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Ganzzahlige Exponenten

Spickzettel
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Um Potenzgleichungen zu lösen musst die die Potenzgesetze berücksichtigen und anwenden:
2. Potenzgesetz
Dieses Gesetz verwendest du bei gleicher Basis und unterschiedlichen Exponenten, von denen ein Exponent negativ ist.
$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
4. Potenzgesetz
Dieses Gesetz verwendest du bei gleichen Exponenten, von denen einer negativ ist und unterschiedlicher Basis.
$\dfrac{a^n}{b^n} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^n$
$\dfrac{a^n}{b^n} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^n$
#potenzgesetze#potenz
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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Vereinfache die Terme, indem du die Potenzgesetze anwendest.
b)
$x^7:y^7$
d)
$y^5:y^2$
f)
$z^3: x^3\cdot z$
#potenz#potenzgesetze

Aufgabe 1

Vereinfache die Terme so weit wie möglich.
b)
$\dfrac{6a^2 \cdot b^2}{3 \cdot \left(ab\right)^2}$
d)
$2x^2 \cdot \left(10x^3-3x^{-4}\right)$
f)
$\left(7y^2-4a^{-3}\right) \cdot \left(3x + 8y^{-3}\right)$
h)
$\dfrac{14a^2 \cdot 3 b^{-5}}{7a^5b^{-2}}$
j)
$\left(4x^2+5y^{-2}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}x^3 - 6y^4\right)$
#potenz

Aufgabe 2

Vereinfache die Terme so, dass du sie als eine Potenz schreiben kannst.
b)
$\dfrac{6^{-4} \cdot 12^{-4}}{2^{-4}\cdot 4^{-4}}$
d)
$\dfrac{4,5^7 \cdot 4^7}{81 \cdot 3^4}$
f)
$\dfrac{12^{-6} \cdot 3^{-6}}{3^{-6}\cdot 2^{-6}}$
h)
$\dfrac{14^7 \cdot 21^7 \cdot 4^7}{4^7 \cdot 7^7}$
#potenz

Aufgabe 3

Schreibe in Potenzschreibweise.
b)
$1.000.000\,\text{Byte}$
d)
$30.000.000.000\,\frac{\text{cm}}{\text{s}}$
f)
$0,000007\,\text{nm}$
h)
$0,0000009\,\text{m^2}$
#potenzschreibweise#potenz

Aufgabe 4

Tabellarisiere die Funktionen $x^n$ im Intervall $x\in[-2;2]$ mit $\Delta x = 0,5$. Skizziere anschließend die Graphen in einem Schaubild.
b)
$n=3, 5, 7$
d)
$n=-3,-5,-7$
#potenz

Aufgabe 5

Bestimme den Koeffizienten der Funktion $y=ax^3$ so, dass der zugehörige Graph durch $P$ verläuft.
b)
$P\left(2\mid20\right)$
d)
$P\left(-5\mid-625\right)$
#potenz

