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Grundbegriffe

Spickzettel
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Ändert sich eine Größe relativ zu einer anderen, bietet sich die Darstellung in Prozent (%) an. Gibst du den relativen Anteil $p$ einer Größe an einem Ganzen in Prozent an, so gilt:
$p\;\%=p\cdot 100\;\%$
In der Prozentrechnung werden
  • das „Ganze“ als Grundwert $G$,
  • der „Anteil“ als Prozentsatz $p\,\%$
  • der „Teil des Ganzen“ als Prozentwert $W$
bezeichnet.
Es gilt:
$p\,\%=\;\frac{W}{G}\cdot 100\;\%$
$W=\text{G} \cdot \frac{p\,\%}{100\,\%}$
$G=W\cdot\frac{100\,\%}{p\,\%}$
Wobei der Prozentsatz hier immer in $\%$ angegeben ist.

Beispiel

Von $500$ Schülern fahren $20\,\%$ mit dem Fahrrad zur Schule. Wieviele Schüler sind das?
Hier entspricht die gesamte Anzahl der Schüler dem Grundwert, also gilt: $G=500$
Bei den $20\,\%$ handelt es sich um den Prozentsatz. Um die Anzahl der Schüler zu berechnen, die mit dem Fahrrad fahren, berechnest du den Prozentwert.
$\begin{array}[t]{rll} W&=& G\cdot\dfrac{p}{100\,\%} \\[5pt] W&=& 500\cdot\dfrac{20\,\%}{100\,\%} \\[5pt] W&=& 100 \end{array}$
Es fahren $100$ Schüler mit dem Fahrrad zur Schule.
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Aufgaben
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1.  Berechne die fehlende Größe.
a)  $G=240\,\text{kg}$, $p\,\%=13\,\%$
b)  $W=444\,\text{km}$, $p\,\%=58\,\%$
c)  $G=845\,\text{g}$, $W=350\,\text{g}$
d)  $p\,\%=66\,\%$, $W=3,8\,€$
2.  Urlaub
Viele Menschen buchen ihren Urlaub in letzter Minute, andere schon Monate vorher. Hier siehst du eine Verteilung, die das unterschiedliche Buchungsverhalten beschreibt:
  • Last Minute: $30\,\%$
  • $2$ bis $4$ Monate vorher: $50\,\%$
  • Frühbucher: $20\,\%$
Wie viele Menschen buchen einen Last Minute Urlaub? Wie viele sind Frühbucher oder buchen ihren Urlaub $2-4$ Monate vorher? Insgesamt haben $15$ Millionen Menschen einen Urlaub gebucht.
3.  Berufswunsch
$1.500$ Schüler wurden nach ihrem Berufswunsch gefragt. Das Tortendiagramm zeigt die prozentuale Verteilung. Wie viele Schüler wollen jeweils in den verschiedenen Berufen arbeiten?
Prozent- und Zinsrechnung: Grundbegriffe
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Lösungen
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1.  Berechne die fehlende Größe.
a)  Hier sollst du den Prozentwert $W$ berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} W&=& G\cdot\dfrac{p\,\%}{100\,\%} \\[5pt] W&=& 240\,\text{kg}\cdot\dfrac{13\,\%}{100\,\%} \\[5pt] W&=& 31,2\,\text{kg} \end{array}$
