Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BY, Realschule
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 10
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Lernbereich
Digitales Schulbuch M II
Digitales Schulbuch M I
Realschulabschluss M I
Realschulabschluss M II
VERA 8
Realschulabsc...
Prüfung
wechseln
Realschulabschluss M I
Realschulabschluss M II
VERA 8
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!

Bruch im Exponenten

Spickzettel
Download als Dokument:PDF
Die Exponenten einer Potenzzahl können auch als Brüche auftreten. Das nennt man dann Potenzieren mit einer rationalen Zahl mit dem Exponenten m durch n. Für Brüche im Exponenten von Potenzzahlen gelten weitere Gesetze:
1. Die im Nenner auftretende Zahl $n$ entspricht der $n$-ten Wurzel:
$a^{\frac{1}{c}}=\sqrt[c]{a}$
$a^{\frac{1}{c}}=\sqrt[c]{a}$
2. Wenn die $n$-te Wurzel gezogen wurde, bleibt die Zahl $m$ aus dem Zähler als Exponent unter der Wurzel erhalten:
$a^{\frac{c}{d}}=\sqrt[d]{a^c}=(\sqrt[d]{a})^c$
$a^{\frac{c}{d}}=\sqrt[d]{a^c}=(\sqrt[d]{a})^c$
Möglicherweise kannst du den Bruch im Exponenten noch kürzen, dies kann die Rechnung vereinfachen. Es ist egal in welcher Reihenfolge du potenzierst oder die Wurzel zieht.
#wurzel#bruch#potenz
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Aufgaben
Download als Dokument:PDF

Einführungsaufgabe

Fasse die Terme soweit wie möglich zusammen.
b)
$\left(9^5\right)^{\frac{1}{10}}$
d)
$\left(xy^{\frac{1}{^5}}\right)^{\frac{1}{3}}$
f)
$\left(4^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{2}} \cdot \left(4^{\frac{1}{3}}\right)^6$
h)
$\left(2^3\right)^{\frac{1}{5}} \cdot \left(2^{\frac{1}{5}}\right)^2$
j)
$\left(9x\right)^{\frac{1}{2}} \cdot \left(4x^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{3}} \cdot \left(4x^2\right)^{\frac{1}{6}}$
#potenzgesetze

Aufgabe 1

Vereinfache die Terme so weit wie möglich.
b)
$\sqrt{\sqrt[3]{25}}$
d)
$\sqrt[3]{\sqrt{64x^{3}y}}$
f)
$\sqrt[3]{\sqrt[3]{512x^9y^3}}$
#wurzel#potenzgesetze

Aufgabe 2

Vereinfache die vermischten Terme so weit wie möglich.
b)
$\left(\sqrt{8}\right)^{\frac{1}{4}} \cdot \left(\sqrt[4]{2}\right)^{\frac{1}{2}}$
,
d)
$\sqrt[3]{64} \cdot \left(27^2 \cdot 3^{12}\right)^{-\frac{1}{6}}$
#potenzgesetze#wurzel

Aufgabe 3

Zeichne jeweils die Funktionen $f(x)=x^2$ und $g(x)=x^3$ in ein separates Koordinatensystem für den $x$-Bereich $0\leq x\leq3$.
Wenn du die dritte Wurzel einer Zahl abschätzen willst, dann kannst du deine Zeichnung dazu verwenden. Du kannst z.B. $\sqrt[3]{8}$ abschätzen. Die dritte Wurzel ist die Umkehrung der dritten Potenz. Wenn du eine Zahl $a$ hoch $3$ nimmst, dann erhältst du die Zahl $b$. Wenn du nun die dritte Wurzel aus dieser Zahl $b$ ziehst, dann landest du wieder bei $a$.
Das kannst du jetzt auf deine Zeichnung übertragen. Du willst $\sqrt[3]{8}$ abschätzen. Du weißt also, dass $8$ das Ergebnis dieser Zahl hoch $3$ ist. Also suchst du in dem Schaubild von $g(x)=x^3$ den $x$-Wert, bei dem der Graph der Funktion den $y$-Wert $8$ annimmt. Das ist bei $x=2$. Die dritte Wurzel aus $8$ ist also $2$.
Schätze auf die gleiche Art und Weise die folgenden Werte ab. Überprüfe sie anschließend mit dem Taschenrechner.
b)
$\sqrt[3]{3}$
d)
$\sqrt[3]{21}$
f)
$4^{\frac{2}{3}}$
#wurzel

