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Mit negativem Exponenten

Spickzettel
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Gleichungen mit der Form $y\,=\, x^n$ stellen für $n\in\mathbb{Z}$ Funktionen dar. Diese Gleichungen werden Potenzfunktionen genannt.
Potenzfunktionen mit negativen Exponenten werden wie folgt unterschieden:
$n\in\mathbb{Z^-}$ und $n$ ungerade
  • $\mathbb{D}=\mathbb{R}\backslash\{0\}$
  • $\mathbb{W}=\mathbb{R}\backslash \{0\}$
  • Punktsymmetrische Hyperbel
  • Asymptoten mit: $x=0$ und $y=0$
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Aufgaben
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1.
Gleichungen mit der Form $y=x^n$ werden Potenzfunktionen genannt.
a)
Welche gemeinsamen Eigenschaften zeigen alle Potenzfunktion für die gilt:
$n\in\mathbb{Z^-}$ und $n$ muss eine gerade Zahl sein.
b)
Welche gemeinsamen Eigenschaften zeigen alle Potenzfunktion für die gilt:
$n\in\mathbb{Z^-}$ und $n$ muss eine ungerade Zahl sein.
c)
Welche gemeinsamen Eigenschaften zeigen alle Potenzfunktion für die gilt:
$n\in\mathbb{Z^-}$.
2.
Gegeben sind die beiden Potenzfunktionen $f_1$ mit $y=x^{-4}$ und $f_2$ mit $y=x^{-3}$.
a)
Erstelle eine sinnvolle Wertetabelle und zeichne die Graphen die zu $f_1$ und $f_2$ gehören in ein gemeinsames und geeignetes Koordinatensystem ein.
b)
Gib die Definitions- und Wertemenge der beiden Gleichungen an.
c)
Gib die Symmetrie und alle Asymptoten der beiden Funktionen $f_1$ und $f_2$ an.
3.
4.
Gegeben sind die beiden Potenzfunktionen $f_1$ mit $y=x^{-7}$ und $f_2$ mit $y=x^{-4}$.
a)
Der Punkt $A(-3,25\mid y_A)$ soll auf dem Graphen der Funktion $f_1$ liegen.
Berechne den fehlenden Wert.
b)
Der Punkt $B(x_B\mid 128)$ soll auf dem Graphen der Funktion $f_1$ liegen.
Berechne den fehlenden Wert.
c)
Der Punkt $C(1,46\mid y_C)$ soll auf dem Graphen der Funktion $f_2$ liegen.
Berechne den fehlenden Wert.
d)
Der Punkt $D(-1,46\mid y_D)$ soll auf dem Graphen der Funktion $f_2$ liegen.
Berechne den fehlenden Wert.
e)
Der Punkt $E(x_E\mid 0,01235)$ soll auf dem Graphen der Funktion $f_2$ liegen.
Berechne den fehlenden Wert.
5.
Der Punkt $Q$ liegt auf dem Graphen $F$ der Funktion $f$.
Die Funktion $f$ wird durch die Gleichung der Form $y=x^n$ beschrieben. Zusätzlich muss gelten: $n\in\mathbb{Q^-}$.
Der Punkt $Q$ hat die Koordinaten $(4\mid0,125)$.
a)
Bestimme rechnerisch die Gleichung der Funktion $f$.
b)
Erstelle eine sinnvolle Wertetabelle und zeichne den Graphen $F$ in ein geeignetes Koordinatensystem ein.
c)
Gib die Definitions- und Wertemenge der Funktion $f$ an.
