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Potenzen mit beliebiger Basis

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

a)
Potenzen und Wurzeln: Potenzen mit beliebiger Basis
Abb. 1: Adele sagt es - Rumour has it!
Potenzen und Wurzeln: Potenzen mit beliebiger Basis
Abb. 1: Adele sagt es - Rumour has it!
$\,$
Erzählvorgang Nummer #$0$$1$$2$$3$$4$
Personen, die von dem Gerücht erfahren$1$$ 2$$4$
Produkt$1$$2$$2 \cdot 2$
Potenzdarstellung$2^0$$2^1$$2^2$
b)
Erkläre die Tabelle und ergänze sie.
FaktorenproduktPotenzPotenzwert
$(-2) \cdot (-2)$$(-2)^2$$4$
$(-2) \cdot (-2) \cdot (-2)$$(-2)^3$$-8$
$(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)$
$(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)$
$(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)$
$(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)$
$(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)$
$(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)$
#potenz

Aufgabe 1

Verkürze die Produkte, indem du sie in einer Potenz schreibst.
Tipp
Du kannst Produkte aus jeweils gleichen Faktoren auch als Potenz schreiben:
$\underbrace{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}_{Produkt}$ =$\underbrace{ 3^5}_{Potenz}$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot … \cdot a \cdot a}_{Produkt}$ =$\underbrace{ a^n}_{Potenz}$
Tipp
Du kannst Produkte aus jeweils gleichen Faktoren auch als Potenz schreiben:
$\underbrace{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}_{Produkt}$ =$\underbrace{ 3^5}_{Potenz}$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot … \cdot a \cdot a}_{Produkt}$ =$\underbrace{ a^n}_{Potenz}$
b)
$8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8$
d)
$11 \cdot 11 \cdot 11 \cdot 11 \cdot 11 \cdot 11 \cdot 11 \cdot 11$
f)
$z \cdot z \cdot z \cdot z \cdot z \cdot z$
h)
$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} $
j)
$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{9}$

Aufgabe 2

Du kannst Potenzen ganz leicht mit deinem Taschenrechner berechnen. Unten siehst du, welche der Tasten deines Taschenrechners du dafür verwenden kannst.
Berechne die Potenzen zuerst schriftlich. Danach kannst du dein Ergebnis mit deinem Taschenrechner überprüfen.
b)
$3^5$
d)
$2^8$
f)
$0,4^2$
h)
$\left(\frac{1}{2}\right)^3$
j)
$\left(\frac{1}{8}\right)^5$
#potenz

Aufgabe 3

Ist der Potenzwert negativ oder positiv? Bestimme den Potenzwert.
Tipp
Der Wert einer Potenz mit positiver Basis ist immer positiv.
Der Wert einer Potenz mit negativer Basis kann positiv oder negativ sein:
Bei geradem Exponent ist der Potenzwert positiv, bei ungeradem Exponent ist der Potenzwert negativ.
Tipp
Der Wert einer Potenz mit positiver Basis ist immer positiv.
Der Wert einer Potenz mit negativer Basis kann positiv oder negativ sein:
Bei geradem Exponent ist der Potenzwert positiv, bei ungeradem Exponent ist der Potenzwert negativ.
b)
$(-4)^2$
d)
$(-10)^6$
f)
$\left(-\frac{2}{3}\right)^5$
h)
$\left(-\frac{3}{8}\right)^3$
j)
$\left(-\frac{3}{7}\right)^6$
#potenz

Aufgabe 4

Berechne die Potenzen und runde die Ergebnisse auf zwei Dezimalstellen.
b)
$(-0,4)^4$
d)
$(-15,3)^8$
f)
$(-17,7)^5$
h)
$(-0,76)^3$
j)
$(-6,7)^9$
#potenz

Aufgabe 5

Ergänze die Basis bzw. den Exponenten.
b)
$\scriptsize 4$
$= 256$
d)
$8$ $\,$ $=4096$
f)
$7$ $\,$ $=16.807$
h)
$9$ $\,$ $=4.782.969$
j)
$\scriptsize 3$
$= 216$
#potenz