Aufgabe 4

Die Funktion $f(x)=\sqrt{9-x^2}$ ist eine besondere Wurzelfunktion. Wenn du sie in ein Koordinatensystem zeichnest, dann sieht der Graph der Funktion so aus:
Sie hat die Form eines Halbkreises.
a)
Gib den Definitions- und Wertebereich der Funktion an.
b)
Wie groß ist der Radius des Halbkreises? Wo findest du ihn wieder in der Funktionsgleichung? Gib eine allgemeine Funktionsgleichung an, mit der du einen Halbkreis mit einem beliebigen Radius zeichnen kannst.
c)
Die Funktion verläuft nur oberhalb der $x$-Achse. Wenn du einen kompletten Kreis zeichnen willst, dann brauchst du eine zweite Funktion mit ähnlicher Funktionsgleichung, die nur unterhalb der $x$-Achse verläuft. Wie musst du die Funktionsgleichung ändern, damit der Halbkreis unterhalb der $x$-Achse liegt? Gibt die Funktionsgleichung dieser Funktion an.
#wertebereich#wurzelfunktion#definitionsbereich

Aufgabe 5

a)
Zeichne die Funktionen $f(x)=\sqrt{x}$, $g(x)=\sqrt[3]{x}$ und $h(x)=\sqrt[4]{x}$ im Bereich $0\leq x\leq 12$ in ein geeignetes Koordinatensystem.
b)
Die Punkte $P_1\,(11\mid 1,82)$, $P_2\,(9\mid 2,08)$ und $P_3\,(1\mid1)$ liegen jeweils auf dem Graphen einer der Wurzelfunktionen aus Aufgabenteil a). Ordne die Punkte den Funktionen zu. Einen Punkt kannst du nicht genau zuordnen. Welcher ist das und wieso?
#wurzelfunktion
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2017 – SchulLV.
[2]
© 2017 – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF

Einführungsaufgabe

a)
Wende hier das fünfte Potenzgesetz an.
$\left(x^m\right)^n = y^{m \cdot n}$
$\left(x^m\right)^n = y^{m \cdot n}$
$\begin{array}[t]{l11} \left(1^{\frac{1}{4}}\right)^4 &=& 1^{\frac{1}{4} \cdot 4} \\[5pt] &=& 1^{\frac{4}{4}} \\[5pt] &=& 1 \end{array}$
b)
Wende hier das fünfte Potenzgesetz an.
$\begin{array}[t]{l11} \left(9^5\right)^{\frac{1}{10}} &=& 9^{5 \cdot \frac{1}{10}}\\[5pt] &=& 9^{\frac{1}{2}} \\[5pt] &=& 3 \end{array}$
c)
Wende hier das dritte Potenzgesetz an.
$x^m \cdot y^m = \left(x \cdot y\right)^m$
$x^m \cdot y^m = \left(x \cdot y\right)^m$
$\begin{array}[t]{l11} 2^{\frac{1}{4}} \cdot 8^{\frac{1}{4}} &=& \left(2 \cdot 8\right)^{\frac{1}{4}}\\[5pt] &=& 16^{\frac{1}{4}} \\[5pt] &=& 2 \end{array}$
d)
Wende hier das fünfte Potenzgesetz an.
$\begin{array}[t]{l11} \left(xy^{\frac{1}{^5}}\right)^{\frac{1}{3}}&=& x^{\frac{1}{3}} \cdot y^{\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3}} \\[5pt] &=& x^{\frac{1}{3}} \cdot y^{\frac{1}{15}} \end{array}$
e)
Stelle den Term zuerst um.
$\begin{array}[t]{l11} 5^{\frac{1}{3}} : 5^{-\frac{1}{3}} &=& \frac{5^{\frac{1}{3}}}{5^{-\frac{1}{3}}} \end{array}$
Wende nun das zweite Potenzgesetz an.
$x^m : x^n = \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$
$x^m : x^n = \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$
$\begin{array}[t]{l11} \frac{5^{\frac{1}{3}}}{5^{-\frac{1}{3}}} &=& 5^{\frac{1}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)} \\[5pt] &=& 5^{\frac{1}{3}+\frac{1}{3}} \\[5pt] &=& 5^{\frac{2}{3}} \\[5pt] &=& 25^{\frac{1}{3}} \end{array}$
f)
Wende hier zuerst das fünfte Potenzgesetz an.
$\begin{array}[t]{l11} \left(4^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{2}} \cdot \left(4^{\frac{1}{3}}\right)^6 &=& 4^{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}} \cdot 4^{\frac{1}{3} \cdot 6} \\[5pt] &=& 4^{\frac{1}{6}} \cdot 4^2 \end{array}$
$ 4^{\frac{1}{6}} \cdot 4^2 $
Wende nun das erste Potenzgesetz an.
$\begin{array}[t]{l11} 4^{\frac{1}{6}} \cdot 4^2 &=& 4^{\frac{1}{3}} \end{array}$
g)
Wende hier das fünfte Potenzgesetz an.
$\begin{array}[t]{l11} \left(x^6 \cdot 25y^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{2}} &=& x^{6 \cdot \frac{1}{2}} \cdot 25^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}} \\[5pt] &=& x^3 \cdot 5 \cdot y^{\frac{1}{6}} \end{array}$
$ x^3 \cdot 5 \cdot y^{\frac{1}{6}} $
h)
Wende zunächst für beide Potenzen das fünfte Potenzgesetz an.
$\begin{array}[t]{l11} \left(2^3\right)^{\frac{1}{5}} \cdot \left(2^{\frac{1}{5}}\right)^2 &=& 2^{3 \cdot \frac{1}{5}} \cdot 2^{\frac{1}{5} \cdot 2} \\[5pt] &=& 2^{\frac{3}{5}} \cdot 2^{\frac{2}{5}} \\[5pt] \end{array}$
Wende nun das erste Potenzgesetz an.
$x^m \cdot x^n = x^{m+n}$