b)  Hier sollst du den Grundwert $G$ berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} G&=& W\cdot\dfrac{100\,\%}{p\,\%} \\[5pt] G&=& 444\,\text{km}\cdot\dfrac{100\,\%}{58\,\%} \\[5pt] G&=& 765,5\,\text{km} \end{array}$
c)  Hier sollst du den Prozentsatz $p\,\%$ berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} p\,\%&=&\dfrac{W}{G}\cdot100\,\% \\[5pt] p\,\%&=&\dfrac{350\,\text{g}}{845\,\text{g}}\cdot100\,\% \\[5pt] W&=& 41,4\,\% \end{array}$
d)  Hier sollst du den Grundwert $G$ berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} G&=& W\cdot\dfrac{100\,\%}{p\,\%} \\[5pt] G&=& 3,8\,€\cdot\dfrac{100\,\%}{66\,\%} \\[5pt] G&=& 5,76\,€ \end{array}$
2.  Urlaub
Hier ist jeweils der Prozentwert $W$ gesucht. Den Grundwert und die jeweiligen Prozentsätze hast du gegeben.
Last Minute:
$\begin{array}[t]{rll} W&=& G\cdot\dfrac{p\,\%}{100\,\%} \\[5pt] W&=& 15\,\text{Mio}\cdot\dfrac{30\,\%}{100\,\%} \\[5pt] W&=& 4,5\,\text{Mio} \end{array}$
$\boldsymbol{2}$ bis $\boldsymbol{4}$ Monate vorher:
$\begin{array}[t]{rll} W&=& G\cdot\dfrac{p\,\%}{100\,\%} \\[5pt] W&=& 15\,\text{Mio}\cdot\dfrac{50\,\%}{100\,\%} \\[5pt] W&=& 7,5\,\text{Mio} \end{array}$
Frühbucher:
$\begin{array}[t]{rll} W&=& G\cdot\dfrac{p\,\%}{100\,\%} \\[5pt] W&=& 15\,\text{Mio}\cdot\dfrac{20\,\%}{100\,\%} \\[5pt] W&=& 3\,\text{Mio} \end{array}$
$4,5$ Millionen Menschen buchen Last Minute, $7,5$ Millionen buchen $2-4$ Monate im Vorraus und $3$ Millionen Menschen sind Frühbucher.
3.  Berufswunsch
Bei dieser Aufgabe sollst du berechnen, wie viele Schüler jeweils in den verschiedenen Berufen arbeiten wollen. Berechne dazu den Prozentwert.
Polizist:
$\begin{array}[t]{rll} W&=& G\cdot\dfrac{p\,\%}{100\,\%} \\[5pt] W&=& 1.500\cdot\dfrac{25\,\%}{100\,\%} \\[5pt] W&=& 375 \end{array}$
Krankenschwester:
$\begin{array}[t]{rll} W&=& G\cdot\dfrac{p\,\%}{100\,\%} \\[5pt] W&=& 1.500\cdot\dfrac{12\,\%}{100\,\%} \\[5pt] W&=& 180 \end{array}$
Mechaniker:
$\begin{array}[t]{rll} W&=& G\cdot\dfrac{p\,\%}{100\,\%} \\[5pt] W&=& 1.500\cdot\dfrac{28\,\%}{100\,\%} \\[5pt] W&=& 420 \end{array}$
Kosmetikerin:
$\begin{array}[t]{rll} W&=& G\cdot\dfrac{p\,\%}{100\,\%} \\[5pt] W&=& 1.500\cdot\dfrac{10\,\%}{100\,\%} \\[5pt] W&=& 150 \end{array}$
Kaufmann:
$\begin{array}[t]{rll} W&=& G\cdot\dfrac{p\,\%}{100\,\%} \\[5pt] W&=& 1.500\cdot\dfrac{20\,\%}{100\,\%} \\[5pt] W&=& 300 \end{array}$
Sonstiges:
$\begin{array}[t]{rll} W&=& G\cdot\dfrac{p\,\%}{100\,\%} \\[5pt] W&=& 1.500\cdot\dfrac{5\,\%}{100\,\%} \\[5pt] W&=& 75 \end{array}$
Von den $1.500$ Schülern wollen $375$ zur Polizei, $180$ wollen Krankenschwester werden und $420$ Mechaniker. Außerdem wollen $150$ Schüler Kosmetikerin und $300$ Kaufmann werden. $75$ Schüler haben einen anderen Berufswunsch.
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