Aufgabe 6

Finde heraus, ob die Potenzwerte größer $>$, kleiner $<$, oder gleich $=$ sind.
b)
$2 \cdot 2 \;$ $ \; 2^2$
d)
$ 4^8 \;$ $ \; 6^7$
f)
$ 8^3 \;$ $ \; 4^4$
h)
$ 16^3 \;$ $ \; 2^7$
#potenz

Aufgabe 7

Vergleiche die Potenzwerte.
b)
$(-3)^3 \text{ und } -3^3$
d)
$-5^2 \text{ und } (-5)^2$
f)
$-7^4 \text{ und } -(-7)^4$
#potenz
Bildnachweise [nach oben]
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$  Tabelle ergänzen und fortführen
Erzählvorgang Nummer #Personen, die von dem Gerücht erfahrenProduktPotenzdarstellung
$0$$1$$1$$2^0$
$1$$2$$2$$2^1$
$2$$4$$2 \cdot 2$$2^2$
$3$$8$$2 \cdot 2 \cdot 2$$2^3$
$4$$16$$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 $$2^4$
$5$$32$$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 $$2^5$
$6$$64$$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 $$2^6$
$7$$128$$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 $$2^7$
$8$$256$$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 $$2^8$
$9$$512$$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$$2^9$
$10$$1024$$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 $$2^{10}$
Nach dem $10.$ Erzählvorgang haben also $1024$ Personen von dem Gerücht erfahren.
b)
$\blacktriangleright$  Tabelle erklären und ergänzen
Das Faktorenprodukt setzt sich aus zwei Zahlen (Faktoren), die miteinander multipliziert werden, zusammen. Die Potenz ist eine verkürzte Schreibweise für Produkte aus jeweils gleichen Faktoren. Der Potenzwert stellt das Ergebnis der vielfachen Multiplikation eines Faktors dar. Gerade wenn eine negative Zahl potenziert wird, bleibt das Vorzeichen nicht immer gleich. Hier greift also auch die Vorzeichenregel.
FaktorenproduktPotenzPotenzwert
$(-2) \cdot (-2)$$(-2)^2$$4$
$(-2) \cdot (-2) \cdot (-2)$$(-2)^3$$-8$
$(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)$$(-2)^4$$16$
$(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)$$(-2)^5$$-32$
$(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)$$(-2)^6$$64$
$(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)$$(-2)^7$$-128$
$(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)$$(-2)^8$$256$
$(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)$$(-2)^9$$-512$
#vorzeichenregel

Aufgabe 1

Zähle, wie oft die Zahl, die mit sich selbst multipliziert wird, dasteht. Daraus ergibt sich dann der Exponent.
a)
$\blacktriangleright$  Produkte verkürzen
$5 \cdot 5 \cdot 5$
$= 5^3$
b)
$\blacktriangleright$  Produkte verkürzen
$8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8$
$= 8^7$
c)
$\blacktriangleright$  Produkte verkürzen
$6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 $
$= 6^6$
d)
$\blacktriangleright$  Produkte verkürzen
$11 \cdot 11 \cdot 11 \cdot 11 \cdot 11 \cdot 11 \cdot 11 \cdot 11$
$= 11^8$
e)
$\blacktriangleright$  Produkte verkürzen
$x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$
$= x^5$
f)
$\blacktriangleright$  Produkte verkürzen
$z \cdot z \cdot z \cdot z \cdot z \cdot z$
$= z^6$
g)
$\blacktriangleright$  Produkte verkürzen
$0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2$
$= 0,2^8$
h)
$\blacktriangleright$  Produkte verkürzen
$\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} $
$= \left(\dfrac{1}{2}\right)^5$
i)
$\blacktriangleright$  Produkte verkürzen
$\dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{3}{8}$
$= \left(\dfrac{3}{8}\right)^4$
j)
$\blacktriangleright$  Produkte verkürzen
$\dfrac{1}{9} \cdot \dfrac{1}{9} \cdot \dfrac{1}{9} $
$= \left(\dfrac{1}{9}\right)^3$

