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Erhöhter und verminderter Grundwert

Spickzettel
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Ein Grundwert kann sich erhöhen oder vermindern. Dabei wird der zugehörige Prozentwert zu dem Grundwert addiert oder subtrahiert.
Alternativ kannst du den erhöhten oder verminderten Grundwert auch durch einen veränderten Prozentsatz berechnen.
Erhöhter Grundwert:
$G^+=G\cdot\left(1+\frac{p\,\%}{100\;\%}\right)$
Verminderter Grundwert:
$G^-=G\cdot\left(1-\frac{p\,\%}{100\;\%}\right)$

Beispiel

Im Schlussverkauf ist eine Hose um $30\,\%$ reduziert. Ursprünglich hat diese $70\,€$ gekostet. Wie viel kostet sie jetzt?
Hier ist der verminderte Grundwert gesucht. Entweder berechnest du den Prozentwert $W$ und ziehst diesen von dem Grundwert ab, oder du verwendest die oben genannte Formel.
Berechnung über den Prozentwert:
$\begin{array}[t]{rll} W&=& G\cdot\dfrac{p\,\%}{100\,\%} \\[5pt] W&=& 70\,€\cdot\dfrac{30\,\%}{100\,\%} \\[5pt] W&=& 21\,€ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} G^-&=& G-W\\[5pt] G^-&=& 70\,€-21\,€ \\[5pt] G^-&=& 49\,€ \end{array}$
Berechnung mit Hilfe der Formel:
$\begin{array}[t]{rll} G^-&=& G\cdot\left(1-\frac{p\,\%}{100\;\%}\right) \\[5pt] G^-&=& 70\,€\cdot\left(1-\frac{30\,\%}{100\;\%}\right) \\[5pt] G^-&=& 70\,€\cdot\left(1-0,3\right) \\[5pt] G^-&=& 70\,€\cdot0,7 \\[5pt] G^-&=& 49\,€ \end{array}$
Die Hose kostet nur noch $49\,€$.
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Aufgaben
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1.  Smartphone
Max will sich ein neues Smartphone kaufen. Im Laden kostet dieses $450\,€$. Die Mehrwertsteuer von $19\,\%$ ist dabei noch nicht mit eingerechnet. Wie viel muss Max für das Smartphone bezahlen?
2.  Flachbildschirm
Ein Flachbildschirm kostet inklusive $19\,\%$ Mehrwertsteuer $950\,€$. Wie viel kostet der Flachbildschirm ohne Mehrwertsteuer?
3.  Skiausrüstung
a)  Tina wil sich neue Skier kaufen und muss sich zwischen zwei verschiedenen Paaren entscheiden. Auf das eine Paar „Blitz“ bekommt Tina $10\,\%$ Rabatt. Bei dem anderen Paar „Snowfun“ ist die Mehrwertsteuer von $19\,\%$ noch nicht mit inbegriffen. Welches Paar Skier ist billiger?
  • Blitz: $465\,€$
  • Snowfun: $350\,€$
b)  Tina entscheidet sich für das Paar „Snowfun“. Zusätzlich kauft sie noch eine Jacke für $300\,€$. Der Verkäufer bietet ihr auf ihren gesamten Einkauf $10\,\%$ Rabatt an. Wieviel zahlt Tina für ihren Einkauf?
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Lösungen
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1.  Smartphone
Bei dieser Aufgabe ist der erhöhte Grundwert gesucht. Der ursprüngliche Grundwert beträgt $450\,€$. Der ursprüngliche Prozentsatz beträgt $19\,\%$.
$\begin{array}[t]{rll} G^+&=& G\cdot\left(1+\dfrac{p\,\%}{100\;\%}\right) \\[5pt] G^+&=& 450\,€\cdot\left(1+\dfrac{19\,\%}{100\;\%}\right) \\[5pt] G^+&=& 450\,€\cdot\left(1+0,19\right) \\[5pt] G^+&=& 450\,€\cdot1,19\\[5pt] G^+&=& 535,50\,€ \end{array}$
Das Smartphone kostet $535,50\,€$.
2.  Flachbildschirm
Bei dieser Aufgabe ist der erhöhte Grundwert gegeben und der ursprüngliche Grundwert gesucht. Der erhöhte Grundwert beträgt $950\,€$. Der ursprüngliche Prozentsatz beträgt $19\,\%$. Setze die Werte in die Formel für den erhöhten Grundwert ein. So erhältst du eine Gleichung in Abhängigkeit vom ursprünglichen Grundwert $G$. Löse die Gleichung nach $G$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} G^+&=& G\cdot\left(1+\dfrac{p\,\%}{100\;\%}\right) \\[5pt] 950\,€&=& G\cdot\left(1+\dfrac{19\,\%}{100\;\%}\right) \\[5pt] 950\,€&=& G\cdot\left(1+0,19\right) \\[5pt] 950\,€&=& G\cdot 1,19 &\quad \scriptsize\mid\; : 1,19\\[5pt] 798,32\,€&\approx& G \end{array}$
Der Flachbildschirm kostet ohne Mehrwertsteuer ungefähr $798,32\,€$.
3.  Skiausrüstung
a)  Um zu berechnen, welches Paar Skier billiger ist, berechnest du bei den Skiern „Blitz“ den verminderten Grundwert und bei den Skiern „Snowfun“ den erhöhten Grundwert.
„Blitz“:
$\begin{array}[t]{rll} G^-&=& G\cdot\left(1-\dfrac{p\,\%}{100\;\%}\right) \\[5pt] G^-&=& 465\,€\cdot\left(1-\dfrac{10\,\%}{100\;\%}\right) \\[5pt] G^-&=& 465\,€\cdot\left(1-0,10\right) \\[5pt] G^-&=& 465\,€\cdot0,9\\[5pt] G^-&=& 418,50\,€ \end{array}$
„Snowfun“:
$\begin{array}[t]{rll} G^+&=& G\cdot\left(1+\dfrac{p\,\%}{100\;\%}\right) \\[5pt] G^+&=& 350\,€\cdot\left(1+\dfrac{19\,\%}{100\;\%}\right) \\[5pt] G^+&=& 350\,€\cdot\left(1+0,19\right) \\[5pt] G^+&=& 350\,€\cdot1,19\\[5pt] G^+&=& 416,50\,€ \end{array}$
Die Skier „Snowfun“ kosten mit $416,50\,€$ weniger als die Skier „Blitz“. Diese kosten $418,50\,€$.
b)  Aus Teilaufgabe a) weißt du, dass die Skier „Snowfun“ $416,50\,€$ kosten. Zusammen mit der Jacke würde Tina ohne Rabatt also $416,50\,€+300,00\,€=716,50\,€$ zahlen.
Berechne nun den verminderten Grundwert, um den endgültigen Preis für Tinas Einkauf zu berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} G^-&=& G\cdot\left(1-\dfrac{p\,\%}{100\;\%}\right) \\[5pt] G^-&=& 716,50\,€\cdot\left(1-\dfrac{10\,\%}{100\;\%}\right) \\[5pt] G^-&=& 716,50\,€\cdot\left(1-0,10\right) \\[5pt] G^-&=& 716,50\,€\cdot0,9\\[5pt] G^-&=& 644,85\,€ \end{array}$
Der Einkauf kostet insgesamt $644,85\,€$.
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