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Monats- und Tageszinsen

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In der Zinsrechnung sind meist nur die Jahreszinsen angegeben. Tatsächlich bleiben Gelder aber meist nicht das ganze Jahr auf dem Konto, sondern nur für gewisse Zeitdauern. Den Anteil an Zinsen, der pro Tag bzw. pro Monat dazukommt, kannst du mit den Tages- bzw. Monatszinsen berechnen.
Die Tageszinsen sind die Zinsen, die du pro Tag erhältst. Das Jahr hat 365 Tage, somit ergeben sich die Tageszinsen als Anteil der Jahreszinsen:
$\text{Tageszinsen}=\dfrac{\text{Jahreszinsen}}{\text{365 Tage}}$
$\text{Tageszinsen}=\dfrac{\text{Jahreszinsen}}{\text{365 Tage}}$
Die Monatszinsen kannst du analog berechnen. Das Jahr hat 12 Monate, somit erhältst du folgende Formel:
$\text{Monatszinsen}=\dfrac{\text{Jahreszinsen}}{\text{12 Monate}}$
$\text{Monatszinsen}=\dfrac{\text{Jahreszinsen}}{\text{12 Monate}}$
Mit Hilfe dieser beiden Größen kannst du die Zinsen für eine gewisse Zeitdauer berechnen.

Beispiele

Du legst für 20 Tage $500\,€$ auf einem Konto mit jährlichem Zinssatz von $3\,\%$ an. Welche Zinsen erhältst du?
Berechne dazu zuerst die jährlichen Zinsen:
$\text{Jahreszinsen}=500\,€ \cdot 0,03 = 15\,€$
$\text{Jahreszinsen} = 15\,€$
Berechne nun die Tageszinsen:
$\begin{array}[t]{rll} \text{Tageszinsen}&=&\dfrac{\text{Jahreszinsen}}{\text{365 Tage}} \\[5pt] &=&\dfrac{15\,€}{365\text{ Tage}} \\[5pt] &\approx& 0,0411\;\dfrac{€}{\text{Tag}} \end{array}$
$ \text{Tageszinsen} \approx 0,0411\;\dfrac{€}{\text{Tag}} $
Du legst das Geld für 20 Tage an. Damit kannst du die Zinsen berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \text{Zinsen}&=& 20\,\text{Tage} \cdot \text{Tageszinsen} \\[5pt] &=& 20\,\text{Tage} \cdot 0,0411\;\dfrac{€}{\text{Tag}} \\[5pt] &\approx& 0,82\;€ \end{array}$
$\text{Zinsen}\approx 0,82\;€ $
Somit erhältst du für die 20 Tage Zinsen in Höhe von $0,82\,€$.
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Aufgaben
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1.  Tages- und Monatszinsen berechnen
Für ein Kapital von $1.000\,€$ zahlt eine Bank jährlich $2,5\,\%$ Zinsen.
Wie viel Zinsen hast du nach 50 Tagen bekommen? Wie viel nach vier Monaten?
2.  Tages- und Monatszinsen berechnen
Angenommen dein Vater hätte vor 11 Monaten auf einem Konto $5.000\,€$ zu einem Zinssatz von $4\,\%$ angelegt.
Wie viel Geld hätte sich nach 100 Tagen angespart? Wie viel bis jetzt?
3.  Tages- und Monatszinsen berechnen
Am 55. Tag des Jahres legt Sandra $600\,€$ auf ihrem Sparbuch zu jährlichen Zinsen von $3,5\,\%$ an. Am 235. Tag des Jahres will sie das Geld und die dazugekommenen Zinsen abheben. Welchen Betrag muss sie abheben?
4.  Zinssatz berechnen
Berechne den Zinssatz zu den gegebenen Daten.
a)   Über 80 Tage hast du ein Kapital von $20.000\,€$ angelegt und dafür $160\,€$ an Zinsen erhalten.
b)   Über 2 Monate hast du ein Kapital von $400\,€$ angelegt und dafür $2\,€$ an Zinsen erhalten.
