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Reelle Exponenten

Spickzettel
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Beim berechnen von Potenzzahlen mit reellen Exponenten benötigst du die Potenzgesetze. Du kannst in folgenden Schritten vorgehen, um die Potenzzahlen umzuschreiben:
  • Fasse die Ausdrücke mithilfe der Potenzgesetze so weit es geht zusammen
  • Kürze den Bruch im Exponenten, wenn möglich
  • Wandle den Ausdruck in die Wurzelschreibweise um
  • Bei einem Bruch im Exponenten bleibt der Zähler als Exponent an der Basis
  • Der Nenner verschwindet und stattdessen ziehst du die entsprechende Wurzel aus dem Ausdruck
#potenz#potenzgesetze
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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Vereinfache zuerst und wandle die Terme anschließend in die Wurzelschreibweise um.
b)
$x^\frac{1}{3}\cdot x^\frac{2}{4}$
d)
$(x^\frac{2}{5}\cdot x^\frac{7}{3})^\frac{3}{2}$
f)
$(x^\frac{1}{9}\cdot (x^\frac{1}{7})^\frac{8}{2})^\frac{7}{9}$
#potenz

Aufgabe 1

Wandle in die Potenzschreibweise um und vereinfache anschließend so weit wie möglich.
b)
$(\sqrt[5]{x^7})^2$
d)
$(\sqrt[6]{x^2})^3:(\sqrt[8]{x^4})^2$
#potenz

Aufgabe 2

Multipliziere aus. Vereinfache anschließend so weit wie möglich und wandle in Wurzelschreibweise um.
b)
$(a^\frac{4}{2}- b^\frac{5}{7})^2$
d)
$(a^\frac{7}{3}+ b^\frac{2}{9})\cdot(a^\frac{7}{3}- b^\frac{2}{9})$
#potenz

Aufgabe 3

Vereinfache so weit wie möglich und gib dann in der Wurzelschreibweise an.
b)
$(a^\frac{b}{x}\cdot a^\frac{b}{x})^\frac{x}{-b}$
#potenz

Aufgabe 4

In unserem Sonnensystem ist die Sonne der mit Abstand größte Himmelskörper. Sie hat einen riesigen Radius von $696.342\,\text{km}$ und vereint mit ihrer Masse von $1,988\cdot10^{30}\,\text{kg}$ knapp $99,86\,\%$ der Masse unserers Sonnensystems in sich. Dagegen wirkt unsere Erde mit ihren $6.378\,\text{km}$ Radius und einer Masse von $5,974\cdot10^{24}\,\text{kg}$ wie ein Winzling.
Verschiedene Exponenten: Reelle Exponenten
Abb. 1: Ein Vergleich zwischen unserer Sonne und VY Canis Majoris. Außerdem ist die Umlaufbahn der Erde um die Sonne eingezeichnet.
Verschiedene Exponenten: Reelle Exponenten
Abb. 1: Ein Vergleich zwischen unserer Sonne und VY Canis Majoris. Außerdem ist die Umlaufbahn der Erde um die Sonne eingezeichnet.
Der größte, derzeit bekannte und stabile Hyperriese ist R136a1. Er liegt in der Magellanschen Wolke. Er hat ein unfassbares Gewicht von $265$ Sonnenmassen. Doch damit ist es noch nicht genug. Dieser Stern ist $1$ Millionen Jahre alt und war zu beginn seiner Lebensdauer sogar noch schwerer. Nach seiner Geburt wog er sagenhafte $320$ Sonnenmassen. Im Vergleich zur Sonne hat er das $35$-fache ihres Radius.
Erstelle zwei Tabellen. In der ersten Tabelle trägst du die Radien der vier Himmelskörper in $\text{km}$ und in Sonnenradien, also dem Durchmesser der Sonne, ein. In einer weiteren Spalte dahinter soll das Verhältnis des Radius des Himmelskörpers zum Radius der Erde stehen. Gib dieses Verhältnis und den Radius in $\text{km}$ in Potenzschreibweise mit einer Stelle vor dem Komma an.
In der zweiten Tabelle gibst du auf die gleiche Weise das Gewicht der Himmelskörper in $\text{kg}$ und Sonnenmassen an, sowie das Verhältnis des Gewichts des Himmelskörpers zum Gewicht der Erde. Gib dabei nur die aktuelle Masse von R1361 an.
#potenz#potenzschreibweise
Bildnachweise [nach oben]
[1]
Public Domain.
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Einführungsaufgabe

