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Rechnen mit Potenzen

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Tipp
Potenzen kann man leicht addieren oder subtrahieren, wenn diese die gleiche Basis und die gleichen Exponenten haben.
Tipp
Potenzen kann man leicht addieren oder subtrahieren, wenn diese die gleiche Basis und die gleichen Exponenten haben.
a)
Fasse die Terme in der zweiten Zeile zusammen. Orientiere dich dabei am Beispiel in der ersten Zeile.
Fasse die unten stehenden Terme zusammen. Orientiere dich dabei am Beispiel.
$2 \cdot c^2 + 3 \cdot d^2 + 4 \cdot c^2 + 5 \cdot d^2 $
$=$
$2 c^2 + 4 c^2 + 3 d^2 + 5 d^2$
$\, =$
$6c^2 + 8d^2$
$ 15b^2 - 14b^2$
$\;$
$4a^2 + 5a^2$
$\;$
$12x^2 + 14y^3 + 8x^2$
$\;$
$3 \cdot t^4 + 8 \cdot u^3 - 7 \cdot v^2$
$2c^2 + 3d^2 + 4c^2 + 5d^2 $
$= 2c^2 + 4c^2 + 3d^2 + 5d^2$
$= 6c^2 + 8d^2$
$ 15b^2 - 14b^2$
$\;$
$4a^2 + 5a^2$
$\;$
$12x^2 + 14y^3 + 8x^2$
$\;$
$3t^4 + 8u^3 - 7v^2$
b)
Ergänze die Rechnung.
$ 2^3 + 2^3 + 2^3 +2^3 +2^3 $
$\, =$
$ ? \cdot 2^3$
$\, =$
$?$
#potenz

Aufgabe 1

Fasse die Terme zusammen.
b)
$11x^3 - 8x^3 + 5x^3$
d)
$14y^4 - 25m^4 - 8y^4 + 40m^4$
f)
$1,2a^6 - 0,8a^6+a^6$
h)
$19r^5s^8 + 11rs^8$
#potenz

Aufgabe 2

Fasse die Terme so weit wie möglich zusammen.
b)
$ 12xy + 4x^4 - 3y^4 + 18xy + 6x^4 - 2y^4$
d)
$ 4,5a^3 + 2,5b^4 + 1,7ab + 3,8a^3 + 2,6ab + 5b^4$
f)
$ 2,15n^2 - 1,55p^6 + 3,85n^2 + 1,85p^6$
#potenz

Aufgabe 3

Löse zuerst die Klammern auf und fasse danach so weit wie möglich zusammen.
b)
$ 3 \cdot (a^2 + b^3) + 4 \cdot (a^2 - b^2) $
d)
$ 8 \cdot (t^2 + u^6) + 12t^2 + 5 \cdot (t^2 - u^6) -18u^6 $
f)
$ 20e^3 \cdot (f^4 + g^5) + 12f^4 \cdot (10e^3 - 6g^5) - 4e^3f^4 $
#potenz

Aufgabe 4

Ergänze die Tabellen.
b)
$-$$15x^3$$7y^2 + 12x^3$$22z^5 - 5y^2 $
$28y^2$$ $$ $$ $
$10z^5$$ $$ $$ $
$51x^3$$ $$ $$ $
#potenz

Aufgabe 5

Du kannst Terme auch verkürzen. Schreibe die Terme wie im Aufgabenteil b) der Einführungsaufgabe und berechne den Potenzwert.
b)
$ 3^3 + 3^3 + 3^3 + 3^3 + 3^3 + 3^3 + 3^3$
d)
$ (-6)^2 - (-6)^2 + (-6)^2 - (-6)^2 - (-6)^2 - (-6)^2 $
f)
$ 5^3 + 4 \cdot 5^3 - 3 \cdot 5^3 $
#potenz

Aufgabe 6

Rechne zuerst die Klammer aus und berechne dann den Potenzwert.
b)
$ (15 + 4)^2 + (5+7)^3 $
d)
$ (22 + 8) \cdot 4^5 $
f)
$(4^6 - 4^5) \cdot 3^6 - 3^{13} $
#potenz