Aufgabe 6

Verschiedene Exponenten: Ganzzahlige Exponenten
Abb. 1: Das Binärsystem besteht nur aus $1$ und $0$. Jede Stelle steht für eine $2$er Potenz.
Verschiedene Exponenten: Ganzzahlige Exponenten
Abb. 1: Das Binärsystem besteht nur aus $1$ und $0$. Jede Stelle steht für eine $2$er Potenz.
Du hast z.B. die Zahl $10001_2$ im Binärsystem gegeben. Die hinterste $1$ sagt, dass die Potenz $2^1$ in der Zahl vorhanden ist. Danach folgt dreimal die $0$. Die Potenzen $2^1$, $2^2$ und $2^3$ sind also nicht vorhanden. Dann kommt wieder die $1$. Die Zahl enthält also die Potenz $2^4$. Wenn du jetzt alle vorhandenen Potenzen addierst, dann kommst du auf $10001_2=2^4+2^0=16+1=17$.
Welche Zahlen verbergen sich hinter den Binärcodes?
b)
$11001_2$
d)
$1111_2$
#potenz
Bildnachweise [nach oben]
[1]
Public Domain.
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$ Potenzgesetze anwenden
Hier wendest du das erste Potenzgesetz an:
$a^m \cdot a^n = a^{m + n}$
$a^m \cdot a^n = a^{m + n}$
$\begin{array}[t]{rll} x^3 \cdot x^2 &=& x^{2+3} \\[5pt] &=& x^5 \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$ Potenzgesetze anwenden
Wende das vierte Potenzgesetz an:
$\dfrac{a^n}{b^n} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^n$
$\dfrac{a^n}{b^n} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^n$
$\begin{array}[t]{rll} x^7 : y^7 &=& \dfrac{x^7}{y^7} \\[5pt] &=& \left(\dfrac{x}{y}\right)^7 \end{array}$
c)
$\blacktriangleright$ Potenzgesetze anwenden
Du kannst hier das dritte Potenzgesetz anwenden:
$a^n \cdot b^n = \left(a \cdot b\right)^n$
$a^n \cdot b^n = \left(a \cdot b\right)^n$
$\begin{array}[t]{rll} a^3 \cdot b^3 &=& \left(ab\right)^3 \end{array}$
d)
$\blacktriangleright$ Potenzgesetze anwenden
Bei diesem Term lässt sich das zweite Potenzgesetz anwenden:
$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
$\begin{array}[t]{rll} y^5 : y^2 &=& \dfrac{y^5}{y^2} \\[5pt] &=& y^{5-2} \\[5pt] &=& y^3 \end{array}$
e)
$\blacktriangleright$ Potenzgesetze anwenden
Verwende das fünfte Potenzgesetz:
$\left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n}$
$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
$\begin{array}[t]{rll} \left(y^3\right)^5 &=& y^{3\cdot 5} \\[5pt] &=& y^{15} \end{array}$
f)
$\blacktriangleright$ Potenzgesetze anwenden
Wende hier die zuvor kennengelernte Potenzgesetze an.
$\begin{array}[t]{rll} z^3 : x^4 \cdot z &=& \dfrac{z^3 \cdot z}{x^4} \\[5pt] &=& \dfrac{z^4}{x^4} \\[5pt] &=& \left(\dfrac{z}{x}\right)^4 \end{array}$
#potenzgesetze#potenz

Aufgabe 1

Vereinfache die Terme so weit wie möglich. Wende die Potenzgesetze an.
a)
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{x^3 \cdot x^5}{x^2}&=& \dfrac{x^8}{x^2} \\[5pt] &=& x^{8-2} \\[5pt] &=& x^6 \end{array}$
b)
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{6a^2 \cdot b^2}{3 \cdot \left(ab\right)^2}&=& \dfrac{6 \cdot \left(ab\right)^2}{3 \cdot \left(ab\right)^2} \\[5pt] &=& \frac{6}{3} \\[5pt] &=& 2 \end{array}$
c)
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{4,5b^{-5}\cdot 3a^2b^{-2}}{20,25a^3b^{-8}}&=& \dfrac{4,5 \cdot 3 \cdot a^2 \cdot b^{-5+(-2)}}{20,25a^3b^{-8}} \\[5pt] &=& \dfrac{13,5 \cdot a^2 \cdot b^{-7}}{20,25 \cdot a^3 \cdot b^{-8}} \\[5pt] &=& \frac{2}{3} \cdot a^{-1} \cdot b^1 \\[5pt] &=& \dfrac{2b}{3a} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{4,5b^{-5}\cdot 3a^2b^{-2}}{20,25a^3b^{-8}}&=& … \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{rll} 2x^2 \cdot \left(10x^3-3x^{-4}\right)&=& 2x^2 \cdot 10x^3- 2x^2 \cdot 3x^{-4} \\[5pt] &=& 20x^5 - 6x^{-2} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 2x^2 \cdot \left(10x^3-3x^{-4}\right)&=& … \end{array}$
e)
$\begin{array}[t]{rll} \left(a^3 \cdot \left(4x^2\right)^2 + 6y^2\right) \cdot x^2&=& \left(a^3 \cdot 16x^4 + 6y^2\right) \cdot x^2 \\[5pt] &=& \left(16a^3x^4 + 6y^2\right) \cdot x^2 \\[5pt] &=& 16a^3x^4 \cdot x^2 + 6y^2 \cdot x^2 \\[5pt] &=& 16a^3x^6 + 6\left(xy\right)^2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \left(a^3 \cdot \left(4x^2\right)^2 + 6y^2\right) \cdot x^2&=& … \end{array}$
f)
$\begin{array}[t]{rll} \left(7y^2-4a^{-3}\right) \cdot \left(3x + 8y^{-3}\right) &=& 7y^2 \cdot 3x + 7y^2 \cdot 8y^{-3} -4a^{-3} \cdot 3x -4a^{-3} \cdot 8y^{-3} \\[5pt] &=& 21xy^2+56y^{-1}-12a^{-3}x-32a^{-3}y^{-3} \\[5pt] &=& 21xy^2+56y^{-1}-12a^{-3}x-32\left(ay\right)^{-3} \end{array}$
g)
$\begin{array}[t]{rll} \left(5x^3 + 3x^2\right) : x &=& \dfrac{5x^3 + 3x^2}{x} \\[5pt] &=& 5x^2+3x \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \left(5x^3 + 3x^2\right) : x &=& … \end{array}$
h)
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{14a^2 \cdot 3 b^{-5}}{7a^5b^{-2}} &=& \dfrac{42a^2b^{-5}}{7a^5b^{-2}} \\[5pt] &=& \frac{42}{7}\cdot a^{2-5} \cdot b^{-5-(-2)} \\[5pt] &=& \frac{42}{7}a^{-3}b^{-3} \\[5pt] &=& 6\left(ab\right)^{-3} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{14a^2 \cdot 3 b^{-5}}{7a^5b^{-2}} &=& … \end{array}$
i)
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{12z^3 + 30 yz^2}{6z^2}&=& \dfrac{12z^3 + 30 yz^2}{6z^2} \\[5pt] &=& \dfrac{12z^3}{6z^2} + \dfrac{30yz^2}{6z^2} \\[5pt] &=& 2z + 5y \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{12z^3 + 30 yz^2}{6z^2}&=& … \end{array}$
j)
$\begin{array}[t]{rll} \left(4x^2+5y^{-2}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}x^3 - 6y^4\right)&=& 4x^2 \cdot \frac{1}{2}x^3 + 4x^2 \cdot \left(-6y^4\right) + 5y^{-2} \cdot \frac{1}{2}x^3 + 5y^{-2} \cdot \left(- 6y^4\right) \\[5pt] &=& 2x^5-24x^2y^4+2,5x^3y^{-2}-30y^2 \end{array}$
#potenzgesetze