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Lösungen
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1.
a)
Eigenschaften bestimmen
Alle Potenzfunktionen, für die $n\in\mathbb{Z^-}$ und n gerade gilt, haben folgende Eigenschaften:
  • $\mathbb{D}=\mathbb{R}\backslash\{0\}$
  • $\mathbb{W}=\mathbb{R^+}$
  • achsensymmetrische Hyperbel
  • Asymptoten mit: $x=0$ und $y=0$
b)
Eigenschaften bestimmen
Alle Potenzfunktionen, für die $n\in\mathbb{Z^-}$ und n ungerade gilt, haben folgende Eigenschaften:
  • $\mathbb{D}=\mathbb{R}\backslash\{0\}$
  • $\mathbb{W}=\mathbb{R}\backslash \{0\}$
  • punktsymmetrische Hyperbel
  • Asymptoten mit: $x=0$ und $y=0$
c)
Eigenschaften bestimmen
Alle Potenzfunktionen, für die $n\in\mathbb{Z^-}$ gilt, haben folgende Eigenschaften:
  • $\mathbb{D}=\mathbb{R}\backslash\{0\}$
  • symmetrische Hyperbel
  • Asymptoten mit: $x=0$ und $y=0$
2.
a)
Wertetabelle erstellen
$x$ -3 -2 -1 0 1 2 3
$y=x^{-4}$ 0,012 0,063 1 - 1 0,063 0,012
$y=x^{-3}$ -0,037 -0,125 -1 - 1 0,125 0,037
Graphen zeichnen
b)
Definitionsmenge
$f_1:y=x^{-4}$ $f_2:y=x^{-3}$
Da du für $x$ jeden Wert außer Null einsetzen darfst, ergibt sich folgende Definitionsmenge: Da du für $x$ jeden Wert außer Null einsetzen darfst, ergibt sich folgende Definitionsmenge:
$\mathbb{D}=\mathbb{R}\backslash\{0\}$ $\mathbb{D}=\mathbb{R}\backslash\{0\}$
Wertemenge
$f_1:y=x^{-4}$
Du kannst sowohl der Wertetabelle als auch dem Schaubild entnehmen, dass die Funktion keine negativen Funktionswerte annimmt. Die Wertemenge lautet also wie folgt:
$\mathbb{W}=\mathbb{R^+}$
$f_2:y=x^{-3}$
Du kannst sowohl der Wertetabelle als auch dem Schaubild entnehmen, dass die Funktion sowohl negative als auch positive Funktionswerte annimmt, jedoch nie den Wert Null. Die Wertemenge lautet also wie folgt:
$\mathbb{W}=\mathbb{R}\backslash\{0\}$
c)
Symmetrie & Asymptoten
$f_1:y=x^{-4}$
Für die Potenzfunktion $f_1$ gilt:
$n\in\mathbb{Z^-}$ und der Exponent ist gerade.
Aus diesem Grund kannst du sagen, dass die Hyperbel achsensymmetrisch ist und Asymptoten bei $x=0$ und $y=0$ besitzt.
$f_2:y=x^{-3}$
Für die Potenzfunktion $f_2$ gilt:
$n\in\mathbb{Z^-}$ und der Exponent ist ungerade.
Aus diesem Grund kannst du sagen, dass die Hyperbel punktsymmetrisch ist und Asymptoten bei $x=0$ und $y=0$ besitzt.
3.
Graphen zuordnen
Ⅰ)
Die erste Funktionsgleichung hat einen ungeraden Exponenten. Dies bedeutet, dass der Graf der Potenzfunktion punktsymmetrisch sein muss.
Somit kommen nur die Grafen $F$ und $G$ in Frage.
Da nur die dritte Funktion ebenfalls einen ungeraden Exponenten besitzt, dieser jedoch größer ist als der Exponent der ersten Funktion, kannst du sagen, dass der Graf $F$ zu der ersten Funktionsgleichung gehört. (Ein größerer Exponent bewirkt, dass die Funktion „später“, dafür aber um so steiler ansteigt.)
Ⅱ)
  Bei der zweiten Funktionsgleichung handelt es sich um eine Funktion mit einem geraden Exponent. Dies bedeutet, dass der Graf der Funktion achsensymmetrisch sein muss.
Somit kommen nur die Grafen $I$ und $H$ in Frage.
Da nur die vierte Funktion ebenfalls einen geraden Exponenten besitzt, dieser jedoch kleiner ist als der Exponent der zweiten Funktion, kannst du sagen, dass der Graf $I$ zu der zweiten Funktionsgleichung gehört. (Ein größerer Exponent bewirkt, dass die Funktion „später“, dafür aber um so steiler ansteigt.)
