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Wachstumsprozesse

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Wachstum: Wachstumsprozesse
Abb. 1: Geld wächst leider nicht auf Bäumen…
Wachstum: Wachstumsprozesse
Abb. 1: Geld wächst leider nicht auf Bäumen…
a)
Führe die Tabelle bis zum $4.$ Jahr fort.
MiaMaxim
Jetzt$12$$9$
nach $1$ Jahr
nach $2$ Jahren
nach $3$ Jahren
nach $4$ Jahren
b)
Stelle die Vergrößerung des Taschengeldes der Geschwister graphisch dar ($x$-Achse: $2 \, \text{cm} \mathrel{\widehat{=}} 1 \text{ Jahr}$; $y$-Achse: $1 \text{cm} \mathrel{\widehat{=}} 10 \, €$). Vergleiche die Graphen.
c)
Es gibt verschiedene Arten von Wachstum. Wenn in gleichen Zeiträumen die Werte um den gleichen Summanden zunehmen, handelt es sich um lineares Wachstum. Der Graph ist eine Gerade. Die Wachstumgleichung lautet:
$y = m \cdot x + b$
$m$ ist der Wachstumsfaktor. $x$ ist das Zeitintervall. $b$ ist der Ausgangswert.
Wenn in gleichen Zeiträumen die Werte mit dem gleichen Faktor vervielfacht werden, handelt es sich um exponentielles Wachstum. Der Graph ist eine Kurve. Die Wachstumsgleichung lautet:
$y = n \cdot a^x$
$n$ ist der Ausgangswert. $a$ ist der Wachstumsfaktor. $x$ ist das Zeitintervall.
Es gibt verschiedene Arten von Wachstum. Wenn in gleichen Zeiträumen die Werte um den gleichen Summanden zunehmen, handelt es sich um lineares Wachstum. Der Graph ist eine Gerade. Die Wachstumgleichung lautet:
$y = m \cdot x + b$
$m$ ist der Wachstumsfaktor. $x$ ist das Zeitintervall. $b$ ist der Ausgangswert.
Wenn in gleichen Zeiträumen die Werte mit dem gleichen Faktor vervielfacht werden, handelt es sich um exponentielles Wachstum. Der Graph ist eine Kurve. Die Wachstumsgleichung lautet:
$y = n \cdot a^x$
$n$ ist der Ausgangswert. $a$ ist der Wachstumsfaktor. $x$ ist das Zeitintervall.
Erstelle die Funktionsgleichungen für die Taschengelderhöhung von Mia und die Taschengelderhöhung von Maxim.
d)
Berechne, wie viel Taschengeld Mia in $2$ Jahren bekommen würde, wenn sie $11$ $€$ mehr pro Jahr bekommen würde. Ermittle ebenso den Betrag, den Maxims Taschengeld in $2$ Jahren hätte, wenn der Betrag pro Jahr verdreifacht werden würde.
#linearefunktion#exponentielleswachstum#exponentialfunktion

Aufgabe 1

Ein $1.258$ $\text{m}^2$ großer Teich soll für einen Baggersee erweitert werden. Jede Woche vergrößern Bagger die Wasserfläche um $500$ $\text{m}^2$. Eine sich rasant vermehrende Algenart (zu Beginn $18$ $\text{m}^2$) ist allerdings Schuld daran, dass der Baggersee noch nicht genutzt werden kann. Sie verdoppelt jede Woche ihre Fläche.
Wachstum: Wachstumsprozesse
Abb. 2: So soll der Teich irgendwann aussehen.
Wachstum: Wachstumsprozesse
Abb. 2: So soll der Teich irgendwann aussehen.
#wachstum

Aufgabe 2

Wachstum: Wachstumsprozesse
Abb. 3: Niemand kann die Kristalle abbauen, da es in der Höhle viel zu heiß ist!
Wachstum: Wachstumsprozesse
Abb. 3: Niemand kann die Kristalle abbauen, da es in der Höhle viel zu heiß ist!
#linearefunktion

