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Zinsfaktoren verketten

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Zinsen: Zinsfaktoren verketten
Abb. 1: Die Menge an Haferflocken steigert sich.
Zinsen: Zinsfaktoren verketten
Abb. 1: Die Menge an Haferflocken steigert sich.
$\;$Startgewicht Jahr 1 Jahr 2 Jahr 3 Jahr 4 Jahr 5
Gewicht nach n Jahren$1.000\;\text{g}$$1.025\;\text{g}$$1.050,62\;\text{g}$
Zinsfaktor$2,5\;\%$$2,5\;\%$$2,5\;\%$$2,5\;\%$$2,5\;\%$$2,5\;\%$
b)
Die jeweiligen Gramm Beträge ab dem ersten Jahr sind inklusive Zinseszinsen. Erkläre das Prinzip Zinseszins.
#zinseszins#zinssatz

Aufgabe 1

Bestimme das Endkapital und den Zinsfaktor inklusive Zinseszinsen.
b)
  • $300\;€$
  • p = $4\;\%$
  • $8$ Jahre
  • d)
  • $850\;€$
  • p = $2,75\;\%$
  • $3$ Jahre
  • f)
  • $3.500\;€$
  • p = $1,8\;\%$
  • $9$ Jahre
  • Aufgabe 2

    Zinsen: Zinsfaktoren verketten
    Abb. 2: Immobilien können Geldanlagen sein.
    Zinsen: Zinsfaktoren verketten
    Abb. 2: Immobilien können Geldanlagen sein.
    #zinseszins

    Aufgabe 3

    Du hast $200\;€$ auf deinem Girokonto und möchtest dieses Geld sich durch den Zinseszins vermehren lassen. Benutze hierzu deinen Taschenrechner.
    b)
  • Zinssatz: $6\;\%$
  • Verdreifachung des Kapitals
  • d)
  • Zinssatz: $4\;\%$
  • Verdreifachung des Kapitals
  • f)
  • Zinssatz: $8\;\%$
  • Verdreifachung des Kapitals
  • h)
  • Zinssatz: $10\;\%$
  • Verdreifachung des Kapitals
  • #zinseszins

    Aufgabe 4

    Bestimme das Endkapital und den Zinsfaktor, inklusive Zinseszinsen.
    b)
    Kapital: $11.000\;€$
    Zinssatz: $5\;\%$
    $4$ Jahre
    d)
    Kapital: $550\;€$
    Zinssatz: $2,75\;\%$
    $7$ Jahre
    f)
    Kapital: $330\;€$
    Zinssatz: $4\;\%$
    $6$ Jahre
    h)
    Kapital: $1.550\;€$
    Zinssatz: $2,75\;\%$
    $2$ Jahre
    #zinseszins

    Aufgabe 5

    Frau Garcia bekam im vergangenen Jahr einen Bonus über $24.000\;€$ für Ihre Arbeit als Stationsärztin beim Kreiskrankenhaus Regensburg. In den beiden Boxen befinden sich Sparangebote die ihr von Banken angeboten wurden.
    a)
    Welches Angebot ist rentabler für sie?
    Bank B
    Mit dem Festgeldkonto Wachstum steigt Ihr Zinssatz jedes Jahr!
  • $2\;\%$ im $1.$ Jahr
  • $2,3\;\%$ im $2.$ Jahr
  • $2,6\;\%$ im $3.$ Jahr
  • $3\;\%$ im $4.$ Jahr
  • $3,3\;\%$ im $5.$ Jahr
  • Bank B
    Mit dem Festgeldkonto Wachstum steigt Ihr Zinssatz jedes Jahr!
  • $2\;\%$ im $1.$ Jahr
  • $2,3\;\%$ im $2.$ Jahr
  • $2,6\;\%$ im $3.$ Jahr
  • $3\;\%$ im $4.$ Jahr
  • $3,3\;\%$ im $5.$ Jahr
  • #zinseszins
    Bildnachweise [nach oben]
    [1]
    https://goo.gl/GRNTv4 – Oatmeal/Haferflocken, Christian Schnettelker, CC BY 2.0.
    [2]
    https://goo.gl/SXS9jv – Neubauten in der Siedlung Waldkristall, MdE, CC BY-SA 3.0 DE.
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    Einführungsaufgabe

