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Wurzeln in Potenzschreibweise darstellen

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Erkläre die Abbildungen und die dazugehörigen Rechnungen und vervollständige sie.
$\,$
Abb. 2: Quadrat 2
Abb. 2: Quadrat 2
$\,$
Für Quadrat 2 gilt:
$a = \sqrt{81 \text{ cm}^2}$
$a = \sqrt{9{ cm} \cdot 9{ cm}}$
$a = \;$ $?$
$\,$
Abb. 4: Würfel 2
Abb. 4: Würfel 2
$\,$
Für Würfel 2 gilt:
$a^3 = 216 \text{ cm}^3$
$a = \sqrt[3]{216}$
$a = \;$ $?$
#quadratwurzel#potenzschreibweise#wurzel#potenz

Aufgabe 1

Berechne die Quadratwurzel und die dritte Wurzel und überprüfe dein Ergebnis.
b)
$\sqrt{484}$
d)
$\sqrt{331,24}$
f)
$\sqrt[3]{41.781,923}$
h)
$\sqrt[3]{1.520,875}$
#quadratwurzel#wurzel

Aufgabe 2

Schreibe als Potenz.
Tipp
Wurzeln kannst du auch als Potenz mit einem Bruch als Exponenten schreiben.
$\sqrt{49} = 49^{\frac{1}{2}}$ $\quad$ $\;$ $\quad$ $\sqrt[3]{27} = 27^{\frac{1}{3}}$ $\quad$ $\quad$ $\;$ $\sqrt[4]{16} = 16^{\frac{1}{4}}$ $\quad$ $\quad$ $\;$ $\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$
Tipp
Wurzeln kannst du auch als Potenz mit einem Bruch als Exponenten schreiben.
$\sqrt{49} = 49^{\frac{1}{2}}$ $\quad$ $\;$ $\quad$ $\sqrt[3]{27} = 27^{\frac{1}{3}}$ $\quad$ $\quad$ $\;$ $\sqrt[4]{16} = 16^{\frac{1}{4}}$ $\quad$ $\quad$ $\;$ $\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$
b)
$\sqrt[3]{68.921}$
d)
$\sqrt[5]{3.125}$
f)
$\sqrt[7]{16.384}$
h)
$\sqrt[9]{262.144}$
j)
$\sqrt[11]{2.048}$
#potenz#potenzschreibweise#wurzel#quadratwurzel

Aufgabe 3

Berechne die Potenzen mit dem Taschenrechner und runde das Ergebnis auf zwei Dezimalstellen, falls nötig.
b)
$512^\frac{1}{3}$
d)
$16.384^\frac{1}{7}$
f)
$7.776^\frac{1}{5}$
h)
$24^\frac{1}{7}$
j)
$87^\frac{1}{6}$
l)
$450^\frac{1}{6}$
#bruch#potenz

Aufgabe 4

Berechne den Wert der Wurzel und runde auf die zweite Stelle nach dem Komma.
b)
$\sqrt[5]{3.175}$
d)
$\sqrt[6]{8.423}$
f)
$\sqrt[4]{893}$
h)
$\sqrt[9]{1057,9}$
j)
$\sqrt[7]{4.825,6}$
l)
$\sqrt[4]{628}$
#wurzel#potenz
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