Aufgabe 3

Wachstum: Wachstumsprozesse
Abb. 4 Salmonellen können eine Lebensmittelvergiftung verursachen!
#wachstum

Aufgabe 4

Auf einer Südseeinsel wurden im Jahr 1815 $10$ Schweine von Piraten ausgesetzt. Nach $4$ Jahren finden die Piraten $810$ Schweine! Sie gehen von exponentiellem Wachstum aus.
Wachstum: Wachstumsprozesse
Abb. 5: Die Schweine leben heute immer noch auf der Südseeinsel!
Wachstum: Wachstumsprozesse
Abb. 5: Die Schweine leben heute immer noch auf der Südseeinsel!
#exponentielleswachstum
Bildnachweise [nach oben]
[1]
https://goo.gl/uuF20K ; Euro, TaxRebate.org.uk, CC BY-SA.
[2]
https://goo.gl/FHFYcp ; Faded, Sonja und Jens, CC BY-SA.
[3]
https://goo.gl/gx4wwu ; 13569_giant-crystal-cave-2_12801024, julie rohloff, CC BY-SA.
[4]
Public Domain.
[5]
https://goo.gl/8VQsyJ ; 08.2012 Vorobek Bahamas - swimming pigs, cdorobek, CC BY-SA.
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$  Tabelle ergänzen
Um Mias Taschengeld für die nächsten $4$ Jahre festzustellen, addierst du den jeweils vorangegangenen Wert mit $10$ $€$ pro Jahr. Maxims Taschengeld verdoppelt sich jedes Jahr. Du multiplizierst den vorangegangenen Wert also jeweils mit $2$.
MiaMaxim
Jetzt$12$$9$
nach $1$ Jahr$22$$18$
nach $2$ Jahren$32$$36$
nach $3$ Jahren$42$$72$
nach $4$ Jahren$52$$144$
b)
$\blacktriangleright$  Graphische Darstellung erstellen
Um ein Schaubild zu erstellen, musst du zuerst das Koordinatensystem wählen. Die $x$-Achse beschreibt die Anzahl der Jahre. Die $y$-Achse beschreibt die Höhe des Taschengeldes in $€$. Die $x$- und $y$-Achse fängt jeweils bei $0$ an, da in der Aufgabe keinerlei Angaben dazu gibt, wie hoch der Betrag der jeweiligen Taschengelder in der Vergangenheit waren. Jetzt kannst du die Graphen für die Höhe von Mias und Maxims Taschengeld einzeichnen. Entnimm die Werte für $x$ und $y$ aus der entsprechenden Wertetabelle, die du zuvor erstellt hast.
Wachstum: Wachstumsprozesse
Abb. 1: Mias Taschengeld nimmt linear zu, Maxims Taschengeld exponentiell.
Wachstum: Wachstumsprozesse
Abb. 1: Mias Taschengeld nimmt linear zu, Maxims Taschengeld exponentiell.
c)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichungen aufstellen
Du musst zwei verschiedene Funktionsgleichungen aufstellen. Eine für Mias Taschengeld, welches linear zunimmt und eine für Maxims Taschengeld, welches exponentiell zunimmt.
$\blacktriangleright$  Lineare Funktionsgleichung aufstellen
Die lineare Funktionsgleichung soll die Form $y = m \cdot x + b$ haben.
$b$ ist der Ausgangswert, welchen du in Form der ursprünglichen Höhe des Taschengeldes von Mia hast. Der Ausgangswert ist also $12$. Jährlich soll ihr Taschengeld um $10$ $€$ ansteigen. Das ist also der Wachstumsfaktor $m$. Jetzt kannst du die Werte in die Gleichung einsetzen:
$y = 10 \cdot x + 12$
$\blacktriangleright$  Exponentielle Funktionsgleichung aufstellen
Die exponentielle Funktionsgleichung soll die Form $y = n \cdot a^x$ haben.
$n$ ist der Ausgangswert, welchen du in Form der ursprünglichen Höhe des Taschengeldes von Maxim hast. Der Ausgangswert ist also $9$. Sein Taschengeld soll sich jährlich verdoppeln, also soll der jeweils vorangegangene Wert mit $2$ multipliziert werden. Das ist also der Wachstumsfaktor $a$. Jetzt kannst du die Werte in die Gleichung einsetzen:
$y = 9 \cdot 2^x$
d)
$\blacktriangleright$  Mias Taschengeld berechnen
Du sollst berechnen, wie viel Taschengeld Mia in $2$ Jahren bekommen würde, wenn ihr Taschengeld jährlich um $11$ $€$ erhöht würde. Du kannst die Funktionsgleichung für lineares Wachstum benutzen, die du bereits in Aufgabenteil c) erstellt hast. Du hast einen neuen Wert für $m$ und für $x$ gegeben. $11$ ist der Wachstumsfaktor $m$. $x$ beträgt zwei Jahre. Setze diese Werte jetzt in die lineare Funktionsgleichung ein und berechne $y$:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& 11 \cdot 2 + 12 &\quad \\[5pt] &=& 34 \end{array}$
Mia würde also in zwei Jahren $34$ $€$ in der Woche bekommen.
$\blacktriangleright$  Maxims Taschengeld berechnen
Du sollst den Betrag ermitteln, den Maxims Taschengeld in $2$ Jahren hätte, wenn der Betrag pro Jahr verdreifacht werden würde. Du kannst die Funktionsgleichung für exponentielles Wachstum benutzen, die du in Aufgabenteil c) schon erstellt hast. Du hast einen neuen Wert für den Wachstumsfaktor $a$ und einen neuen Wert für das Zeitintervall $x$ gegeben. Setze diese Werte jetzt in die Funktionsgleichung ein und berechne $y$:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& 9 \cdot 3^2 &\quad \\[5pt] &=& 81 \end{array}$
Maxim würde in zwei Jahren $81$ $€$ in der Woche bekommen.

Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Vergrößerung graphisch darstellen
Um die Vergrößerung in einem Schaubild darzustellen, musst du zuerst zwei Wertetabellen erstellen. Eine für die Größe des Teichs und eine für die Größe der Algenfläche.
$\blacktriangleright$  Wertetabelle für Größe des Teiches erstellen
Jede Woche vergrößert sich der Teich um $500$ $\text{m}^2$. Du addierst also den jeweils vorangegangenen Wert der Größe mit $500$.
Woche$0$$1$$2$$3$$4$$5$$6$$7$$8$
Größe in $\text{m}^2$$1.258$$1.758$$2.258$$2.758$$3.258$$3.758$$4.258$$4.758$$5.258$
WocheGröße $\text{m}^2$
$0$$1.258$
$1$$1.758$
$2$$2.258$
$3$$2.758$
$4$$3.258$
$5$$3.758$
$6$$4.258$
$7$$4.758$
$8$$5.258$
$\blacktriangleright$  Wertetabelle für Größe der Algenfläche erstellen
Jede Woche verdoppelt sich die Größe der Algenfläche. Du multiplizierst also den jeweils vorangegangenen Wert der Größe mit $2$.
Woche$0$$1$$2$$3$$4$$5$$6$$7$$8$
Größe in $\text{m}^2$$18$$36$$72$$144$$288$$576$$1.152$$2.304$$4.608$
WocheGröße $\text{m}^2$
$0$$1.258$
$1$$1.758$
$2$$2.258$
$3$$2.758$
$4$$3.258$
$5$$3.758$
$6$$4.258$
$7$$4.758$
$8$$5.258$
$\blacktriangleright$  Schaubild erstellen
Um ein Schaubild zu erstellen, musst du zuerst das Koordinatensystem wählen. Die $x$-Achse beschreibt die Anzahl der Wochen. Die $y$-Achse beschreibt die jeweilige Größe des Teiches und der Algenfläche. Die $x$- und $y$-Achse fängt jeweils bei $0$ an, da in der Aufgabe keinerlei Angaben dazu gibt, wie groß der Teich und die Algenfläche in der Vergangenheit waren. Jetzt kannst du die Graphen für den Teich und für die Algenfläche einzeichnen. Entnimm die Werte für $x$ und $y$ aus der entsprechenden Wertetabelle, die du zuvor erstellt hast.
Wachstum: Wachstumsprozesse
Abb. 2: Die Größe des Teichs nimmt linear zu, die Größe der Algenfläche exponentiell.
Wachstum: Wachstumsprozesse
Abb. 2: Die Größe des Teichs nimmt linear zu, die Größe der Algenfläche exponentiell.
b)
$\blacktriangleright$  Wachstumsgleichung aufstellen
Zuerst musst du herausfinden, ob du die Formel für lineares oder für exponentielles Wachstum benutzen musst. Die Größe des Teichs wird jede Woche um eine bestimmte Größe größer. Es herrscht also lineares Wachstum. Die Größe der Algenfläche wird allerdings immer mit dem gleichen Faktor vervielfacht, sie wird nämlich verdoppelt. Also nimmt sie exponentiell zu. Du brauchst also zwei verschiedene Wachstumsgleichungen.
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung für Teich aufstellen
Diese soll die Form $y = m \cdot x + b$ haben. Dir sind jeweils zwei Zahlen für $y$ und $x$ bekannt.
$y$ ist die Größe des Teichs nach $x$ Wochen. Du hast eigentlich nur eine Größe gegeben - die Größe des Teichs jetzt. Allerdings kannst du ganz leicht eine zweite Größe herleiten, indem du die jetzige Größe des Teichs mit der Wasserfläche, die die Bagger jede Woche vergrößern, addierst:
$y_0 = 1.258 \text{ m}^2$
$y_1 = 1.258 \text{ m}^2 + 500 \text{ m}^2 = 1.758 \text{ m}^2$
$ ERGEBNIS $
Zudem hast du zwei Werte für das Zeitintervall $x$ gegeben - den Zeitpunkt heute und den Zeitpunkt in $1$ Woche:
$x_0 = 0$
$x_1 = 1$
Da du jeweils zwei Werte pro Variable hast, kannst du ein Gleichungssystem aufstellen, um die Werte der Wachstumsgleichung herauszufinden. Benutze das Einsetzungsverfahren, um $m$ zu berechnen.