Fasse mithilfe der Potenzgesetze die Ausdrücke so weit es geht zusammen und kürze den Bruch im Exponenten, wenn möglich. Wandle anschließend den Ausdruck in die Wurzelschreibweise um. Bei einem Bruch im Exponenten bleibt der Zähler als Exponent an der Basis. Der Nenner verschwindet und stattdessen ziehst du die entsprechende Wurzel aus dem Ausdruck.
a)
$\begin{array}[t]{rll} x^\frac{4}{3}:x^\frac{3}{2}&=&x^{\frac{4}{3}-\frac{3}{2}} \\[5pt] &=&x^{\frac{8}{6}-\frac{9}{6}} \\[5pt] &=&x^{-\frac{1}{6}} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{x^{\frac{1}{6}}} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{\sqrt[6]{x}} \\[5pt] \end{array}$
b)
$\begin{array}[t]{rll} x^\frac{1}{3}\cdot x^\frac{2}{4}&=&x^{\frac{1}{3}+\frac{2}{4}} \\[5pt] &=&x^{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}\\[5pt] &=&x^{\frac{2}{6}+\frac{3}{6}}\\[5pt] &=&x^{\frac{5}{6}}\\[5pt] &=&\sqrt[6]{x^5}\\[5pt] \end{array}$
c)
$\begin{array}[t]{rll} (x^\frac{8}{5}:x^\frac{6}{2})^\frac{1}{4}&=&x^{\frac{8}{5}\cdot\frac{1}{4}}:x^{\frac{6}{2}\cdot\frac{1}{4}} \\[5pt] &=&x^\frac{8}{20}:x^\frac{6}{8} \\[5pt] &=&x^{\frac{8}{20}-\frac{6}{8}} \\[5pt] &=&x^{\frac{8}{20}-\frac{15}{20}} \\[5pt] &=&x^{-\frac{7}{20}} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{x^{\frac{7}{20}}} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{\sqrt[20]{x^7}} \\[5pt] \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{rll} (x^\frac{2}{5}\cdot x^\frac{7}{3})^\frac{3}{2}&=&x^{\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{2}}\cdot x^{\frac{7}{3}\cdot\frac{3}{2}} \\[5pt] &=&x^\frac{6}{10}\cdot x^\frac{21}{6} \\[5pt] &=&x^{\frac{6}{10}+\frac{21}{6}} \\[5pt] &=&x^{\frac{6}{10}+\frac{35}{10}} \\[5pt] &=&x^{\frac{41}{10}} \\[5pt] &=&\sqrt[10]{x^{41}} \\[5pt] \end{array}$
e)
$\begin{array}[t]{rll} ((x^\frac{5}{3})^\frac{6}{2}: x^\frac{7}{2})^\frac{4}{3}&=&(x^\frac{30}{6}: x^\frac{7}{2})^\frac{4}{3} \\[5pt] &=&x^\frac{120}{18}: x^\frac{28}{6} \\[5pt] &=&x^{\frac{120}{18}-\frac{28}{6}} \\[5pt] &=&x^{\frac{120}{18}-\frac{84}{18}} \\[5pt] &=&x^{\frac{36}{18}} \\[5pt] &=&x^2 \\[5pt] \end{array}$
f)
$\begin{array}[t]{rll} (x^\frac{1}{9}\cdot (x^\frac{1}{7})^\frac{8}{2})^\frac{7}{9}&=&(x^\frac{1}{9}\cdot x^\frac{8}{14})^\frac{7}{9} \\[5pt] &=&x^\frac{7}{81}\cdot x^\frac{56}{126} \\[5pt] &=&x^{\frac{7}{81}+\frac{56}{126}} \\[5pt] &=&x^{\frac{882}{10.206}+\frac{4.536}{10.206}} \\[5pt] &=&x^{\frac{5.418}{10.206}} \\[5pt] &=&x^{\frac{43}{81}} \\[5pt] &=&\sqrt[81]{x^43} \\[5pt] \end{array}$
#potenzgesetze

