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Potenzen potenzieren

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

a)
Ergänze die Rechnung. Welche Rechenregel kannst du aufstellen?
$\left(2^2\right)^4 = (2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2) =$$2$ $\, $
$\left(3^{-2}\right)^3 = \frac{1}{3 \, \cdot \, 3} \cdot \frac{1}{3 \, \cdot \, 3} \cdot \frac{1}{3 \, \cdot \, 3} = \frac{1}{3^6} =$$3$ $\, $
b)
Bestimme den fehlenden Exponenten.
$\left(2^4\right)^3 = 64$
c)
Schreibe das Ergebnis in der Standardschreibweise.
$ \left(0,5 \cdot 10^3\right)^4 $
d)
Schreibe die Basis als Potenz und berechne anschließend den Potenzwert.
$ \color{#87c800}{8}^2 = \left(?^?\right)^2 $
e)
Löse die Klammer auf.
$ \left(x^2 \cdot y^3\right)^2 $
#potenzschreibweise#potenz#potenzgesetze

Aufgabe 1

Berechne die Potenz.
b)
$ \left(2^3\right)^3 $
d)
$ \left(4^2\right)^{-6} $
f)
$ \left(8^{-2}\right)^{-4} $
h)
$ \left(6^{-3}\right)^{-2} $
j)
$ \left(1,2^{-2}\right)^{-4} $
#potenz#potenzgesetze

Aufgabe 2

Bestimme den fehlenden Exponenten.
b)
$\left(7^{-2}\right)$ $= 7^{-8}$
d)
$\left(10^{-5}\right)$ $= 10^{-25}$
f)
$49$ $\, $$= 7^6$
h)
$2^{-6} = 8$
#potenz#potenzgesetze

Aufgabe 3

Schreibe das Ergebnis in der Standardschreibweise. Vereinfache so weit wie möglich. Orientiere dich dabei an Aufgabenteil c) der Einführungsaufgabe.
b)
$\left(1,5 \cdot 10^{-2}\right)^4$
d)
$\left(5 \cdot 10^{-3}\right)^{-2}$
f)
$\left(1,9 \cdot 10^{-6}\right)^{-3}$
h)
$\left(0,006 \cdot 10^{6}\right)^{2}$
j)
$\left(1,4 \cdot 10^{3}\right)^{-2}$
#potenz#potenzgesetze#potenzschreibweise

Aufgabe 4

a)
Bilde die größte und die kleinste Zahl, die man mit den Ziffern $2$, $3$ und $4$ schreiben kann. Benutze die Potenzschreibweise dazu!
b)
Mit welcher Zahl musst du $4^3$ multiplizieren, um auf das gleiche Ergebnis wie $16^4$ zu kommen?
c)
Durch welche Zahl muss man $25^5$ dividieren, um das gleiche Ergebnis wie $5^4$ zu erhalten?
#potenzgesetze#potenz

Aufgabe 5

Schreibe die Basis als Potenz und berechne den Potenzwert im Anschluss.
b)
$49^2$
d)
$27^4$
f)
$125^2$
h)
$1.000^{-3}$
j)
$1.331^{4}$
#potenz#potenzgesetze

Aufgabe 6

Schreibe die Terme als Potenz. Beachte dabei die Potenzgesetze.
b)
$\left(12^2\right)^5$
d)
$5^2 : 5^6$
f)
$6^7 : 2^7$
h)
$10^4 : 0,001^4$
j)
$\left(12^{-4}\right)^4$
#potenzgesetze#potenz

Aufgabe 7

Schreibe die Terme als Potenz.
b)
$\left(n^2\right)^{-3}$
d)
$\left(d^7\right)^{-2}$
f)
$p^2 : p^{-3}$
h)
$x^3 : y^3$
j)
$s^4 : t^4$
#potenz#potenzgesetze