Ⅲ)
Die dritte Funktionsgleichung besitzt einen ungeraden Exponenten und muss somit auch punktsymmetrisch sein.
Da der Graf $F$ bereits zugeordnet, ist bleibt nur ein punktsymmetrischer Graf übrig. Der Graf $G$ gehört also zu der dritten Funktionsgleichung.
(Oder: siehe Erklärung unter Ⅰ)
Ⅳ)
Bei der vierten Funktionsgleichung handelt es sich um eine Funktion mit einem geraden Exponent. Dies bedeutet, dass der Graf der Funktion achsensymmetrisch sein muss.
Da nur dem Graf $H$ noch keine Funktionsgleichung zugeordnet ist, weißt du, dass der Graf $H$ zu der vierten Funktionsgleichung gehört.
(Oder: siehe Erklärung unter Ⅱ)
4.
Den fehlenden Wert berechnest du am besten mithilfe einer Punktprobe mit dem jeweils angegebenen Punkt.
a)
$y_A$ berechnen
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} y=&x^{-7}&\scriptsize \text{Punktprobe mit}\;A\\ y_A=&(-1)^{-7}&\scriptsize \\ y_A\approx&-1&\scriptsize \end{array}$
b)
$x_B$ berechnen
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} y=&x^{-7}&\scriptsize \text{Punktprobe mit}\;B\\ 128=&(x_B)^{-7}&\scriptsize \mid\; \sqrt[-7]{\;}\\ \sqrt[-7]{(x_B)^{-7}}=&\sqrt[-7]{128}&\scriptsize\\ x_B=&0,5&\scriptsize \end{array}$
c)
$y_C$ berechnen
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} y=&x^{-4}&\scriptsize \text{Punktprobe mit}\;C\\ y_C=&1,46^{-4}&\scriptsize\\ y_C\approx&0,22&\scriptsize \end{array}$
d)
$y_D$ berechnen
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} y=&x^{-4}&\scriptsize \text{Punktprobe mit}\;D\\ y_D=&(-1,46)^{-4}&\scriptsize\\ y_D\approx&0,22&\scriptsize \end{array}$
e)
$x_E$ berechnen
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} y=&x^{-4}&\scriptsize \text{Punktprobe mit}\;E\\ 0,01235=&(x_E)^{-4}&\scriptsize \mid\;\sqrt[-4]{\;}\\ \sqrt[-4]{(x_E)^{-4}}=&\sqrt[-4]{0,01235}&\scriptsize\\ x_{E1}=&3&\scriptsize\\ x_{E2}=&-3&\scriptsize \end{array}$
5.
a)
Gleichung der Funktion $f$ bestimmen
Um die Gleichung der Funktion $f$ bestimmen zu können, musst du lediglich eine Punktprobe mit dem Punkt $Q(4\mid0,125)$ durchführen.
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} y=&x^n&\scriptsize \text{Einsetzten von Q}\\ 0,125=&4^n&\scriptsize \mid\; \lg\\ \lg{(4^n)}=&\lg(0,125)&\scriptsize \text{Logarithmusgesetze} \\ n\cdot\lg(4)=&\lg(0,125)&\scriptsize \mid\; :\lg(4)\\ n=&\frac{\lg(0,125)}{\lg(4)}&\scriptsize\\ n=&-1,5&\scriptsize \end{array}$
Die Funktionsgleichung der Funktion $f$ lautet: $y=x^{-1,5}$.
b)
Wertetabelle erstellen
$x$ 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
$y=x^{-1,5}$ - 2,83 1 0,54 0,35 0,25 0,19
Graphen zeichnen
c)
Definitionsmenge
Da du für $x$ nur positive Werte einsetzen darfst, ergibt sich folgende Definitionsmenge:
$\mathbb{D}=\mathbb{R^+}$
Wertemenge
Du kannst sowohl der Wertetabelle als auch dem Schaubild entnehmen, dass die Funktion keine negativen Funktionswerte annimmt. Die Wertemenge lautet also wie folgt
$\mathbb{W}=\mathbb{R^+}$
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