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Mit positivem Exponenten

Spickzettel
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Gleichungen mit der Form $y\,=\, x^n$ stellen für $n\in\mathbb{Z}$ Funktionen dar. Diese Gleichungen werden Potenzfunktionen genannt.
Potenzfunktionen mit positiven Exponenten werden wie folgt unterschieden:
$n\in\mathbb{Z}\setminus\{1\}$ und $n$ ungerade
Potenzfunktion: Mit positivem Exponenten
Potenzfunktion: Mit positivem Exponenten
  • $\mathbb{D}=\mathbb{R}$
  • $\mathbb{W}=\mathbb{R}$
  • Symmetriepunkt $S(0\mid0)$
  • Punktsymmetrische Parabel
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Aufgaben
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1.
Gleichungen mit der Form $y\,=\,x^n$ werden Potenzfunktionen genannt.
a)
Welche gemeinsamen Eigenschaften zeigen alle Potenzfunktion für die gilt:
$n\in\mathbb{N}$ und $n$ muss eine gerade Zahl sein.
b)
Welche gemeinsamen Eigenschaften zeigen alle Potenzfunktion für die gilt:
$n\in\mathbb{N}\setminus\{1\}$ und $n$ muss eine ungerade Zahl sein.
c)
Welche gemeinsamen Eigenschaften zeigen alle Potenzfunktion für die gilt:
$n\in\mathbb{N}$.
2.
Gegeben sind die beiden Potenzfunktionen $f_1$ mit $y\,=\,x²$ und $f_2$ mit $y\,=\,x^5$.
a)
Erstelle eine sinnvolle Wertetabelle und zeichne die Graphen die zu $f_1$ und $f_2$ gehören in ein gemeinsames und geeignetes Koordinatensystem ein.
b)
Gib die Definitions- und Wertemenge der beiden Gleichungen an.
c)
Berechne die Nullstellen der beiden Funktionen.
3.
Potenzfunktion: Mit positivem Exponenten
Potenzfunktion: Mit positivem Exponenten
4.
Gegeben sind die beiden Potenzfunktionen $f_1$ mit $y\,=\,x^3$ und $f_2$ mit $y\,=\,x^6$.
a)
Der Punkt $A(-3,25\mid y_A)$ soll auf dem Graphen der Funktion $f_1$ liegen.
Berechne den fehlenden Wert.
b)
Der Punkt $B(x_B\mid 50,653 )$ soll auf dem Graphen der Funktion $f_1$ liegen.
Berechne den fehlenden Wert.
c)
Der Punkt $C(0,7 \mid y_C )$ soll auf dem Graphen der Funktion $f_2$ liegen.
Berechne den fehlenden Wert.
d)
Der Punkt $D(-0,7 \mid y_D )$ soll auf dem Graphen der Funktion $f_2$ liegen.
Berechne den fehlenden Wert.
e)
Der Punkt $C(x_E\mid 24,14)$ soll auf dem Graphen der Funktion $f_2$ liegen.
Berechne den fehlenden Wert.
5.
Die Funktion wird durch die Gleichung der Form $y\,=\,x^n$ beschrieben. Zusätzlich muss gelten: $n\in\mathbb{Q}^+$.
Der Punkt $Q$ hat die Koordinaten $(16\mid4)$.
a)
Bestimme rechnerisch die Gleichung der Funktion $f$.
b)
Erstelle eine sinnvolle Wertetabelle und zeichne den Graphen $F$ in ein geeignetes Koordinatensystem ein.
c)
Gib die Definitions- und Wertemenge der Funktion $f$ an.