1
$\blacktriangleright$  Abbildung erklären und Wert berechnen
Die Form der Figur in Abbildung 1 ist quadratisch, das heißt, dass alle Kanten gleich lang sind. Um den Flächeninhalt $A$ zu berechnen, benutzt du diese Formel:
$A = a^2$
$A = a^2$
Da $a = 8 \text{ cm}$ ist, kannst du jetzt den Flächeninhalt $A$ berechnen.
$A = (8 \text{ cm})^2$
$A = 64 \text{ cm}^2$
Der Flächeninhalt von Quadrat 1 beträgt also $64 \text{ cm}^2$.
2
$\blacktriangleright$  Abbildung erklären und Wert berechnen
Die Form der Figur in Abbildung 2 ist quadratisch, das heißt, dass alle Kanten gleich lang sind. Dieses Mal ist der Flächeninhalt $A$ gegeben und gesucht ist die Kantenlänge $a$. Jetzt kannst du die dir schon bekannte Formel umformen:
$a = \sqrt{A}$
$a = \sqrt{A}$
Da $A = 81 \text{ cm}^2$ ist, kannst du jetzt die Kantenlänge $a$ berechnen.
$a = \sqrt{81}$
$a = 9$
Die Seitenlänge von Quadrat 2 beträgt also $9 \text{ cm}$.
3
$\blacktriangleright$  Abbildung erklären und Wert berechnen
Abbildung 3 zeigt einen Würfel, bei dem die Kantenlängen alle gleich sind. Dieses Mal ist die Kantenlänge $a$ gegeben und das Volumen $V$ gesucht. Jetzt kannst du die dir schon bekannte Formel umformen:
$V = a^3$
$V = a^3$
Da $a = 4 \text{ cm}$ ist, kannst du jetzt das Volumen $V$ berechnen.
$V = 4 \text{ cm} \cdot 4 \text{ cm} \cdot 4 \text{ cm}$
$V = 64 \text{ cm}^3$
Das Volumen von Würfel 1 beträgt also $64 \text{ cm}^3$.
4
$\blacktriangleright$  Abbildung erklären und Wert berechnen
Abbildung 4 zeigt einen Würfel, bei dem die Kantenlängen alle gleich sind. Dieses Mal ist das Volumen $V$ gegeben und gesucht ist die Kantenlänge $a$. Jetzt kannst du die dir schon bekannte Formel umformen:
$a = \sqrt[3]{V}$
$a = \sqrt[3]{V}$
Da $V = \sqrt[3]{216} \text{ cm}^3$ ist, kannst du jetzt die Kantenlänge $a$ berechnen.
$a = \sqrt[3]{216} \text{ cm}^3$
$a = 6$
Die Kantenlänge von Würfel 2 beträgt also $6 \text{ cm}$.

Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Wurzel berechnen und überprüfen
$\sqrt{961} = 31$
$31^2 = 961$
b)
$\blacktriangleright$  Wurzel berechnen und überprüfen
$\sqrt{484} = 22$
$22^2 = 484$
c)
$\blacktriangleright$  Wurzel berechnen und überprüfen
$\sqrt{1.225} = 35$
$35^2 = 1.225$
d)
$\blacktriangleright$  Wurzel berechnen und überprüfen
$\sqrt{331,24} = 18,2$
$18,2^2 = 331,24$
e)
$\blacktriangleright$  Wurzel berechnen und überprüfen
$\sqrt[3]{15.252,992} = 24,8$
$24,8^3 = 15.252,992$
f)
$\blacktriangleright$  Wurzel berechnen und überprüfen
$\sqrt[3]{41.781,923} = 34,7$
$34,7^3 = 41.781,923$
g)
$\blacktriangleright$  Wurzel berechnen und überprüfen
$\sqrt[3]{658,503} = 8,7$
$8,7^3 = 658,503$
h)
$\blacktriangleright$  Wurzel berechnen und überprüfen
$\sqrt[3]{1.520,875} = 11,5$
$11,5^3 = 1.520,875$