Aufgabe 2

Vereinfache bis nur noch eine Potenz da steht. Wende die Potenzgesetze an.
a)
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{14^5 \cdot 2^5}{4^5}&=&\dfrac{\left(14\cdot 2\right)^5}{4^5} \\[5pt] &=& \dfrac{28^5}{4^5} \\[5pt] &=& \left(\dfrac{28}{4}\right)^5 \\[5pt] &=& 7^5 \end{array}$
b)
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{6^{-4} \cdot 12^{-4}}{2^{-4}\cdot 4^{-4}}&=&\dfrac{\left(6\cdot 12\right)^{-4}}{\left(2\cdot 4\right)^{-4}} \\[5pt] &=& \dfrac{72^{-4}}{8^{-4}} \\[5pt] &=& \left(\dfrac{72}{8}\right)^{-4} \\[5pt] &=& 9^{-4} \end{array}$
c)
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{3^2}{2^2 \cdot 3^2 \cdot 4,5^2}&=&\dfrac{3^2}{\left(2\cdot 3 \cdot 4,5\right)^2} \\[5pt] &=& \dfrac{3^2}{27^2} \\[5pt] &=& \left(\dfrac{3}{27}\right)^2 \\[5pt] &=& \left(\dfrac{1}{9}\right)^2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{3^2}{2^2 \cdot 3^2 \cdot 4,5^2}&=& … \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{4,5^7 \cdot 4^7}{81 \cdot 3^4}&=&\dfrac{\left(4,5 \cdot 4\right)^7}{3^4 \cdot 3^4} \\[5pt] &=& \dfrac{\left(4,5 \cdot 4\right)^7}{\left(3 \cdot 3\right)^4} \\[5pt] &=& \dfrac{18^4}{9^4} \\[5pt] &=& \left(\dfrac{18}{9}\right)^4 \\[5pt] &=& 2^4 \end{array}$
e)
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{6^4 \cdot 24^4}{4^4 \cdot 3^4}&=&\dfrac{\left(6 \cdot 24\right)^4}{\left(4 \cdot 3\right)^4} \\[5pt] &=& \dfrac{144^4}{12^4} \\[5pt] &=& \left(\dfrac{144}{12}\right)^4 \\[5pt] &=& 12^4 \end{array}$
f)
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{12^{-6} \cdot 3^{-6}}{3^{-6}\cdot 2^{-6}}&=&\dfrac{\left(12 \cdot 3\right)^{-6}}{\left(3 \cdot 2\right)^{-6}} \\[5pt] &=& \dfrac{36^{-6}}{6^{-6}} \\[5pt] &=& \left(\dfrac{36}{6}\right)^{-6} \\[5pt] &=& 6^{-6} \end{array}$
g)
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{24^5}{2^5 \cdot 18^5 \cdot 3^5}&=&\dfrac{24^5}{\left(2 \cdot 18 \cdot 3\right)^5} \\[5pt] &=& \dfrac{24^5}{108^5} \\[5pt] &=& \left(\dfrac{24}{108}\right)^5 \\[5pt] &=& \left(\dfrac{2}{9}\right)^5 \end{array}$
h)
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{14^7 \cdot 21^7 \cdot 4^7}{4^7 \cdot 7^7}&=&\dfrac{\left(14 \cdot 21 \cdot 7\right)^7}{\left(4 \cdot 7\right)^7} \\[5pt] &=& \dfrac{2058^7}{28^7} \\[5pt] &=& \left(\dfrac{2058}{28}\right)^7 \\[5pt] &=& \left(\dfrac{147}{2}\right)^7 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{14^7 \cdot 21^7 \cdot 4^7}{4^7 \cdot 7^7}&=& … \end{array}$
#potenzgesetze