    a)
    $\blacktriangleright$  Tabelle vervollständigen
    Der Grundwert verändert sich nach jedem Jahr, daher steigert sich die prozentuale Zunahme. Dieser Prozess wird durch die Verkettung von Zinsfaktoren erreicht.
    $\;$Startgewicht Jahr 1 Jahr 2 Jahr 3 Jahr 4 Jahr 5
    Gewicht nach n Jahren$1.000\;\text{g}$$1.025\;\text{g}$$1.050,62\;\text{g}$$1.076,88\;\text{g}$$1.103,80\;\text{g}$$1.131,80\;\text{g}$
    Zinsfaktor$2,5\;\%$$2,5\;\%$$2,5\;\%$$2,5\;\%$$2,5\;\%$$2,5\;\%$
    b)
    Die Zinsrechnung ist eine besondere Form der Prozentrechnung, bei der ein Anfangskapital $K_0$ (entspricht dem Grundwert) betrachtet wird, welches jährlich mit dem Zinssatz (entspricht dem Prozentsatz) $p$ verzinst wird. Dabei fallen nach einem Jahr Zinsen (entspricht dem Prozentwert) in Höhe von $p \,\%$ des Anfangskapitals an.
    Wenn du Geld über einen Zeitraum von mehr als einem Jahr anlegst, werden die Zinsen die du erhältst mit fortschreitender Zeit weiter verzinst. Dabei spricht man vom Zinseszins.
    Das Endkapital inklusive Zins und Zinseszins nach $n$ Jahren erhältst du dabei wie folgt.
    $K_n=K_0\cdot \left(1+ \dfrac{p}{100} \right)^n$
    $K_n=K_0\cdot \left(1+ \dfrac{p}{100} \right)^n$
    Dabei gilt:
    • $K_0:$ Anfangskapital
    • $K_n:$ Endkapital nach $n$ Jahren
    • $n:$ Anlagezeit in Jahren
    • $p:$ Zinssatz
    #zinseszins

    Aufgabe 1

    b)
    $\blacktriangleright$  Endkapital und Zinsfaktor bestimmen
  • $300\;€$
  • p = $4\;\%$
  • $8$ Jahre
  • $K_n=300 \cdot \left(1+ \dfrac{4}{100} \right)^8 $
    $= 410,57\;€$
    d)
    $\blacktriangleright$  Endkapital und Zinsfaktor bestimmen
  • $850\;€$
  • p = $2,75\;\%$
  • $3$ Jahre
  • $K_n=850 \cdot \left(1+ \dfrac{2,75}{100} \right)^3$
    $= 922,07\;€$
    f)
    $\blacktriangleright$  Endkapital und Zinsfaktor bestimmen
  • $3.500\;€$
  • p = $1,8\;\%$
  • $9$ Jahre
  • $K_n=3.500 \cdot \left(1+ \dfrac{1,8}{100} \right)^9 $
    $= 4.109,58\;€$
    #zinseszins

    Aufgabe 2

    $\blacktriangleright$  Vergleich zweier Investitionsmodelle
  • Verzinsung Festgeldkonto
  • $K_n=150.000 \cdot \left(1+ \dfrac{6}{100} \right)^11 $
    $= 284.744,78\;€$
    Die Investition in die Immobilie kann zwar eine höhere Rendite einbringen, allerdings ist ein Festgeldkonto im Vergleich zu Investitionen in Immobilien sicherer.
    #zinseszins