Aufgabe 2

Multipliziere den Faktor so oft mit sich selbst, wie der Exponent angibt.
a)
$\blacktriangleright$  Potenzen berechnen
$6^3$
$= 6 \cdot 6 \cdot 6$
$= 216$
b)
$\blacktriangleright$  Potenzen berechnen
$3^5$
$= 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$
$= 243$
c)
$\blacktriangleright$  Potenzen berechnen
$4^6$
$= 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4$
$= 4096$
d)
$\blacktriangleright$  Potenzen berechnen
$2^8$
$= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$
$= 256$
e)
$\blacktriangleright$  Potenzen berechnen
$10^9$
$= 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10$
$= 1.000.000.000$
f)
$\blacktriangleright$  Potenzen berechnen
$0,4^2$
$= 0,4 \cdot 0,4 $
$= 0,16$
g)
$\blacktriangleright$  Potenzen berechnen
$0,8^5$
$= 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,8 $
$= 0,32768$
h)
$\blacktriangleright$  Potenzen berechnen
$\left(\dfrac{1}{2}\right)^3$
$= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} $
$= \dfrac{1}{8}$
i)
$\blacktriangleright$  Potenzen berechnen
$\left(\dfrac{3}{5}\right)^4$
$= \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{3}{5} $
$= \dfrac{81}{625}$
j)
$\blacktriangleright$  Potenzen berechnen
$\left(\dfrac{1}{8}\right)^5$
$= \dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{1}{8} $
$= \dfrac{1}{32.768}$

Aufgabe 3

Multipliziere den Faktor so oft mit sich selbst, wie der Exponent angibt. Bestimme dann, ob der Potenzwert positiv oder negativ ist.
a)
$\blacktriangleright$  Potenzwert bestimmen
$(-3)^3$
$= (-3) \cdot (-3) \cdot (-3)$
$= -27$
Der Potenzwert ist negativ.
b)
$\blacktriangleright$  Potenzwert bestimmen
$(-4)^2$
$= (-4) \cdot (-4)$
$= 16$
Der Potenzwert ist positiv.
c)
$\blacktriangleright$  Potenzwert bestimmen
$(-5)^8$
$= (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) $
$= 390.625$
Der Potenzwert ist positiv.
d)
$\blacktriangleright$  Potenzwert bestimmen
$(-10)^6$
$= (-10) \cdot (-10) \cdot (-10) \cdot (-10) \cdot (-10) \cdot (-10) $
$= 1.000.000$
Der Potenzwert ist positiv.
e)
$\blacktriangleright$  Potenzwert bestimmen
$(-9)^4$
$= (-9) \cdot (-9) \cdot (-9) \cdot (-9) $
$= 6.561$
Der Potenzwert ist positiv.
f)
$\blacktriangleright$  Potenzwert bestimmen
$\left(-\dfrac{2}{3}\right)^5$
$= \left(-\dfrac{2}{3}\right) \cdot \left(-\dfrac{2}{3}\right) \cdot \left(-\dfrac{2}{3}\right) \cdot \left(-\dfrac{2}{3}\right) \cdot \left(-\dfrac{2}{3}\right) $
$= -\dfrac{32}{243}$
Der Potenzwert ist negativ.
g)
$\blacktriangleright$  Potenzwert bestimmen
$\left(-\dfrac{1}{4}\right)^7$
$= \left(-\dfrac{1}{4}\right) \cdot \left(-\dfrac{1}{4}\right) \cdot \left(-\dfrac{1}{4}\right) \cdot \left(-\dfrac{1}{4}\right) \cdot \left(-\dfrac{1}{4}\right) \cdot \left(-\dfrac{1}{4}\right) \cdot \left(-\dfrac{1}{4}\right) $
$= -\dfrac{1}{16.384}$
Der Potenzwert ist negativ.
h)
$\blacktriangleright$  Potenzwert bestimmen
$\left(-\frac{3}{8}\right)^3$
$= \left(-\dfrac{3}{8}\right) \cdot \left(-\dfrac{3}{8}\right) \cdot \left(-\dfrac{3}{8}\right) $
$= -\dfrac{27}{512}$
Der Potenzwert ist negativ.
i)
$\blacktriangleright$  Potenzwert bestimmen
$\left(-\frac{7}{10}\right)^9$
$= \left(-\dfrac{7}{10}\right) \cdot \left(-\dfrac{7}{10}\right) \cdot \left(-\dfrac{7}{10}\right) \cdot \left(-\dfrac{7}{10}\right) \cdot \left(-\dfrac{7}{10}\right) \cdot \left(-\dfrac{7}{10}\right) \cdot \left(-\dfrac{7}{10}\right) \cdot \left(-\dfrac{7}{10}\right) \cdot \left(-\dfrac{7}{10}\right) $
$= -\dfrac{40.353.607}{1.000.000.000}$
Der Potenzwert ist negativ.
j)
$\blacktriangleright$  Potenzwert bestimmen
$\left(-\frac{3}{7}\right)^6$
$= \left(-\dfrac{3}{7}\right) \cdot \left(-\dfrac{3}{7}\right) \cdot \left(-\dfrac{3}{7}\right) \cdot \left(-\dfrac{3}{7}\right) \cdot \left(-\dfrac{3}{7}\right) \cdot \left(-\dfrac{3}{7}\right) $
$= -\dfrac{729}{117.649}$
Der Potenzwert ist positiv.
#vorzeichenregel