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Lösungen
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1.  $\blacktriangleright$   Tageszinsen berechnen
Berechne zuerst die jährlichen Zinsen:
$\text{Jahreszinsen}=1.000\,€ \cdot 0,025 = 25\,€$
$\text{Jahreszinsen} = 25\,€$
Berechne nun die Tageszinsen:
$\begin{array}[t]{rll} \text{Tageszinsen}&=&\dfrac{\text{Jahreszinsen}}{\text{365 Tage}} \\[5pt] &=&\dfrac{25\,€}{365\text{ Tage}} \\[5pt] &\approx& 0,0685\;\dfrac{€}{\text{Tag}} \end{array}$
$\text{Tageszinsen} \approx 0,0685\;\dfrac{€}{\text{Tag}}$
Du legst das Geld für 50 Tage an. Damit kannst du die Zinsen berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \text{Zinsen}&=& 50\,\text{Tage} \cdot \text{Tageszinsen} \\[5pt] &=& 50\,\text{Tage} \cdot 0,0685\;\dfrac{€}{\text{Tag}} \\[5pt] &\approx& 3,43\;€ \end{array}$
$\text{Zinsen} \approx 3,43\;€$
Somit erhältst du für die 50 Tage Zinsen in Höhe von $3,43\,€$.
$\blacktriangleright$ Monatszinsen berechnen
Die jährlichen Zinsen hast du bereits berechnet. Berechne nun die Monatszinsen:
$\begin{array}[t]{rll} \text{Monatszinsen}&=&\dfrac{\text{Jahreszinsen}}{\text{12 Monate}} \\[5pt] &=&\dfrac{25\,€}{12\text{ Monate}} \\[5pt] &\approx& 2,08\;\dfrac{€}{\text{Monat}} \end{array}$
$\text{Monatszinsen} \approx 2,08\;\dfrac{€}{\text{Monat}}$
Du legst das Geld für vier Monate an. Damit kannst du die Zinsen berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \text{Zinsen}&=& 4\,\text{Monate} \cdot \text{Monatszinsen} \\[5pt] &=& 4\,\text{Monate} \cdot 2,08\;\dfrac{€}{\text{Monat}} \\[5pt] &=& 8,32\;€ \end{array}$
$ \text{Zinsen} = 8,32 € $
Somit erhältst du für die vier Monate Zinsen in Höhe von $8,32\,€$.
2.  $\blacktriangleright$   Tageszinsen berechnen
Berechne zuerst die jährlichen Zinsen:
$\text{Jahreszinsen}=5.000\,€ \cdot 0,04 = 200\,€$
$\text{Jahreszinsen} = 200\,€$
Berechne nun die Tageszinsen:
$\begin{array}[t]{rll} \text{Tageszinsen}&=&\dfrac{\text{Jahreszinsen}}{\text{365 Tage}} \\[5pt] &=&\dfrac{200\,€}{365\text{ Tage}} \\[5pt] &\approx& 0,5479\;\dfrac{€}{\text{Tag}} \end{array}$
$\text{Tageszinsen} = 0,5479\;\dfrac{€}{\text{Tag}} $
Du interessierst dich für die Zinsen nach 100 Tagen:
$\begin{array}[t]{rll} \text{Zinsen}&=& 100\,\text{Tage} \cdot \text{Tageszinsen} \\[5pt] &=& 100\,\text{Tage} \cdot 0,5479\;\dfrac{€}{\text{Tag}} \\[5pt] &=& 54,79\;€ \end{array}$
$ \text{Zinsen} = 54,79\;€$
Nach 100 Tagen haben sich Zinsen in Höhe von $54,79\,€$ angespart.
$\blacktriangleright$ Monatszinsen berechnen
Die jährlichen Zinsen hast du bereits berechnet. Berechne nun die Monatszinsen:
$\begin{array}[t]{rll} \text{Monatszinsen}&=&\dfrac{\text{Jahreszinsen}}{\text{12 Monate}} \\[5pt] &=&\dfrac{200\,€}{12\text{ Monate}} \\[5pt] &\approx& 16,67\;\dfrac{€}{\text{Monat}} \end{array}$
$ \text{Monatszinsen} \mathrel{\widehat{=}} 16,67\;\dfrac{€}{\text{Monat}}$
Berechne die Zinsen nach 11 Monaten:
$\begin{array}[t]{rll} \text{Zinsen}&=& 11\,\text{Monate} \cdot \text{Monatszinsen} \\[5pt] &=& 11\,\text{Monate} \cdot 16,67\;\dfrac{€}{\text{Monat}} \\[5pt] &=& 183,37\;€ \end{array}$
$\text{Zinsen} = 183,37\;€ $
Nach 11 Monaten haben sich somit $183,37\,€$ angespart.