Aufgabe 8

Löse die Klammern auf.
b)
$ \left(x^5 \cdot y^7 \cdot z^6\right)^2 $
d)
$ \left(3d^3 \cdot 4e^8 \cdot 7f^9\right)^3 $
#potenz#potenzgesetze
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$  Rechnung vervollständigen und Rechenregel aufstellen
$\left(2^2\right)^4 = (2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2) = 2^8$
$\left(3^{-2}\right)^3 = \frac{1}{3 \, \cdot \, 3} \cdot \frac{1}{3 \, \cdot \, 3} \cdot \frac{1}{3 \, \cdot \, 3} = \frac{1}{3^6} = 3^{-6}$
Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert und die Basis beibehält.
$ \left(a^b\right)^c = a^{b \, \cdot \, c} $
Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert und die Basis beibehält.
$ \left(a^b\right)^c = a^{b \, \cdot \, c} $
b)
$\blacktriangleright$  Exponenten bestimmen
Berechne zuerst den Potenzwert der gegebenen Potenz. Ziehe dann die Wurzel aus diesem Ergebnis.
$\begin{array}[t]{rll} \left(2^4\right)^3 &=& 2^{4 \, \cdot \, 3} &\quad \\[5pt] &=& 2^{12} &\quad \\[5pt] &=& 4.096 \end{array}$
Ziehe dann die Wurzel aus diesem Ergebnis.
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{4.096}&=& 64 &\quad \\[5pt] \end{array}$
Überprüfe nun dein Ergebnis.
$\begin{array}[t]{rll} \left(2^4\right)^3 &=& 64^2 &\quad \\[5pt] 4.096 &=& 4.096 \end{array}$
Die Lösung lautet also:
$\begin{array}[t]{rll} \left(2^4\right)^3 &=& 64^2 \end{array}$
c)
$\blacktriangleright$  Standardschreibweise anwenden
Potenziere zuerst die beiden Werte in der Klammer. Danach kannst du die Dezimalzahl zu einer ganzen Zahl umformen. Zähle hierfür, wie viele Nachkommastellen die Dezimalzahl hat. So oft musst du die Dezimalzahl mit 10 multiplizieren, damit du eine ganze Zahl erhältst. Splitte $10^{12}$ auf und multipliziere mit der Dezimalzahl. Versuche, die Zahlen hinter dem Komma so gering wie möglich zu halten.
$\begin{array}[t]{rll} \left(0,5 \cdot 10^3\right)^4 &=& 0,5^4 \cdot 10^{3 \, \cdot \, 4} &\quad \\[5pt] &=& 0,0625 \cdot 10^{12} &\quad \\[5pt] &=& 0,0625 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10^8 &\quad \\[5pt] &=& 625 \cdot 10^8 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
d)
$\blacktriangleright$  Basis als Potenz schreiben und Potenzwert berechnen
Die Basis ist die Zahl, die vor der Potenz steht.
$\begin{array}[t]{rll} 8^2 &=& \left(2^3\right)^2 &\quad \\[5pt] &=& 2^{3 \, \cdot \, 2} &\quad \\[5pt] &=& 2^6 &\quad \\[5pt] &=& 64 \end{array}$
e)
$\blacktriangleright$  Klammer auflösen
Du musst beide Werte in der Klammer mit $2$ potenzieren. Berechne danach die beiden Potenzwerte.
$\begin{array}[t]{rll} \left(x^2 \cdot y^3\right)^2 &=& \left(x^2\right)^2 \cdot \left(y^3\right)^2 &\quad \\[5pt] &=& x^{2 \, \cdot \, 2} \cdot y^{3 \, \cdot \, 2} &\quad \\[5pt] &=& x^4 \cdot y^6 \end{array}$

Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Potenz berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \left(3^3\right)^2 &=& 3^{ 3 \, \cdot \, 2} &\quad \\[5pt] &=& 3^6 \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$  Potenz berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \left(2^3\right)^3 &=& 2^{ 3 \, \cdot \, 3} &\quad \\[5pt] &=& 2^9 \end{array}$
c)
$\blacktriangleright$  Potenz berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \left(2^3\right)^{-2} &=& 2^{ 3 \, \cdot \, (-2)} &\quad \\[5pt] &=& 2^{-6} \end{array}$
d)
$\blacktriangleright$  Potenz berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \left(4^2\right)^{-6} &=& 4^{ 2 \, \cdot \, (-6)} &\quad \\[5pt] &=& 4^{-12} \end{array}$
e)
$\blacktriangleright$  Potenz berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \left(5^{-5}\right)^{-2} &=& 5^{ (-5) \, \cdot \, (-2)} &\quad \\[5pt] &=& 5^{10} \end{array}$
f)
$\blacktriangleright$  Potenz berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \left(8^{-2}\right)^{-4} &=& 8^{ (-2) \, \cdot \, (-4)} &\quad \\[5pt] &=& 8^{8} \end{array}$
g)
$\blacktriangleright$  Potenz berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \left(7^{-3}\right)^{4} &=& 7^{ (-3) \, \cdot \, 4} &\quad \\[5pt] &=& 7^{-12} \end{array}$
h)
$\blacktriangleright$  Potenz berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \left(6^{-3}\right)^{-2} &=& 6^{ (-3) \, \cdot \, (-2)} &\quad \\[5pt] &=& 6^{6} \end{array}$
i)
$\blacktriangleright$  Potenz berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \left(0,5^{-2}\right)^{2} &=& 0,5^{ (-2) \, \cdot \, 2} &\quad \\[5pt] &=& 0,5^{-4} \end{array}$
j)
$\blacktriangleright$  Potenz berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \left(1,2^{-2}\right)^{-4} &=& 1,2^{ (-2) \, \cdot \, (-4)} &\quad \\[5pt] &=& 1,2^{8} \end{array}$

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Exponenten bestimmen
Potenziere die Potenz.
$\begin{array}[t]{rll} \left(4^2\right)^3 &=& 4^{2 \, \cdot \, 3} &\quad \\[5pt] &=& 4^6 \end{array}$
$6$
$\left(4^2\right)^3 = 4$
b)
$\blacktriangleright$  Exponenten bestimmen
Hier ist die Zahl gesucht, die mit $-2$ multipliziert $-8$ ergibt. Dividiere also $-8$ durch $-2$ und du hast das Ergebnis.
$\begin{array}[t]{rll} -8 : (-2)&=& 4 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$\left(7^{-2}\right)$$ 4$ $= 7^{-8}$
c)
$\blacktriangleright$  Exponenten bestimmen
Hier ist die Zahl gesucht, die mit $2$ multipliziert $-6$ ergibt. Dividiere also $-6$ durch $2$ und du hast das Ergebnis.
$\begin{array}[t]{rll} -6 : 2&=& -3 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$\left(9^2\right)$$-3$ $= 9^{-6}$
d)
$\blacktriangleright$  Exponenten bestimmen
Hier ist die Zahl gesucht, die mit $-5$ multipliziert $-25$ ergibt. Dividiere also $-25$ durch $-5$ und du hast das Ergebnis.
$\begin{array}[t]{rll} -25 : (-5)&=& 5 &\quad \\[5pt] \end{array}$
$\left(10^{-5}\right)$$5$ $= 10^{-25}$
e)
$\blacktriangleright$  Exponenten bestimmen
Berechne zuerst den Potenzwert von $4^{-3}$.
$\begin{array}[t]{rll} 4^{-3}&=& \dfrac{1}{64} \end{array}$
Ziehe jetzt die Wurzel aus $\dfrac{1}{64}$.
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{\dfrac{1}{64}}&=& \dfrac{1}{8} &\quad \\[5pt] &=& 8^{-2} \end{array}$
$-2$
$4^{-3} = 8$
f)
$\blacktriangleright$  Exponenten bestimmen
Berechne zuerst den Potenzwert von $7^6$.
$\begin{array}[t]{rll} 7^6 &=& 117.649 &\quad \\[5pt] \end{array}$
Ziehe jetzt die Wurzel aus $117.649$.
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{117.649} &=& 343 &\quad \end{array}$
Ziehe erneut die Wurzel aus $343$.
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{343} &=& 49 &\quad \end{array}$
Wenn du also $49$ drei Mal mit sich selbst multiplizierst, erhältst du das selbe Ergebnis wie $7^6$.
$3$
$49$ $\, $$= 7^6$
g)
$\blacktriangleright$  Exponenten bestimmen
Berechne zuerst die Terme, die dir bekannt sind.
$\begin{array}[t]{rll} 3^2&=& 9 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 27^2&=& 729 \end{array}$
Ziehe nun die dritte Wurzel aus $729$.
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt[3]{729}&=& 9 &\quad \end{array}$
Du musst $3^2$ also mit $3$ potenzieren, um auf das selbe Ergebnis wie $27^2$ zu kommen.
$\left(3^2\right)$$3$ $= 27^2$
h)
$\blacktriangleright$  Exponenten bestimmen
Berechne zuerst die Potenz.
$\begin{array}[t]{rll} 2^{-6} &=& \dfrac{1}{64} \end{array}$
Ziehe jetzt die Wurzel aus $\dfrac{1}{64}$.
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{\dfrac{1}{64}}&=& \dfrac{1}{8} &\quad \\[5pt] &=& 8^{-2} \end{array}$
$-2$
$2^{-6} = 8$