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$  Potenzen berechnen und Ergebnis runden
$(-1,2)^3$
$= (-1,2) \cdot (-1,2) \cdot (-1,2)$
$\approx -1,73$
b)
$\blacktriangleright$  Potenzen berechnen und Ergebnis runden
$(-0,4)^4$
$= (-0,4) \cdot (-0,4) \cdot (-0,4) \cdot (-0,4)$
$\approx 0,03$
c)
$\blacktriangleright$  Potenzen berechnen und Ergebnis runden
$(-6,75)^6$
$= (-6,75) \cdot (-6,75) \cdot (-6,75) \cdot (-6,75) \cdot (-6,75) \cdot (-6,75)$
$\approx 94.585,08$
d)
$\blacktriangleright$  Potenzen berechnen und Ergebnis runden
$(-15,3)^8$
$= (-15,3) \cdot (-15,3) \cdot (-15,3) \cdot (-15,3) \cdot (-15,3) \cdot (-15,3) \cdot (-15,3) \cdot (-15,3)$
$\approx 3.002.834.843,26$
e)
$\blacktriangleright$  Potenzen berechnen und Ergebnis runden
$(-24,8)^7$
$= (-24,8) \cdot (-24,8) \cdot (-24,8) \cdot (-24,8) \cdot (-24,8) \cdot (-24,8) \cdot (-24,8)$
$\approx -5.769.813.370,81$
f)
$\blacktriangleright$  Potenzen berechnen und Ergebnis runden
$(-17,7)^5$
$= (-17,7) \cdot (-17,7) \cdot (-17,7) \cdot (-17,7) \cdot (-17,7) $
$\approx -1.737.266,05$
g)
$\blacktriangleright$  Potenzen berechnen und Ergebnis runden
$(-3,28)^2$
$= (-3,28) \cdot (-3,28) $
$\approx 10.76$
h)
$\blacktriangleright$  Potenzen berechnen und Ergebnis runden
$(-0,76)^3$
$= (-0,76) \cdot (-0,76) \cdot (-0,76) $
$\approx -0,44$
i)
$\blacktriangleright$  Potenzen berechnen und Ergebnis runden
$(-24,2)^4$
$= (-24,2) \cdot (-24,2) \cdot (-24,2) \cdot (-24,2) $
$\approx 342.974,21$
j)
$\blacktriangleright$  Potenzen berechnen und Ergebnis runden
$(-6,7)^9$
$= (-6,7) \cdot (-6,7) \cdot (-6,7) \cdot (-6,7) \cdot (-6,7) \cdot (-6,7) \cdot (-6,7) \cdot (-6,7) \cdot (-6,7) $
$\approx - 35.452.087,84$
#vorzeichenregel

