis $20$ angeben, indem du sie mit sich selbst multiplizierst.
$\sqrt{121}=11$
$\sqrt{144}=12$
$\sqrt{169}=13$
$\sqrt{196}=14$
$\sqrt{225}=15$
$\sqrt{256}=16$
$\sqrt{289}=17$
$\sqrt{324}=18$
$\sqrt{361}=19$
$\sqrt{400}=20$
#quadratwurzel

Aufgabe 4

Bei dieser Aufgabe geht es darum, zu beweisen, dass die angegebenen Werte nur Näherungswerte für $\sqrt{5}$ darstellen. Dies kannst du am besten beweisen, indem du selbst auf den Weg zu den angegebenen Näherungswerten darlegst.
$\blacktriangleright$ Benachbarte Quadratzahlen ganzer Zahlen suchen
$\sqrt{4}<\sqrt{5}<\sqrt{9}$
$2<\sqrt{5}<3$
$\blacktriangleright$ 1. Nachkommastelle ausprobieren
$2,5^2=2,5\cdot2,5=6,25$
$\rightarrow\sqrt{5}<2,5$
$2,4^2=2,4\cdot2,4=5,76$
$\rightarrow\sqrt{5}<2,4$
$2,3^2=2,3\cdot2,3=5,29$
$\rightarrow\sqrt{5}<2,3$
$2,2^2=2,2\cdot2,2=4,84$
$\rightarrow2,2<\sqrt{5}<2,3$
$\blacktriangleright$ 2. Nachkommastelle ausprobieren
$2,25^2=2,25\cdot2,25=5,0625$
$\rightarrow\sqrt{5}<2,25$
$2,24^2=2,24\cdot2,24=5,0176$
$\rightarrow\sqrt{5}<2,24$
$2,23^2=2,23\cdot2,23=4,9729$
$\rightarrow\sqrt{5}>2,23$
$\rightarrow2,23<\sqrt{5}<2,24$
$\blacktriangleright$ 3. Nachkommastelle ausprobieren
$2,235^2=2,235\cdot2,235=4,995225$
$\rightarrow\sqrt{5}>2,235$
$2,236^2=2,236\cdot2,236=4,999696$
$\rightarrow\sqrt{5}>2,236$
$2,237^2=2,237\cdot2,237=5,004169$
$\rightarrow2,236<\sqrt{5}<2,237$
#quadratwurzel#benachbartequadratzahl#näherungswert
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