    Aufgabe 3

    $\blacktriangleright$  Verdopplung und Verdreifachung berechnen
    a)
    Um die Verdopplung des Kapitals zu berechnen, benutzt du die bekannte Formel:
    $K_n=K_0\cdot \left(1+ \dfrac{p}{100} \right)^n$
    Du hast $K_n$ gegeben, $K_n = 2 \cdot 200\;€ = 400\;€$.
    Desweiteren kennst du den Zinssatz $p = 6\;\%$ und $K_0 = 200\;€$.
    Nun gilt es durch ausprobieren herauszufinden, wann sich das Kapital verdoppelt hat. $400\;€ = 200\;€ \cdot \left(1+ \dfrac{6}{100} \right)^{n}$
    Dies machst du durch systematisches Probieren. Du beginnst mit $n=5$ Jahren.
    $200\;€ \cdot \left(1+ \dfrac{6}{100} \right)^{5} = 267,64\;€$
    Da es nach $5$ Jahren noch nicht zur Verdopplung kam, probierst du $n=11$ Jahre aus.
    $200\;€ \cdot \left(1+ \dfrac{6}{100} \right)^{11} = 379,65\;€$
    Da es nach $11$ Jahren noch nicht zur Verdopplung kam, probierst du $n=12$ Jahre aus.
    $200\;€ \cdot \left(1+ \dfrac{6}{100} \right)^{12} = 402,43\;€$
    Nach ca. $12$ Jahren haben sich die $200\;€$ verdoppelt.
    b)
    Um die Verdreifachung des Kapitals zu berechnen, benutzt du die bekannte Formel:
    $K_n=K_0\cdot \left(1+ \dfrac{p}{100} \right)^n$
    Du hast $K_n$ gegeben, $K_n = 3 \cdot 200\;€ = 600\;€$.
    Desweiteren kennst du den Zinssatz $p = 6\;\%$ und $K_0 = 200\;€$.
    Nun gilt es durch ausprobieren herauszufinden, wann sich das Kapital verdreifacht hat. $600\;€ = 200\;€ \cdot \left(1+ \dfrac{6}{100} \right)^{n}$
    Dies machst du durch systematisches Probieren. Du beginnst mit $n=10$ Jahren.
    $200\;€ \cdot \left(1+ \dfrac{6}{100} \right)^{10} = 358,16\;€$
    Da es nach $10$ Jahren noch nicht zur Verdreifachung kam, probierst du $n=18$ Jahre aus.
    $200\;€ \cdot \left(1+ \dfrac{6}{100} \right)^{18} = 570,86\;€$
    Da es nach $18$ Jahren noch nicht zur Verdreifachung kam, probierst du $n=19$ Jahre aus.
    $200\;€ \cdot \left(1+ \dfrac{6}{100} \right)^{19} = 605,11\;€$
    Nach ca. $19$ Jahren haben sich die $200\;€$ verdoppelt.
    c)
    Um die Verdopplung des Kapitals zu berechnen, benutzt du die bekannte Formel:
    $K_n=K_0\cdot \left(1+ \dfrac{p}{100} \right)^n$
    Du hast $K_n$ gegeben, $K_n = 2 \cdot 200\;€ = 400\;€$.
    Desweiteren kennst du den Zinssatz $p = 4\;\%$ und $K_0 = 200\;€$.
    Nun gilt es durch ausprobieren herauszufinden, wann sich das Kapital verdoppelt hat. $400\;€ = 200\;€ \cdot \left(1+ \dfrac{4}{100} \right)^{n}$
    Dies machst du durch systematisches Probieren. Du beginnst mit $n=5$ Jahren.
    $200\;€ \cdot \left(1+ \dfrac{4}{100} \right)^{5} = 243,33\;€$
    Da es nach $5$ Jahren noch nicht zur Verdopplung kam, probierst du $n=17$ Jahre aus.
    $200\;€ \cdot \left(1+ \dfrac{4}{100} \right)^{17} = 389,58\;€$
    Da es nach $11$ Jahren noch nicht zur Verdopplung kam, probierst du $n=18$ Jahre aus.
    $200\;€ \cdot \left(1+ \dfrac{4}{100} \right)^{18} = 405,16\;€$
    Nach ca. $18$ Jahren haben sich die $200\;€$ verdoppelt.
    d)
    Um die Verdreifachung des Kapitals zu berechnen, benutzt du die bekannte Formel:
    $K_n=K_0\cdot \left(1+ \dfrac{p}{100} \right)^n$
    Du hast $K_n$ gegeben, $K_n = 3 \cdot 200\;€ = 600\;€$.
    Desweiteren kennst du den Zinssatz $p = 4\;\%$ und $K_0 = 200\;€$.
    Nun gilt es durch ausprobieren herauszufinden, wann sich das Kapital verdreifacht hat. $600\;€ = 200\;€ \cdot \left(1+ \dfrac{4}{100} \right)^{n}$
    Dies machst du durch systematisches Probieren. Du beginnst mit $n=10$ Jahren.
    $200\;€ \cdot \left(1+ \dfrac{4}{100} \right)^{10} = 296,04\;€$
    Da es nach $10$ Jahren noch nicht zur Verdreifachung kam, probierst du $n=18$ Jahre aus.
    $200\;€ \cdot \left(1+ \dfrac{4}{100} \right)^{18} = 405,16\;€$
    Da es nach $18$ Jahren noch nicht zur Verdreifachung kam, probierst du $n=28$ Jahre aus.
    $200\;€ \cdot \left(1+ \dfrac{4}{100} \right)^{28} = 599,74\;€$
    Nach $28$ Jahren kam es ebenfalls noch nicht zur Verdreifachung kam, probierst du $n=29$ Jahre aus. $200\;€ \cdot \left(1+ \dfrac{4}{100} \right)^{29} = 623,73\;€$