$x^m \cdot x^n = x^{m+n}$
$\begin{array}[t]{l11} 2^{\frac{3}{5}} \cdot 2^{\frac{2}{5}} &=& 2^{\frac{3}{5} + \frac{2}{5}} \\[5pt] &=& 2^{\frac{5}{5}} \\[5pt] &=& 2 \end{array}$
i)
Wende zunächst für beide Terme das fünfte Potenzgesetz an.
$\begin{array}[t]{l11} \left(x^9 \cdot y \cdot z^0\right)^{\frac{1}{3}} \cdot \left(x^{-3} \cdot y^5 \cdot z^6\right)^{\frac{1}{3}} &=& \left(x^{9 \cdot \frac{1}{3}} \cdot y^{\frac{1}{3}} \cdot 1\right) \cdot \left(x^{-3 \cdot \frac{1}{3}} \cdot y^{5 \cdot \frac{1}{3}} \cdot z^{6 \cdot \frac{1}{3}}\right) \\[5pt] &=& \left(x^3 \cdot y^{\frac{1}{3}}\right) \cdot \left(x^{-1} \cdot y^{\frac{5}{3}} \cdot z^{2}\right) \end{array}$
$ \left(x^3 \cdot y^{\frac{1}{3}}\right) \cdot \left(x^{-1} \cdot y^{\frac{5}{3}} \cdot z^{2}\right) $
Wende nun das erste Potenzgesetz an.
$\begin{array}[t]{l11} \left(x^3 \cdot y^{\frac{1}{3}}\right) \cdot \left(x^{-1} \cdot y^{\frac{5}{3}} \cdot z^{2}\right) &=& x^{3-1} \cdot y^{\frac{1}{3} + \frac{5}{3}} \cdot z^{2} \\[5pt] &=& x^{2} \cdot y^{2} \cdot z^{2} \end{array}$
$ x^{2} \cdot y^{2} \cdot z^{2} $
j)
Wende zunächst für die drei Terme das fünfte Potenzgesetz an.
$\begin{array}[t]{l11} \left(9x\right)^{\frac{1}{2}} \cdot \left(4x^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{3}} \cdot \left(4x^2\right)^{\frac{1}{6}} &=& \left(9^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \left(4^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{1}{2} \cdot {\frac{1}{3}}}\right) \cdot \left(4^{\frac{1}{6}} \cdot x^{2 \cdot \frac{1}{6}}\right) \\[5pt] &=& \left(3 \cdot x^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \left(4^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{1}{6}}\right) \cdot \left(4^{\frac{1}{6}} \cdot x^{\frac{1}{3}}\right) \end{array}$
$ \scriptsize{ \left(3 \cdot x^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \left(4^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{1}{6}}\right) \cdot \left(4^{\frac{1}{6}} \cdot x^{\frac{1}{3}}\right) }$
Wende nun für die Potenzen mit der gleichen Basis das erste Potenzgesetz an.
$\begin{array}[t]{l11} \left(3 \cdot x^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \left(4^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{1}{6}}\right) \cdot \left(4^{\frac{1}{6}} \cdot x^{\frac{1}{3}}\right) &=& 3 \cdot \left(4^{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}}\right) \cdot \left(x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{6} +\frac{1}{3}}\right) \\[5pt] &=& 3 \cdot \left(4^{\frac{2}{6} + \frac{1}{6}}\right) \cdot \left(x^{\frac{3}{6} + \frac{1}{6} +\frac{2}{6}}\right) \\[5pt] &=& 3 \cdot 4^{\frac{3}{6}} \cdot x^{\frac{6}{6}} \\[5pt] &=& 3 \cdot 4^{\frac{1}{2}} \cdot x \\[5pt] &=& 6x \end{array}$
$ 6x $
#potenzgesetze