Aufgabe 3

Potenziere zuerst die beiden Werte in der Klammer. Danach kannst du die Dezimalzahl zu einer ganzen Zahl umformen. Zähle hierfür, wie viele Nachkommastellen die Dezimalzahl hat. So oft musst du die Dezimalzahl mit 10 multiplizieren, damit du eine ganze Zahl erhältst. Splitte $10^{x}$ auf und multipliziere mit der Dezimalzahl. Versuche, die Zahlen hinter dem Komma so gering wie möglich zu halten.
a)
$\blacktriangleright$  Standardschreibweise benutzen
$\begin{array}[t]{rll} \left(3 \cdot 10^5\right)^2 &=& 3^2 \cdot 10^{5 \, \cdot \, 2} &\quad \\[5pt] &=& 9 \cdot 10^{10} &\quad \\[5pt] \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$  Standardschreibweise benutzen
$\begin{array}[t]{rll} \left(1,5 \cdot 10^{-2}\right)^4 &=& 1,5^4 \cdot 10^{(-2) \, \cdot \, 4} &\quad \\[5pt] &=& 5,0625 \cdot 10^{-8} &\quad \\[5pt] &=& 5,0625 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10^{-12} &\quad \\[5pt] &=& 50625 \cdot 10^{-12} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
c)
$\blacktriangleright$  Standardschreibweise benutzen
$\begin{array}[t]{rll} \left(0,5 \cdot 10^3\right)^3 &=& 0,5^3 \cdot 10^{3 \, \cdot \, 3} &\quad \\[5pt] &=& 0,125 \cdot 10^{9} &\quad \\[5pt] &=& 0,125 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10^6 &\quad \\[5pt] &=& 125 \cdot 10^6 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
d)
$\blacktriangleright$  Standardschreibweise benutzen
$\begin{array}[t]{rll} \left(5 \cdot 10^{-3}\right)^{-2} &=& 5^{-2} \cdot 10^{(-3) \, \cdot \, (-2)} &\quad \\[5pt] &=& 0,04 \cdot 10^{6} &\quad \\[5pt] &=& 0,04 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10^4 &\quad \\[5pt] &=& 4 \cdot 10^4 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
e)
$\blacktriangleright$  Standardschreibweise benutzen
$\begin{array}[t]{rll} \left(0,04 \cdot 10^5\right)^3 &=& 0,04^{3} \cdot 10^{5 \, \cdot \, 3} &\quad \\[5pt] &=& 0,000064 \cdot 10^{15} &\quad \\[5pt] &=& 0,000064 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10^9 &\quad \\[5pt] &=& 64 \cdot 10^9 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
f)
$\blacktriangleright$  Standardschreibweise benutzen
$\begin{array}[t]{rll} \left(1,9 \cdot 10^{-6}\right)^{-3} &=& 1,9^{-3} \cdot 10^{(-6) \, \cdot \, (-3)} &\quad \\[5pt] &=& 0,1457938474996355 \cdot 10^{18} &\quad \\[5pt] &=& 0,1457938474996355 \cdot 10^{16} \cdot 10^2 &\quad \\[5pt] &=& 1.457.938.474.996.355 \cdot 10^2 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
g)
$\blacktriangleright$  Standardschreibweise benutzen
$\begin{array}[t]{rll} \left(6,2 \cdot 10^3\right)^{-4} &=& 6,2^{-4} \cdot 10^{3 \, \cdot \, (-4)} &\quad \\[5pt] &=& 0.000676757756456 \cdot 10^{-12} &\quad \\[5pt] &=& 0.000676757756456 \cdot 10^{15} \cdot 10^{-31} &\quad \\[5pt] &=& 676.757.756.456 \cdot 10^{-31} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
h)
$\blacktriangleright$  Standardschreibweise benutzen
$\begin{array}[t]{rll} \left(0,006 \cdot 10^{6}\right)^{2} &=& 0,006^{2} \cdot 10^{6 \, \cdot \, 2} &\quad \\[5pt] &=& 0.000036 \cdot 10^{12} &\quad \\[5pt] &=& 0.000036 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10^6 &\quad \\[5pt] &=& 36 \cdot 10^6 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
i)
$\blacktriangleright$  Standardschreibweise benutzen
$\begin{array}[t]{rll} \left(3,2 \cdot 10^{-4}\right)^{-2} &=& 3,2^{-2} \cdot 10^{(-4) \, \cdot \, (-2)} &\quad \\[5pt] &=& 0,09765625 \cdot 10^{8} &\quad \\[5pt] &=& 0.09765625 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10^{2} &\quad \\[5pt] &=& 97656,25 \cdot 10^2 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
j)
$\blacktriangleright$  Standardschreibweise benutzen
$\begin{array}[t]{rll} \left(1,4 \cdot 10^{3}\right)^{-2} &=& 1,4^{-2} \cdot 10^{3 \, \cdot \, (-2)} &\quad \\[5pt] &=& 0,5102040816326531 \cdot 10^{-6} &\quad \\[5pt] &=& 0,5102040816326531 \cdot 10^{16} \cdot 10^{-24} &\quad \\[5pt] &=& 5.102.040.816.326.531 \cdot 10^{-24} \end{array}$
$ ERGEBNIS $