    Nach ca. $29$ Jahren haben sich die $200\;€$ verdoppelt.
    e)
    Um die Verdopplung des Kapitals zu berechnen, benutzt du die bekannte Formel:
    $K_n=K_0\cdot \left(1+ \dfrac{p}{100} \right)^n$
    Du hast $K_n$ gegeben, $K_n = 2 \cdot 200\;€ = 400\;€$.
    Desweiteren kennst du den Zinssatz $p = 8\;\%$ und $K_0 = 200\;€$.
    Nun gilt es durch ausprobieren herauszufinden, wann sich das Kapital verdoppelt hat. $400\;€ = 200\;€ \cdot \left(1+ \dfrac{8}{100} \right)^{n}$
    Dies machst du durch systematisches Probieren. Du beginnst mit $n=5$ Jahren.
    $200\;€ \cdot \left(1+ \dfrac{8}{100} \right)^{5} = 293,86\;€$
    Da es nach $5$ Jahren noch nicht zur Verdopplung kam, probierst du $n=9$ Jahre aus.
    $200\;€ \cdot \left(1+ \dfrac{8}{100} \right)^{9} = 399,80\;€$
    Da es nach $9$ Jahren noch nicht zur Verdopplung kam, probierst du $n=10$ Jahre aus.
    $200\;€ \cdot \left(1+ \dfrac{8}{100} \right)^{10} = 431,78\;€$
    Nach ca. $10$ Jahren haben sich die $200\;€$ verdoppelt.
    f)
    Um die Verdreifachung des Kapitals zu berechnen, benutzt du die bekannte Formel:
    $K_n=K_0\cdot \left(1+ \dfrac{p}{100} \right)^n$
    Du hast $K_n$ gegeben, $K_n = 3 \cdot 200\;€ = 600\;€$.
    Desweiteren kennst du den Zinssatz $p = 8\;\%$ und $K_0 = 200\;€$.
    Nun gilt es durch ausprobieren herauszufinden, wann sich das Kapital verdreifacht hat. $600\;€ = 200\;€ \cdot \left(1+ \dfrac{8}{100} \right)^{n}$
    Dies machst du durch systematisches Probieren. Du beginnst mit $n=10$ Jahren.
    $200\;€ \cdot \left(1+ \dfrac{8}{100} \right)^{10} = 431,78\;€$
    Da es nach $10$ Jahren noch nicht zur Verdreifachung kam, probierst du $n=14$ Jahre aus.
    $200\;€ \cdot \left(1+ \dfrac{8}{100} \right)^{14} = 587,43\;€$
    Da es nach $14$ Jahren noch nicht zur Verdreifachung kam, probierst du $n=15$ Jahre aus.
    $200\;€ \cdot \left(1+ \dfrac{8}{100} \right)^{15} = 634,43\;€$
    Nach ca. $15$ Jahren haben sich die $200\;€$ verdoppelt.
    g)
    Um die Verdopplung des Kapitals zu berechnen, benutzt du die bekannte Formel:
    $K_n=K_0\cdot \left(1+ \dfrac{p}{100} \right)^n$
    Du hast $K_n$ gegeben, $K_n = 2 \cdot 200\;€ = 400\;€$.
    Desweiteren kennst du den Zinssatz $p = 10\;\%$ und $K_0 = 200\;€$.
    Nun gilt es durch ausprobieren herauszufinden, wann sich das Kapital verdoppelt hat. $400\;€ = 200\;€ \cdot \left(1+ \dfrac{10}{100} \right)^{n}$
    Dies machst du durch systematisches Probieren. Du beginnst mit $n=5$ Jahren.
    $200\;€ \cdot \left(1+ \dfrac{10}{100} \right)^{5} = 322,10\;€$
    Da es nach $5$ Jahren noch nicht zur Verdopplung kam, probierst du $n=7$ Jahre aus.
    $200\;€ \cdot \left(1+ \dfrac{10}{100} \right)^{7} = 389,74\;€$
    Da es nach $9$ Jahren noch nicht zur Verdopplung kam, probierst du $n=8$ Jahre aus.
    $200\;€ \cdot \left(1+ \dfrac{10}{100} \right)^{8} = 428,71\;€$
    Nach ca. $8$ Jahren haben sich die $200\;€$ verdoppelt.
    h)
    Um die Verdreifachung des Kapitals zu berechnen, benutzt du die bekannte Formel:
    $K_n=K_0\cdot \left(1+ \dfrac{p}{100} \right)^n$
    Du hast $K_n$ gegeben, $K_n = 3 \cdot 200\;€ = 600\;€$.
    Desweiteren kennst du den Zinssatz $p = 10\;\%$ und $K_0 = 200\;€$.
    Nun gilt es durch ausprobieren herauszufinden, wann sich das Kapital verdreifacht hat. $600\;€ = 200\;€ \cdot \left(1+ \dfrac{10}{100} \right)^{n}$
    Dies machst du durch systematisches Probieren. Du beginnst mit $n=8$ Jahren.
    $200\;€ \cdot \left(1+ \dfrac{10}{100} \right)^{8} = 428,71\;€$
    Da es nach $8$ Jahren noch nicht zur Verdreifachung kam, probierst du $n=11$ Jahre aus.
    $200\;€ \cdot \left(1+ \dfrac{10}{100} \right)^{11} = 570,62\;€$
    Da es nach $11$ Jahren noch nicht zur Verdreifachung kam, probierst du $n=12$ Jahre aus.
    $200\;€ \cdot \left(1+ \dfrac{10}{100} \right)^{12} = 627,68\;€$
    Nach ca. $12$ Jahren haben sich die $200\;€$ verdoppelt.
    #zinseszins