Aufgabe 7

Finde heraus, ob die Potenzwerte größer >, kleiner <, oder gleich = sind.
b)
$12^3 - 4^3 \;$ $\, $$(12-4)^3 $
d)
$(4 + 5)^{-2} \;$ $\, $$4^{-2} + 5^{-2} $
f)
$ 6 \cdot (7-3)^3 \;$ $\, $$ 7^3 - 3^3 $
h)
$ (15 : 3)^4 \;$ $\, $$ 15^4 : 3^4 $
#potenz
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$  Terme zusammenfassen
$ 15b^2 - 14b^2$
$=$
$b^2 $
$4a^2 + 5a^2$
$=$
$9a^2 $
$12x^2 + 14y^3 + 8x^2$
$=$
$20x^2 + 14y^3 $
$ ERGEBNIS $
$3 \cdot t^4 + 8 \cdot u^3 - 7 \cdot v^2$
$\rightarrow$
Hier ist es nicht möglich, die Faktoren zusammenzufassen!
$ ERGEBNIS $
b)
$\blacktriangleright$  Rechnung ergänzen
$ 2^3 + 2^3 + 2^3 +2^3 +2^3 $
$\, =$
$ 5 \cdot 2^3$
$\, =$
$40$

Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Terme zusammenfassen
$ 4a^2 + 24a^2 - 15a^2$
$=13a^2$
b)
$\blacktriangleright$  Terme zusammenfassen
$11x^3 - 8x^3 + 5x^3$
$=8x^3$
c)
$\blacktriangleright$  Terme zusammenfassen
$ 85z^5 - 18z^5 - 52z^5$
$=-15z^5$
d)
$\blacktriangleright$  Terme zusammenfassen
$14y^4 - 25m^4 - 8y^4 + 40m^4$
$=6y^4 + 15m^4$
e)
$\blacktriangleright$  Terme zusammenfassen
$ 112jk^7 + 78jk^7$
$=190jk^7$
f)
$\blacktriangleright$  Terme zusammenfassen
$1,2a^6 - 0,8a^6+a^6$
$=3a^6$
g)
$\blacktriangleright$  Terme zusammenfassen
$ 4,7d^4ef^3 - 3,5d^4ef^3 + def$
$=1,2d^4ef^3 + def$
h)
$\blacktriangleright$  Terme zusammenfassen
$19r^5s^8 + 11rs^8$
$=19r^5s^8 + 11rs^8$
Bei dieser Rechnung ist es nicht möglich, die Faktoren zusammenzufassen!

Aufgabe 2

Bei dieser Aufgabe kann es helfen, zuerst die Faktoren mit gleichem Exponenten nebeneinander zu schreiben. Danach kannst du die Terme zusammenfassen.
a)
$\blacktriangleright$  Terme zusammenfassen
$ 5a^2 + 3b^2 - 2a^2 + 6b^2 + 10a^2 - 5b^2$
$= 5a^2 - 2a^2 + 10a^2 + 3b^2 + 6b^2 - 5b^2$
$= 13a^2 + 4b^2$
$ ERGEBNIS $
b)
$\blacktriangleright$  Terme zusammenfassen
$ 12xy + 4x^4 - 3y^4 + 18xy + 6x^4 - 2y^4$
$= 12xy + 18xy + 4x^4 + 6x^4 - 3y^4 - 2y^4$
$= 30xy + 10x^4 - 5y^4$
$ ERGEBNIS $
c)
$\blacktriangleright$  Terme zusammenfassen
$ 10x^2y^3 - 5x^2 + 11y^3 + 2x^2 + x^2y^3 -y^3 $
$= 10x^2y^3 + x^2y^3 - 5x^2 + 2x^2 + 11y^3 -y^3 $
$= 11x^2y^3 - 3x^2 + 10y^3 $
$ ERGEBNIS $
d)
$\blacktriangleright$  Terme zusammenfassen
$ 4,5a^3 + 2,5b^4 + 1,7ab + 3,8a^3 + 2,6ab + 5b^4$
$= 4,5a^3 + 3,8a^3 + 2,5b^4 + 5b^4 + 1,7ab + 2,6ab $
$= 8,3a^3 + 7,5b^4 + 4,3ab $
$ ERGEBNIS $
e)
$\blacktriangleright$  Terme zusammenfassen
$ 7v^5w^6 - 2v^5 + 3w^6 - 4w^6 + 2v^5w^6 - 5v^5 + 6w^6 $
$= 7v^5w^6 + 2v^5w^6 - 2v^5 - 5v^5 + 3w^6 - 4w^6 + 6w^6 $
$= 9v^5w^6 -7v^5 + 5w^6 $
$ ERGEBNIS $
f)
$\blacktriangleright$  Terme zusammenfassen
$ 2,15n^2 - 1,55p^6 + 3,85n^2 + 1,85p^6$
$= 2,15n^2 + 3,85n^2 - 1,55p^6 + 1,85p^6 $
$= 6n^2 + 0,3p^6 $
$ ERGEBNIS $

