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Abbilden der Graphen

Spickzettel
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Gleichungen mit der Form $y\,=\, x^n$ stellen für $n\in\mathbb{Z}$ Funktionen dar. Diese Gleichungen werden Potenzfunktionen genannt.
Potenzfunktionen mit positiven Exponenten werden wie folgt unterschieden:
$n\in\mathbb{Z}\setminus\{1\}$ und $n$ ungerade
Potenzen und Potenzfunktionen: Abbilden der Graphen
Potenzen und Potenzfunktionen: Abbilden der Graphen
  • $\mathbb{D}=\mathbb{R}$
  • $\mathbb{W}=\mathbb{R}$
  • Symmetriepunkt $S(0\mid0)$
  • Punktsymmetrische Parabel
Potenzfunktionen mit negativen Exponenten werden wie folgt unterschieden:
$n\in\mathbb{Z^-}$ und $n$ ungerade
Potenzen und Potenzfunktionen: Abbilden der Graphen
Potenzen und Potenzfunktionen: Abbilden der Graphen
  • $\mathbb{D}=\mathbb{R}\backslash\{0\}$
  • $\mathbb{W}=\mathbb{R}\backslash \{0\}$
  • Punktsymmetrische Hyperbel
  • Asymptoten mit: $x=0$ und $y=0$
Wenn du einen Graphen einer Potenzfunktion zeichnen willst, liest du ab, ob der Exponent positiv oder negativ ist und ob die Funktion gerade oder ungerade ist. Dann weißt du, wie der Verlauf des Graphen ungefähr sein muss. Fertige dann eine Wertetabelle an und trage die Werte in ein Koordinatensystem ein.
#potenz#intervall
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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Fertige für jede Funktion eine Wertetabelle im Intervall $[-3, 3]$ in Einserschritten an und zeichne sie jeweils in ein Koordinatensystem.
b)
$f_2(x) = 3 \cdot x^1$
d)
$f_4(x) = x^3$
#graph#intervall

Aufgabe 1

Ordne den Funktionen $f_1(x) = x^0$, $f_2(x) = \dfrac{1}{4} x^2$, $f_3(x) = x^{\frac{1}{3}}$, $f_4(x) = \dfrac{1}{4}x^{3}$ zu den unteren Graphen zu und begründe deine Antwort.
#graph#potenz

Aufgabe 2

Entscheide bei folgenden Potenzfunktionen, ob sie punktsymmmetrisch zum Ursprung oder achsensymmetrisch zur $y$-Achse sind. Begründe dabei deine Antwort.
b)
$f(x)=\frac{1}{2} x^{11}$
d)
$f(x)=0,0001x^{1231}$
f)
$f(x)=-2x^{\frac{1}{3}}$
h)
$f(x)=x^{\frac{1}{11}}$
Was bedeutet Punkt- bzw. Achsensymmetrie für das Abbilden der Funktion in einem Koordinatensystem?
#achsensymmetrie#punktsymmetrie

Aufgabe 3

#funktionsgleichung

Aufgabe 4

Entscheide, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind:
b)
„Potenzfunktionen der Form $ax^3$ sind für alle $x$-Werte größer, als Funktionen der Form $bx^2$ mit $a$, $b > 0.$“
d)
„Gegeben ist die Funktion $f(x) = -x^n$. Ist $n$ eine gerade Zahl, so gilt: $\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = \infty$. Ist $n$ ungerade, so gilt: $\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = -\infty$“
#potenz

Aufgabe 5

#spiegelung#funktionsgleichung
Bildnachweise [nach oben]
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Einführungsaufgabe

Fertige zuerst eine Wertetabelle für jede Funktion an, indem du für $x$ die Werte $-3$, $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$ und $3$ in $f_1$, $f_2$, $f_3$ und $f_4$ einsetzt:
$x$$-3$$-2$$-1$$0$$1$$2$$3$
$f_1(x)$$9$$4$$1$$0$$1$$4$$9$
$f_2(x)$$-9$$-6$$-3$$0$$3$$6$$9$
$f_3(x)$$40,5$$8$$\dfrac{1}{2}$$0$$\dfrac{1}{2}$$8$$40,5$
$f_4(x)$$-27$$-8$$-1$$0$$1$$8$$27$
#graph

