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Zinsen

Spickzettel
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Die Zinsrechnung ist eine erweiterte Prozentrechnung, bei der zusätzlich ein Zeitfaktor einbezogen werden kann. Sie wird vor allem in der Wirtschaft von Banken verwendet, um Zinsen und ähnliches zu errechnen. Folgende Begriffe sind hierbei grundlegend:
Prozentsatz $\text{p}\%$Zinssatz
Prozentwert $\text{W}$Zinsen
Grundwert $\text{G}$Guthaben / Kapital
ein Monat30 Tage
ein Jahr360 Tage



Wenn man für ein Kalenderjahr ein Guthaben $\text{G}$ zu einem Zinssatz von $\text{p}\%$ anlegt, so erhält man dafür $\text{p}\%$ von $\text{G}$ als Jahreszinsen:

$\begin{array}[t]{rll} \text{W}_\text{Jahr}&=&\frac{\text{p}}{100}\cdot\text{G} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \text{W}_\text{Jahr}&=&\frac{\text{p}}{100}\cdot\text{G} \end{array}$
Wenn man ein Guthaben $\text{G}$ zu einem Zinssatz von $\text{p}\%$ für $\text{t}$ Tage anlegt, so erhält man dafür $\frac{\text{t}}{360}$ von den Jahreszinsen, die sogenannten Tageszinsen.

$\begin{array}[t]{rll} \text{W}_\text{Tage}&=&(\frac{\text{p}}{100}\cdot\text{G})\cdot\frac{\text{t}}{360} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \text{W}_\text{Tage}&=&(\frac{\text{p}}{100}\cdot\text{G})\cdot\frac{\text{t}}{360} \end{array}$
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Aufgaben
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1.  Vervollständige die Tabelle
a)b)c)
Kapital $K$ (in €)$500$$200$
Zinssatz $p\%$$2\;\%$$4\;\%$
Jahreszinsen $Z$ (in €) $5$$40$
2.  Berechnen der Zinsen
Es wurden 1.500 € bei einem Zinssatz von 3 % angelegt
a) Wie hoch sind die Jahreszinsen?
b) Wie hoch sind die Zinsen nach 75 Tagen?
c)  Wie hoch sind die Zinsen nach 7 Monaten?
3.  Berechnen des Kapitals
Du legst 500 € bei einem Zinssatz von 4% an. Wie groß ist das Kapital nach:
a) einem Jahr?
b) 100 Tagen?
c) 3 Monaten?
4. Berechnen des Kapitals
Am Ende des Jahres erhält Jonas $30€$ Zinsen von der Bank. Wie viel Geld hat er vor einem Jahr eingezahlt, wenn der Zinssatz bei 2 % liegt?
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Lösungen
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1.
Vervollständige die Tabelle
Spalte a):
Gegeben: $\text{G}=500\;€$, $\text{W}=5\;€$
Gesucht: $\text{p}\%$
$\begin{array}[t]{rll} \text{p}\%&=&\dfrac{\text{W}}{\text{G}} \\[5pt] &=&\dfrac{5\;€}{500\;€} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{100} \\[5pt] &=&1\% \end{array}$
Spalte b):
Gegeben: $\text{p}\%=2\%=\dfrac{2}{100}$, $\text{W}=40\;€$
Gesucht: $\text{G}$
$\begin{array}[t]{rll} \text{G}&=&\dfrac{\text{W}\cdot100}{\text{p}} \\[5pt] &=&\dfrac{40\;€\cdot100}{2} \\[5pt] &=&2.000\;€ \end{array}$
Das Kapital beträgt $2.000\;€$.
Spalte c):
Bekannt sind folgende Werte: Kapital $(200\;€)$ und Zinssatz $(4\;\%)$. Berechne die Jahreszinsen:
$\begin{array}[t]{rll} \text{W}_\text{Jahr}&=&\dfrac{\text{p}}{100}\cdot\text{G} \\[5pt] &=&\dfrac{4}{100}\cdot200\;€ \\[5pt] &=&8\;€ \end{array}$
Also gilt:
a)b)c)
Kapital $\text{G}$ $500\;€$$\color{#87c800}{2000\;€}$$200\;€$
Zinssatz $\text{p}\%$$\color{#87c800}{1\;\%}$$2\;\%$$4\;\%$
Jahreszinsen $\text{W}$ $5\;€$$40 \;€$$\color{#87c800}{8\; \;€}$
a)b)c)
Kapital $K$ $500\;€$$\boldsymbol{2000\;€}$$200\;€$
Zinssatz $p$$\boldsymbol{1\;\%}$$2\;\%$$4\;\%$
Jahreszinsen $Z$ $5\;€$$40 \;€$$\boldsymbol{8\; \;€}$
2.
a)
$\blacktriangleright$ Jahreszinsen berechnen
Bekannt sind folgende Werte: Kapital $(1.500\;€)$ und Zinssatz $(3\;\%)$. Berechne die Jahreszinsen:
$\begin{array}[t]{rll} \text{W}_{\text{Jahr}}&=&\dfrac{\text{p}}{100}\cdot\text{G} \\[5pt] &=&\dfrac{3}{100}\cdot1.500\;€ \\[5pt] &=&45\;€ \end{array}$
Die Jahreszinsen betragen $\boldsymbol{45\;€}.$
b)
$\blacktriangleright$ Tageszinsen berechnen
Bekannt sind folgende Werte: Kapital $(1.500\;€)$ und Zinssatz $(3\;\%)$ und $\text{t}=75\;\text{Tage}$. Berechne die Tageszinsen:
$\begin{array}[t]{rll} \text{W}_{\text{Tage}}&=&(\dfrac{\text{p}}{100}\cdot\text{G})\cdot\dfrac{\text{t}}{360} \\[5pt] &=&(\dfrac{3}{100}\cdot1.500\;€)\cdot\dfrac{75}{360} \\[5pt] &\approx& 9,38\;€ \end{array}$
Die Tageszinsen betragen $\boldsymbol{9,38\;€}.$
c)
$\blacktriangleright$ Monatszinsen berechnen
Bekannt sind folgende Werte: Kapital $(1.500\;€)$ und Zinssatz $(3\;\%)$ und 7 Monate als Zeitangabe.
Zuerst musst du $\text{t}$ ausrechnen. Da du weißt, dass ein Monat durchschnittlich 30 Tage hat und es um den Zeitraum von 7 Monaten geht, musst du die Anzahl der Monate mit der durchschnittlichen Anzahl an tagen pro Monat multiplizieren.