Aufgabe 3

Du musst abzählen, um wie viele Stellen die Zahl, stände sie vor dem Komma, verschoben wurde. Danach richtet sich der Exponent.
a)
$\begin{array}[t]{rll} 0,0000003\,\text{km}&=& 3\cdot 10^{-7} \,\text{km} \end{array}$
b)
$\begin{array}[t]{rll} 1.000.000\,\text{Byte}&=& 1 \cdot 10^6\,\text{Byte} \end{array}$
c)
$\begin{array}[t]{rll} \frac{1}{1.000.000.000}\,\text{m}^2&=& 1 \cdot 10^{-9}\,\text{m}^2 \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{rll} 30.000.000.000\,\frac{\text{cm}}{\text{s}}&=& 3 \cdot 10^{10}\,\frac{\text{cm}}{\text{s}} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 30.000.000.000\,\frac{\text{cm}}{\text{s}}&=& … \end{array}$
e)
$\begin{array}[t]{rll} 150.000\,\text{mm}&=& 15\cdot10^4\,\text{mm} \end{array}$
f)
$\begin{array}[t]{rll} 0,000007\,\text{nm}&=& 7 \cdot 10^{-6}\,\text{nm} \end{array}$
g)
$\begin{array}[t]{rll} 12.000.000\,\text{m}&=& 12\cdot 10^6\,\text{m} \end{array}$
h)
$\begin{array}[t]{rll} 0,0000009\,\text{m}^2&=& 9\cdot 10^{-7}\,\text{m}^2 \end{array}$
#potenzschreibweise

