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Oberfläche und Volumen

Spickzettel
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Das Volumen eines Prismas mit der Grundfläche $G$ und der Höhe $h$ kannst du mit der folgenden Formel berechnen:
$V=G \cdot h$
Die Oberfläche eines Prismas setzt sich aus der Grund- und Deckfläche sowie der Mantelfläche zusammen. Die Mantelfläche ist die Fläche aller (rechteckigen) Seitenflächen. Die Formel für die Oberfläche eines Prismas mit der Grundfläche $G$ und der Mantelfläche $M$ lautet:
$O=2 \cdot G + M$

Beispiel

Prismen: Oberfläche und Volumen
Berechne das Volumen und die Oberfläche des nebenstehenden Prismas.
Die Grundfläche ist ein rechtwinkliges Dreieck mit Höhe $3\,\text{cm}$ und Grundseite $4\,\text{cm}$. Damit kannst du die Grundfläche mit der Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen:
$G=\dfrac{1}{2} \cdot 3\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 6\,\text{cm}^2.$
Die Höhe des Prismas beträgt $h=7\,\text{cm}$, somit kannst du das Volumen mit der Formel berechnen:
$V=G \cdot h = 6\,\text{cm}^2 \cdot 7 \,\text{cm} = 42 \,\text{cm}^3.$
Um die Oberfläche des Prismas zu berechnen, benötigst du noch die Mantelfläche des Prismas. Diese berechnet sich aus den drei rechteckigen Seitenflächen, die du mit der Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks bestimmen kannst. Für die Mantelfläche erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} M&=& 7 \,\text{cm} \cdot 3 \,\text{cm} + 7 \,\text{cm} \cdot 4 \,\text{cm} + 7 \,\text{cm} \cdot 5 \,\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 21 \,\text{cm}^2 + 28 \,\text{cm}^2 + 35 \,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 84 \,\text{cm}^2 \end{array}$
Damit kannst du nun die Oberfläche berechnen:
$O=2 \cdot G + M = 2 \cdot 6\,\text{cm}^2 + 84 \,\text{cm}^2 = 12 \,\text{cm}^2 +84 \,\text{cm}^2 = 96 \,\text{cm}^2.$
Berechne das Volumen und die Oberfläche des untenstehenden Prismas.
Prismen: Oberfläche und Volumen
Die Grundfläche ist ein rechtwinkliges Dreieck mit Höhe $3\,\text{cm}$ und Grundseite $4\,\text{cm}$. Damit kannst du die Grundfläche mit der Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen:
$ G = 6\,\text{cm}^2$
Die Höhe des Prismas beträgt $h=7\,\text{cm}$, somit kannst du das Volumen mit der Formel berechnen:
$ V= 42 \,\text{cm}^3.$
Um die Oberfläche des Prismas zu berechnen, benötigst du noch die Mantelfläche des Prismas. Diese berechnet sich aus den drei rechteckigen Seitenflächen, die du mit der Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks bestimmen kannst. Für die Mantelfläche erhältst du:
$M = 84 \,\text{cm}^2 $
Damit kannst du nun die Oberfläche berechnen:
$O = 96 \,\text{cm}^2$
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Aufgaben
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1.  Oberfläche und Volumen berechnen
Berechne Oberfläche und Volumen der folgenden Prismen.
a)  Prismen: Oberfläche und Volumen
b)  Prismen: Oberfläche und Volumen
c)  Prismen: Oberfläche und Volumen
d)  Prismen: Oberfläche und Volumen
1.  Oberfläche und Volumen berechnen
Berechne Oberfläche und Volumen der folgenden Prismen.
a)  Prismen: Oberfläche und Volumen
b)  Prismen: Oberfläche und Volumen
c)  Prismen: Oberfläche und Volumen
d)  Prismen: Oberfläche und Volumen
2.  Oberfläche und Volumen berechnen
Peter will zelten gehen und sich dafür ein eigenes Zelt bauen. Das Zelt soll die auf der Skizze angegeben Maße haben. Wie viel Stoff benötigt er, damit er genug für die gesamte Zeltwand hat? Welches Volumen hat sein Zelt?