Aufgabe 3

Löse zuest die Klammern auf. Ordne dann die Faktoren mit der gleichen Potenz. Fasse dann so weit wie möglich zusammen.
a)
$\blacktriangleright$  Klammer auflösen und Terme zusammenfassen
$ 4 \cdot (a^2 - b^2) + a^2 + 5b^2 $
$= 4a^2 - 4b^2 + a^2 + 5b^2 $
$= 4a^2 + a^2 - 4b^2 + 5b^2 $
$= 5a^2 + b^2$
b)
$\blacktriangleright$  Klammer auflösen und Terme zusammenfassen
$ 3 \cdot (a^2 + b^3) + 4 \cdot (a^2 - b^2) $
$= 3a^2 + 3b^2 + 4a^2 - 4b^2 $
$= 3a^2 + 4a^2 + 3b^2 - 4b^2 $
$= 7a^2 - b^2$
c)
$\blacktriangleright$  Klammer auflösen und Terme zusammenfassen
$ 6 \cdot (x^3 + y^2) - 2 \cdot (x^3 - y^2) $
$= 6x^3 + 6y^2 - 2x^3 + 2y^2 $
$= 6x^3 - 2x^3 + 6y^2 + 2y^2 $
$= 4x^3 + 8y^2$
d)
$\blacktriangleright$  Klammer auflösen und Terme zusammenfassen
$ 8 \cdot (t^2 + u^6) + 12t^2 + 5 \cdot (t^2 - u^6) -18u^6 $
$= 8t^2 + 8u^6 + 12t^2 + 5t^2 - 5u^6 - 18u^6 $
$= 8t^2 + 12t^2 + 5t^2 + 8u^6 - 5u^6 - 18u^6 $
$= 25t^2 - 15u^6$
$ ERGEBNIS $
e)
$\blacktriangleright$  Klammer auflösen und Terme zusammenfassen
$ 2m \cdot (l^2 + n^8) + 5m \cdot (l^2 - n^8) + 18mn^8 $
$= 2ml^2 + 2mn^8 + 5ml^2 - 5mn^8 + 18mn^8 $
$= 2ml^2 + 5ml^2 + 2mn^8 - 5mn^8 + 18mn^8 $
$= 7ml^2 + 15mn^8 $
$ ERGEBNIS $
f)
$\blacktriangleright$  Klammer auflösen und Terme zusammenfassen
$ 20e^3 \cdot (f^4 + g^5) + 12f^4 \cdot (10e^3 - 6g^5) - 4e^3f^4 $
$= 20e^3f^4 + 20e^3g^5 + 120f^4e^3 - 72f^4g^5 - 4e^3f^4 $
$= 20e^3f^4 - 4e^3f^4 + 120e^3f^4 + 20e^3g^5 - 72f^4g^5 $
$= 136e^3f^4 + 220e^3g^5 - 72f^4g^5 $
$ ERGEBNIS $

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$  Tabelle ergänzen
$+$$3x^2$$10y^2$$18z^3$
$8y^2$$3x^2 + 8y^2 $ $18y^2 $ $ 18z^3 + 8y^2 $
$12z^3$$3x^2 + 12z^3 $$10y^2 + 12z^3 $$ 30z^3 $
$6x^2$$9x^2 $$ 10y^2 + 6x^2 $$ 18z^3 + 6x^2 $
$ ERGEBNIS $
b)
$\blacktriangleright$  Tabelle ergänzen
Beachte hier die Vorzeichenregel!
$-$$15x^3$$7y^2 + 12x^3$$22z^5 - 5y^2 $
$28y^2$$28y^2 - 15x^3 $$21y^2 - 12x^3 $$33y^2 - 22z^5 $
$10z^5$$ 10z^5 - 15x^3 $$10z^5 - 7y^2 - 12x^3 $$-12z^5 +5y^2 $
$51x^3$$ 36x^3 $$39x^3 - 7y^2 $$51x^3 - 22z^5 + 5y^2 $
$ ERGEBNIS $
#vorzeichenregel