Aufgabe 4

Tabellarisiere die drei Funktionen in einer Tabelle. Runde auf zwei Nachkommastellen. Zeichne anschließend deren Graphen in ein Koordinatensystem.
a)
$x$$x^2$$x^4$$x^6$
$-2$$4$$16$$64$
$-1,5$$2,25$$5,06$$11,39$
$-1$$1$$1$$1$
$-0,5$$0,25$$0,6$$0,02$
$0$$0$$0$$0$
$0,5$$0,25$$0,6$$0,02$
$1$$1$$1$$1$
$1,5$$2,25$$5,06$$11,39$
$2$$4$$16$$64$
Verschiedene Exponenten: Ganzzahlige Exponenten
Abb. 1: Funktionsgraphen
Verschiedene Exponenten: Ganzzahlige Exponenten
Abb. 1: Funktionsgraphen
b)
$x$$x^3$$x^5$$x^7$
$-2$$-8$$-32$$-128$
$-1,5$$-3,38$$-7,59$$-17,09$
$-1$$-1$$-1$$-1$
$-0,5$$-0,13$$-0,03$$-0,01$
$0$$0$$0$$0$
$0,5$$0,13$$0,03$$0,01$
$1$$1$$1$$1$
$1,5$$3,38$$7,59$$17,09$
$2$$8$$32$$128$
Verschiedene Exponenten: Ganzzahlige Exponenten
Abb. 2: Funktionsgraphen
Verschiedene Exponenten: Ganzzahlige Exponenten
Abb. 2: Funktionsgraphen
c)
$x$$x^{-2}$$x^{-4}$$x^{-6}$
$-2$$0,25$$0,06$$0,02$
$-1,5$$0,44$$0,2$$0,09$
$-1$$1$$1$$1$
$-0,5$$2$$16$$64$
$0$$-$$-$$-$
$0,5$$2$$16$$64$
$1$$1$$1$$1$
$1,5$$0,44$$0,2$$0,09$
$2$$0,25$$0,06$$0,02$
Verschiedene Exponenten: Ganzzahlige Exponenten
Abb. 3: Funktionsgraphen
Verschiedene Exponenten: Ganzzahlige Exponenten
Abb. 3: Funktionsgraphen
d)
$x$$x^{-3}$$x^{-5}$$x^{-7}$
$-2$$-0,13$$-0,03$$-0,01$
$-1,5$$-0,3$$-0,13$$-0,06$
$-1$$-1$$-1$$-1$
$-0,5$$-8$$-32$$-128$
$0$$-$$-$$-$
$0,5$$8$$32$$128$
$1$$1$$1$$1$
$1,5$$0,3$$0,13$$0,06$
$2$$0,13$$0,03$$0,01$
Verschiedene Exponenten: Ganzzahlige Exponenten
Abb. 4: Funktionsgraphen
Verschiedene Exponenten: Ganzzahlige Exponenten
Abb. 4: Funktionsgraphen
#potenz

Aufgabe 5

Um den Koeffizienten $a$ bestimmen zu können, formst du die Funktionsgleichung nach $a$ um und setzt dann die Werte des Punktes ein, um $a$ zu berechnen.
a)
$\begin{array}[t]{rll} y &=& ax^3 &\quad \scriptsize \mid\; :x^3 \\[5pt] a &=& \dfrac{y}{x^3} \\[5pt] &=& \dfrac{36}{3^3} \\[5pt] &=& \dfrac{36}{9} \\[5pt] &=& 4 \end{array}$
Damit lautet die Funktion $y=4x^3$.
b)
$\begin{array}[t]{rll} a &=& \dfrac{y}{x^3} \\[5pt] &=& \dfrac{20}{2^3} \\[5pt] &=& \dfrac{20}{8} \\[5pt] &=& 2,5 \end{array}$
Damit lautet die Funktion $y=2,5x^3$.
c)
$\begin{array}[t]{rll} a &=& \dfrac{y}{x^3} \\[5pt] &=& \dfrac{-13,5}{\left(-3\right)^3} \\[5pt] &=& \dfrac{-13,5}{-27} \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \end{array}$
Damit lautet die Funktion $y=\frac{1}{2}x^3$.
d)
$\begin{array}[t]{rll} a &=& \dfrac{y}{x^3} \\[5pt] &=& \dfrac{-625}{\left(-5\right)^3} \\[5pt] &=& \dfrac{-625}{-125} \\[5pt] &=& 5 \end{array}$
Damit lautet die Funktion $y=5x^3$.
#potenz

Aufgabe 6

Forme die Binärzahl als Summe von Zweierpotenzen um und berechne die Werte.
a)
$\begin{array}[t]{rll} 1011_2&=& 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1\cdot 2^1+ 1 \cdot 2^0 \\[5pt] &=& 8 + 2+1 \\[5pt] &=& 11 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 1011_2&=& … \end{array}$
b)
$\begin{array}[t]{rll} 11001_2&=& 1 \cdot 2^4+ 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 0\cdot 2^1+ 1 \cdot 2^0 \\[5pt] &=& 16+8+1 \\[5pt] &=& 25 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 11001_2&=& … \end{array}$
c)
$\begin{array}[t]{rll} 100011_2&=& 1\cdot 2^5 +0 \cdot 2^4+ 0 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1\cdot 2^1+ 1 \cdot 2^0 \\[5pt] &=& 32+2+1 \\[5pt] &=& 35 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 100011_2&=& … \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{rll} 1111_2&=& 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 1\cdot 2^1+ 1 \cdot 2^0 \\[5pt] &=& 8+4+2+1 \\[5pt] &=& 15 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 1111_2&=& … \end{array}$
#potenz
Bildnachweise [nach oben]
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