Aufgabe 1

Schreibe die Terme zuerst in die Potenzschreibweise um. Dabei bleibt der Exponent als Zähler, während die $x$-te Wurzel als Zahl in den Nenner kommt. Vereinfache anschließend mithilfe der Potenzgesetze und kürze Brüche wenn möglich.
a)
$\begin{array}[t]{rll} (\sqrt[3]{x^4})^6&=& (x^\frac{4}{3})^6 \\[5pt] &=&x^\frac{24}{3} \\[5pt] &=&x^8 \\[5pt] \end{array}$
b)
$\begin{array}[t]{rll} (\sqrt[5]{x^7})^2&=& (x^\frac{7}{5})^2 \\[5pt] &=&x^\frac{14}{5} \\[5pt] \end{array}$
c)
$\begin{array}[t]{rll} (\sqrt[4]{x^3})^5\cdot (\sqrt[6]{x^7})^8&=& (x^\frac{3}{4})^5\cdot (x^\frac{7}{6})^8 \\[5pt] &=&x^\frac{15}{4}\cdot x^\frac{56}{6} \\[5pt] &=&x^{\frac{15}{4}+\frac{56}{6}} \\[5pt] &=&x^{\frac{90}{24}+\frac{224}{24}} \\[5pt] &=&x^\frac{314}{24} \\[5pt] &=&x^\frac{157}{12} \\[5pt] &=&\sqrt[157]{x^{12}} \\[5pt] \end{array}$
$ \sqrt[157]{x^{12}} $
d)
$\begin{array}[t]{rll} (\sqrt[6]{x^2})^3: (\sqrt[8]{x^4})^2&=& (x^\frac{2}{6})^3: (x^\frac{4}{8})^2 \\[5pt] &=&x^\frac{6}{6}: x^\frac{8}{8} \\[5pt] &=&x: x \\[5pt] &=&1 \\[5pt] \end{array}$
$ 1 $
#potenzgesetze

Aufgabe 2

Löse zuerst die Klammern auf und fasse anschließend so weit es geht zusammen. Wandle den Term anschließend in die Wurzelschreibweise um. Dabei bleibt der Zähler als Exponent, während der Nenner zur entsprechenden Wurzel wird.
a)
$\begin{array}[t]{rll} (a^\frac{2}{5}+b^\frac{1}{3})^2&=&a^\frac{4}{5}+a^\frac{2}{5}b^\frac{1}{3}+a^\frac{2}{5}b^\frac{1}{3}+b^\frac{2}{3} \\[5pt] &=&a^\frac{4}{5}+2a^\frac{2}{5}b^\frac{1}{3}+b^\frac{2}{3} \\[5pt] &=&\sqrt[5]{a^4}+2\sqrt[5]{a^2}\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b^2} \\[5pt] \end{array}$
$ \sqrt[5]{a^4}+2\sqrt[5]{a^2}\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b^2} $
b)
$\begin{array}[t]{rll} (a^\frac{4}{2}-b^\frac{5}{7})^2&=&a^\frac{8}{2}-a^\frac{4}{2}b^\frac{5}{7}-a^\frac{4}{2}b^\frac{5}{7}+b^\frac{10}{7} \\[5pt] &=&a^4-2a^2b^\frac{5}{7}+b^\frac{10}{7} \\[5pt] &=&a^4+2a^2\sqrt[7]{b^5}+\sqrt[7]{b^{10}} \\[5pt] \end{array}$
$ a^4+2a^2\sqrt[7]{b^5}+\sqrt[7]{b^{10}} $
c)
$\begin{array}[t]{rll} (a^\frac{5}{2}+ b^\frac{6}{3})\cdot(a^\frac{5}{2}- b^\frac{6}{3})&=&a^\frac{10}{2}+a^\frac{5}{2}b^\frac{6}{3}-a^\frac{5}{2}b^\frac{6}{3}-b^\frac{12}{3} \\[5pt] &=&a^5-b^4 \\[5pt] \end{array}$
$ a^5-b^4 $
d)
$\begin{array}[t]{rll} (a^\frac{7}{3}+ b^\frac{2}{9})\cdot(a^\frac{7}{3}- b^\frac{2}{9})&=&a^\frac{14}{3}+a^\frac{7}{3}b^\frac{2}{9}-a^\frac{7}{3}b^\frac{2}{9}-b^\frac{4}{9} \\[5pt] &=&a^\frac{14}{3}-b^\frac{4}{9} \\[5pt] &=&\sqrt[3]{a^{14}}-\sqrt[9]{b^4} \\[5pt] \end{array}$
$ \sqrt[3]{a^{14}}-\sqrt[9]{b^4} $
#potenzgesetze#binomischeformeln

