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Radioaktiver Zerfall

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

2011 ereignete sich im Kernkraftwerk Fukushima ein schwerer Reaktorunfall. Durch ein Erdbeben, der einen Tsunami auslöste, wurden mehrerer Reaktoren zerstört. Unmengen an radioaktiven Stoffen traten aus. Beim Zerfall dieser Stoffe entsteht radioaktive Strahlung. Die Zeit in der die Hälfte einer radioaktiven Substanzmenge zerfallen ist, nennt man Halbwertszeit. Im Laufe der Zeit nimmt dadurch die Intensität der radioaktiven Strahlungund damit die Gefährlichkeit ab. Jeder radioaktive Stoff hat eine nur für ihn gültige Halbwertszeit.
Wachstum: Radioaktiver Zerfall
Abb. 1: Der Atomunfall von 2011 erschütterte die ganze Welt.
Wachstum: Radioaktiver Zerfall
Abb. 1: Der Atomunfall von 2011 erschütterte die ganze Welt.
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Wachstum: Radioaktiver Zerfall
Abb. 2: Es gibt auch einen verkürzten Weg der Berechnung.
Wachstum: Radioaktiver Zerfall
Abb. 2: Es gibt auch einen verkürzten Weg der Berechnung.

Aufgabe 1

Infolge der Reaktorkatastrophe von Fukushima fielen auf die benachbarte Insel Hokkaido ca. $250\,\text{g}$ Cäsium-137. Dieser Stoff hat eine Halbwertszeit von $30$ Jahren.
a)
Wie viel Gramm Cäsium-137 sind davon rechnerisch noch im Jahr 2221 nachweisbar?
b)
Wie viel Prozent der anfangs vorhandenen Menge an Cäsium-137 sind das?
c)
Stelle den Zerfall bis zum Jahr 2191 graphisch dar ($x$-Achse: $2\;\text{cm} \mathrel{\widehat{=}}30$ Jahre, Nullwert bei 2011, $y$-Achse: $1\;\text{cm} \mathrel{\widehat{=}}50\;\text{g}$).

Aufgabe 2

Homer Simpson arbeitet bekanntlich in einem Atomkraftwerk. Er hat oft mit Plutonium-239, Plutonium-241 und Jod-131 zu tun. Plutonium-239 hat eine Halbwertszeit von $24.000$ Jahren. Plutonium-241 hat eine Halbwertszeit von $13$ Jahren. Jod-131 hat eine Halbwertszeit von $8$ Tagen.
Wachstum: Radioaktiver Zerfall
Abb. 3: Homer Simpson hat einen der gefährlichsten Jobs in ganz Springfield!
Wachstum: Radioaktiver Zerfall
Abb. 3: Homer Simpson hat einen der gefährlichsten Jobs in ganz Springfield!