Prismen: Oberfläche und Volumen
Prismen: Oberfläche und Volumen
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1.  Oberfläche und Volumen berechnen
a) Zuerst musst du die Grundfläche bestimmen, um das Volumen zu berechnen. Die Grundfläche ist rechteckig, somit kannst du sie mit der Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnen. Mit den Seitenlägen $4\,\text{cm}$ und $6\,\text{cm}$ erhältst du folgende Grundfläche $G$:
$G=4\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 24\,\text{cm}^2$
$G= 24\,\text{cm}^2$
Zusammen mit der Höhe $h=8\,\text{cm}$ kannst du nun das Volumen des Prismas berechnen:
$V=G \cdot h = 24\,\text{cm}^2 \cdot 8\,\text{cm} = 192\,\text{cm}^3$
$V= 192\,\text{cm}^3$
Für die Oberfläche des Prismas benötigst du die Mantelfläche. Diese berechnet sich aus den einzelnen Seitenflächen. Die gegenüberliegenden sind kongruent, damit musst du nur zwei Seitenflächen mit der Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} M&\ =&\ 2 \cdot 8\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} + 2 \cdot 8\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] &\ =&\ 96\,\text{cm}^2 + 64\,\text{cm}^2 \\[5pt] &\ =&\ 160\,\text{cm}^2 \end{array}$
$M = 160\,\text{cm}^2$
Nun kannst du die Formel für die Oberfläche eines Prismas benutzen:
$\begin{array}[t]{rll} O&\ = &2 \cdot G + M &\ \quad \scriptsize \\[5pt] &\ =&\ 2 \cdot 24\,\text{cm}^2 + 160\,\text{cm}^2 \\[5pt] &\ =&\ 48\,\text{cm}^2 + 160\,\text{cm}^2 \\[5pt] &\ =&\ 208\,\text{cm}^2 \end{array}$
$ O = 2 \cdot G + M$
b) Zuerst musst du die Grundfläche bestimmen, um das Volumen zu berechnen. Die Grundfläche ist rechteckig, somit kannst du sie mit der Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnen. Mit den Seitenlägen $8\,\text{cm}$ und $6\,\text{cm}$ erhältst du folgende Grundfläche $G$:
$G=8\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 48\,\text{cm}^2$
$G = 48\,\text{cm}^2$
Zusammen mit der Höhe $h=7\,\text{cm}$ kannst du nun das Volumen des Prismas berechnen:
$V=G \cdot h = 48\,\text{cm}^2 \cdot 7\,\text{cm} = 336\,\text{cm}^3$
$V= 336\,\text{cm}^3 $
Für die Oberfläche des Prismas benötigst du die Mantelfläche. Diese berechnet sich aus den einzelnen Seitenflächen. Die gegenüberliegenden sind kongruent, damit musst du nur zwei Seitenflächen mit der Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} M&=& 2 \cdot 7\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} + 2 \cdot 7\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 84\,\text{cm}^2 + 112\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 196\,\text{cm}^2 \end{array}$
$M = 196\,\text{cm}^2 $
Nun kannst du die Formel für die Oberfläche eines Prismas benutzen:
$\begin{array}[t]{rll} O&=& 2 \cdot G + M &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 2 \cdot 48\,\text{cm}^2 + 196\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 96\,\text{cm}^2 + 196\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 292\,\text{cm}^2 \end{array}$
$O = 2 \cdot G + M $
c) Zuerst musst du die Grundfläche bestimmen, um das Volumen zu berechnen. Die Grundfläche ist dir bereits gegeben, somit kannst das Volumen direkt mit der Formel für das Volumen eines Prismas berechnen:
$V=G \cdot h = 14\,\text{cm}^2 \cdot 12\,\text{cm} = 168\,\text{cm}^3$
$V=G \cdot h$
Auch die Mantelfläche ist dir gegeben und du kannst die Formel für die Oberfläche eines Prismas benutzen:
$\begin{array}[t]{rll} O&=& 2 \cdot G + M &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 2 \cdot 14\,\text{cm}^2 + 194\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 28\,\text{cm}^2 + 194\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 222\,\text{cm}^2 \end{array}$
$ O = 2 \cdot G + M$
d) Zuerst musst du die Grundfläche bestimmen, um das Volumen zu berechnen. Die Grundfläche ist ein rechtwinkliges Dreieck, wobei dir Grundseite und Höhe gegeben sind. Damit kannst du die Grundfläche berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} G&=&\dfrac{1}{2} \cdot 4\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} \\[5pt] &=& 4\,\text{cm}^2 \end{array}$