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Lösungen
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1.
a)
Eigenschaften bestimmen
Alle Potenzfunktionen, für die $n\in\mathbb{N}$ und $n$ gerade gilt, haben folgende Eigenschaften:
  • $\mathbb{D}\,=\,\mathbb{R}$
  • $\mathbb{W}\,=\,\mathbb{R}^+$
  • Scheitelpunkt $S(0\mid0)$
  • Achsensymmetrische Parabel
b)
Eigenschaften bestimmen
Alle Potenzfunktionen, für die $n\in\mathbb{N}\setminus\{1\}$ und $n$ ungerade gilt, haben folgende Eigenschaften:
  • $\mathbb{D}\,=\,\mathbb{R}$
  • $\mathbb{W}\,=\,\mathbb{R}$
  • Symmetriepunkt $S(0\mid0)$
  • Symmetrische Parabel
c)
Eigenschaften bestimmen
Alle Potenzfunktionen, für die $n\in\mathbb{N}$ gilt, haben folgende Eigenschaften:
  • $\mathbb{D}\,=\,\mathbb{R}$
  • Symmetriepunkt $S(0\mid0)$
  • Symmetrische Parabel
2.
a)
Wertetabelle erstellen
$x$$-3$$-2$$-1$$0$$1$$2$$3$
$y=x^2$$9$$4$$1$$0$$1$$4$$9$
$y=x^5$$-243$$-32$$-1$$0$$1$$32$$243$
Graphen zeichnen
Potenzfunktion: Mit positivem Exponenten
Potenzfunktion: Mit positivem Exponenten
b)
Definitonsmenge
$f_2: \,y=x^5$
Da du für $x$ jeden Wert einsetzen darfst und die Funktion damit keine Definitionslücke besitzt, ergibt sich folgende Definitionsmenge:
$\mathbb{D}=\mathbb{R}$
Wertemenge
$f_2: \,y=x^5$
Du kannst sowohl der Wertetabelle als auch dem Schaubild entnehmen, dass die Funktion sowohl negativen als auch positive Funktionswerte annimmt. Die Wertemenge lautet also wie folgt:
$\mathbb{W}=\mathbb{R}$
c)
Nullstellen
Um die Nullstellen der beiden Funktionen berechnen zu können, musst du die Funktionsgleichung gleich Null setzen und anschließend nach $x$ auflösen.
$\begin{array}[t]{rll} f_2: y&=& x^5 \\[5pt] y&=& x^5 \quad \scriptsize \text{gleich Null setzen} \\[5pt] 0&=& x^5 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt[5]{\,} \\[5pt] \sqrt[5]{x^2} &=& \sqrt{0} \\[5pt] x &=& 0 \\[5pt] \end{array}$
Sowohl die Funktion $f_1$ als auch die Funktion $f_2$ hat die Nullstelle bei $x=0$.
3.
Graphen zuordnen
I)
Die erste Funktionsgleichung hat einen geraden Exponenten. Dies bedeutet, dass der Graph der Potenzfunktion achsensymmetrisch sein muss.
Somit kommen nur die Graphen $H$ und $I$ in Frage.
Da nur die vierte Funktion ebenfalls einen geraden Exponenten besitzt, dieser jedoch größer ist als der Exponent der ersten Funktion, kannst du sagen, dass der Graph $H$ zu der ersten Funktionsgleichung gehört. (Ein größerer Exponent bewirkt, dass die Funktion “später”, dafür aber um so steiler ansteigt.)
II)
Bei der zweiten Funktionsgleichung handelt es sich um eine Funktion mit einem ungeraden Exponenten. Dies bedeutet, dass der Graph der Funktion punktsymmetrisch sein muss.
Des weiteren kannst du die zweite Funktion auch wie folgt schreiben: $y=x$.
Dies bedeutet also, dass die zweite Funktion die erste Winkelhalbierende ist. Somit kannst du sagen, dass der Graph $F$ zu der zweiten Funktionsgleichung gehört.
III)
Die dritte Funktionsgleichung hat ebenfalls einen ungeraden Exponenten und muss somit auch punktsymmetrisch sein.
Da der Graph $F$ bereits zugeordnet ist, bleibt nur ein punktsymmetrischer Graph übrig. Der Graph $G$ gehört also zu der dritten Funktionsgleichung.