Aufgabe 3

Während einer Weltraumfahrt gerät ein Team an Wissenschaftlern in einen radioaktiven Sturm. Dieser Sturm verleiht dem Team Superkräfte: die Fantastic Four waren geboren! Bei dem radioaktiven Stoff handelt es sich um Tritium. Tritium hat eine Halbwertszeit von $10$ Tagen. Nach diesem Zeitraum hat der menschliche Organismus jeweils die Hälfte der ursprünglichen Menge ausgeschieden.
Wachstum: Radioaktiver Zerfall
Abb. 4: Radioaktivität machte die Fantastic Four zu dem, was sie sind.
Wachstum: Radioaktiver Zerfall
Abb. 4: Radioaktivität machte die Fantastic Four zu dem, was sie sind.
Bildnachweise [nach oben]
[1]
Public Domain.
[2]
© 2017 – SchulLV.
[3]
https://goo.gl/6NPVnO – springfield_view_1, Charles LeBlanc, CC BY-SA.
[4]
https://goo.gl/S8aK4s – The Turkey Of The Summer - Fantastic Four Movie Review, BagoGames, CC BY-SA.
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$  Endmenge berechnen
Du sollst die Endmenge an Strontium-90 berechnen, die nach $8$ Halbwertszeiten, also nach $160$ Jahren noch vorhanden ist. In Abbildung 2 des Aufgabenblattes siehst du, wie du vorgehen kannst. Du kannst den verkürzten Rechenweg benutzen. Du multiplizierst also die Ausgangsmenge $K_0$ mit $0,5^8$. $0,5$ ist der Abnahmefaktor, den du mit der Anzahl der Halbwertszeiten potenzierst. Berechne jetzt die Endmenge.
$\begin{array}[t]{rll} K_8 &=& 1.024 \cdot 0,5^8 &\quad \\[5pt] &=& 4 \end{array}$
Nach $8$ Halbwertszeiten oder $160$ Jahren, sind im Jahr 2171 noch $4\;\text{g}$ vorhanden.
b)
$\blacktriangleright$  Formel herleiten
Du sollst die Formel für Bevölkerungsabnahme so abwandeln, dass sie für die Berechnung radioaktiven Zerfalls verwendbar ist. Die Formel für Bevölkerungsabnahme lautet:
$K_n = K_0 \cdot q^n$
$K_n = K_0 \cdot q^n$
Du hast hier den Ausgangwert $K_0$, den Endwert $K_n$ nach $n$ Jahren, den Abnahmefaktor $q$ und die Dauer $n$. Bei der Berechnung radioaktiven Zerfalls hast du auch einen Ausgangswert $K_0$ und einen Endwert $K_n$. Zudem hast du einen Abnahmefaktor, der allerdings immer der selbe ist. Er beträgt immer $0,5$, da du ja die Hälfte des Ausgangswertes nach $n$ Jahren berechnen willst. Du potenzierst den Abnahmefaktor mit der Dauer an Jahren $n$. Die Formel lautet also:
$K_n = K_0 \cdot 0,5^n$
$K_n = K_0 \cdot 0,5^n$
#halbwertszeit

Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Menge an Cäsium-137 im Jahr 2221 berechnen
Du sollst die Endmenge an Cäsium-137, die im Jahr 2221 noch vorhanden ist, berechnen. Um die Formel zu verwenden, die du in Aufgabenteil b) der Einführungsaufgabe aufgestellt hast, musst du zuerst die Anzahl der Halbwertszeiten $n$ berechnen. Berechne dazu die Dauer an Jahren zwischen dem Zeitraum 2011 und 2221.
$2221 - 2011 = 210$
Die Dauer beträgt also $210$ Jahre. Um die Anzahl an Halbwertszeiten zu berechnen, musst du jetzt Halbwertszeit von Cäsium-137 durch die Anzahl an Jahren dividieren.
$210 : 30 = 9$
Es liegen also $9$ Halbwertszeiten zwischen dem Zeitraum 2011 - 2221. Jetzt kannst du die Werte in die Formel einsetzen, und die Endmenge $K_9$ nach $9$ Halbwertszeiten berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} K_n &=& K_0 \cdot 0,5^n &\quad \\[5pt] K_9 &=& 250 \cdot 0,5^9 &\quad \\[5pt] &\approx& 0,49 \end{array}$
Im Jahr 2221 sind also noch $0,49\;\text{g}$ Cäsium-137 vorhanden.
b)
$\blacktriangleright$  Prozentsatz an Cäsium-137 im Jahr 2221 berechnen
Du sollst den Prozentsatz $p$ der anfangs vorhandenen Menge an Cäsium-137 berechnen. Die Formel hierfür lautet:
$p = \dfrac{P \cdot 100}{G}$
$p = \dfrac{P \cdot 100}{G}$
Der Grundwert $G$ bezeichnet die Zahl, deren Anteil gesucht wird, in diesem Fall $250$. Der Prozentwert $P$ bezeichnet die Zahl, die den Anteil angibt, also das Ergebnis $0,49$. Setze jetzt die Werte in die Formel ein und berechne $p$.
$\begin{array}[t]{rll} p&=& \dfrac{P \cdot 100}{G} &\quad \\[5pt] &=& \dfrac{0,49 \cdot 100}{250} &\quad \\[5pt] &=& 0,196 \end{array}$
Es sind $0,196\;\text{%}$ der anfangs vorhandenen Menge.
c)
$\blacktriangleright$  Graphisches Schaubild erstellen
Um den Zerfall graphisch darzustellen, brauchst du Werte für die $x$-Achse und die $y$-Achse. Die $x$-Achse beschreibt die Jahre, die $y$-Achse beschreibt die Gramm-Anzahl. Erstelle jetzt eine Tabelle, aus der du die $x$- und $y$-Werte dann ablesen kannst.
Jahr$2011$$2041$$2071$$2101$$2131$$2161$
Gramm$250$$125$$62,5$$31,25$$15,63$$7,81$
JahrGramm
$2011$$250$
$2041 $$125$
$2071$$62,5$
$2101$$31,25$
$2131$$15,63$
$2161$$7,81$
Diese Werte kannst du jetzt in ein Koordinatensystem eintragen. Es soll diese Maße haben: $x$-Achse: $2\;\text{cm} \mathrel{\widehat{=}}30$ Jahre, Nullwert bei 2011, $y$-Achse: $1\;\text{cm} \mathrel{\widehat{=}}50\;\text{g}$.
Wachstum: Radioaktiver Zerfall
Abb. 1: Cäsium-137 nimmt exponentiell ab.
Wachstum: Radioaktiver Zerfall
Abb. 1: Cäsium-137 nimmt exponentiell ab.
#halbwertszeit