$\begin{array}[t]{rll} \text{t}&=&7\cdot30 \\[5pt] &=&210 \end{array}$
Berechne nun die Monatszinsen:
$\begin{array}[t]{rll} \text{W}_\text{Tag}&=&(\dfrac{\text{p}}{100}\cdot\text{G})\cdot\dfrac{\text{t}}{360} \\[5pt] &=&(\dfrac{3}{100}\cdot1.500\;€)\cdot\dfrac{210}{360} \\[5pt] &=&45\;€\cdot\dfrac{210}{360} \\[5pt] &=&26,25\;€ \end{array}$
Die Monatszinsen betragen $\boldsymbol{26,25\;€}.$
3.
a)
$\blacktriangleright$ Endkapital nach einem Jahr
$\begin{array}[t]{rll} \text{G}&=&500\;€ \\[5pt] \text{p}\%&=&4 \end{array}$
Berechne zuerst die Jahreszinsen.
$\begin{array}[t]{rll} \text{W}_\text{Jahr}&=&\dfrac{\text{p}}{100}\cdot\text{G} \\[5pt] &=&\dfrac{4}{100}\cdot500\;€ \\[5pt] &=&20\;€ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \text{Endkapital}&=&\text{G}+\text{W}_\text{Jahr} \\[5pt] &=&500\;€+20\;€ \\[5pt] &=&520\;€ \end{array}$
Das Endkapital nach einem Jahr beträgt $\boldsymbol{520}\;€$.
b)
$\blacktriangleright$ Endkapital nach $\boldsymbol{100}$ Tagen
$\begin{array}[t]{rll} \text{G}&=&500\;€ \\[5pt] \text{p}\%&=&4 \\[5pt] \text{t}&=&100 \end{array}$
Berechne zuerst die Tageszinsen.
$\begin{array}[t]{rll} \text{W}_\text{Jahr}&=&(\dfrac{\text{p}}{100}\cdot\text{G})\cdot\dfrac{\text{t}}{360} \\[5pt] &=&(\dfrac{4}{100}\cdot500\;€)\cdot\dfrac{100}{360} \\[5pt] &=&20\;€\cdot\dfrac{100}{360} \\[5pt] &\approx&5,56\;€ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \text{Endkapital}&=&\text{G}+\text{W}_\text{Jahr} \\[5pt] &=&500\;€+5,56\;€ \\[5pt] &=&505,56\;€ \end{array}$
Das Endkapital nach 100 Tagen beträgt $\boldsymbol{505,56}\;€$.
c)
$\blacktriangleright$ Endkapital nach $\boldsymbol{3}$ Monaten
$\begin{array}[t]{rll} \text{G}&=&500\;€ \\[5pt] \text{p}\%&=&4 \\[5pt] \text{t}&=&3\cdot30&=&90 \end{array}$
Berechne zuerst die Tageszinsen.
$\begin{array}[t]{rll} \text{W}_\text{Jahr}&=&(\dfrac{\text{p}}{100}\cdot\text{G})\cdot\dfrac{\text{t}}{360} \\[5pt] &=&(\dfrac{4}{100}\cdot500\;€)\cdot\dfrac{90}{360} \\[5pt] &=&20\;€\cdot\dfrac{90}{360} \\[5pt] &=&5\;€ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \text{Endkapital}&=&\text{G}+\text{W}_\text{Jahr} \\[5pt] &=&500\;€+5\;€ \\[5pt] &=&505\;€ \end{array}$
Das Endkapital nach 3 Monaten beträgt $\boldsymbol{505}\;€$.
4.
Kapital berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \text{W}&=&30\;€ \\[5pt] \text{p}\%&=&2 \\[5pt] \end{array}$
Berechne zuerst die Tageszinsen.
$\begin{array}[t]{rll} \text{G}&=&\dfrac{\text{W}\cdot100}{\text{p}}\\[5pt] &=&\dfrac{30\;€\cdot100}{2}\\[5pt] &=&1.500\;€ \\[5pt] \end{array}$
Jonas hat vor einem Jahr $\boldsymbol{1.500\;€}$ eingezahlt.
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