    Aufgabe 4

    $\blacktriangleright$  Endkapital, Zinsfaktor & Zinseszinsen bestimmen
    a)
    Um das Endkapital, den Zinsfaktor und den Zinseszins zu bestimmen benutzt du die bekannte Formel:
    $K_n=K_0\cdot \left(1+ \dfrac{p}{100} \right)^n$
    Du hast $K_0$ gegeben, $K_0 = 6.000\;€$ und die Laufzeit in Jahren $n=3$ .
    Desweiteren kennst du den Zinssatz $p = 3\;\%$.
    Aus dem Zinssatz ergibt sich der Zinsfaktor $\left(1+ \dfrac{3}{100} \right) =1,03$.
    $K_3=6.000 \cdot \left(1+ \dfrac{3}{100} \right)^3 =$
    $ 6.556,36\;€$
    Den Zinseszins erhältst du, indem du von $K_3$ das Anfangskapital subtrahierst:
    $6.556,36\;€ - 6.000\;€ =$ $556,36\;€$
    Der Zinseszins über die $3$ Jahre ergibt daher $556,36\;€$.
    b)
    Um das Endkapital, den Zinsfaktor und den Zinseszins zu bestimmen benutzt du die bekannte Formel:
    $K_n=K_0\cdot \left(1+ \dfrac{p}{100} \right)^n$
    Du hast $K_0$ gegeben, $K_0 = 11.000\;€$ und die Laufzeit in Jahren $n=4$ .
    Desweiteren kennst du den Zinssatz $p = 5\;\%$.
    Aus dem Zinssatz ergibt sich der Zinsfaktor $\left(1+ \dfrac{5}{100} \right) =1,05$.
    $K_4=6.000 \cdot \left(1+ \dfrac{5}{100} \right)^4 =$
    $ 13.370,56\;€$
    Den Zinseszins erhältst du, indem du von $K_4$ das Anfangskapital subtrahierst:
    $13.370,56\;€ - 11.000\;€ = 2.370,56\;€$
    Der Zinseszins über die $5$ Jahre ergibt daher $2.370,56\;€$.
    c)
    Um das Endkapital, den Zinsfaktor und den Zinseszins zu bestimmen benutzt du die bekannte Formel:
    $K_n=K_0\cdot \left(1+ \dfrac{p}{100} \right)^n$
    Du hast $K_0$ gegeben, $K_0 = 700\;€$ und die Laufzeit in Jahren $n=5$ .
    Desweiteren kennst du den Zinssatz $p = 4,5\;\%$.
    Aus dem Zinssatz ergibt sich der Zinsfaktor $\left(1+ \dfrac{4,5}{100} \right) =1,045$.
    $K_5=700 \cdot \left(1+ \dfrac{4,5}{100} \right)^5 =$
    $ 872,32\;€$
    Den Zinseszins erhältst du, indem du von $K_5$ das Anfangskapital subtrahierst:
    $872,32\;€ - 700\;€ = 172,32\;€$
    Der Zinseszins über die $5$ Jahre ergibt daher $172,32\;€$.
    d)
    Um das Endkapital, den Zinsfaktor und den Zinseszins zu bestimmen benutzt du die bekannte Formel:
    $K_n=K_0\cdot \left(1+ \dfrac{p}{100} \right)^n$
    Du hast $K_0$ gegeben, $K_0 = 550\;€$ und die Laufzeit in Jahren $n=7$ .
    Desweiteren kennst du den Zinssatz $p = 2,75\;\%$.
    Aus dem Zinssatz ergibt sich der Zinsfaktor $\left(1+ \dfrac{2,75}{100} \right) =1,0275$.
    $K_7= 550 \cdot \left(1+ \dfrac{2,75}{100} \right)^7 =$
    $ 665,02\;€$
    Den Zinseszins erhältst du, indem du von $K_7$ das Anfangskapital subtrahierst:
    $665,02\;€ - 550\;€ = 115,02\;€$