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Als Potenz schreiben
$\sqrt{3.249}$
$= 3.249^\frac{1}{2}$
b)
$\blacktriangleright$  Als Potenz schreiben
$\sqrt[3]{68.921}$
$= 68.921^\frac{1}{3}$
c)
$\blacktriangleright$  Als Potenz schreiben
$\sqrt[4]{2.401}$
$= 2.401^\frac{1}{4}$
d)
$\blacktriangleright$  Als Potenz schreiben
$\sqrt[5]{3.125}$
$= 3.125^\frac{1}{5}$
e)
$\blacktriangleright$  Als Potenz schreiben
$\sqrt[6]{46.656}$
$= 46.656^\frac{1}{6}$
f)
$\blacktriangleright$  Als Potenz schreiben
$\sqrt[7]{16.384}$
$= 16.384^\frac{1}{7}$
g)
$\blacktriangleright$  Als Potenz schreiben
$\sqrt[8]{65.536}$
$= 65.536^\frac{1}{8}$
h)
$\blacktriangleright$  Als Potenz schreiben
$\sqrt[9]{262.144}$
$= 262.144^\frac{1}{9}$
i)
$\blacktriangleright$  Als Potenz schreiben
$\sqrt[10]{59.049}$
$= 59.049^\frac{1}{10}$
j)
$\blacktriangleright$  Als Potenz schreiben
$\sqrt[11]{2.048}$
$= 2.048^\frac{1}{11}$

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$  Potenz berechnen
$1.296^\frac{1}{4}$
$= 6$
b)
$\blacktriangleright$  Potenz berechnen
$512^\frac{1}{3}$
$= 8$
c)
$\blacktriangleright$  Potenz berechnen
$2.401^\frac{1}{4}$
$= 7$
d)
$\blacktriangleright$  Potenz berechnen
$16.384^\frac{1}{7}$
$= 4$
e)
$\blacktriangleright$  Potenz berechnen
$1.728^\frac{1}{3}$
$= 12$
f)
$\blacktriangleright$  Potenz berechnen
$7.776^\frac{1}{5}$
$= 6$
g)
$\blacktriangleright$  Potenz berechnen
$74^\frac{1}{6}$
$\approx 2,05$
h)
$\blacktriangleright$  Potenz berechnen
$24^\frac{1}{7}$
$\approx 1,57$
i)
$\blacktriangleright$  Potenz berechnen
$1.500^\frac{1}{4}$
$\approx 6,22$
j)
$\blacktriangleright$  Potenz berechnen
$87^\frac{1}{6}$
$\approx 2,11$
k)
$\blacktriangleright$  Potenz berechnen
$0,28^\frac{1}{7}$
$\approx 0,83$
l)
$\blacktriangleright$  Potenz berechnen
$450^\frac{1}{6}$
$\approx 2,77$

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$  Wert der Wurzel berechnen
$\sqrt[3]{112}$
$\approx 4,82$
b)
$\blacktriangleright$  Wert der Wurzel berechnen
$\sqrt[5]{3.175}$
$\approx 5,02$
c)
$\blacktriangleright$  Wert der Wurzel berechnen
$\sqrt[4]{716}$
$\approx 5,17$
d)
$\blacktriangleright$  Wert der Wurzel berechnen
$\sqrt[6]{8.423}$
$\approx 4,51$
e)
$\blacktriangleright$  Wert der Wurzel berechnen
$\sqrt[7]{12.278}$
$\approx 3,84$
f)
$\blacktriangleright$  Wert der Wurzel berechnen
$\sqrt[4]{893}$
$\approx 5,47$
g)
$\blacktriangleright$  Wert der Wurzel berechnen
$\sqrt[8]{4.789,3}$
$\approx 2,88$
h)
$\blacktriangleright$  Wert der Wurzel berechnen
$\sqrt[9]{1057,9}$
$\approx 2,17$
i)
$\blacktriangleright$  Wert der Wurzel berechnen
$\sqrt[10]{24.548}$
$\approx 2,75$
j)
$\blacktriangleright$  Wert der Wurzel berechnen
$\sqrt[7]{4.825,6}$
$\approx 3,36$
k)
$\blacktriangleright$  Wert der Wurzel berechnen
$\sqrt[8]{569,8}$
$\approx 2,21$
l)
$\blacktriangleright$  Wert der Wurzel berechnen
$\sqrt[4]{628}$
$\approx 5,01$
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