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$  Aufgabe lösen
Du sollst die größte und die kleinste Zahl, die man mit den Ziffern $2$, $3$ und $4$ schreiben kann, bilden. Benutze hierfür die Potenzschreibweise. Hier bietet es sich an, jeweils eine Ziffer als Basis zu bestimmen und die beiden anderen Ziffern als Hochzahlen miteinander zu multiplizieren. Vergleiche im Anschluss die ausgerechneten Potenzwerte und bestimme die größte Zahl.
(1) $\begin{array}[t]{rll} \left(2^3\right)^4&=& 2^{12} &\quad \\[5pt] &=& 4.096 \end{array}$
(2) $\begin{array}[t]{rll} \left(3^2\right)^4&=& 2^{8} &\quad \\[5pt] &=& 256 \end{array}$
(3) $\begin{array}[t]{rll} \left(4^2\right)^3&=& 4^6 &\quad \\[5pt] &=& 4.096 \end{array}$
Das Ergebnis von (1) und (2) ist gleich und stellt die größte Zahl dar. Die Lösung von (2) ist die kleinste Zahl.
b)
$\blacktriangleright$  Aufgabe lösen
Du sollst herausfinden, mit welcher Zahl du $4^3$ multiplizieren musst, um auf das gleiche Ergebnis wie $16^4$ zu kommen. Berechne dazu erst die Potenzwerte beider Zahlen.
(1) $\begin{array}[t]{rll} 4^3 &=& 64 \end{array}$
(2) $\begin{array}[t]{rll} 16^4 &=& 65.536 \end{array}$
Stelle jetzt eine Gleichung auf. Das Ergebnis von $4^3$ soll mit einer Zahl $x$ multipliziert das gleiche Ergebnis wie $16^4$ sein. Löse dann die Gleichung, indem du nach $x$ auflöst.
$\begin{array}[t]{rll} 64 \cdot x &=& 65.536 &\quad \scriptsize \mid\; : 64 \\[5pt] x &=& 1.024 \end{array}$
Du musst also $1.024$ mit $4^3$ multiplizieren, um auf das selbe Ergebnis wie $16^4$ zu kommen.
c)
$\blacktriangleright$  Aufgabe lösen
Du sollst bestimmen, durch welche Zahl du $25^5$ dividieren musst, um das gleiche Ergebnis wie $5^4$ zu erhalten. Berechne dazu erst die Potenzwerte beider Zahlen.
(1) $\begin{array}[t]{rll} 25^5 &=& 9.765.625 \end{array}$
(2) $\begin{array}[t]{rll} 5^4 &=& 625 \end{array}$
Stelle jetzt eine Gleichung auf. Das Ergebnis von $25^5$ dividiert durch eine Zahl $x$ soll das gleiche Ergebnis wie $5^4$ sein. Löse dann die Gleichung, indem du nach $x$ auflöst.
$\begin{array}[t]{rll} 9.765.625 : x &=& 625 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot x\\[5pt] 9.765.625 &=& 625 \cdot x &\quad \scriptsize \mid\; :625\\[5pt] 15.625 &=& x \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Du musst $25^5$ also durch $15.625$ dividieren, um auf das gleiche Ergebnis wie $5^4$ zu kommen.

