Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BW, Gemeinschaftsschule
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 8
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Grundkurs
Erweiterungskurs
VERA 8 Gymnasium
VERA 8 Realschule
VERA 8 Hauptschule
VERA 8 Gymnas...
Prüfung
wechseln
VERA 8 Gymnasium
VERA 8 Realschule
VERA 8 Hauptschule
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!

Würfel

Spickzettel
Download als Dokument:PDF

Erklärung

Ein Würfel ist ein Prisma, bei dem alle Kanten gleich lang und alle gegenüberliegenden Seiten parallel sind. Alle Seiten stehen im rechten Winkel aufeinander.
Würfelvolumen
Prismen: Würfel
Prismen: Würfel
Volumen = Grundfläche $\cdot$ Höhe
$V=A_G\cdot h=a^2\cdot a = a^3$
Würfeloberfläche
Sie besteht aus 6 gleichen Quadraten.
$A_O=6\cdot A_G=6a^2$

Beispiel

Prismen: Würfel
Prismen: Würfel
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Aufgaben
Download als Dokument:PDF
1.
Welcher dieser drei Prismen ist ein Würfel? Begründe deine Entscheidung!
2.
Prismen: Würfel
Prismen: Würfel
2.
Welche dieser Aussagen zum Würfel sind richtig?
a)
Ein Würfel hat 14 Ecken.
b)
Es gibt Würfel, die keine Prismen sind.
c)
Das Volumen des Würfels ist: $V=a^4$.
d)
Ein Würfel hat 6 Seiten.
e)
Alle Seiten eines Würfels sind deckungsgleich.
f)
Der Würfel ist ein Spezialfall eines Quaders.
3.
Welche Kantenlänge hat ein Würfel mit der Oberfläche 486 cm$^2$?
4.
Das Volumen eines Würfels beträgt $V=512\text{ cm}^3$.
Bestimme die Kantenlänge und die Oberfläche des Würfels.
5.
Prismen: Würfel
Prismen: Würfel
6.
Prismen: Würfel
Prismen: Würfel
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF
1.
Prismen untersuchen
Bei einem Würfel sind alle Seiten gleich lang. Er hat eine quadratische Grundfläche und alle Ecken sind rechtwinklig.
Dies ist nur bei Figur 2 der Fall.
Figur 1 ist kein Würfel, da sie kein Quadrat, sondern ein Rechteck als Grundfläche hat.
Figur 3 ist kein Würfel, da hier die Höhenkanten nicht dieselbe Größe wie die Seitenkanten der Grundfläche haben.
2.
Aussagen bewerten
a)
„Ein Würfel hat 14 Ecken.“
Diese Aussage ist falsch. Ein Würfel hat immer $8$ Ecken.
b)
„Es gibt Würfel, die keine Prismen sind“
Diese Aussage ist falsch. Die Grundfläche und Deckfläche eines Würfels sind immer deckungsgleich.
c)
„Das Volumen des Würfels ist: $V=a^4$“
Diese Aussage ist falsch. Ein Würfel besteht aus Quadraten mit der Seitenlänge $a$. Somit lautet die Formel für das Volumen $V=a^3$.
d)
„Ein Würfel hat 6 Seiten.“
Diese Aussage ist richtig. Ein Würfel hat $6$ Quadrate als Seiten.
e)
„Alle Seiten eines Würfels sind deckungsgleich.“
Diese Aussage ist richtig. Alle Seiten sind gleich große Quadrate. Somit sind alle Seiten des Würfels deckungsgleich.
f)
„Der Würfel ist ein Spezialfall eines Quaders.“
Diese Aussage ist richtig. Ein Würfel erfüllt alle Eigenschaften eines Quaders. Da jedoch die Höhe des Würfels gleich einer Seitenkante ist, spricht man bei ihm von einem Spezialfall.
3.
Kantenlänge bestimmen
$\begin{array}{@{\hspace{-.2pt}}r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} A_\text{O}&=&6\cdot a^2&\scriptsize \mid:6\\ \dfrac{A_\text{O}}{6}&=&a^2&\scriptsize \mid\sqrt{\;}\\ a&=&\sqrt{\dfrac{A_\text{O}}{6}} \end{array}$
Berechne nun die Seitenlänge des Würfels.
$\begin{array}{@{\hspace{-.2pt}}r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} a&=& \sqrt{\dfrac{A_\text{O}}{6}}&\scriptsize \text{einsetzen}\\ a&=&\sqrt{\dfrac{486\,\text{cm}^2}{6}}\\ a&=&\sqrt{81\,\text{cm}^2}\\ a&=&9\,\text{cm} \end{array}$