Aufgabe 1

a)
Du siehst, dass die Funktion achsensymmetrisch zur $y$-Achse ist. Von den vier gegebenen Funktionen kommt nur $f_2(x) = \dfrac{1}{4} x^2$ infrage. Du kannst diese überprüfen, indem du $x=2$ in $f_2$ einsetzt.
b)
Die Funktion verhält sich an der Stelle $x=0$ nicht so wie du es von den Potenzfunktion $ax^n$ mit einer natürlichen Zahl $n$ kennst. Somit ist gesuchte Funktion in diesem Fall $f_3.$
c)
Die abgebildete Funktion ist konstant, d.h. nur $f_1$ kommt infrage.
d)
Die Funktion geht durch den Punkt $(2 \mid 2)$. Das ist nur bei $f_4$ der Fall.
#symmetrie#funktionsgleichung

Aufgabe 2

Eine Funktion $f$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung, falls
$f(x) = -f(-x)$
$f(x) = -f(-x)$
gilt. Eine Potenzfunktion ist für natürliche $n$ punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn $n$ ungerade ist.
Eine Funktion $f$ ist achsensymmetrisch zur $\boldsymbol{y}$-Achse, falls
$f(x) = -f(-x)$
$f(x) = f(-x)$
gilt. Eine Potenzfunktion ist für natürliche $n$ achsensymmetrisch zur $y$-Achse, wenn $n$ gerade ist.
a)
Die Funktion ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse, da $n$ gerade ist.
b)
Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, da $n$ ungerade ist.
c)
Diese Funktion ist weder achsensymmetrisch noch punktsymmetrisch, da sie für $x < 0$ nicht definiert ist.
d)
Die Zahl $1231$ ist ungerade, also ist die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung.
e)
Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, da $n$ ungerade ist.
f)
Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Dies kannst du mithilfe der Eigenschaft für Punktsymmetrie überprüfen.
g)
Die Funktion ist äquivalent zu $x=1$, so dass sie achsensymmetrisch zur $y$-Achse ist.
h)
Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Dies kannst du mithilfe der Eigenschaft für Punktsymmetrie überprüfen.
#punktsymmetrie#achsensymmetrie

Aufgabe 3

Die Funktion $f_1$ ist eine Gerade mit einer Steigung $a < 0,$ somit muss $n = 1$ sein. Die Funktion geht durch den Punkt $(-1 \mid 1)$, d.h. $a = -1.$ Die gesuchte Funnktion ist also $f_1(x) = -x$
Die Funktion $f_2$ hat die Form $ax^n$ mit einem geraden $n$, da sie achsensymmetrisch ist. Weiterhin geht sie durch die Punkte $(1 \mid \frac{1}{2})$ und $(2 \mid 2)$. Mit diesen Informationen kannst du folgern, dass die Funktion $f_2(x) = \dfrac{1}{2} x^2$ ist.
Die Funktion $f_3$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Sie hat also die Form $ax^n$ mit einem ungeraden $n > 3$. Außerdem geht sie durch den Punkt $(2 \mid 2)$, was der Funktion $f_3(x) = \dfrac{1}{4} x^3$ entprechen würde.
#funktionsgleichung

Aufgabe 4

a)
Diese Aussage ist richtig, denn für eine beliebige natürliche Zahl $n$ gilt: $1^n = 1.$
b)
Diese Aussage ist falsch, denn im Intervall $(\infty, 1)$ ist die Funktion $x^2$ für alle $x$ größer, als die Funktion $x^3.$
c)
Diese Aussage ist falsch, denn die Funktion $x^3$ hat bei $x=0$ eine Wendestelle.
d)
Diese Aussage ist richtig, denn für gerade $n$ ist die gegebene Funktion achsensymmetrisch zur $y$-Achse. Für ungerade punktsymmetrisch zum Ursprung.
#potenz

Aufgabe 5

#spiegelung
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