Aufgabe 5

a)
$\blacktriangleright$  Basis als Potenz schreiben und Potenzwert berechnen
$\begin{array}[t]{rll} 25^3&=& \left(5^2\right)^3 &\quad \\[5pt] &=& 5^6 &\quad \\[5pt] &=& 15.625 \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$  Basis als Potenz schreiben und Potenzwert berechnen
$\begin{array}[t]{rll} 49^2&=& \left(7^2\right)^2 &\quad \\[5pt] &=& 7^4 &\quad \\[5pt] &=& 2.401 \end{array}$
c)
$\blacktriangleright$  Basis als Potenz schreiben und Potenzwert berechnen
$\begin{array}[t]{rll} 36^{-3}&=& \left(6^2\right)^{-3} &\quad \\[5pt] &=& 6^{-6} &\quad \\[5pt] &=& \dfrac{1}{46.656} \end{array}$
d)
$\blacktriangleright$  Basis als Potenz schreiben und Potenzwert berechnen
$\begin{array}[t]{rll} 27^4 &=& \left(3^3\right)^{4} &\quad \\[5pt] &=& 3^{12} &\quad \\[5pt] &=& 531.441 \end{array}$
e)
$\blacktriangleright$  Basis als Potenz schreiben und Potenzwert berechnen
$\begin{array}[t]{rll} 64^{5} &=& \left(4^3\right)^{5} &\quad \\[5pt] &=& 4^{15} &\quad \\[5pt] &=& 1.073.741.824 \end{array}$
f)
$\blacktriangleright$  Basis als Potenz schreiben und Potenzwert berechnen
$\begin{array}[t]{rll} 125^2 &=& \left(5^3\right)^{2} &\quad \\[5pt] &=& 5^{6} &\quad \\[5pt] &=& 15.625 \end{array}$
g)
$\blacktriangleright$  Basis als Potenz schreiben und Potenzwert berechnen
$\begin{array}[t]{rll} 0,81^{3} &=& \left(0,9^2\right)^{3} &\quad \\[5pt] &=& 0,9^{6} &\quad \\[5pt] &=& 0,531441 \end{array}$
h)
$\blacktriangleright$  Basis als Potenz schreiben und Potenzwert berechnen
$\begin{array}[t]{rll} 1.000^{-3} &=& \left(10^3\right)^{-3} &\quad \\[5pt] &=& 10^{-9} &\quad \\[5pt] &=& 0,000000001 \end{array}$
i)
$\blacktriangleright$  Basis als Potenz schreiben und Potenzwert berechnen
$\begin{array}[t]{rll} 8.000^{2} &=& \left(20^3\right)^{2} &\quad \\[5pt] &=& 20^{6} &\quad \\[5pt] &=& 64.000.000 \end{array}$
j)
$\blacktriangleright$  Basis als Potenz schreiben und Potenzwert berechnen
$\begin{array}[t]{rll} 1.331^{4} &=& \left(11^3\right)^{4} &\quad \\[5pt] &=& 11^{12} &\quad \\[5pt] &=& 3.138.428.376.721 \end{array}$
$ ERGEBNIS $