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Menge an Plutonium berechnen
Du sollst die Menge an Plutonium-239 nach $30.000$ Jahren berechnen. Die Halbwertszeit von Plutonium-239 beträgt $24.000$ Jahre. Du musst zuerst die Halbwertszeit berechnen. Dazu musst du die gesamten Jahre durch die Halbwertszeit dividieren.
$30.000 : 24.000 = 1,25$
$n$ beträgt also $1,25$ Halbwertszeiten. Jetzt kannst du die Werte in die Formel aus der Einführungsaufgabe einsetzen. Du hast die Werte $K_0 = 12,24$ und $n = 1,25$ gegeben.
$\begin{array}[t]{rll} K_{n}&=& K_0 \cdot 0,5^n &\quad \\[5pt] K_{1,25}&=& 12,24 \cdot 0,5^{1,25} &\quad \\[5pt] &\approx& 5,15 \end{array}$
Nach $30.000$ Jahren sind noch $5,15\,\text{g}$ Plutonium-239 vorhanden.
b)
$\blacktriangleright$  Menge an Jod berechnen
Du sollst die Menge an Jod-131 nach $20$ Tagen berechnen. Die Halbwertszeit von Jod-131 beträgt $8$ Tage. Du musst zuerst die Halbwertszeit berechnen. Dazu musst du die gesamten Tage durch die Halbwertszeit dividieren.
$20 : 8 = 2,5$
$n$ beträgt also $2,5$ Halbwertszeiten. Jetzt kannst du die Werte in die Formel aus der Einführungsaufgabe einsetzen. Du hast die Werte $K_0 = 158,16$ und $n = 2,5$ gegeben.
$\begin{array}[t]{rll} K_{n}&=& K_0 \cdot 0,5^n &\quad \\[5pt] K_{2,5}&=& 158,16 \cdot 0,5^{2,5} &\quad \\[5pt] &\approx& 27,96 \end{array}$
Nach $20$ Tagen sind noch $27,96\,\text{g}$ Jod-131vorhanden.
c)
$\blacktriangleright$  Durchschnittliche jährliche Abnahme berechnen
Du willst die durchschnittliche jährliche Abnahme in $\text{%}$ von Plutonium-241 berechnen. Dazu kannst du die Formel für Bevölkerungsabnahme benutzen! Du brauchst die Werte $K_0$, $K_{13}$ und $n$. $n = 13$ hast du bereits gegeben. $K_0$ und $K_{13}$ kannst du selbst bestimmen. Beachte, dass $K_{13}$ die Hälfte von $K_0$ sein muss! Gehe von dem Wert $K_0 = 200$ und $K_{13}= 100$ aus. Jetzt kannst du die Werte in die Formel einsetzen.
$\begin{array}[t]{rll} K_n &=& K_0 \cdot (1 - \dfrac{p}{100})^n &\quad \\[5pt] 100 &=& 200 \cdot (1 - \dfrac{p}{100})^{13} &\quad \scriptsize \mid\; : 200 \\[5pt] 0,5 &=& (1 - \dfrac{p}{100})^{13} &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt[13]{\,}\\[5pt] 0,95 &\approx& 1 - \dfrac{p}{100} &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] -0,05 &=& - \dfrac{p}{100} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-100) \\[5pt] 5 &=& p \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die durchschnittliche jährliche Abnahme der Radioaktivität bei Plutonium-241 beträgt $5\,\text{%}$.
#halbwertszeit