Der Würfel hat eine Seitenlänge von $9\,\text{cm}$.
4.
Länge der Seitenkante berechnen
Die Formel für das Volumen eines Würfels lautet $V=a^3$. Stelle diese Formel nach der Seitenkante $a$ um und berechne diese.
$\begin{array}{@{\hspace{-.2pt}}r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} V&=&a^3&\scriptsize \mid\sqrt[3]{\;}\\ a&=&\sqrt[3]{V}&\scriptsize \text{einsetzen}\\ a&=&\sqrt[3]{512\,\text{cm}^3}\\ a&=&8\,\text{cm} \end{array}$
Der Würfel hat eine Seitenlänge von $8\,\text{cm}$.
Oberfläche berechnen
Setze die Länge der Seitenkante in die Formel für die Oberfläche ein.
$\begin{array}{@{\hspace{-.2pt}}r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} A_\text{O}&=&6\cdot a^2&\scriptsize\text{einsetzen}\\ A_\text{O}&=&6\cdot \left(8\,\text{cm}\right)^2\\ A_\text{O}&=&6\cdot 64\,\text{cm}^2\\ A_\text{O}&=&384\,\text{cm}^2 \end{array}$
Der Würfel hat eine Oberfläche von $384\,\text{cm}^2$.
5.
a)
Volumen des Würfels berechnen
Bestimme zuerst die Länge einer Seitenkante. Berechne dann das Volumen des Würfels.
1. Schritt: Seitenlänge bestimmen
Stelle die Formel für die Oberfläche nach der Seitenkante $a$ um und berechne dann $a$.
$\begin{array}{@{\hspace{-.2pt}}r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} A_\text{O}&=&6\cdot a^2&\scriptsize :6\\ \dfrac{A_\text{O}}{6}&=&a^2&\scriptsize \mid\;\sqrt{\;} \end{array}$
$\begin{array}{@{\hspace{-.2pt}}r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} a&=&\sqrt{\dfrac{A_\text{O}}{6}}&\scriptsize\text{einsetzen}\\ a&=&\sqrt{\dfrac{486\,\text{cm}^2}{6}}\\ a&=&\sqrt{486\,\text{cm}^2}\\ a&=&9\,\text{cm} \end{array}$
2. Schritt: Volumen berechnen
Setze die Länge der Seitenkante in die Formel für das Volumen eines Würfels ein.
$\begin{array}{@{\hspace{-.2pt}}r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} V&=&a^3&\scriptsize\text{einsetzen}\\ V&=&(9\,\text{cm})^3\\ V&=&729\,\text{cm}^3 \end{array}$
Der Würfel hat ein Volumen von $729\,\text{cm}^3$.
b)
Kantenlänge des kleinen Würfels bestimmen
Der Zauberwürfel besteht aus $27$ kleinen Würfeln. Er hat also ein Volumen von $27$ Würfeln. Mit Hilfe der Volumenformel kannst du jetzt die Anzahl der kleinen Würfel pro Seitenlänge bestimmten.
$\begin{array}{@{\hspace{-.2pt}}r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} V&=&a^3&\scriptsize \mid\;\sqrt[3]{\;}\\ a&=&\sqrt[3]{V}&\scriptsize\text{einsetzen}\\ a&=&\sqrt[3]{27\,W}=3\,W \end{array}$
Eine Seitenlänge des Zauberwürfels besteht aus 3 kleinen Würfeln. Da eine Seitenkante des großen Würfels $9\,\text{cm}$ lang ist, beträgt die Seitenlänge der kleinen Würfel $3\,\text{cm}$.
6.
Maximales Volumen des kleinen Würfels bestimmen
Der große Würfel wird zur Hälfte mit Wasser gefüllt. Sobald die andere Hälfte des Volumens von dem kleinen Würfel eingenommen wird, läuft das Wasser über. Das Volumen des kleinen Würfels darf also maximal halb so groß sein wie das Volumen des großen Würfels.
1. Schritt: Volumen des großen Würfels berechnen
Setze die Seitenlänge in die Formel für das Berechnen des Volumens ein.
$\begin{array}{@{\hspace{-.2pt}}r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} V&=&a^3&\scriptsize\text{einsetzen} \\ V&=&(10\,\text{cm})^3\\ V&=&1.000\,\text{cm}^3 \end{array}$
2. Schritt: Volumen des kleinen Würfels bestimmen
Das Volumen des kleinen Würfels darf maximal halb so groß sein wie das Volumen des großen Würfels. Er hat also ein Volumen von maximal $500\,\text{cm}^3$.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App