Aufgabe 5

a)
$\blacktriangleright$  Basis ergänzen
Hier ziehst du die zweite Wurzel aus $81$, um die Basis zu ergänzen.
$\scriptsize 2$
$= 81$
$= \sqrt[2]{81}$
$= 9$
b)
$\blacktriangleright$  Basis ergänzen
Hier ziehst du die vierte Wurzel aus $256$, um die Basis zu ergänzen.
$\scriptsize 4$
$= 256$
$= \sqrt[4]{256}$
$= 4$
c)
$\blacktriangleright$  Exponent ergänzen
Wie oft musst du die Basis mit sich selbst mulitplizieren, bis du das selbe Ergebnis wie in der Aufgabenstellung hast? Das ist dann der Exponent.
$5$ $\,$ $=125$
$= 5 \cdot 5 \cdot 5 $
$= 125$
Du hast $5$ dreimal mit sich selbst multipliziert. Der Exponent hat also den Wert $3$.
d)
$\blacktriangleright$  Exponent ergänzen
Wie oft musst du die Basis mit sich selbst mulitplizieren, bis du das selbe Ergebnis wie in der Aufgabenstellung hast? Das ist dann der Exponent.
$8$ $\,$ $=4.096$
$= 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 $
$= 4.096$
Du hast $8$ viermal mit sich selbst multipliziert. Der Exponent hat also den Wert $4$.
e)
$\blacktriangleright$  Basis ergänzen
Hier ziehst du die dritte Wurzel aus $\dfrac{1}{512}$, um die Basis zu ergänzen.
$\scriptsize 3$
$= \frac{1}{512}$
$= \sqrt[3]{\dfrac{1}{512}}$
$= \dfrac{1}{8}$
f)
$\blacktriangleright$  Exponent ergänzen
Wie oft musst du die Basis mit sich selbst mulitplizieren, bis du das selbe Ergebnis wie in der Aufgabenstellung hast? Das ist dann der Exponent.
$7$ $\,$ $=16.807$
$= 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 $
$= 16.807$
Du hast $7$ fünfmal mit sich selbst multipliziert. Der Exponent hat also den Wert $5$.
g)
$\blacktriangleright$  Exponent ergänzen
Wie oft musst du die Basis mit sich selbst mulitplizieren, bis du das selbe Ergebnis wie in der Aufgabenstellung hast? Das ist dann der Exponent.
$\left(\dfrac{1}{6}\right)$ $\,$ $=\dfrac{1}{279.936}$
$= \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6} $
$= \dfrac{1}{279.936}$
Du hast $\dfrac{1}{6}$ siebenmal mit sich selbst multipliziert. Der Exponent hat also den Wert $7$.
h)
$\blacktriangleright$  Exponent ergänzen
Wie oft musst du die Basis mit sich selbst mulitplizieren, bis du das selbe Ergebnis wie in der Aufgabenstellung hast? Das ist dann der Exponent.
$9$ $\,$ $=4.782.969$
$= 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 $
$=4.782.969$
Du hast $9$ siebenmal mit sich selbst multipliziert. Der Exponent hat also den Wert $7$.
i)
$\blacktriangleright$  Basis ergänzen
Hier ziehst du die achte Wurzel aus $\dfrac{1}{256}$, um die Basis zu ergänzen.
$\scriptsize 8$
$= \frac{1}{256}$
$= \sqrt[8]{\frac{1}{256}}$
$= \dfrac{1}{2}$
j)
$\blacktriangleright$  Basis ergänzen
Hier ziehst du die dritte Wurzel aus $216$, um die Basis zu ergänzen.
$\scriptsize 3$
$= 216$
$= \sqrt[3]{216}$
$= 6$