Aufgabe 1

a)
Stelle zunächst die Wurzel in der Potenzschreibweise dar.
$\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$
$\left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n}$
$\begin{array}[t]{l11} \sqrt{\sqrt{7}} &=& \left(7^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} \end{array}$
Wende nun das fünfte Potenzgesetz an.
$\begin{array}[t]{l11} \left(7^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} &=& 7^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} \\[5pt] &=& 7^{\frac{1}{4}} \end{array}$
b)
Stelle zunächst die Wurzel in der Potenzschreibweise dar und wende dann das fünfte Potenzgesetz an.
$\begin{array}[t]{l11} \sqrt{\sqrt[3]{25}} &=& \left(25^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{2}} \\[5pt] &=& 25^{\frac{1}{6}} \end{array}$
c)
Stelle zunächst die Wurzel in der Potenzschreibweise dar und wende dann das fünfte Potenzgesetz an.
$\begin{array}[t]{l11} \sqrt{\sqrt[4]{256}} &=& \left(256^{\frac{1}{4}}\right)^{\frac{1}{2}} \\[5pt] &=& 256^{\frac{1}{8}} \\[5pt] &=& 2 \end{array}$
d)
Stelle zunächst die Wurzel in der Potenzschreibweise dar und wende dann das fünfte Potenzgesetz an.
$\begin{array}[t]{l11} \sqrt[3]{\sqrt{64x^{3}y}} &=& \left(64^{\frac{1}{2}} x^{3 \cdot \frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{3}} \\[5pt] &=& 8^{\frac{1}{3}} x^{3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} \\[5pt] &=& 2x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{6}} \end{array}$
e)
Stelle zunächst die Wurzel in der Potenzschreibweise dar und wende dann das fünfte Potenzgesetz an.
$\begin{array}[t]{l11} \sqrt[3]{125x^3y^9} &=& \left(125x^3y^9\right)^{\frac{1}{3}} \\[5pt] &=& 125^{\frac{1}{3}} x^{3 \cdot \frac{1}{3}} y^{9 \cdot \frac{1}{3}} \\[5pt] &=& 5xy^3 \end{array}$
f)
Stelle zunächst die Wurzel in der Potenzschreibweise dar und wende dann das fünfte Potenzgesetz an.
$\begin{array}[t]{l11} \sqrt[3]{\sqrt[3]{512x^9y^3}} &=& \left(\left(512x^9y^3\right)^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{3}} \\[5pt] &=& \left(512^{\frac{1}{3}}x^{9 \cdot \frac{1}{3}}y^{3 \cdot \frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{3}} \\[5pt] &=& 512^{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}}x^{3 \cdot \frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} \\[5pt] &=& 2xy^{\frac{1}{3}} \end{array}$
$ 2xy^{\frac{1}{3}} $
#potenzgesetze