Aufgabe 6

a)
$\blacktriangleright$  Als Potenz schreiben
$\begin{array}[t]{rll} \left(8^4\right)^3&=& 8^{4 \, \cdot \, 3} &\quad \\[5pt] &=& 8^{12} \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$  Als Potenz schreiben
$\begin{array}[t]{rll} \left(12^2\right)^5&=& 12^{2 \, \cdot \, 5} &\quad \\[5pt] &=& 12^{10} \end{array}$
c)
$\blacktriangleright$  Als Potenz schreiben
$\begin{array}[t]{rll} 3^3 \cdot 3^5 &=& 3^{3 \, + \, 5} &\quad \\[5pt] &=& 3^{8} \end{array}$
d)
$\blacktriangleright$  Als Potenz schreiben
$\begin{array}[t]{rll} 5^2 : 5^6 &=& 5^{2 \, - \, 6} &\quad \\[5pt] &=& 5^{-4} \end{array}$
e)
$\blacktriangleright$  Als Potenz schreiben
$\begin{array}[t]{rll} 4^8 \cdot 2^8 &=& (4 \cdot 2)^8 &\quad \\[5pt] &=& 8^8 \end{array}$
f)
$\blacktriangleright$  Als Potenz schreiben
$\begin{array}[t]{rll} 6^7 : 2^7 &=& \left(6 : 2\right)^7 &\quad \\[5pt] &=& 3^7 \end{array}$
g)
$\blacktriangleright$  Als Potenz schreiben
$\begin{array}[t]{rll} 0,1^{-2} \cdot 10^{-2} &=& \left(0,1 \cdot 10\right)^{-2} &\quad \\[5pt] &=& 1^{-2} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
h)
$\blacktriangleright$  Als Potenz schreiben
$\begin{array}[t]{rll} 10^4 : 0,001^4 &=& \left(10 : 0,001\right)^{4} &\quad \\[5pt] &=& 10.000^4 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
i)
$\blacktriangleright$  Als Potenz schreiben
$\begin{array}[t]{rll} \left(4,2^{-2}\right)^{-3} &=& 4,2^{(-2) \, \cdot \, (-3)} &\quad \\[5pt] &=& 4,2^6 \end{array}$
j)
$\blacktriangleright$  Als Potenz schreiben
$\begin{array}[t]{rll} \left(12^{-4}\right)^4 &=& 12^{(-4) \, \cdot \, 4} &\quad \\[5pt] &=& 12^{-16} \end{array}$