$\begin{array}{} \text{I}\quad& 1.258 \text{ m}^2&=& m \cdot 0 + b &\quad \\ \text{II}\quad& 1.758 \text{ m}^2&=& m \cdot 1 \text{ Woche} + b &\quad \\ \hline \text{I} \quad& 1.258 \text{ m}^2&=& b &\quad \scriptsize\mid\; b \rightarrow \text{II}\\ \hline \text{II}\quad& 1.758 \text{ m}^2&=& m \cdot 1 \text{ Woche} + 1.258 \text{ m}^2 &\quad \scriptsize\mid\; - 1.258\text{ m}^2\\ \quad& 500 \text{ m}^2&=& m \cdot 1 \text{ Woche} &\quad \scriptsize\mid\; :1 \text{ Woche}\\ \quad& 500 \frac{\text{ m}^2}{\text{Woche}}&=& m \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Wachstumsgleichung lautet also:
$y = 500 \cdot x + 1.258$
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung für Algenart aufstellen
Diese soll die Form $y = n \cdot a^x$ haben. Dir sind die Werte für $n, a$.
$n$ ist der Ausgangswert, also die Größe $18 \text{ m}^2$, die die Algenfläche zu Beginn hat. $a$ beschreibt den Wachstumsfaktor. Da sich die Algenfläche im Zeitintervall einer Woche verdoppelt, gilt $a = 2$.Die Wachstumsgleichung lautet also:
$y = 18 \cdot 2^x$
$\blacktriangleright$  Größe berechnen nach $\boldsymbol{5}$ Wochen
Setze in die Wachstumsgleichungen für $x$ den Wert $5$ ein und berechne die Größe $y_1$ für die Größe des Teichs und die Größe $y_2$ für die Größe der Algenfläche:
$\begin{array}[t]{rll} y_1 &=& 500 \cdot 5 + 1.258 \\[5pt] &=& 3.758 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y_2 &=& 18 \cdot 2^5 \\[5pt] &=& 576 \end{array}$
Der Teich ist nach $5$ Wochen $3.758$ $\text{m}^2$ groß. Die Algenfläche ist $576$ $\text{m}^2$ groß.
$\blacktriangleright$  Größe berechnen nach $\boldsymbol{8}$ Wochen
Setze in die Wachstumsgleichungen für $x$ den Wert $8$ ein und berechne die Größe $y_1$ für die Größe des Teichs und die Größe $y_2$ für die Größe der Algenfläche:
$\begin{array}[t]{rll} y_1 &=& 500 \cdot 8 + 1.258 \\[5pt] &=& 5.258 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y_2 &=& 18 \cdot 2^8 &\quad \\[5pt] &=& 4.608 \end{array}$
Der Teich ist nach $8$ Wochen $5.258$ $\text{m}^2$ groß. Die Algenfläche ist $4.608$ $\text{m}^2$ groß.
$\blacktriangleright$  Größe berechnen nach $\boldsymbol{10}$ Wochen
Setze in die Wachstumsgleichungen für $x$ den Wert $10$ ein und berechne die Größe $y_1$ für die Größe des Teichs und die Größe $y_2$ für die Größe der Algenfläche:
$\begin{array}[t]{rll} y_1 &=& 500 \cdot 10 + 1.258 \\[5pt] &=& 6.258 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y_2 &=& 18 \cdot 2^{10} \\[5pt] &=& 18.432 \end{array}$
Der Teich ist nach $10$ Wochen $6.258$ $\text{m}^2$ groß. Die Algenfläche ist $18.432$ $\text{m}^2$ groß.
$\blacktriangleright$  Mit graphischer Darstellung vergleichen
Beschreibe zuerst die Funktionsgleichungen.
$y = 500 \cdot x + 1.258$
$x$ beschreibt das Zeitintervall von $t$ Wochen. Pro Woche vergrößert sich der Teich um $500$ $\text{m}^2$. $1.258$ ist der Ausgangswert, also die Größe des Teichs zu Beginn der Baggerarbeiten.
$y = 18 \cdot 2^x$
Hier ist der Ausgangswert $18$, also die Größe der Algenfläche zu Beginn der Baggerarbeiten. Der Wachstumsfaktor ist $2$, da sich die Fläche in einer Woche verdoppelt. $x$ beschreibt auch hier das Zeitintervall von $t$ Wochen.
Jetzt beschreibst du das Schaubild.
Der Graph, der die Zunahme der Größe des Teichs beschreibt, ist eine Gerade, er nimmt also linear zu. Er beginnt bei $(0 \mid 1.258)$, hierbei steht $0$ für die Anzahl der Wochen, an welchen die Bagger den Teich vergrößern. $1.258$ ist der Ausgangswert. Der Graph der die Zunahme der Größe der Algenfläche beschreibt, ist eine Kurve, er nimmt also exponentiell zu. Er beginnt bei $(0 \mid 18)$, hierbei steht $0$ für die Anzahl der Wochen, in denen die Algenfläche sich verdoppelt. $18$ ist der Ausgangswert.