IV)
Bei der vierten Funktionsgleichung handelt es sich um eine Funktion mit einem geraden Exponenten. Dies bedeutet, dass der Graph der Funktion achsensymmetrisch sein muss.
Da nur dem Graph $I$ noch keiner Funktionsgleichung zugeordnet ist, weißt du, dass der Graph $I$ zu der vierten Funktionsgleichung gehört.
(Oder: siehe Erklärung unter $I$)
4.
Den fehlenden Wert berechnest du am besten mithilfe einer Punktprobe mit dem jeweils angegebenen Punkt.
a)
$y_A$ berechnen
$\begin{array}[t]{rll} y &=& x^3&\quad \scriptsize \text{Punktprobe mit $A(-3,25\mid y_A)$} \\[5pt] y_A&=& (-3,25)^3 \\[5pt] y_A&\approx& -34,33 \\[5pt] \end{array}$
b)
$y_B$ berechnen
$\begin{array}[t]{rll} y &=& x^3&\quad \scriptsize \text{Punktprobe mit $B(x_B \mid 50,653)$} \\[5pt] 50,653 &=& (x_B)^3 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt[3]{\,} \\[5pt] \sqrt[3]{(x_B)^3} &=& \sqrt[3]{50,653} \\[5pt] x_B&=& 3,7\\[5pt] \end{array}$
c)
$y_C$ berechnen
$\begin{array}[t]{rll} y &=& x^6&\quad \scriptsize \text{Punktprobe mit $C(0,7 \mid y_C)$} \\[5pt] y_C &=& 0,7^6 \\[5pt] y_C &\approx& 0,12 \\[5pt] \end{array}$
d)
$y_D$ berechnen
$\begin{array}[t]{rll} y &=& x^6&\quad \scriptsize \text{Punktprobe mit $D(-0,7 \mid y_D)$} \\[5pt] y_D &=& (-0,7)^6 \\[5pt] y_D &\approx& 0,12 \\[5pt] \end{array}$
e)
$x_E$ berechnen
$\begin{array}[t]{rll} y &=& x^6&\quad \scriptsize \text{Punktprobe mit $E(x_E \mid 24,14)$} \\[5pt] 24,14 &=& (x_E)^6 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt[6]{\,} \\[5pt] \sqrt[6]{(x_E)^6} &=& \sqrt[6]{24,14} \\[5pt] x_{E_1}&=& 1,7\\[5pt] x_{E_2}&=& -1,7\\[5pt] \end{array}$
5.
a)
Gleichung der Funktion $f$ bestimmen
Um die Gleichung der Funktion $f$ bestimmen zu können, musst du lediglich eine Punktprobe mit dem Punkt $Q(16\mid4)$ durchführen.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^n&\quad \scriptsize \text{Punktprobe mit $Q(16\mid4)$} \\[5pt] 4&=& 16^n &\quad \scriptsize \mid\; \text{log} \\[5pt] log(16^n)&=& log(4) &\quad \scriptsize \text{Logarithmusgesetze} \\[5pt] n\cdot log(16)&=& log(4) &\quad \scriptsize \mid\; : log(16) \\[5pt] n &=& \frac{log(4)}{log(16)} \\[5pt] n &=& 0,5 \\[5pt] \end{array}$
Die Funktionsgleichung der Funktion $f$ lautet: $y=x^{0,5}$.
b)
Wertetabelle erstellen
$x$0149162536
$y=x^{0,5}$0123456
Graphen zeichnen
Potenzfunktion: Mit positivem Exponenten
Potenzfunktion: Mit positivem Exponenten
c)
Definitionsmenge
Da du für $x$ nur positive Werte (einschließlich Null) einsetzen darfst, ergibt sich folgende Definitionsmenge:
$\mathbb{D}=\mathbb{R}^+$
Wertemenge
Du kannst sowohl der Wertetabelle als auch dem Schaubild entnehmen, dass die Funktion keine negativen Funktionswerte annimmt. Die Wertemenge lautet also wie folgt:
$\mathbb{W}=\mathbb{R}^+$
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