    Der Zinseszins über die $7$ Jahre ergibt daher $115,02\;€$.
    e)
    Um das Endkapital, den Zinsfaktor und den Zinseszins zu bestimmen benutzt du die bekannte Formel:
    $K_n=K_0\cdot \left(1+ \dfrac{p}{100} \right)^n$
    Du hast $K_0$ gegeben, $K_0 = 1.400\;€$ und die Laufzeit in Jahren $n=4$ .
    Desweiteren kennst du den Zinssatz $p = 1,5\;\%$.
    Aus dem Zinssatz ergibt sich der Zinsfaktor $\left(1+ \dfrac{1,5}{100} \right) =1,015$.
    $K_4= 1.400 \cdot \left(1+ \dfrac{1,5}{100} \right)^4 =$
    $ 1.485,90\;€$
    Den Zinseszins erhältst du, indem du von $K_4$ das Anfangskapital subtrahierst:
    $1.485,90\;€ - 1.400\;€ = 85,90\;€$
    Der Zinseszins über die $4$ Jahre ergibt daher $85,90\;€$.
    f)
    Um das Endkapital, den Zinsfaktor und den Zinseszins zu bestimmen benutzt du die bekannte Formel:
    $K_n=K_0\cdot \left(1+ \dfrac{p}{100} \right)^n$
    Du hast $K_0$ gegeben, $K_0 = 330\;€$ und die Laufzeit in Jahren $n=6$ .
    Desweiteren kennst du den Zinssatz $p = 4\;\%$.
    Aus dem Zinssatz ergibt sich der Zinsfaktor $\left(1+ \dfrac{4}{100} \right) =1,04$.
    $K_6= 330 \cdot \left(1+ \dfrac{4}{100} \right)^6 =$
    $ 417,55\;€$
    Den Zinseszins erhältst du, indem du von $K_6$ das Anfangskapital subtrahierst:
    $417,55\;€ - 330\;€ = 87,55\;€$
    Der Zinseszins über die $6$ Jahre ergibt daher $87,55\;€$.
    g)
    Um das Endkapital, den Zinsfaktor und den Zinseszins zu bestimmen benutzt du die bekannte Formel:
    $K_n=K_0\cdot \left(1+ \dfrac{p}{100} \right)^n$
    Du hast $K_0$ gegeben, $K_0 = 5.400\;€$ und die Laufzeit in Jahren $n=5$ .
    Desweiteren kennst du den Zinssatz $p = 3\;\%$.
    Aus dem Zinssatz ergibt sich der Zinsfaktor $\left(1+ \dfrac{3}{100} \right) =1,03$.
    $K_5= 5.400 \cdot \left(1+ \dfrac{3}{100} \right)^5 =$
    $ 6.260,08\;€$
    Den Zinseszins erhältst du, indem du von $K_5$ das Anfangskapital subtrahierst:
    $6.260,08\;€ - 5.400\;€ = 860,08\;€$
    Der Zinseszins über die $5$ Jahre ergibt daher $860,08\;€$.
    h)
    Um das Endkapital, den Zinsfaktor und den Zinseszins zu bestimmen benutzt du die bekannte Formel:
    $K_n=K_0\cdot \left(1+ \dfrac{p}{100} \right)^n$
    Du hast $K_0$ gegeben, $K_0 = 1.550\;€$ und die Laufzeit in Jahren $n=2$ .
    Desweiteren kennst du den Zinssatz $p = 2,75\;\%$.
    Aus dem Zinssatz ergibt sich der Zinsfaktor $\left(1+ \dfrac{2,75}{100} \right) =1,0275$.
    $K_2= 1.550 \cdot \left(1+ \dfrac{2,75}{100} \right)^2 =$
    $ 1636,42\;€$
    Den Zinseszins erhältst du, indem du von $K_2$ das Anfangskapital subtrahierst:
    $1.636,42\;€ - 1.550\;€ = 86,42\;€$
    Der Zinseszins über die $5$ Jahre ergibt daher $86,42\;€$.
    #zinseszins