$G = 4\,\text{cm}^2$
Zusammen mit der Höhe $h=8\,\text{cm}$ kannst du nun das Volumen des Prismas berechnen:
$V=G \cdot h = 4\,\text{cm}^2 \cdot 8\,\text{cm} = 32\,\text{cm}^3$
$V=G \cdot h $
Für die Oberfläche des Prismas benötigst du die Mantelfläche. Diese berechnet sich aus den einzelnen Seitenflächen. Um alle drei Seitenflächen zu berechnen, benötigst du noch die dritte unbekannte Seitenlänge des Dreiecks. Die dritte Seite $c$ kannst du mit dem Satz des Pythagoras berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} c&=&\sqrt{\left(4\,\text{cm}\right)^2 + \left(2\,\text{cm}\right)^2} \\[5pt] &=&\sqrt{16\,\text{cm}^2 + 4\,\text{cm}^2}\\[5pt] &=&\sqrt{20\,\text{cm}^2}\\[5pt] &\approx& 4,5\,\text{cm} \end{array}$
$c \approx 4,5\,\text{cm}$
Damit kannst du nun alle Seitenflächen und somit die Mantelfläche berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} M&=& 8\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} + 8\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} + 8\,\text{cm} \cdot 4,5\,\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 32\,\text{cm}^2 + 16\,\text{cm}^2 + 36\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 84\,\text{cm}^2 \end{array}$
$M = 84\,\text{cm}^2$
Nun kannst du die Formel für die Oberfläche eines Prismas benutzen:
$\begin{array}[t]{rll} O&=& 2 \cdot G + M &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 2 \cdot 4\,\text{cm}^2 + 84\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 8\,\text{cm}^2 + 84\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 92\,\text{cm}^2 \end{array}$
$O = 92\,\text{cm}^2 $
2.  Zeltfläche und Volumen berechnen
Um zu berechnen wie viel Material er für die Zeltwand benötigt, musst du die Oberfläche des Zeltes berechnen. Das Zelt ist ein Prisma, wobei die Vorderseite die Grundfläche ist.
Damit du die Mantelfläche berechnen kannst, benötigst du alle Seitenlängen der Grundfläche.
Die Vorderfläche ist ein gleichschenkliges Dreieck mit Höhe $h=1,5 \,\text{m}$. Die Höhe bildet zusammen mit der halben Grundseite ein rechtwinkliges Dreieck. Mit dem Satz des Pythagoras kannst du die fehlende Seitenlänge $a$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} a&\ =&\ \sqrt{\left(1,5\,\text{m}\right)^2 + \left(1,4\,\text{m}\right)^2} \\[5pt] &\ =&\ \sqrt{2,25\,\text{m}^2 + 1,96\,\text{m}^2}\\[5pt] &\ =&\ \sqrt{4,21\,\text{m}^2}\\[5pt] &\ \approx &\ 2,1\,\text{m} \end{array}$
$a \approx 2,1\,\text{m}$
Nun kannst du die Mantelfläche des Zeltes bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} M&\ =&\ 2 \cdot 2,5\,\text{m} \cdot 2,1\,\text{m} + 2,5\,\text{m} \cdot 1,4\,\text{m} &\quad \scriptsize \\[5pt] &\ =&\ 10,5\,\text{m}^2 + 3,5\,\text{m}^2 \\[5pt] &\ =&\ 14\,\text{m}^2 \end{array}$
$M = 14\,\text{m}^2$
Zuletzt benötigst du noch die Grundfläche des Zeltes (hier die Vorderseite). Diese kannst du mit der Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} G&=&\dfrac{1}{2} \cdot 1,4\,\text{m} \cdot 1,5\,\text{m} \\[5pt] &=& 1,05\,\text{m}^2 \end{array}$
$G = 1,05\,\text{m}^2$
Nun hast du alles, um die Oberfläche zu berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} O&=& 2 \cdot G + M &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 2 \cdot 1,05\,\text{m}^2 + 14\,\text{m}^2 \\[5pt] &=& 2,1\,\text{m}^2 + 14\,\text{m}^2 \\[5pt] &=& 16,1\,\text{m}^2 \end{array}$
$O = 2 \cdot G + M$
Also benötigt er $ 16,1\,\text{m}^2 $ an Material für die Zeltwand.
Berechne nun noch das Volumen des Zeltes. Setze dazu Grundfläche und Höhe des Prismas in die Formel ein. Beachte hierbei, dass die Länge des Zeltes der Höhe des Prismas entspricht. Somit erhältst du:
$V=G \cdot h = 1,05\,\text{m}^2 \cdot 2,5\,\text{m} = 2,625\,\text{m}^3$
$V= 2,625\,\text{m}^3$
Das Volumen des Zeltes beträgt $2,625\,\text{m}^3$.
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