Aufgabe 2

a)
Stelle zunächst die beiden Wurzeln in der Potenzschreibweise dar.
$\begin{array}[t]{l11} \left(\left(\sqrt{16}\right)^{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt[3]{8} \right)^\frac{1}{2} &=& \left(16^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} \cdot 8^{\frac{1}{3}} \right)^{\frac{1}{2}} \\[5pt] &=& \left(16^{\frac{1}{4}} \cdot 8^{\frac{1}{3}} \right)^{\frac{1}{2}} \\[5pt] &=& \left(2 \cdot 2 \right)^{\frac{1}{2}} \\[5pt] &=& 4^{\frac{1}{2}} \\[5pt] &=& 2 \end{array}$
$ 2 $
b)
Stelle zunächst die beiden Wurzeln in der Potenzschreibweise dar.
$\begin{array}[t]{l11} \left(\sqrt{8}\right)^{\frac{1}{4}} \cdot \left(\sqrt[4]{2}\right)^{\frac{1}{2}} &=& \left(8^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{4}} \cdot \left(2^{\frac{1}{4}} \right)^{\frac{1}{2}} \end{array}$
$ \left(8^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{4}} \cdot \left(2^{\frac{1}{4}} \right)^{\frac{1}{2}} $
Wende nun das 5. Potenzgesetz an.
$\begin{array}[t]{l11} \left(8^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{4}} \cdot \left(2^{\frac{1}{4}} \right)^{\frac{1}{2}} &=& 8^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}} \\[5pt] &=& 8^{\frac{1}{8}} \cdot 2^{\frac{1}{8}} \end{array}$
$ 8^{\frac{1}{8}} \cdot 2^{\frac{1}{8}} $
Wende nun das 3. Potenzgesetz an.
$\begin{array}[t]{l11} 8^{\frac{1}{8}} \cdot 2^{\frac{1}{8}} &=& 16^{\frac{1}{8}} \\[5pt] &=& 2^{\frac{1}{2}} \end{array}$
c)
Stelle die Wurzel in Poetnzschreibweise dar.
$\begin{array}[t]{l11} \left(\sqrt[3]{9} \cdot 81^{\frac{1}{6}}\right)^{\frac{1}{2}} : 3^{-\frac{1}{3}} &=& \left(9^{\frac{1}{3}} \cdot 9^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{2}} : 3^{-\frac{1}{3}} \end{array}$
$ \left(9^{\frac{1}{3}} \cdot 9^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{2}} : 3^{-\frac{1}{3}} $
Nun kannst du das 1. oder 3. Potenzgesetz anwenden.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: 1. Potenzgesetz
$\begin{array}[t]{l11} \left(9^{\frac{1}{3}} \cdot 9^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{2}} : 3^{-\frac{1}{3}} &=& \left(9^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{1}{2}} : 3^{-\frac{1}{3}} \end{array}$
$ \left(9^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{1}{2}} : 3^{-\frac{1}{3}} $
Wende nun das 5. Potenzgesetz an und stelle den Term um.
$\begin{array}[t]{l11} \left(9^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{1}{2}} : 3^{-\frac{1}{3}} &=& 9^{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}} : 3^{-\frac{1}{3}} \\[5pt] &=& \frac{9^{\frac{1}{3}}}{3^{-\frac{1}{3}}} \\[5pt] &=& 9^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{(-\frac{1}{3}) \cdot (-1)} \\[5pt] &=& 9^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}} \\[5pt] \end{array}$
$ 9^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}} $
Wende nun das 3. Potenzgesetz an und stelle den Term um.
$\begin{array}[t]{l11} 9^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}} &=& (9 \cdot 3)^{\frac{1}{3}} \\[5pt] &=& 27^{\frac{1}{3}} \\[5pt] &=& 3 \end{array}$
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: 3. Potenzgesetz
$\begin{array}[t]{l11} \left(9^{\frac{1}{3}} \cdot 9^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{2}} : 3^{-\frac{1}{3}} &=& \left(81^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{2}} : 3^{-\frac{1}{3}} \end{array}$
$ \left(81^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{2}} : 3^{-\frac{1}{3}} $
Wende nun das 5. Potenzgesetz an und stelle den Term um.
$\begin{array}[t]{l11} \left(81^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{2}} : 3^{-\frac{1}{3}} &=& 81^{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}} : 3^{-\frac{1}{3}} \\[5pt] &=& \frac{9^{\frac{1}{3}}}{3^{-\frac{1}{3}}} \\[5pt] &=& 9^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{(-\frac{1}{3}) \cdot (-1)} \\[5pt] &=& 9^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}} \\[5pt] \end{array}$
$ 9^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}} $
Wende nun das 3. Potenzgesetz an und stelle den Term um.
$\begin{array}[t]{l11} 9^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}} &=& (9 \cdot 3)^{\frac{1}{3}} \\[5pt] &=& 27^{\frac{1}{3}} \\[5pt] &=& 3 \end{array}$
d)
Stelle die Wurzel in der Potenzschreibweise dar und wende das 5. Potenzgesetz an.
$\begin{array}[t]{l11} \sqrt[3]{64} \cdot \left(27^2 \cdot 3^{12}\right)^{-\frac{1}{6}} &=& 64^{\frac{1}{3}} \cdot 27^{-\frac{2}{6}} \cdot 3^{-\frac{12}{6}} \\[5pt] &=& 4 \cdot 27^{-\frac{1}{3}} \cdot 3^{-2} \\[5pt] &=& 4 \cdot 3^{-1} \cdot 3^{-2} \\[5pt] &=& 4 \cdot 3^{-1-2} \\[5pt] &=& \frac{4}{3^3} \\[5pt] &=& \frac{4}{27} \end{array}$
$ \frac{4}{27} $
#potenzgesetze