3.  $\blacktriangleright$   Tageszinsen berechnen
Berechne zuerst die jährlichen Zinsen:
$\text{Jahreszinsen}=600\,€ \cdot 0,035 = 21\,€$
$\text{Jahreszinsen} = 21\,€$
Berechne nun die Tageszinsen:
$\begin{array}[t]{rll} \text{Tageszinsen}&=&\dfrac{\text{Jahreszinsen}}{\text{365 Tage}} \\[5pt] &=&\dfrac{21\,€}{365\text{ Tage}} \\[5pt] &\approx& 0,0575\;\dfrac{€}{\text{Tag}} \end{array}$
$\text{Tageszinsen} \approx 0,0575\;\dfrac{€}{\text{Tag}} $
Berechne nun die Anzahl an Zinstagen. Das Geld liegt vom 55. Tag des Jahres bis zum 235. Tag des Jahres auf dem Konto, somit insgesamt für $235-55=180$ Tage.
$\begin{array}[t]{rll} \text{Zinsen}&=& 180\,\text{Tage} \cdot \text{Tageszinsen} \\[5pt] &=& 180\,\text{Tage} \cdot 0,0575\;\dfrac{€}{\text{Tag}} \\[5pt] &=& 10,35\;€ \end{array}$
$\text{Zinsen} = 10,35\;€ $
Innerhalb der Zeit haben sich Zinsen in Höhe von $10,35\;€$ angespart, somit muss sie insgesamt $600\;€ + 10,35\;€ $$= 610,35\;€$ abheben.
4. 
a)   $\blacktriangleright$   Zinssatz berechnen
Berechne zuerst die Tageszinsen mit den Gesamtzinsen und und der Anzahl an Zinstagen:
$\begin{array}[t]{rll} \text{Tageszinsen}&=&\dfrac{\text{Gesamtzinsen}}{\text{Anzahl an Zinstage}} \\[5pt] &=&\dfrac{160\,€}{80\text{ Tage}} \\[5pt] &=& 2\;\dfrac{€}{\text{Tag}} \end{array}$
$\text{Tageszinsen} = 2\;\dfrac{€}{\text{Tag}} $
Damit kannst du nun die Jahreszinsen berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \text{Jahreszinsen}&=&\text{Tageszinsen} \cdot 365\text{ Tage} \\[5pt] &=& 2\;\dfrac{€}{\text{Tag}} \cdot 365\text{ Tage} \\[5pt] &=& 730 \,€ \end{array}$
$\text{Jahreszinsen} = 730 \,€$
Du hast nun das Anfangskapital und die Jahreszinsen gegeben. Berechne damit den jährlichen Zinssatz:
$\begin{array}[t]{rll} \text{Jährlicher Zinssatz}&=&\dfrac{\text{Jahreszinsen}}{\text{Anfangskapital}} \\[5pt] &=& \dfrac{730€}{20.000€} \\[5pt] &=& 0,0365 \end{array}$
$\text{Jährlicher Zinssatz} = 0,0365$
Der jährliche Zinssatz beträgt somit $3,65\,\%$.
b)   $\blacktriangleright$   Zinssatz berechnen
Berechne zuerst die Monatszinsen mit den Gesamtzinsen und und der Anzahl an Zinsmonaten:
$\begin{array}[t]{rll} \text{Monatszinsen}&=&\dfrac{\text{Gesamtzinsen}}{\text{Anzahl an Zinsmonaten}} \\[5pt] &=&\dfrac{2\,€}{2\text{ Monate}} \\[5pt] &=& 1\;\dfrac{€}{\text{Monat}} \end{array}$
$\text{Monatszinsen} = 1\;\dfrac{€}{\text{Monat}}$
Damit kannst du nun die Jahreszinsen berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \text{Jahreszinsen}&=&\text{Monatszinsen} \cdot 12\text{ Monate} \\[5pt] &=& 1\;\dfrac{€}{\text{Monat}} \cdot 12\text{ Monate} \\[5pt] &=& 12 \,€ \end{array}$
$\text{Jahreszinsen} = 12 \,€ $
Du hast nun das Anfangskapital und die Jahreszinsen gegeben. Berechne damit den jährlichen Zinssatz:
$\begin{array}[t]{rll} \text{Jährlicher Zinssatz}&=&\dfrac{\text{Jahreszinsen}}{\text{Anfangskapital}} \\[5pt] &=& \dfrac{12\,€}{400\,€} \\[5pt] &=& 0,03 \end{array}$
$\text{Jährlicher Zinssatz} = 0,03$
Der jährliche Zinssatz beträgt somit $3\,\%$.
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