    Aufgabe 5

    a)
    Gesucht wird generell das Kapital nach $5$ Jahren Sparzeit.
    Bei der Bank A wächst Frau Garcia's Ersparnis auf $27.687,77\;€$ nach 5 Jahren.
    Zur Berechnung nutzt man die bekannte Formel.
    $K_n=K_0\cdot \left(1+ \dfrac{p}{100} \right)^n$
    $K_5=24.000\cdot \left(1+ \dfrac{2,9}{100} \right)^5 =$
    $ 27.687,77\;€$
    Bei der Bank B wächst Frau Garcia's Ersparnis auf $27.338,32\;€$ nach 5 Jahren.
    Zur Berechnung nutzt man die bekannte Formel in einer abgewandelten Form. Da sich jedes Jahr der Zinssatz verändert, musst du in mehreren Schritten vorgehen.
    Zuerst berechnest du das Kapital nach einem Jahr mit dem Zinssatz $2\;\%$.
    $24.000\;€ \cdot \left(1+ \dfrac{2}{100} \right) =$
    $24.480\;€$
    Ausgehend von dem Kapital nach einem Jahr, rechnest du mit dem veränderten Zinssatz $2,3\;\%$ im Jahr $2$.
    $24.480\;€ \cdot \left(1+ \dfrac{2,3}{100} \right) =$
    $25.043,04\;€$
    Ausgehend von dem Kapital nach zwei Jahren, rechnest du mit dem veränderten Zinssatz $2,6\;\%$ im Jahr $3$.
    $25.043,04\;€ \cdot \left(1+ \dfrac{2,6}{100} \right) =$
    $25.694,15\;€$
    Ausgehend von dem Kapital nach drei Jahren, rechnest du mit dem veränderten Zinssatz $3\;\%$ im Jahr $4$.
    $25.694,15\;€ \cdot \left(1+ \dfrac{3}{100} \right) =$
    $26.464,98\;€$
    Ausgehend von dem Kapital nach vier Jahren, rechnest du mit dem veränderten Zinssatz $3,3\;\%$ im Jahr $5$.
    $26.464,98\;€ \cdot \left(1+ \dfrac{3,3}{100} \right) =$
    $ 27.338,32\;€$
    Das Angebot der Bank A ist rentabler für Frau Garcia.
    #zinseszins
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