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Wachstumsgleichung aufstellen
Zuerst musst du eine Wachstumsgleichung aufstellen. Diese soll die Form $y = m \cdot x + b$ haben. Dir sind jeweils zwei Zahlen für $y$ und $x$ bekannt.
$y$ ist die Größe nach $x$ Jahren. Du hast zwei Größen gegeben - die Höhe des Kristalls heute und die Höhe des Kristalls vor $4$ Jahren:
$y_1 = 0,79 \text{ m}$
$y_2 = 0,73 \text{ m}$
Zudem hast du zwei Werte für das Zeitintervall $x$ gegeben - den Zeitpunkt heute und den Zeitpunkt von vor $4$ Jahren:
$x_1 = 0$
$x_2 = -4$
Da du jeweils zwei Werte pro Variable hast, kannst du ein Gleichungssystem aufstellen, um die Werte der Wachstumsgleichung herauszufinden. Benutze das Einsetzungsverfahren, um $m$ zu berechnen.
$\begin{array}{} \text{I}\quad& 0,79 \text{ m}&=& m \cdot 0 + b &\quad \\ \text{II}\quad& 0,73 \text{ m}&=& m \cdot (-4) \text{ Jahre} + b &\quad \\ \hline \text{I} \quad& 0,79 \text{ m}&=& b &\quad \scriptsize\mid\; b \rightarrow \text{II}\\ \hline \text{II}\quad& 0,73 \text{ m}&=& m \cdot (-4) \text{ Jahre} + 0,79 &\quad \scriptsize\mid\; -0,79 \text{ m}\\ \quad& -0,06 \text{ m}&=& m \cdot (-4) \text{ Jahre} &\quad \scriptsize\mid\; : (-4) \text{ Jahre}\\ \quad& 0,015 \frac{\text{ m}}{\text{ Jahre}}&=& m \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Wachstumsgleichung lautet also:
$y = 0,015 \cdot x + 0,79$
$\blacktriangleright$  Höhe berechnen
Du sollst berechnen, wie hoch der Kristall nach $3, 5 \text{ und } 7$ Jahren ist. In der Wachstumsgleichung beschreibt $x$ das Zeitintervall. Also kannst du die gegeben Werte in die Gleichung für $x$ einsetzen.
$\begin{array}[t]{rll} y &=& 0,015 \cdot 3 + 0,79&\quad \\[5pt] &=& 0,835 \end{array}$
Nach drei Jahren ist der Kristall $0,835$ $\text{m}$ hoch.
$\begin{array}[t]{rll} y &=& 0,015 \cdot 5 + 0,79&\quad \\[5pt] &=& 0,865 \end{array}$
Nach fünf Jahren ist der Kristall $0,865$ $\text{m}$ hoch.
$\begin{array}[t]{rll} y &=& 0,015 \cdot 7 + 0,79&\quad \\[5pt] &=& 0,895 \end{array}$
Nach sieben Jahren ist der Kristall $0,895$ $\text{m}$ hoch.
b)
$\blacktriangleright$  Verdopplung der Höhe des Kristalls berechnen
Hierfür brauchst du wieder die Wachstumsgleichung, die du in Aufgabenteil a) erstellt hast. Das Zeitintervall $x$ ist nicht bekannt. $y$ steht wieder für die Höhe. Gehe von der Höhe aus, die der Kristall zum jetzigen Zeitpunkt hat. Du willst allerdings die doppelte Höhe herausfinden, deswegen gilt:
$0,79 \cdot 2 = 0,015 \cdot x + 0,79$
Jetzt kannst du $x$ berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} 0,79 \cdot 2&=& 0,015 \cdot x + 0,79 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen}\\[5pt] 1,58 &=& 0,015 \cdot x + 0,79 &\quad \scriptsize \mid\; -0,79 \\[5pt] 0,79 &=& 0,015 \cdot x &\quad \scriptsize \mid\; : 0,015 \\[5pt] x&\approx& 52,6 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Nach ungefähr $52$ Jahren hat der Kristall die doppelte Höhe erreicht.