Aufgabe 7

a)
$\blacktriangleright$  Als Potenz schreiben
$\begin{array}[t]{rll} \left(m^{-3}\right)^4 &=& m^{(-3) \, \cdot \, 4} &\quad \\[5pt] &=& m^{-12} \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$  Als Potenz schreiben
$\begin{array}[t]{rll} \left(n^2\right)^{-3} &=& n^{2 \, \cdot \, (-3)} &\quad \\[5pt] &=& n^{-6} \end{array}$
c)
$\blacktriangleright$  Als Potenz schreiben
$\begin{array}[t]{rll} \left(a^{-4}\right)^{-5} &=& a^{(-4) \, \cdot \, (-5)} &\quad \\[5pt] &=& a^{20} \end{array}$
d)
$\blacktriangleright$  Als Potenz schreiben
$\begin{array}[t]{rll} \left(d^7\right)^{-2} &=& d^{7 \, \cdot \, (-2)} &\quad \\[5pt] &=& d^{-14} \end{array}$
e)
$\blacktriangleright$  Als Potenz schreiben
$\begin{array}[t]{rll} j^3 \cdot j^{-4} &=& j^{3 \, + \, (-4)} &\quad \\[5pt] &=& j^{-1} \end{array}$
f)
$\blacktriangleright$  Als Potenz schreiben
$\begin{array}[t]{rll} p^2 : p^{-3} &=& p^{2 \, - \, (-3)} &\quad \\[5pt] &=& p^{5} \end{array}$
g)
$\blacktriangleright$  Als Potenz schreiben
$\begin{array}[t]{rll} s^{-7} \cdot s^{-9} &=& s^{-7 \, + \, (-9)} &\quad \\[5pt] &=& s^{-16} \end{array}$
h)
$\blacktriangleright$  Als Potenz schreiben
$\begin{array}[t]{rll} x^3 : y^3 &=& \dfrac{x \cdot x \cdot x}{y \cdot y \cdot y} &\quad \\[5pt] &=& \left(\dfrac{x}{y}\right)^3 \end{array}$
i)
$\blacktriangleright$  Als Potenz schreiben
$\begin{array}[t]{rll} a^{-2} \cdot b^{-2} &=& \dfrac{1}{a} \cdot \dfrac{1}{a} \cdot \dfrac{1}{b} \cdot \dfrac{1}{b} &\quad \\[5pt] &=& \dfrac{1}{(a \, \cdot \, b)^2} &\quad \\[5pt] &=& \left(a \cdot b\right)^{-2} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
j)
$\blacktriangleright$  Als Potenz schreiben
$\begin{array}[t]{rll} s^4 : t^4 &=& \dfrac{s \cdot s \cdot s \cdot s}{t \cdot t \cdot t \cdot t} &\quad \\[5pt] &=& \left(\dfrac{s}{t}\right)^4 \end{array}$

Aufgabe 8

a)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} \left(a^3 \cdot b^6\right)^4&=& a^{3 \, \cdot \, 4} \cdot b^{6 \, \cdot \, 4} &\quad \\[5pt] &=& a^{12} \cdot b^{24} \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} \left(x^5 \cdot y^7 \cdot z^6\right)^2 &=& x^{5 \, \cdot \, 2} \cdot y^{7 \, \cdot \, 2} \cdot z^{6 \, \cdot \, 2} &\quad \\[5pt] &=& x^{10} \cdot y^{14} \cdot z^{12} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
c)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} \left(4 \cdot s^5 \cdot t^9\right)^7 &=& 4^7 \cdot s^{5 \, \cdot \, 7} \cdot t^{9 \, \cdot \, 7} &\quad \\[5pt] &=& 16.384 \cdot s^{35} \cdot t^{63} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
d)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} \left(3d^3 \cdot 4e^8 \cdot 7f^9\right)^3 &=& \left(3^3 \cdot \left(d^3\right)^3\right) \cdot \left(4^3 \cdot \left(e^8\right)^3\right) \cdot \left(7^3 \cdot \left(f^9\right)^3\right) &\quad \\[5pt] &=& 27d^9 \cdot 64e^{24} \cdot 343f^{27} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
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