Aufgabe 3

Vereinfache den Term mithilfe der Potenzgesetze so weit wie möglich. Behandle dabei alle Parameter wie Zahlen. Da sie keine festen Werte haben, kannst du sie nicht miteinander verrechnen, aber du kannst gleiche Parameter kürzen. Wandle anschließend den Term in eine Wurzel um.
a)
$\begin{array}[t]{rll} (b^\frac{a}{n})^\frac{n}{m}\cdot a^\frac{a}{m}&=&b^\frac{a\cdot n}{n\cdot m}\cdot a^\frac{a}{m} \\[5pt] &=&b^\frac{a}{m}\cdot a^\frac{a}{m} \\[5pt] &=&(ab)^\frac{a}{m} \\[5pt] &=&\sqrt[m]{(ab)^a} \\[5pt] \end{array}$
b)
$\begin{array}[t]{rll} (a^\frac{b}{x}\cdot a^\frac{b}{x})^\frac{x}{-b}&=&(a^\frac{2b}{x})^\frac{x}{-b} \\[5pt] &=&a^\frac{2b\cdot x}{x\cdot (-b)} \\[5pt] &=&a^{-b} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{a^{b}} \\[5pt] \end{array}$
#potenzgesetze#parameter

Aufgabe 4

Fertige die beiden Tabellen an. Berechne die benötigten Werte mithilfe der Angaben im Text. Bilde das Verhältnis, indem du den Radius bzw. die Masse des Himmelskörpers durch den Radius bzw. die Masse der Erde teilst. Benutze dazu die Angaben in $\text{km}$ bzw. $\text{kg}$. Die Einheit $R_S$ entspricht einem Sonnenradius und die Einheit $M_S$ einer Sonnenmasse.
Die Tabelle für die Radien sieht so aus:
Himmelskörper$r$ in $\text{km}$$r$ in $R_S$Verhältnis
Erde$6,378\cdot10^3$$9,159\cdot10^{-3}$$1$
Sonne$6,963\cdot10^5$$1$$1,092\cdot10^2$
VY Canis Majoris$9,888\cdot10^8$$1.420$$1,550\cdot10^5$
R1361a$2,437\cdot10^7$$35$$3,821\cdot10^3$
Die Tabelle für die Massen sieht so aus:
Himmelskörper$m$ in $\text{kg}$$m$ in $M_S$Verhältnis
Erde$5,974\cdot10^{24}$$3,005\cdot10^{-6}$$1$
Sonne$1,988\cdot10^{30}$$1$$3,328\cdot10^5$
VY Canis Majoris$7,954\cdot10^{31}$$40$$1,331\cdot10^7$
R1361a$5,268\cdot10^{32}$$265$$8,819\cdot10^7$
#potenz#potenzschreibweise
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