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$ Anzahl der Salmonellen bestimmen
Eine Salmonelle verdoppelt sich alle $20$ Minuten. Wenn du die Anzahl der Salmonellen in in jedem Zeitintervall mit $2$ multiplizierst, erhältst du folgende Werte:
ZeitAnzahl Salmonellen
$0$$1$
$20$$2$
$40$$4$
$60$$8$
$80$$16$
$100$$32$
b)
$\blacktriangleright$ Gleichung aufstellen
In diesem Beispiel haben wir zu Beginn einen Bestand von $B_0=1$. Der Wachstumsfaktor $a$ beträgt $2$, da sich der Bestand immer im gleichen Zeitintervall verdoppelt. Das Zeitintervall in dem die Verdopplung stattfindet beträgt $20$ Minuten. Damit die Anzahl der Salmonellen zu jeder Minute und nicht nur zu jeder $20.$ Minute betrachtet werden kann, musst du $t$ noch mit dem Faktor $\frac{1}{20}$ multiplizieren.
Wenn du alle Werte in die angegebene Gleichung einsetzt, ergibt sich:
$B(t)=1\cdot 2^{\frac{1}{20}\cdot t}$
Das Wachstum wird mit der Gleichung $B(t)=1\cdot 2^{\frac{1}{20}\cdot t}$ beschrieben.