Aufgabe 6

a)
$\blacktriangleright$  $<,> \text{oder} =?$
$4^3 \;$ $ \;3^4$
$64 \;$ $ \;81$
$64 \;$ $<$$ \;81$
b)
$\blacktriangleright$  $<,> \text{oder} =?$
$2 \cdot 2 \;$ $ \; 2^2$
$4 \;$ $ \;4$
$4 \;$ $=$ $ \;4$
c)
$\blacktriangleright$  $<,> \text{oder} =?$
$ 10 \cdot 5 \;$ $ \; 10^5$
$ 50 \;$ $ \; 100.000$
$ 50 \;$ $<$$ \; 100.000$
d)
$\blacktriangleright$  $<,> \text{oder} =?$
$ 4^8 \;$ $ \; 6^7$
$ 65.536 \;$ $ \; 279.936$
$ 65.536 \;$ $<$$ \; 279.936$
e)
$\blacktriangleright$  $<,> \text{oder} =?$
$ 3^4 \;$ $ \; 9^2$
$ 81 \;$ $ \; 81$
$ 81 \;$ $=$$ \; 81$
f)
$\blacktriangleright$  $<,> \text{oder} =?$
$ 8^3 \;$ $ \; 4^4$
$ 512 \;$ $ \; 256$
$ 512 \;$ $>$$ \; 256$
g)
$\blacktriangleright$  $<,> \text{oder} =?$
$ 4^4 \;$ $ \; 2^8$
$ 256 \;$ $ \; 256$
$ 256 \;$ $=$$ \; 256$
h)
$\blacktriangleright$  $<,> \text{oder} =?$
$ 16^3 \;$ $ \; 2^7$
$ 4.096 \;$ $ \; 128$
$ 4.096 \;$ $>$$ \; 128$

Aufgabe 7

a)
$\blacktriangleright$  Potenzwert vergleichen
Hier gehört das Vorzeichen nicht zur Basis, da keine Klammer bei der Zahl auf der linken Seite gesetzt wurde. Deswegen ändert sich das Vorzeichen nicht.
$-2^2 \text{ und } 2^2$
$= -4 \text{ und } 4$
b)
$\blacktriangleright$  Potenzwert vergleichen
Ein Vorzeichen gehört nicht zur Basis, sofern keine Klammern gesetzt wurde. In diesem Fall gehört das Vorzeichen zur Basis, da es in der Klammer steht. Da aber der Exponent ungerade ist, verändert sich der Wert nicht.
$(-3)^3 \text{ und } -3^3$
$= -27 \text{ und } -27 $
c)
$\blacktriangleright$  Potenzwert vergleichen
Hier gehört ein negatives Vorzeichen zur Basis der Zahl, die in der Klammer steht. Durch die Potenzierung wird daraus ein positives Vorzeichen. Durch das negative Vorzeichen außerhalb der Klammer wird daraus allerdings wieder ein negativer Wert. Bei der Zahl ohne Klammer gehört das negative Vorzeichen nicht zur Basis und wird deshalb nicht potenziert. Deshalb bleibt der Wert negativ.
$-(-4)^4 \text{ und } -4^4$
$= -256 \text{ und } -256 $
d)
$\blacktriangleright$  Potenzwert vergleichen
Bei der Zahl auf der linken Seite gehört das negative Vorzeichen nicht zur Basis. Also bleibt der Wert negativ. Bei der Zahl auf der rechten Seite gehört das Vorzeichen zur Basis und wird auch potenziert und somit positiv.
$-5^2 \text{ und } (-5)^2$
$= -25 \text{ und } 25 $
e)
$\blacktriangleright$  Potenzwert vergleichen
Ein negatives Vorzeichen gehört hier zur Basis, da es in der Klammer steht. Da hier der Exponent aber ungerade ist, verändert sich das Vorzeichen bei der Zahl in der Klammer nicht. Allerdings steht ein negatives Vorzeichen vor der Klammer. Da der Wert in der Klammer negativ auch negativ ist, wird daraus ein positives Vorzeichen. Auf der rechten Seite gehört das negative Vorzeichen nicht zur Basis und bleibt deshalb erhalten.
$-(-6)^3 \text{ und } -6^3$
$= 216 \text{ und } -216 $
f)
$\blacktriangleright$  Potenzwert vergleichen
Da das negative Vorzeichen der Zahl auf der linken Seite nicht in einer Klammer steht und somit nicht zur Basis gehört, bleibt der Wert negativ. Ein negatives Vorzeichen ist auf der rechten Seite in der Klammer und wird durch die Potenzierung zu einem positiven Vorzeichen. Durch das negative Vorzeichen außerhalb der Klammer wird der Wert allerdings wieder negativ.
$-7^4 \text{ und } -(-7)^4$
$= -2401 \text{ und } -2401 $
#vorzeichenregel
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