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$  Menge an Tritium berechnen
Du sollst die Menge an Tritium nach $7$ Tagen berechnen. Die Halbwertszeit von Tritium beträgt $10$ Tage. Du musst zuerst die Dauer $n$ berechnen. Dazu musst du die gesamten Tage durch die Halbwertszeit dividieren.
$7 : 10 = 0,7$
$n$ beträgt also $0,7$ Halbwertszeiten. Jetzt kannst du die Werte in die Formel aus der Einführungsaufgabe einsetzen. Du hast die Werte $K_0 = 22$ und $n = 0,7$ gegeben.
$\begin{array}[t]{rll} K_{n}&=& K_0 \cdot 0,5^n &\quad \\[5pt] K_{0,7}&=& 22 \cdot 0,5^{0,7} &\quad \\[5pt] &\approx& 13,54 \end{array}$
Nach $7$ Tagen sind noch $13,54\,\text{g}$ Tritium vorhanden.
b)
$\blacktriangleright$  $\boldsymbol{K_0}$ berechnen
Du sollst berechnen, wie viel Gramm Tritium vor $15$ Tagen im menschlichen Organismus vorhanden waren. Der Wert nach $15$ Tagen beträgt noch $4\;\text{mg}$. Also ist $K_{15} = 4$. Die Halbwertszeit von Tritium beträgt $10$ Tage. Du musst noch die Dauer $n$ berechnen. Dazu musst du die gesamten Tage durch die Halbwertszeit dividieren.
$15: 10 = 1,5$
$n$ beträgt also $1,5$ Halbwertszeiten. Jetzt kannst du die Werte in die Formel aus der Einführungsaufgabe einsetzen. Du hast die Werte $K_{15} = 4$ und $n = 1,5$ gegeben.
$\begin{array}[t]{rll} K_{n}&=& K_0 \cdot 0,5^n &\quad \\[5pt] 4 &=& K_0 \cdot 0,5^{1,5} &\quad \scriptsize \mid\; \text{berechne den Potenzwert}\\[5pt] 4 &\approx& K_0 \cdot 0,35 &\quad \scriptsize \mid\; :0,35 \\[5pt] 11,43 &\approx& K_0 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Der Ausgangswert vor $15$ Tagen betrug $11,43\;\text{mg}$ Tritium.
c)
$\blacktriangleright$  Täglichen Abbau berechnen
Du willst die durchschnittliche tägliche Abnahme in $\text{%}$ von Tritium berechnen. Dazu kannst du die Formel für Bevölkerungsabnahme benutzen! Du brauchst die Werte $K_0$, $K_{10}$ und $n$. $n = 10$ hast du bereits gegeben. $K_0$ und $K_{13}$ kannst du selbst bestimmen. Beachte, dass $K_{13}$ die Hälfte von $K_0$ sein muss! Gehe von dem Wert $K_0 = 200$ und $K_{10}= 100$ aus. Jetzt kannst du die Werte in die Formel einsetzen.
$\begin{array}[t]{rll} K_n &=& K_0 \cdot (1 - \dfrac{p}{100})^n &\quad \\[5pt] 100 &=& 200 \cdot (1 - \dfrac{p}{100})^{10} &\quad \scriptsize \mid\; : 200 \\[5pt] 0,5 &=& (1 - \dfrac{p}{100})^{10} &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt[13]{\,}\\[5pt] 0,93 &\approx& 1 - \dfrac{p}{100} &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] -0,07 &=& - \dfrac{p}{100} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-100) \\[5pt] 7 &=& p \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die durchschnittliche tägliche Abnahme der Radioaktivität von Tritium beträgt $7\,\text{%}$.
#halbwertszeit
Bildnachweise [nach oben]
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