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$  Wachstumsgleichung aufstellen
Da die Piraten von exponentiellem Wachstum ausgehen, musst du die entsprechende Funktionsgleichung benutzen:
$y = n \cdot a^x$
Du hast diverse Werte gegeben. Du kennst den Ausgangswert $n$ - das sind die $10$ Schweine, die auf der Insel ausgesetzt wurden. Zudem kennst du noch das Zeitintervall $x$. Es beträgt $4$ Jahre. Zudem kennst du die Größe $y$ nach $4$ Jahren - $810$. Jetzt kannst du die Werte in die Gleichung einsetzen und nach dem Wachstumsfaktor $a$ auflösen.
$\begin{array}[t]{rll} 810 &=& 10 \cdot a^4 &\quad \scriptsize \mid\; :10 \\[5pt] 81&=& a^4 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt[4]{} \\[5pt] \sqrt[4]{81}&=& a &\quad \\[5pt] 3 &=& a \end{array}$
Der Wachstumsfaktor ist also $3$. Die Anzahl an Schweinen verdreifacht sich demnach jährlich. Jetzt kannst du den Wert für $a$ in die Funktionsgleichung einsetzen.
$y = 10 \cdot 3^x$
b)
$\blacktriangleright$  Anzahl nach $\boldsymbol{2}$ Jahren berechnen
Du sollst die Anzahl der Schweine nach $2$ weiteren Jahren berechnen. Da die Piraten die Schweine im Jahr 1815 ausgesetzt hatten und der zweite Besuch $4$ Jahre später stattfand, beträgt das Zeitintervall $6$ Jahre. Setze also $x = 6$ in die Funktionsgleichung aus a) ein und berechne $y$.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& 10 \cdot 3^6 \\[5pt] &=& 7.290 \end{array}$
Nach $6$ Jahren gibt es also $7.290$ Schweine auf der Insel.
$\blacktriangleright$  Anzahl nach $\boldsymbol{5}$ Jahren berechnen
Du sollst die Anzahl der Schweine nach $5$ weiteren Jahren berechnen. Da die Piraten die Schweine im Jahr 1815 ausgesetzt hatten und der zweite Besuch $4$ Jahre später stattfand, beträgt das Zeitintervall $9$ Jahre. Setze also $x = 9$ in die Funktionsgleichung aus a) ein und berechne $y$.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& 10 \cdot 3^9 \\[5pt] &=& 196.830 \end{array}$
Nach $9$ Jahren gibt es also $196.830$ Schweine auf der Insel.
$\blacktriangleright$  Anzahl nach $\boldsymbol{7}$ Jahren berechnen
Du sollst die Anzahl der Schweine nach $7$ weiteren Jahren berechnen. Da die Piraten die Schweine im Jahr 1815 ausgesetzt hatten und der zweite Besuch $4$ Jahre später stattfand, beträgt das Zeitintervall $11$ Jahre. Setze also $x = 11$ in die Funktionsgleichung aus a) ein und berechne $y$.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& 10 \cdot 3^{11} \\[5pt] &=& 1.771.410 \end{array}$
Nach $11$ Jahren gibt es also $1.771.410$ Schweine auf der Insel.
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2017 – SchulLV.
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