Aufgabe 5

a)
$\blacktriangleright$  Term verkürzen und Potenzwert berechnen
$4^2 + 4^2 + 4^2 + 4^2 + 4^2$
$= 5 \cdot 4^2$
$= 80$
b)
$\blacktriangleright$  Term verkürzen und Potenzwert berechnen
$ 3^3 + 3^3 + 3^3 + 3^3 + 3^3 + 3^3 + 3^3$
$= 7 \cdot 3^3$
$= 189$
$ ERGEBNIS $
c)
$\blacktriangleright$  Term verkürzen und Potenzwert berechnen
$ (-2)^4 + (-2)^4 + (-2)^4 + (-2)^4 $
$= 4 \cdot (-2)^4$
$= 64$
$ ERGEBNIS $
d)
$\blacktriangleright$  Term verkürzen und Potenzwert berechnen
$ (-6)^2 - (-6)^2 + (-6)^2 - (-6)^2 - (-6)^2 - (-6)^2 $
$= -2 \cdot (-6)^2$
$= -72$
$ ERGEBNIS $
e)
$\blacktriangleright$  Term verkürzen und Potenzwert berechnen
$ 7^{-2} + 7^{-2}+ 7^{-2} + 7^{-2} + 7^{-2} + 7^{-2} + 7^{-2} $
$= 7 \cdot 7^{-2}$
$= \dfrac{1}{7}$
$ ERGEBNIS $
f)
$\blacktriangleright$  Term verkürzen und Potenzwert berechnen
$ 5^3 + 4 \cdot 5^3 - 3 \cdot 5^3 $
$= 2 \cdot 5^3$
$= 250$
$ ERGEBNIS $

Aufgabe 6

a)
$\blacktriangleright$  Potenzwert berechnen
$ (10- 8)^4 $
$= (2)^4 $
$= 16$
b)
$\blacktriangleright$  Potenzwert berechnen
$ (15 + 4)^2 + (5+7)^3 $
$= (19)^4 + (12)^3$
$= 130.321 + 1.728$
$= 132.049$
c)
$\blacktriangleright$  Potenzwert berechnen
$ (2 -6)^4 + (11+5)^2 $
$= (-4)^4 + (16)^2$
$= 256 + 256$
$= 512$
d)
$\blacktriangleright$  Potenzwert berechnen
$ (22 + 8) \cdot 4^5 $
$= (30) \cdot 4^5$
$= 30.720$
e)
$\blacktriangleright$  Potenzwert berechnen
$ 8^2 \cdot (67-59) + 8^2 $
$= 8^2 \cdot (8) + 8^2 $
$= 576$
f)
$\blacktriangleright$  Potenzwert berechnen
$(4^6 - 4^5) \cdot 3^6 - 3^{13} $
$= (3072) \cdot 3^6 - 3^{13} $
$= 2.239.488 -1.594.323 $
$= 645.165 $

Aufgabe 7

a)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$2^2 + 6^2 \;$ $\, $$(2+ 6)^2 $
$ = 4 + 36 \;$ $\, $$(8)^2 $
$ = 40 \;$ $<$ $\, $$64 $
b)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$12^3 - 4^3 \;$ $\, $$(12-4)^3 $
$ = 1.728 - 64 \;$ $\, $$(8)^3 $
$ = 1.664 \;$ $>$ $\, $$512 $
c)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$ 18^2 - 9^2 \;$ $\, $$ (18-9)^2 $
$ = 324 - 81 \;$ $\, $$(9)^2 $
$ = 243 \;$ $>$ $\, $$81 $
d)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$ (4 + 5)^{-2} \;$ $\, $$ 4^{-2} + 5^{-2} $
$ = (9)^{-2} \;$ $\, $$ \frac{1}{16} + \frac{1}{25} $
$ = \frac{1}{81} \;$ $<$ $\, $$\frac{41}{400} $
e)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$ (12 + 14)^3 \;$ $\, $$ 12^3 + 14^3 $
$ = (26)^3 \;$ $\, $$ 1.728 + 2.744 $
$ = 17.576 \;$ $>$ $\, $$ 4.472 $
f)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$ 6 \cdot (7-3)^3 \;$ $\, $$ 7^3 - 3^3 $
$ = 6 \cdot (4)^3 \;$ $\, $$ 343 + 27 $
$ = 384 \;$ $>$ $\, $$ 370 $
g)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$ (5 \cdot 5)^2 \;$ $\, $$ 5^2 \cdot 5^2 $
$ = (25)^2 \;$ $\, $$ 25 \cdot 25 $
$ = 625 \;$ $=$ $\, $$ 625 $
h)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$ (15 : 3)^4 \;$ $\, $$ 15^4 : 3^4 $
$ = (5)^4 \;$ $\, $$ 50.625 : 81 $
$ = 625 \;$ $=$ $\, $$ 625 $
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