Aufgabe 3

Zeichne die Funktionen möglichst genau. Das ist wichtig für deine Schätzungen.
Die Zeichnung für die Funktion $f(x)=x^2$ sieht so aus:
Die Zeichnung für die Funktion $g(x)=x^3$ sieht so aus:
Schätze die Werte wie in der Aufgabenstellung gezeigt ab und berechne sie anschließend mit dem Taschenrechner. Deine Schätzungen sollten in einem Bereich von $\pm0,25$ um den Wert liegen. Die tatsächlichen Werte für die Wurzeln lauten:
b)
$\sqrt[3]{3}=1,44$
d)
$\sqrt[3]{21}=2,76$
f)
$\sqrt[3]{16}=2,52$
#quadratischefunktion#wurzel

Aufgabe 4

a)
Der Definitionsbereich ist die Menge an Zahlen, die du in die Funktionsgleichung einsetzen darfst und einen Funktionswert erhältst. Das ist z.B nicht der Fall, wenn du durch $0$ teilen würdest oder die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen würdest. Überlege dir, wann das der Fall bei der angegebenen Funktionsgleichung sein kann.
Wenn du Werte für $x$ einsetzet die größer als $3$ oder kleiner als $-3$ sind, dann hat das zur Folge, dass du von $9$ einen Wert abziehst, der größer als $9$ ist. Das hat zur Folge, dass ein negativer Wert unter der Wurzel steht und das darf nicht passieren. Der Definitionsbereich reicht also von $-3$ bis $3$.
$\mathbb{D}=[-3;3]$
Der Wertebereich ist die Menge an Zahlen, die du als Funktionswerte mit dem Definitionsbereich erhalten kannst. Überlege dir, für welches $x$ der Funktionswert maximal und wo minimal werden würde. Berechne diese Werte. Achte darauf, dass du dich innerhalb des Definitionsbereichs aufhätst.
Du ziehst in der Funktionsgleichung immer einen Wert von $9$ ab und ziehst anschließend die Wurzel daraus. Den niedrigsten Wert wird die Funktion annehmen, wenn du $9$ von $9$ abziehst. Das ist der Fall für $x=3$ bzw. $x=-3$. Die Werte liegen noch im Definitionsbereich. An dieser Stelle ist der Funktionswert $0$. Die untere Grenze des Wertebereichs ist also $0$. Für $x=0$ ziehst du den kleinstmöglichen Wert von $9$ ab, nämlich die $0$. Die $0$ ist ebenfalls Teil des Definitionsbereichs. Für $x=0$ erhältst du den Funktionswert $3$. Das ist die obere Grenze des Wertebereichs.
$\mathbb{W}=[0;3]$
b)
Der Radius entspricht dem halben Durchmesser des Halbkreises. Du kannst in der Abbildung in der Aufgabenstellung sehen, dass der Durchmesser von $-3$ bis $3$ geht, er ist also $6\,LE$ ein lang. Der Radius entspricht der Hälfte dieser Länge, also $3\,LE$. Überlege dir, wo du diesen Wert in der Funktionsgleichung wiederfindest. Eventuell steht er nicht genau so in der Funktionsgleichung, sondern ist mathematisch modifiziert, z.B. indem er mit $2$ multipliziert wurde.
Du findest den Radius im Ausdruck unter der Wurzel. Es verbirgt sich im Wert $9$ von dem du $x^2$ abziehst. $9$ entspricht $3^2$.
Überlege dir nun, wie du die Funktionsgleichung allgemein angeben kannst, sodass du einen Halbkreis mit beliebigem Radius zeichnen könntest.
Der Radius zum Quadrat entspricht dem Wert von dem du $x^2$ abziehst. Du kannst die Funktionsgleichung also allgemein so ausdrücken: $f_r(x)=\sqrt{r^2-x^2}$.
c)
Überlege dir, wie du die Funktionsgleichung verändern kannst, sodass aus jedem positiven Wert ein negativer Wert wird.
Wenn du dir nicht sicher bist, ob deine Überlegungen richtig sind, dann berechne ein paar Funktionswerte deiner potentiellen Antwort und überprüfe, ob das Ergebnis dem was sein soll entspricht.
Du kannst den Halbkreis unter die $x$-Achse verlegen, indem du ein $-$ in die Funktionsgleichung einbringst.
Das Ergebnis von $\sqrt{9-x^2}$ ist immer eine positive Zahl. Damit sie negativ wird, musst du ein $-$ vor die Wurzel setzen. So wird jedes positive Ergebnis der Wurzel in eine negative Zahl verändert, ohne dass du eine negative Zahl unter der Wurzel befürchten musst. Die Funktionsgleichung der Funktion lautet demnach $g(x)=-\sqrt{9-x^2}$.
#definitionsbereich#wertebereich#intervall

Aufgabe 5

a)
Zeichne die drei Funktionen in das gleiche Koordinatensystem. Mache deutlich, welcher Graph zu welcher Funktion gehört. Deine fertige Zeichnung sollte so aussehen.
b)
Ordne die Punkte den Funktionen zu, indem du die Punkte in deiner Abbildung suchst und schaust, auf dem Graphen welcher Funktion sie liegen.
Wenn du einen Punkt nicht eindeutig zuordnen kannst, dann überlege dir, woran das liegen könnte.
Der Punkt $P_1$ liegt auf dem Graphen der Funktion $h$.
Der Punkt $P_2$ liegt auf dem Graphen der Funktion $g$.
Der Punkt $P_3$ kann nicht eindeutig zugeordnet werden. An diesem Punkt schneiden sich alle Graphen der Funktionen. Das liegt daran, dass egal welche Wurzel du aus der $1$ ziehst oder wie oft du das tust, dein Ergebnis immer $1$ sein wird. Alle Wurzelfunktionen, die nicht in der Höhe verschoben sind oder die einen Vorfaktor besitzen, laufen also durch diesen Punkt.
#wurzelfunktion
Bildnachweise [nach oben]
1
© 2017 – SchulLV.
2
© 2017 – SchulLV.
3
© 2017 – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App